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非线性随机heat equations的不定常平均的极限定理

Limit theorems for time-dependent averages of nonlinear stochastic heat equations

Kunwoo Kim, Jaeyun Yi

备注：
25 pages
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摘要：

研究了具有$X_t:=\frac{1}{2L(t)}\int_{-L(t)}^{L(t)} u(t, x) \, dx$形式的不定常平均的极限定理，其中$L(t)=\exp(λt)$和$u(t, x)$是时空白噪声驱动的随机热方程在$\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}$上的解，对所有$x\in \mathbb{R}$都有$u_0(x)=1$.我们表明，对于$X_t$（i）弱大数定律成立时$λ>λ_1$，（ii）强大数定律成立时$λ>λ_2$，（iii）中心极限定理成立时$λ>λ_3$，但失败时，$λ<λ_4\leq λ_3$，（iv）定量中心极限定理成立时$λ>λ_5$，其中$λ_i$的是正常数依赖于时刻Lyapunov指数的$u(t, x)$。

英文摘要：

We study limit theorems for time-dependent averages of the form $X_t:=\frac{1}{2L(t)}\int_{-L(t)}^{L(t)} u(t, x) \, dx$, as $t\to \infty$, where $L(t)=\exp(λt)$ and $u(t, x)$ is the solution to a stochastic heat equation on $\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}$ driven by space-time white noise with $u_0(x)=1$ for all $x\in \mathbb{R}$. We show that for $X_t$ (i) the weak law of large numbers holds when $λ>λ_1$, (ii) the strong law of large numbers holds when $λ>λ_2$, (iii) the central limit theorem holds when $λ>λ_3$, but fails when $λ<λ_4\leq λ_3$, (iv) the quantitative central limit theorem holds when $λ>λ_5$, where $λ_i$'s are positive constants depending on the moment Lyapunov exponents of $u(t, x)$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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