Dorin Popescu
We give a necessary and sufficient condition for an extension of valuation rings containing $\bf Q$ to be a filtered direct limit of smooth algebras.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Valuation rings as limits of complete intersection rings
本文证明特征$p>0$的赋值环可表示为完全交环的滤过直接极限。
We extend and prove a conjecture of Benguş-Lasnier on the parametrization of valuations on a polynomial ring by certain spaces of diskoids.
We give three proofs that valuation rings are derived splinters: a geometric proof using the absolute integral closure, a homological proof which reduces the problem to checking that valuation rings are splinters (which is done in the second author's PhD thesis and which we reprise here), and a proof by approximation which reduces the problem to Bhatt's proof of the derived direct summand conjecture. The approximation property also shows that smooth algebras over valuation rings are splinters.
Completions of valuation rings
设k是特征为零的域，K是k上的代数函数域，V是K的k-赋值环.局部单值化定理证明了存在代数正则局部环R_i，R_i的商域K被V控制，且R_i的直并为V。给出了T是赋值环的充要条件。然后，我们专注于估值为1的情况。
Using a local monomialization result of Knaf and Kuhlmann, we prove that the valuation ring of an Abhyankar valuation of a function field over a perfect ground field of prime characteristic is Frobenius split. We show that a Frobenius splitting of a sufficiently well-behaved center lifts to a Frobenius splitting of the valuation ring. We also investigate properties of valuations centered on arbitrary Noetherian domains of prime characteristic. In contrast to [arXiv:1507.06009], this paper emphasizes the role of centers in controlling Frobenius properties of valuations rings in prime characteri…
Semigroups of valuations on local rings
本文考虑了在由赋值控制的Noether局部环上，哪些半群可实现为取值半群的问题。我们给出了一些引人注目的例子，表明可能没有超过那些已知的经典半群上的限制。
Finite Generation of Extensions of Associated Graded Rings Along a Valuation
本文考虑了伴随分次环沿赋值${\rm gr}_{ν^*}(S)$是有限${\rm gr}_{ν^*}(R)$ -模的问题，其中$S$是位于正规局部环$R$上的正规局部环，$ν^*$是$S$的商域的赋值，它支配$S$ .在定理1.5中，我们得到了等特征零点的一个非常一般的结果。在命题1.7中，我们也得到了优良局部环的非分歧扩张的一般结果。
Pure transcendental, immediate valuation ring extensions as limits of smooth algebras
本文证明包含域的纯超越、即时赋值环扩张可表示为光滑子代数的滤过并集。
Frobenius splitting of valuation rings revisited
针对特征p>0的F有限域上函数域的赋值环，证明其Frobenius分裂等价于对应赋值为Abhyankar赋值，还构造反例说明基域非F有限时该等价性不成立，方法不依赖局部一致化结果。
Let $K$ be a characteristic zero algebraic function field with a valuation $ν$. Let $L$ be a finite extension of $K$ and $ω$ be an extension of $ν$ to $L$. We establish that the valuation ring $V_ω$ of $ω$ is essentially finitely generated over the valuation ring $V_ν$ of $ν$ if and only if the initial index $ε(ω|ν)$ is equal to the ramification index $e(ω|ν)$ of the extension. This gives a positive answer, for characteristic zero algebraic function fields, to a question posed by Hagen Knaf.
Ramification of valuations and local rings
本文研究了优良局部环上分歧的双有理性质。我们扩展了作者与Olivier Piltant的早期结果，以表明沿着支配二维优秀局部局部环的无缺陷扩张的赋值，强局部单名化是真实的。我们还得到了一般结果的结构的扩张的相关分次环沿赋值，并表明，不变量α和β的稳定形式的二维扩张的特征p的作者和Olivier Piltant最终不是常数。
Let $(K,v)$ be a valued field. We review some results of MacLane and Vaquié on extensions of $v$ to valuations on the polynomial ring $K[x]$. We introduce certain MacLane-Vaquié chains of residually transcendental valuations, and we prove that every valuation $μ$ on $K[x]$ is a limit of a finite or countably infinite MacLane-Vaquié chain. This chain underlying $μ$ is essentially unique and contains arithmetic data yielding an explicit description of the graded algebra of $μ$ as an algebra over the graded algebra of $v$.
A generalization of the Abhyankar Jung theorem to associated graded rings of valuations
设R \rightarrow S是局部区域的扩张，V ^* 是S的一个控制赋值.本文考虑伴随分次环沿赋值gr_{ν^*}（R）\rightarrow gr_{ν^*}（S）的自然扩张.我们给出的例子表明，在一般情况下，这种扩展不共享良好的性能的扩展$ \rightarrow S，但经过足够的爆破以上的估值，良好的性能的扩展R \rightarrow S反映在相关的分次环的扩展。这个扩展的稳定性（爆破后）在零特征中比在正特征中好得多。我们的主要结果是Abhyankar-Jung定理的推广，它适用于伴随分次环沿赋值的扩张。
Let A and B be integral domains. Suppose A is Noetherian and B is a finitely generated A-algebra that contains A. Denote by A' the integral closure of A in B. We show that A' is determined by finitely many unique discrete valuation rings. Our result generalizes Rees' classical valuation theorem for ideals. We also obtain a variant of Zariski's main theorem.
Valuation rings of dimension one as limits of smooth algebras
本文证明在特定超越度条件下，特征p>0的一维赋值环可表示为光滑F_p-代数的滤过直接极限，并探讨了代数立即扩张的稠密性。
Algebraic valuation ring extensions as limits of complete intersection algebras
本文证明了特征 $p>0$ 的代数立即赋值环扩张是有限型完全交代数的滤过并。
Detecting and Quantifying Isolated Singularities over Discrete Valuation Rings
本文在混合特征(0,p)下发展孤立超曲面奇点理论，研究离散赋值环上的商环，引入经典Tjurina和Milnor数的类比，证明确定性定理和Mather-Yau定理的推广，并定义数值不变量以区分非可分和可分情况下的孤立奇点。
Gersten's conjecture for commutative discrete valuation rings
本文证明了交换离散赋值环的Gersten猜想成立。结合\cite{GL87}的结果，得到了Gersten猜想成立的条件是：环是交换离散赋值环上的交换正则局部光滑环.
Essential finite generation of extensions of valuation rings
本文在完全一般性下证明了 Knaf 猜想，即用相关赋值扩张的经典不变量来刻画赋值环局部扩张何时本原有限型，推进了赋值局部一致化问题。
An extension of Greenberg's theorem to general valuation rings
利用Becker，Denef，Lipshitz和van den Dries的超积方法，将Greenberg强逼近定理推广到具有任意值群的赋值环上的有限表示格式.作为应用，我们证明了值域上簇的真态射的一个闭象定理（在有理点上的强拓扑中）。
On valuation rings
本文给出了$ R=A\propto E $是赋值环的充要条件，其中$E$是非挠生成的或非挠生成的$A-$模.同时，我们还研究了赋值环的$ (n,d) $性质。
Algebraic series and valuation rings over nonclosed fields
假设$k$是一个任意域。考虑字段$k((x_1,...,x_n))$，它是变量$x_1,...,x_n$中形式幂级数环$k[[x_1,...,x_n]]$的商字段，系数在$k$中。设$σ$是$x_1,...,x_n$中的形式幂级数，其系数在$k$的代数闭包中.给出了$σ$是$k((x_1,...,x_n))$上代数的一个非常简单的充要条件.作为我们的方法的一个应用，我们给出了赋值环$V$的一个特征，它支配一个优秀的，诺特局部域$R$的二维，并使秩增加后，通过完成一个双有理扩展的$R$。
In this paper, we study the structure of the graded ring associated to a limit key polynomial $Q_n$ in terms of the key polynomials that define $Q_n$. In order to do that, we use direct limits. In general, we describe the direct limit of a family of graded rings associated to a totally ordered set of valuations. As an example, we describe the graded ring associated to a valuation-algebraic valuation as a direct limit of graded rings associated to residue-transcendental valuations.
Extensions of Valuations to the Henselization and Completion
证明了如果$R$是一个局部域，它由一个赋值$ν$支配，那么并不总是存在一个正则局部环$R'$，它双有理支配R，并由$ν$支配，以及$ν$到$R'$的Henselization $(R')^h$的扩展，使得$R'$和$(R')^h$沿赋值的分次环相等.我们还表明，并不总是存在$R'$，一个素理想$p$的完成$\widehat{R'}$，使$p\cap R'=(0)$和$ν$的扩展$\widehat{R'}$，使相关的分次环的$R'$和$\widehat{R'}/p$沿赋值是相等的。
Étant donné un anneau de valuation $V$, de corps résiduel $F$ et de groupe des valeurs $Γ$, on donne une condition suffisante pour qu'un anneau local dominant $V$ soit un anneau de valuation de groupe $Γ$. Lorsque $V$ contient un corps $k$, ce résultat est appliqué à la construction d'un anneau de valuation contenant $V$ et une extension donnée $k'$ de $k$, de groupe $Γ$ et de corps résiduel engendré par $k'$ et $F$. Cela s'avère possible, notamment, lorsque $k'$ ou $F$ est séparable sur $k$. Given a valuation ring $V$, with residue field $F$ and value group $Γ$, we give a sufficient condition…
A connectedness theorem for spaces of valuation rings
本文将 Zariski 连通性定理提升至赋值环的 Zariski-Riemann 空间，证明子环为局部、剩余代数且整闭当且仅当其是某闭连通子空间中环的交集，并给出该定理的逆命题，且无需 Noetherian 假设。
In this paper we prove that the Hermite ring conjecture holds for valuation rings $V$, and the special liner group $SL_n(V[x])$ coincides with the group generated by elementary matrices $E_n(V[x])$ for $n\geq3$. For any arithmetical ring $R$ and $n\geq3$, we show $SL_n(R[x]) = SL_n(R)\cdot E_n(R[x])$.
Valuations and Frobenius
研究了素特征的赋值环的Frobenius映射的性质.证明了赋值环总是F-纯的。我们引入了强F-正则性概念的一个推广，我们称之为F-纯正则性，并证明了一个赋值环是F-纯正则的当且仅当它是Noether环。对于函数域上的赋值，我们证明了Frobenius映射是有限的当且仅当赋值是整除的;在这种情况下，赋值环是Frobenius分裂的。对于函数域上的Noether赋值环，证明了赋值环是Frobenius分裂的当且仅当Frobenius是有限的，或者等价地，当且仅当赋值环是优良的.
Another proof of the almost purity theorem for perfectoid valuation rings
本文通过研究Faltings标准化长度在Frobenius映射下的行为，为完美oid估值环的几乎纯净定理提供了一个新的证明方法。
Compatibility of quasi-orderings and valuations; A Baer-Krull Theorem for quasi-ordered Rings
在他1969年的作品中，Merle E. Manis在交换环上引入了赋值。最近，第二作者发展了全拟序环类。在本文中，我们建立了环上的赋值与拟序之间的相容性概念，从而定义了拟序环的秩。进一步证明了拟序环的Baer-Krull定理：若R上有一个Manis赋值v，则R的所有v相容拟序都是通过将拟序从剩余类环提升到R本身来刻画的.
The topology on Berkovich affine lines over complete valuation rings
本文给出了完备赋值环$R$（即在诱导度量下完备的“实值赋值”赋值环）上的一维仿射解析空间$\mathbb{A}_R^1$在其分式域$K$代数闭时的拓扑.特别地，我们证明了$\mathbb{A}_R^1$是连通的和局部路径连通的。此外，$\mathbb{A}_R^1$是$K\times (1,\infty)$在规范一致结构下的完备化。作为应用，我们描述了$p$ -adic整数环$\mathbb{Z}_p$上循环$p$ -群$G$的Banach群环$\mathbb{Z}_p[G]$的Berkovich谱$\mathfrak{M}(\mathbb{Z}_p[G])$.
Ramification of local rings along valuations
本文讨论了特征为零的域k上代数局部环沿一维赋值的扩张的稳定形式，并推广了Ghezzi，Hà和Kashcheyeva关于二元正则代数局部环的稳定扩张沿赋值的伴随分次环到特征为零的任意基域k的扩张公式.我们讨论了这一结果的失败，在积极的特点。
A principal ideal theorem for compact sets of rank one valuation rings
设$F$是一个域，Zar $(F)$是$F$关于Zarki拓扑的赋值环的空间。证明了若$X$是Zar $(F)$中秩1赋值环的拟紧集，且其极大理想与$0$不相交，则$X$中的环的交是具有商域$F$的整环，使得每个生成的理想都是主理想.为了证明这个结果，我们建立了（a）秩为1的赋值环的拟紧集（其极大理想不与$0$相交）与（b）具有非零Jacobson根和商域$F$的一维Prüfer域之间的对偶.在所有这些情况下，必要的限制集合的赋值环，其极大理想不相交$0$的动机是设置中的赋值环考虑所有支配一个给定的局部环。
The Japanese and universally Japanese properties for valuation rings and Prüfer domains
本文研究赋值环和Prüfer整环的Japanese与universally Japanese性质，证明二者等价，并推广Nagata经典结果至非Noetherian情形。
Characterizing diophantine henselian valuation rings and valuation ideals
利用剩余域给出了Hensel赋值环和丢番图的Hensel赋值理想的一个刻画。这一刻画是文献中关于丢番图-亨塞尔赋值环和丢番图赋值理想的所有正、负结果的一般推广。我们也对待问题的一致性，我们应用的结果表明，一个给定的领域可以进行最多一个丢番图非平凡的等特征亨氏赋值环或估值理想。
We describe the immediate extensions of a one dimensional valuation ring $V$ which could be embedded in some separation of a ultrapower of $V$ with respect to a certain ultrafilter. For such extensions holds a kind of Artin's approximation.
Reduction of local uniformization to the case of rank one valuations for rings with zero divisors
这是同一作者以前一篇论文的延续。在前一篇文章中，为了得到以局部区域为中心的赋值的局部单值化，对秩1赋值证明它就足够了。本文将这一结果推广到以环为中心的赋值情形，环不一定是整环，甚至可能包含幂零元。
Valuation rings of mixed characteristic as limits of complete intersection rings
本文证明在特定条件下的混合特征估值环可表示为完全交环的极限，主要贡献在于条件的严格性及构造方法。
Valuations centered at a two-dimensional regular local ring: Infima and Topologies
本文的目的是证明以二维正则整环为中心的每个非空集赋值都有一个下确界。我们还推广了一些与非度量树相关的结果。
The Bass--Quillen conjecture for torsors over valuation rings
本文在赋值环上对满足自然迷向性条件的约化群概形证明了仿射空间上Nisnevich扭子的下降性质，从而推广了Raghunathan定理，并将若干仿射可表示性结果从等特征推广到混合特征。
Valuations, Deformations, and Toric Geometry
研究具有给定赋值的Noether局部整环与其相应的关于赋值的分次环之间的关系，在某些情况下，分次环是本质环面簇，可能具有无限嵌入维数，但具有有限的克鲁尔维数。后的估值扩展到一个合适的完成（其存在性是不成立的文件）的关系变得更加精确，并建议一种可能的方式来建立局部单值化的一个优秀的等特征局部域的代数封闭的剩余域，通过变形的部分环面嵌入决议的基本环面谱相关的分次环。
Let K be a field with a valuation $ν$ and let L = K(x) be a transcendental extension of K, then any valuation $μ$ of L which extends $ν$ is determined by its restriction to the polynomial ring K[x]. We know how to associate to this valuation $μ$ a family of valuations A = ($μ$i)i$\in$I of K[x], called the associated admise family, which converges in a certain sense towards the valuation $μ$. Although the definition of this family, as well as the notion of convergence, essentially imply the structure of the polynomial ring, in particular the degree of polynomials, we show in this note that the …
(Non)Vanishing results on local cohomology of valuation rings
我们在赋值环的背景下研究了局部上同调。这项调查的新颖性源于这样一个事实，即赋值环通常是非诺特的，而局部上同调已被广泛发展，主要是在诺特设置。证明了有限克鲁尔维数的赋值环的局部上同调的各种消失结果。这些消失的结果源于这样的环的整体尺寸上的一致的约束。我们的调查揭示了不同的层理论定义的局部上同调，和代数定义的限制某些Ext函子。
The main goal of this paper is to study some properties of an extension of valuations from classical invariants. More specifically, we consider a valued field $(K,ν)$ and an extension $ω$ of $ν$ to a finite extension $L$ of $K$. Then we study when the valuation ring of $ω$ is essentially finitely generated over the valuation ring of $ν$. We present a necessary condition in terms of classic invariants of the extension by Hagen Knaf and show that in some particular cases, this condition is also sufficient. We also study when the corresponding extension of graded algebras is finitely generated. F…
Growth of rank 1 valuation semigroups
我们考虑的问题是，哪些半群可以出现作为半群$S_R(ν)$的秩1赋值控制的诺特局部环$R$的正值。从$P_R(n)$的上界开始，给出了$n\in\NN$的$ϕ(n)=S_R(ν)\cap (0,n)$增长的多项式型上界，其中$P_R(n)$是$R$的Hilbert函数.在Cutkosky和Teissier的论文“Semigroups of valuations on local rings，II”中，这个界被推广到任意秩赋值的一个非常一般的界，arXiv：0805.3788。这个界已经足以给出秩1良序半群的简单例子，这些半群不是控制诺特局部环的赋值的值半群$S_R(ν)$。在秩为1的情况下，有可能给出更精确的估计$ϕ(n)$，我们证明在本文中。我们还给出的例子表明，许多不同的增长率是可能的$ϕ(n)$在一个经常的本地环的尺寸2，如$n(α$的任何合理的$α$与$1\leα\le 2$，和$n{log}(n)$。
Quasi-Valuations Extending a Valuation
设$F$是一个具有赋值$v$和赋值环$O_{v}$的域，$E$是一个有限域扩张，$w$是$E$上的一个拟赋值扩张$v$ .我们研究了$E$上的拟赋值，扩展了$v$，特别是它们对应的环和它们的素谱。我们证明了这些环的扩张满足INC（不可比性），LO（躺在），GD（下降）在$O_{v}$，特别是，他们有相同的Krull维数。我们还证明了每一个这样的拟赋值是由一些赋值扩展$v$。在拟赋值的值幺半群是群的假设下，证明了这些环扩张满足$O_{v}$上的GU（going up），并给出了素谱的大小的一个界.此外，还得到了指数拟赋值与整闭拟赋值环之间的1：1对应关系。给定$R$，一个$O_{v}$上的代数，我们构造了一个关于$R$的拟赋值，我们也构造了一个关于$R \otimes_{O_{v}} F$的拟赋值，这有助于我们证明我们的主要定理。主要定理指出，如果$R \subseteq E$满足$R \cap F=O_{v}$，并且$E$是$R$的分数域，则$R$和$v$在$E$上诱导出一个拟赋值$w$，使得$R=O_{w}$和$w$扩展了$v$ ;因此$R$满足拟赋值环的性质。
We show how several results about p-adic lattices generalize easily to lattices over valuation ring of arbitrary rank having only the Henselian property for quadratic polynomial. If 2 is invertible we obtain the uniqueness of the Jordan decomposition and the Witt Cancelation Theorem. We show that the isomorphism classes of indecomposable rank 2 lattices over such a ring in which 2 is not invertible are characterized by two invariants, provided that the lattices contain a primitive norm divisible by 2 of maximal valuation.
Extension of valuation rings as limits of complete intersection algebras
本研究针对赋值环扩张问题，给出了其可作为完全交代数过滤余极限的充分条件，为相关代数结构研究提供了理论支撑。
Regular rings over valuation rings
本文探讨了估值环上本质有限生成局部环的正则性性质，研究了开放位、完美大Cohen-Macaulay代数和切线复形等经典与现代主题，并给出了诺特环上的柯代瓦消失定理的应用。
The role of defect and splitting in finite generation of extensions of associated graded rings along a valuation
设$R$是一个具有商域$K$的2维优良局部域，$K^*$是$K$的有限可分扩张，$S$是一个具有商域$K^*$的2维局部域，使得$S$优于$R$ .假设$ν^*$是$K^*$的赋值，使得$ν^*$优于$S$。令$ν$是$ν^*$对$K$的限制。相关的分次环${\rm gr}_ν(R)$由Bernard Teissier引入。它在局部均匀化中起着重要的作用。本文证明了值域的扩张$(K,ν)\rightarrow (K^*,ν^*)$是无亏的当且仅当存在正则局部环$R_1$和$S_1$使得$R_1$是$R$的爆破的局部环，$S_1$是$S$的爆破的局部环，$ν^*$支配$S_1$，$S_1$支配$R_1$，并且相应的分次环${\rm gr}_{ν^*}(S_1)$是一个可生成的${\rm gr}_ν(R_1)$ -代数.我们还研究了$ν$赋值的分裂在$K^*$中的作用，并讨论了伴随分次环沿赋值的扩张的有限生成。如果$ν^*$是$ν$对支配$S$的$K^*$的唯一扩展，则我们可以说$ν$在$S$中不分裂。证明了若$R$和$S$是正则局部环，$ν^*$具有有理秩1且不离散，${\rm gr}_{ν^*}(S)$是一个正则生成的${\rm gr}_ν(R)$ -代数，则$ν$在$S$中不分裂.我们给出的例子表明，这样一个强有力的声明是不正确的，当$ν$不满足这些假设。我们证明了：如果$ν$具…
A criterion for rings which are locally valuation
利用循环纯内射模的概念，给出了局部赋值环的一个刻划。作为应用，给出了Prufer整环和纯半单环的新刻画.也就是说，我们证明了整环R是Prufer的当且仅当纯内射模、循环纯内射模和RD-内射模中的两类是相等的.证明了交换环R是纯半单的当且仅当每个R-模是循环纯内射的。
Uniform definability of henselian valuation rings in the Macintyre language
我们讨论了在麦金太尔语言$\mathcal{L}_{\rm Mac}$中的Hensel赋值环的可定义性，该语言是由n次幂谓词扩展的环的语言。特别地，我们证明了具有有限或希尔伯特剩余域的Hensel赋值环在$\mathcal{L}_{\rm Mac}$中是一致$\exists$ - $\emptyset$ -可定义的，而具有值群$\mathbb{Z}$的Hensel赋值环在环语言中是一致$\exists\forall$ - $\emptyset$ -可定义的，但在$\mathcal{L}_{\rm Mac}$中不是一致$\exists$ - $\emptyset$ -可定义的.我们将这些结果应用到局部场$\mathbb{Q}_p$和$\mathbb{F}_p((t))$，以及更高的维度局部域。
Realization of a certain class of semi-groups as value semi-groups of valuations
给定一个良序半群$Γ$，其序型生成元的极小系至多为$ωn$，且秩为有理$r$，且满足正性和增性条件，我们构造了一个以$r$为变量的多项式环为中心的零维赋值，使得多项式环的值的半群等于$Γ$ .该构造使用了Favre和Jonsson版本的MacLane密钥多项式序列的推广。
Affine schemes and topological closures in the Zariski-Riemann space of valuation rings
设$F$是一个域，$D$是$F$的一个子环，${\mathfrak{X}}$是包含$D$且具有商域$F$的赋值环的黎曼空间.考虑了${\mathfrak{X}}$上的Zerkiki拓扑、逆拓扑和补拓扑，并将其作为函数域包含在$F$中的投影整概形的投射极限，刻画了${\mathfrak{X}}$上的局部环化子空间为仿射格式.
Flat modules and Gröbner bases over truncated discrete valuation rings
给出了分次截断离散赋值环$A$中系数多项式环$R$上有限秩自由模的子模的Gröbner基的基本性质.作为应用，我们给出了一个判别矩阵生成的$R$ -模在$A$上平坦的准则.也给出了它的非等级版本。
This is an extended introduction to discrete valuation rings and Dedekind domains. Some natural generalizations of Dedekind domains are also (briefly) discussed including "almost Dedekind domains", Prüfer domains, Krull domains, and singular integral domains of dimension 1.
Théorème de Kaplansky effectif pour des valuations de rang 1 centrées sur des anneaux locaux réguliers et complets
本文证明了任何赋值秩为1的完备正则局部环都可以作为赋值环嵌入广义Puixix扩张环中。
Valuation Semigroups of Two Dimensional Local Rings
我们考虑的问题，当一个半群是半群的一个估值占主导地位的二维诺特局部域，给出了一些令人惊讶的例子。本文给出了半群S与域扩张L/k的对是具有剩余域k的二维正则局部环R的值控制的半群和剩余域的一个充要条件，推广了Spivakovsky关于无剩余域扩张情形的定理.
Singular loci of algebras over ramified discrete valuation rings
本文针对混合特征分歧离散赋值环上的代数，推广了经典的雅可比准则，用以刻画其奇异轨迹。
Gröbner Basis Theory for Modules over Polynomial Rings over Fields with Valuation
研究Gröbner理论的一个动机来自热带几何，例如，它们可以用来计算品种\citep{maclagan2009introduction}的热带化。该理论的计算方面首先在（Chen \& Maclagan，2013）中进行了研究。本文将Gröbner基理论推广到赋值域上多项式环上的自由模。由于在定义初始项时也考虑了系数的估值，因此我们不一定会得到单项阶。为了克服这个问题，我们不得不求助于其他技术，如使用ecart函数，其中上域是良序集$\mathbb{N}$，从而给出了一种方法来计算由齐次元素生成的子模的Gröbner基.
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