可满足性问题的数值解空间分析

phase diagrams中的轨迹、增长过程和计算复杂性：搜索算法如何解决3-可满足性问题

Trajectories in phase diagrams, growth processes and computational complexity: how search algorithms solve the 3-Satisfiability problem

在实践中遇到的大多数决策和优化问题，就任何特定的解决方法或算法而言，都可以分为两类：要么问题解决得很快（容易），要么需要不切实际的长时间计算（困难）。最近对模型类问题的研究表明，一些全局参数，例如要满足的约束和可调变量之间的比率，是问题难度的良好预测因子，而且，在预测凝聚态物理中的相时，具有类似于物理参数（例如温度）的效果[Monasson等人，Nature 400（1999）133-137]。在这里，我们表明，这些参数的值的变化可以跟踪在运行的算法定义的轨迹通过参数空间。专注于3-可满足性，公认的代表性的困难的问题，我们分析轨迹搜索算法使用增长过程统计物理。这些轨迹可以跨越定义明确的阶段，对应于容易或困难的实例域，并允许成功地预测解决的时间。

随机可满足性问题中的生成树

Spanning Trees in Random Satisfiability Problems

处理树图总是比处理多圈图容易，生成树是与给定图最接近的树状结构。我们找到了随机K-可满足性问题的解与相关因子图中生成树的解之间的对应关系。我们引入了一个修改后的调查传播算法，返回空边的因子图，并帮助我们找到满足的生成树。这使我们能够研究可满足的生成树在生成树所跨越的空间中的组织。

随机Horn-SAT公式可满足性的连续-不连续二阶转换

A Continuous-Discontinuous Second-Order Transition in the Satisfiability of Random Horn-SAT Formulas

我们计算一类随机Horn-SAT公式的可满足性概率，其动机与有限树自动机的非空性问题有关。特别地，当最大子句长度为3时，该模型在其参数空间中显示曲线，沿着该曲线可满足性的概率是不连续的，在二阶相变中结束，在该二阶相变中该曲线变得连续。这是第一种情况下，这种类型的相变已被严格建立一个随机约束满足问题。

随机3-可满足性问题的$T \to 0$平均场种群动力学方法

$T \to 0$ mean-field population dynamics approach for the random 3-satisfiability problem

在过去的十年中，随机3-可满足性（3-SAT）问题中的相变现象已经被统计物理方法所研究。本文利用平均场第一步复制对称破缺腔理论在温度极限$T\to 0$下研究了随机3-SAT问题。允许空腔理论的重新加权参数$y$与具有固定比率$r=y / β$的逆温度$β$一起接近无穷大。针对系统的可满足构型空间，利用重要抽样技术进行了广泛的群体动力学模拟，得到了不同$r$值下零能团簇的熵密度$s(r)$和复杂度$Σ(r)$.我们证明了种群动力学在不同的初始条件下可以达到不同的不动点。通过了解$s(r)$和$Σ(r)$随$r$的变化趋势，我们可以判断在给定的$r$值下某种类型的初始条件是否合适。这项工作补充和证实了其他几个非常近期的理论研究的结果。

随机K-可满足性问题的解空间异质性：理论与模拟

Solution space heterogeneity of the random K-satisfiability problem: Theory and simulations

随机K-可满足性（K-SAT）问题是研究NP-完全组合满足的典型情况复杂性的重要问题，也是有限连通自旋玻璃的代表模型。在本文中，我们回顾了我们最近的努力，解决空间的随机K-SAT问题的精细结构。当约束密度α达到临界值α_cm时，预测解空间中会发生异质性转变。这种转变标志着解决方案空间中出现了指数级的解决方案社区。在异质性转变之后，解空间仍然是遍历的，直到α达到更大的阈值α_d，在该阈值处，解社区彼此断开，成为不同的解簇（遍历性破坏）。通过数值模拟解空间的随机行走，证实了解空间中解社区的存在性，并研究了解空间异质性对随机局部搜索算法SEQSAT的影响，该算法执行单自旋翻转的随机行走.这项工作的玻璃动力学研究的相关性被简要提及。

有偏随机可满足性问题：从简单到困难

Biased random satisfiability problems: From easy to hard instances

本文研究了有偏随机K-SAT问题，其中每个逻辑变量都以概率$p$取反。这种推广为我们提供了一个从简单到困难的问题的交叉，将有助于我们更好地理解随机K-SAT问题的典型复杂性。给出了1-SAT情形的精确解。在副本对称框架下，导出了K-SAT问题的临界点和副本方法的结果。发现在这种近似下，对于$p\to 0$，$α_c \propto p^{-(K-1)}$。数值求解K=3时的测量传播方程，发现对于$p<p^* \sim 0.17$，没有复本对称性破缺，SAT-UNSAT跃迁仍然是不连续的。

分支定界搜索算法求解随机可满足性问题的计算复杂性分析

Analysis of the computational complexity of solving random satisfiability problems using branch and bound search algorithms

研究了求解随机3-SAT问题的计算复杂性。3-SAT是硬计算任务的一个代表性例子;它包括知道一组包含N个布尔变量的α N随机绘制的逻辑约束是否可以完全满足。广泛使用的求解程序，如Davis-Putnam-Loveland-Logeman（DPLL）算法，通过一系列由搜索树表示的试验和错误来执行对解的系统搜索。在本研究中，我们确定，使用理论和数值实验，容易（搜索树的大小与N的多项式缩放）和硬（指数缩放）制度作为每个变量的约束比α的函数。典型的复杂性明确计算在不同的制度，在非常好的协议与数值模拟。我们的理论方法是基于DPLL的操作下的搜索树中的分支的生长的分析。在每个分支上，初始的3-SAT问题被动态地转化为更一般的2+p-SAT问题，其中p和1-p分别是涉及三个和两个变量的约束的分数。每个分支的增长由α和p的动态演化来监测，并且由随机2+p-SAT问题的静态相图中的轨迹来表示。根据轨迹是否穿过相位之间的边界，DPLL生成单分支或完整的树，从而产生简单或困难的解决方案。

最简单随机K-可满足性问题

Simplest random K-satisfiability problem

研究了随机可满足性问题的一个简单而精确的可解模型。这些由$γN$随机布尔约束组成，这些约束由$N$逻辑变量同时满足。在热力学语言中，所考虑的模型可以被看作是零温度下的稀释p自旋模型。虽然这样的问题变得非常难以解决的局部搜索方法在一个大的区域的参数空间，仍然至少有一个解决方案可以叠加的建设。模型的统计特性可以通过副本方法精确地研究，并且每个单实例可以通过简单的全局求解方法在多项式时间内分析。深入分析了引起动态和静态相变的几何/拓扑结构以及局部搜索方法计算复杂性的产生原因。对非常大的样品进行数值分析，可以精确表征临界标度行为。

量子K-可满足性问题的统计力学

Statistical Mechanics of the Quantum K-Satisfiability problem

我们研究的量子版本的随机$K$ -可满足性问题中存在的外部磁场$Γ$施加在横向方向。在静态近似下，我们导出了对称自由能泛函和序参量的鞍点方程：磁化强度函数的分布$P[h(m)]$。序参量被解释为单个磁化的概率分布的直方图。在零温度和小的横向场的限制，在$Γ$磁化$m \approx 0$成为相关的，除了纯粹的经典值的$m \approx \pm 1$的领导秩序。用拟蒙特卡罗方法对K=3的序参量的自洽方程进行了数值求解。结果表明，对于一个任意小的$Γ$量子波动破坏相变存在于经典极限$Γ=0$，取代它与一个平滑的交叉过渡。这一结果的影响相对于预期的性能量子优化算法通过绝热演化进行了讨论。经典的随机$K$ -可满足性问题的复制对称解决方案进行了简要的回顾。结果表明，由复制对称理论预测的T=0时的相变是具有非典型临界指数的连续型相变。

量子优化问题的Hilbert空间聚类

Clustering in Hilbert space of a quantum optimization problem

许多经典的优化问题的解空间分裂成簇，这些簇在汉明度量中彼此相距很远。在这里，我们表明，一个类似的量子聚类现象发生在基态子空间的某个量子优化问题。这涉及到将聚类的概念扩展到希尔伯特空间，其中经典的汉明距离并不立即有用。量子团簇对应于整个量子基态空间的宏观上不同的子空间，其随系统尺寸而增长。我们明确地表明，这种集群出现在随机量子可满足性（3-QSAT）在其可满足性过渡的解决方案空间。我们估计这些集群的数量和它们的内部熵。前者由相互作用图的核心的硬核二聚体覆盖的数量给出，而后者与二聚体未触及的欠约束自由度有关。我们还提供了新的数值证据表明，3-QSAT可满足性过渡可能与产品可满足性过渡，这意味着没有中间纠缠可满足阶段。

随机K-可满足性公式的单解簇中的解的社区

Communities of solutions in single solution clusters of a random K-Satisfiability formula

K-可满足性（K-SAT）公式的解空间是解簇的集合，每个解簇包含通过一系列单自旋翻转相互可达的所有解。了解解簇的统计性质对于全面理解随机K-SAT问题的解空间结构和计算复杂性是很有价值的。本文通过无偏和有偏随机游走过程以及统计物理中的复制对称腔方法，研究了随机3-和4-SAT公式的单解簇。我们发现当公式的约束密度仍然低于解空间聚类过渡点时，解空间的巨连通分支已经形成了许多不同的社区。同一社区的解决方案彼此之间的相似性更高，并且彼此之间的联系比与其他解决方案之间的联系更紧密。一个解决方案社区的熵密度计算使用信念传播，并发现是不同的同一集群的不同社区。当约束密度超过聚类过渡点时，几种随机搜索算法得到的解簇也表现出相同的行为。总而言之，这项工作的结果为随机K-SAT问题的解空间结构的演变提供了更精确的图像;它们也可能有助于设计新的启发式算法。

增长域随机约束满足问题的解空间结构

Solution space structure of random constraint satisfaction problems with growing domains

本文研究了增长域约束满足问题（CSP）的标准原型RB模型的解空间结构。利用严格的一阶矩和二阶矩方法，证明了在可解阶段接近可满足性转变时，解被聚成指数数量的良好分离的簇，每个簇包含次指数数量的解.因此，该系统有一个集群（动力学）过渡，但没有凝聚过渡。这种相图不同于其他经典的固定区域大小的随机CSP，如随机K-可满足性（K-SAT）和图着色问题，其中存在凝聚转移，并且不同于可满足性转移。我们的结果验证了自旋玻璃理论中腔方法的非严格结果，并揭示了大量态问题解空间的结构.

The solution space structure of planted constraint satisfaction problems with growing domains

Planting a solution into the random RB model, which is a prototype of random constraint satisfaction problem (CSP) with growing domains, can generate very hard satisfiable CSP benchmarks. We study the solution space structure of the planted RB model. With constraint density growing, we find that this model goes through four phase transitions. In the replica symmetric phase, what we call the independent phase transition occurs, after which the planted cluster (cluster containing the planted solution) is separated from the giant cluster. Then the solutions except that in the planted cluster go t…

随机可满足性问题中基态结构的变分描述

A variational description of the ground state structure in random satisfiability problems

发展了有限连通类自旋玻璃模型的变分方法，并应用于描述随机可满足性问题最优解的结构。我们的变分方案准确地再现了已知的副本对称的结果，也允许列入复本对称性破缺的影响。对于3-SAT问题，我们发现随着逻辑子句与布尔变量之比$α$的增加，有两个转换。在第一个$α_s \simeq 3.96$，一个非平凡的组织的解决方案空间中的几何分离的集群出现。这些集群的多重性以及不同的解决方案之间的典型距离进行计算。在第二个阈值$α_c \simeq 4.48$处，令人满意的分配消失，并且变量的有限部分$B_0 \simeq 0.13$被过度约束，并且在所有最优（尽管不令人满意）分配中取相同的值。这些值必须与从小实例的数值实验中获得的$α_c \simeq 4.27, B_0 \simeq 0.4$进行比较。在本变分方法中，SAT-UNSAT过渡自然地表现为一阶和二阶过渡的混合物。对于混合的$2+p$ -SAT与$p<2/5$，行为如预期的那样简单得多：从SAT到UNSAT的唯一平滑过渡发生在$α_c=1/(1-p)$。

随机子立方体作为约束满足问题的玩具模型

Random subcubes as a toy model for constraint satisfaction problems

受硬约束满足和优化问题结构的启发，我们提出了一个精确可解的随机子立方体模型。我们的模型再现了随机k-可满足性和k-着色问题的解空间的结构，并经历了与这些问题相同的相变。在大k极限下，比较变得定量。距离属性，以及x-可满足性阈值，进行了研究。该模型也广义定义一个连续的能源景观有用的研究玻璃态动力学的几个方面。

最大限度地减少低于玻璃阈值的能量

Minimizing energy below the glass thresholds

针对随机K-可满足性问题的最优化形式--MAX-K-SAT问题，研究了有限能量形式的调查传播（SP）算法的性能。我们表明，一个简单的（线性时间）回溯抽取策略是足以达到配置远低于下限的动态阈值能量和非常接近的最佳基态的分析预测。最有效的局部搜索程序之一的比较数值研究。

随机组合中的三临界点：（2+p）- SAT情形

Tricritical Points in Random Combinatorics: the (2+p)-SAT case

（2+p）-可满足性（SAT）问题介于不同的复杂性理论之间，被认为是理解随机组合学中典型情况复杂性的基本兴趣。本文用复制法分析计算了随机$2+p$问题相图中的一个三临界点，发现它位于$2/5 \le p_0 \le 0.416$范围内。$p_0$上的这些界限与以前的数值模拟和严格的结果是一致的。

随机MAX-NAE-SAT中1 RSB的破缺

Breaking of 1RSB in random MAX-NAE-SAT

对于随机约束满足问题的几种模型，物理学家们提出并证明了其可满足性的急剧转变。对于随机$k$和相关模型，它发生在$2^k$附近的子句密度$α$处.就在阈值以下，进一步的结果表明，解决方案空间具有“1 RSB”结构的变量分配$\{0,1\}^N$空间内的大量的近正交集群。在不可满足的状态下，考虑最大可满足性是很自然的：违反最少数量的约束。对于一个简化的变体，强反驳问题，有强有力的证据表明，一个算法的过渡发生在$α= N^{k/2-1}$。对于在$N$中有界的$α$，Achlioptas，Naor和Peres（2007）获得了对max-sat值的非常精确的估计，但它不足以表明能量景观的性质。后来的工作（Sen，2016; Panchenko，2016）表明，对于非常大的$α$（大致，高于$64^k$），最大饱和值接近平均场（完整图）极限：这被证明具有“FRSB”结构，其中接近最优的配置在簇内形成簇，在$\{0,1\}^N$内部无限深度的超度量层次结构中。在最近的几项工作中，一种更强的FRSB形式被证明具有算法含义（同样是在完全图中）。因此，我们发现它的兴趣，以了解如何从1 RSB附近的可满足性阈值的模型过渡到（具体地）FRSB大$α$。本文证明了在随机正则$k$ -SAT模型中，1 RSB描述在$α\asymp 4^k/k^3$之上已经失效。这是通过在2 RSB参数空间中的显式扰动来证明…

用线性规划研究随机可满足性问题的典型数学复杂性的相变

Phase Transitions of the Typical Algorithmic Complexity of the Random Satisfiability Problem Studied with Linear Programming

本文研究NP完全$K$ -SAT问题。虽然NP完全问题的最坏情况的复杂性被证明是指数的，但存在参数化的随机问题集合，其中对于适当的参数范围，通常可以在多项式时间内找到解决方案。事实上，对于足够小的$α$值，可以快速求解以$α=M/N $作为控制参数的随机$K$-SAT.它显示了一个相变之间的可满足阶段和不可满足阶段。对于分支定界算法，它在可行的布尔配置的空间中操作，经验上最困难的问题仅位于接近这个相变。在这里，我们研究$K$（$K=3,4$）和相关的优化问题MAX-SAT的线性规划方法，这是广泛用于实际问题，并允许多项式运行时间。与分枝定界法不同，它在可行构形空间之外运行。另一方面，不能保证在多项式时间内找到解决方案。我们研究了几种变体，如包括人工目标函数，所谓的切割平面方法，以及映射到NP完全顶点覆盖问题。我们观察到几个容易的困难的过渡，从那里的问题通常是可解决的（在多项式时间内）使用给定的算法，分别在多项式时间内，他们是不可解决的。对于随机图上的相关顶点覆盖问题，这些易-难转换可以用图的结构性质来识别，如渗透转换。对于目前的随机$K$ -SAT问题，我们已经研究了许多结构特性，也表现出明确的过渡，但他们似乎不相关，在这里观察到的易-难过渡。这使得随机$K$ -SAT的行为比例如顶点覆盖问题

穷举法揭示了随机3- SAT中的聚类和冻结

Exhaustive enumeration unveils clustering and freezing in random 3-SAT

研究了随机3-可满足性问题的完全解集的几何性质。我们表明，即使是中等系统大小的集群的数量对应的理论渐近预测令人惊讶。我们将冻结过渡定位在解的空间中，这在解释随机约束满足问题中计算硬度的发生方面是相关的。

自适应网络的精确可解模型

Exactly solvable models of adaptive networks

一个可满足性（SAT-UNSAT）的转变发生在许多优化问题的约束，图形表示变量节点之间的链接，是超过一定的阈值。如果允许约束网络通过重新分配其链路来适应，则SAT-UNSAT转换可能会延迟，并且在结构自组织以满足约束的中间阶段之前。我们提出了一种分析方法，最近推出的大偏差的腔方法的基础上，它准确地描述了两个相变界定这个自适应中间阶段。我们给出了明确的结果随机键模型的连接或刚性渗流过渡，并与数值模拟进行比较。

随机线性布尔方程解的几何组织

Geometrical organization of solutions to random linear Boolean equations

随机XORSAT问题处理布尔变量的大型随机线性系统。这类问题的难度由方程数与变量数的比值控制。已知在该参数的某些值范围内，解的空间分裂成许多不连通的簇。在这里，我们研究正是相应的几何组织。特别是，这些集群之间的距离分布计算的空腔方法。这允许研究“x-可满足性”阈值，即在给定距离处存在两个解的方程的临界密度。

耦合XORSAT公式的解空间

The Space of Solutions of Coupled XORSAT Formulae

XOR可满足性（XORSAT）问题处理$n$布尔变量和$m$子句的系统。每个子句都是变量子集的线性布尔方程（XOR）。$K$ -子句是涉及$K$不同变量的子句。在随机$K$ -XORSAT问题中，通过从$n$变量的所有可能子句的集合中随机一致地选择$m$ $K$ -子句来创建公式.当比值$\frac{m}{n}$变化时，随机公式的解的集合表现出各种几何转变。我们考虑一个{ \em耦合} $K$ -XORSAT系综，由一个链的随机XORSAT模型，空间耦合在一个有限的窗口沿链方向。我们观察到，阈值饱和现象发生在这个合奏，我们描述了各种性质的空间的解决方案，这样的耦合公式。