First and second moments of the size distribution of bond percolation clusters on regular graphs
出于网络安全背景下的网络弹性和保险费，我们推导出了有限正则图上的键渗流簇大小的一阶和二阶矩的通用上界。将集群看作是与分支过程相耦合的动态对象，给出了第一组边界，当边缘开放的概率很小时，该边界是准确的。估计孤立顶点的数量，我们还获得了第二组边界，当边缘被关闭的概率很小时，这些边界是准确的。作为一个例子，我们将我们的结果应用到前三个柏拉图立体。
2021-11-03 math.PR
Giant component for the supercritical level-set percolation of the Gaussian free field on regular expander graphs
本文研究了一类固定$d\ge 3$的有限$d$ -正则图上的零平均高斯自由场。这类图包括$d$ -大围长正则扩张图和随机$d$ -正则图的典型实现。我们证明了零平均高斯自由场的水平集以上的水平$h$有一个巨大的组成部分，在整个超临界阶段，即所有的$h<h_\star$，概率趋于1的大小的图形趋于无穷大。此外，我们表明，这一组成部分是唯一的。这显著地改进了[AC 20 b]的结果，其中示出了如果$h<h_\star$，则顶点的线性分数在介观分量中。
2021-09-30 math.PR
Scaling limits for the critical level-set percolation of the Gaussian free field on regular trees
本研究针对正则树上高斯自由场临界水平集逾渗，推导出单臂指数为1的精确渐近概率，建立Yaglom型极限定理，并证明条件分量经重标度后收敛至Aldous连续随机树。
2025-10-16 math.PR
Amenability of horocyclic products of percolation trees
对于正则树的渗透子树的倍循环积，我们证明了几乎必然顺从性。在一个关于两棵渗流树的生长的对称条件下，我们证明了一个增长的Foelner序列的存在性（我们称之为强顺从性）。
2009-03-18 math.PR
Subcritical regimes in the Poisson Boolean percolation on Ahlfors regular spaces
本研究将Gouéré关于欧氏空间上Poisson Boolean渗流次临界区域存在性与半径分布矩条件等价的结论，推广至Ahlfors正则度量测度空间，拓展了渗流理论的适用范围。
2024-10-31 math.MG math.PR
Speed of the random walk on the supercritical Gaussian Free Field percolation on regular trees
本文研究d-正则树上高斯自由场超临界渗流簇上的随机游走，通过设计能承受长程依赖的更新构造，证明了条件为无穷时随机游走是弹道的，并给出其速度的大数定律和Donsker定理。
2023-04-17 math.PR
Level-set percolation of the Gaussian free field on regular graphs II: Finite expanders
本文研究一类固定$d\geq 3$的有限$d$ -正则图上的零平均高斯自由场。这类图包括$d$ -大围长正则扩张器和随机$d$ -正则图的典型实现。我们证明了零平均高斯自由场在$h$能级以上的能级集在$h_\star$能级发生相变，这与高斯自由场在无限$d$正则树上的能级集渗流的临界值一致.更准确地说，我们表明，概率趋于1的大小有限图趋于无穷大，水平集以上的水平$h$不包含任何连通组件大于对数大小时，$h>h_\star$，相反，每当$h<h_\star$，顶点的线性分数包含在水平集的高于水平$h$的连通分量中，其具有至少小分数的大小图的总尺寸的幂。它仍然开放是否在超临界阶段$h<h_\star$，作为图的大小趋于无穷大，人们观察到一个（潜在的唯一）巨大的连通组件的水平以上的水平集$h$的出现。本文中的证明利用了随附论文[AC 1]中的结果。
2019-09-04 math.PR
The incipient infinite cluster does not stochastically dominate the invasion percolation cluster in two dimensions
本文是由arXiv：math/0608132和arXiv：0806.2425中关于正则树和二维格上的入侵渗透簇（IPC）和初始无限簇（IIC）之间的全局关系的结果激发的。也就是说，这两个对象的法律是相互奇异的，并且，在正规树的情况下，IIC随机支配IPC。我们证明了在二维格上，IIC不随机支配IPC。这是第一个例子表明，IIC和IPC之间的关系是显着不同的树上，在两个维度。
2011-10-24 math.PR
On quantum percolation in finite regular graphs
本文研究有限正则图上的量子渗流，定量刻画有限键渗流图的谱与特征向量离域性，并证明低度移除概率下无限正则树保留绝对连续谱。
2014-09-06 math-ph math.MP math.PR
Supercritical Site Percolation on Regular Graphs
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
研究在超临界条件下，正则图中站点渗流出现大规模连通分量的条件，揭示了超立方体和伪随机图中的新现象。
2026-03-19 math.CO math.PR
Critical percolation on random regular graphs
我们证明了对于所有的$d\in \{3,\ldots,n-1\}$，在渗流阈值$p=1/(d-1)$附近的$n$顶点上的随机$d$ -正则图的最大分量的大小是$Θ(n^{2/3})$，具有很高的概率。这扩展了已知的固定$d\geq 3$和$d=n-1$的结果，证实了预测的Nacheland和佩雷斯的问题Benjamini。作为推论，对于离散的随机$d$ -正则图的最大分支，我们还确定了惰性随机游动的直径和混合时间.与以前的方法相比，我们的证明是基于一个简单的应用程序的切换方法。
2018-01-17 math.CO math.PR
Critical curve of loop percolation on the $d$-regular tree
University of Leipzig（莱比锡大学）
研究$d$-正则树上随机游走环泊松团簇的渗流相变，得到强度参数$\alpha$与惩罚参数$\kappa$的临界曲线隐式公式，并分析其渐近行为及临界指数。
2026-06-29 math.PR
The probability of unusually large components for critical percolation on random $d$-regular graphs
令$d\ge 3$为固定整数$p\in (0,1)$，并令$n\geq 1$为正整数，使得$dn$为偶数。设$\mathbb{G}(n, d, p)$是$n$顶点上的一个（随机）图，它是通过在$[n]$上均匀随机地画一个$d$ -正则（简单）图，然后对它进行独立的$p$ -键渗透而得到的，即我们以概率$p$独立地保留每条边，并以概率$1-p$删除它。令$|\mathcal{C}_{\text{max}}|$为$\mathbb{G}(n, d, p)$中最大组件的大小。我们表明，当$p$是$p=(d-1)^{-1}(1+λn^{-1/3})$的形式$λ\in \mathbb{R}$，和$A$是大的，\begin{align*} \mathbb{P}(|\mathcal{C}_{\text{max}}|>An^{2/3})\asymp A^{-3/2}e^{-\frac{A^3(d-1)(d-2)}{8d^2}+\frac{λA^2(d-2)^2}{2d(d-1)}-\frac{λ^2 A(d-1)}{2(d-2)}}. \end{align*}这改善了Nacheland和佩雷斯的结果。我们还给出了一个类似的渐近概率，一个特定的顶点是在一个组件的大小大于$An^{2/3}$。
2021-12-09 math.PR
Competing first passage percolation on random regular graphs
我们考虑两个竞争的第一次通过渗流过程开始于$N$顶点上的随机正则图的一致选择的子集。允许进程以不同的速率、从不同大小的顶点子集或在不同的时间开始传播。我们得到严格的结果，每个进程所占用的顶点集的大小，表明在一般情况下，一个进程将占用$Θ(1)N^α$顶点，为一些$0 < α< 1$。$α$的值是根据进程的相对速率、初始顶点集的大小和一个进程可能的时间优势来计算的。这项工作的动机来自于对社交网络上病毒式营销的研究。所描述的过程可以被看作是通过社会网络（随机正则图）传播的两个竞争产品。考虑到以不同速度增长的过程（对应于两种产品的不同吸引力水平）或在不同时间开始（首先获得市场优势），可以对实际竞争的各个方面进行建模。所获得的结果可以被解释为两种产品之一占据了市场的最大份额。我们将这些结果与运行在$d$维网格上的相同过程进行比较，我们表明，在一般情况下，这两种产品将各自具有线性的市场份额。
2014-08-04 math.PR
Is the critical percolation probability local?
我们证明了在一个d-正则的非顺从的大围长图上的渗流临界概率接近于在一个无限d-正则树上的渗流临界概率。这是O. Schramm关于p_c的局部性。我们还证明了一个有限的模拟膨胀图的猜想。
2009-01-29 math.GR math.PR
Self-destructive percolation as a limit of forest-fire models on regular rooted trees
设$T$是一棵正则根树。对于每一个自然数$n$，设$B_n$是顶点的有限子树，其图距根至多为$n$。考虑以下$B_n$上的森林火灾模型：每个顶点可以是“空”或“占用”的。在时间$0$，所有顶点都是空的。然后，该过程由两个相反的机制控制：顶点以$1$的速率被占用，独立于所有顶点。独立于其并且独立于所有顶点，“闪电”以速率$λ(n) > 0$击中顶点。当一个顶点被闪电击中时，它所占据的星团瞬间变成空的。现在假设$λ(n)$在$n$中呈指数衰减，但比$1/|B_n|$慢得多。我们证明了存在一个超临界时间$τ$和$ε> 0$使得在时间$0$和时间$τ+ ε$之间的$B_n$上的森林火灾模型在$n$趋于无穷大时趋于$T$上的以下过程：在时间$0$上所有顶点都是空的.在时间$0$和时间$τ$之间，顶点对于所有顶点独立地以速率$1$被占用。在时间$τ$，所有无限被占用的簇都变成空的。在时间$τ$和时间$τ+ ε$之间，顶点再次以速率$1$被占用，独立于所有顶点。在时间$τ+ ε$，所有被占用的簇都是有限的。这个过程是一个动态版本的自我破坏渗透。
2014-04-01 math.PR
Tight lower bound for percolation threshold on a quasi-regular graph
本文构造了拟正则树上的点渗流阈值pc的一个精确表达式，以及拟正则图的一个相关的精确下界。两者都是由用于计算非回溯行走的适当桥本矩阵的逆谱半径给出的。所得到的界总是超过原图的逆谱半径，并且在最大度方面也通常比现有界更紧。
2014-04-30 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Percolation with invariant Poisson processes of lines in the $3$-regular tree
研究3-正则树中不变泊松直线过程的渗流，发现直线强度与道路速度限制参数均存在临界值，分别决定空置集是否渗流及能否在有限时间内到达无穷远。
2023-10-13 math.PR
The asymptotic distribution of cluster sizes for supercritical percolation on random split trees
我们考虑由Devroye（1999）引入的随机树模型，即所谓的随机分裂树。该模型包含许多重要的随机算法和数据结构。然后，我们进行超临界伯努利键渗透对这些树，并获得一个精确的弱极限定理的最大集群的大小。我们还表明，在这项工作中开发的方法可能是有用的研究渗透对其他类的树木的对数高度，例如，我们也研究的情况下，$d$ -正规树。
2021-05-31 math.PR
Quantum percolation conjecture on regular trees
Bocconi University（博科尼大学）；Northwestern University（西北大学）
本文证明在度数至少为3的正则树上，伯努利键逾渗中无限簇的出现严格早于绝对连续谱，结合Bordenave定理得到$p_c<p_{ac}<1$。
2026-09-30 cond-mat.dis-nn math-ph math.MP
The wired arboreal gas on regular trees
本文研究了树型气体沿正则树的任意穷竭线边界条件的弱极限。我们证明了这个极限是存在的，不依赖于穷竭的选择，并经历了相变。在临界点以下和临界点处，我们证明了该模型等价于键渗流。在临界点以上，我们将模型简化为临界键渗流和无限个单端路径的随机集合的叠加。这提供了一个树栖气体模型的简单例子，该模型在其超临界阶段继续表现出类似临界的行为。
2021-08-09 math.PR
Percolation on a product of two trees
我们证明了两个正则树的乘积上的临界渗流满足三角形条件，树的度为$\ge$ 3。证明不检查顶点的度，并且在任何意义上都不是“微扰”的。它依赖于Oded Schramm的一个未发表的引理。
2011-12-02 math.PR
Monotonicity and phase diagram for multi-range percolation on oriented trees
我们考虑伯努利键渗流定向正规树，除了通常的短债券，所有债券的一定长度的增加。独立地，短键以概率$p$打开，长键以概率$q$打开。我们研究的临界曲线的性质，界定了一组对$(p,q)$，几乎肯定没有无限的道路。我们还表明，这条曲线相对于长债券的长度减少。
2018-06-07 math.PR
On the non-Gaussian fluctuations of the giant cluster for percolation on random recursive trees
本文考虑了随机递归树上的Bernoulli键渗流问题，树的大小为$n\gg 1$，其中对于某些固定的$c>0$，树的超临界参数为$p_n=1-c/\ln n$.已知的是，以高概率，然后存在一个独特的巨型集群的大小$G_n\sim \e^{-c}$，它遵循Schweinsberg \cite{Sch}的最近的结果，$G_n$有非高斯波动。我们提供了一个解释，这通过分析渗透的递归树的生长的不同阶段的效果。这种替代方法可能是有用的研究渗透其他类的树，例如正规树。
2013-05-21 math.PR
A Note on Bootstrap Percolation Thresholds in Plane Tilings using Regular Polygons
在\emph{$k$-bootstrap percolation}中，我们固定$p\in (0,1)$、整数$k$和平面图$G$。最初，我们以概率$p$独立地感染$G$的每个面。被感染的脸会永远被感染，如果一个健康的（未感染的）脸至少有$k$被感染的邻居，那么它就会被感染。对于固定的$G$和$p$，\emph{percolation threshold}是最大的$k$，使得最终所有面部都被感染，概率至少为$1/2$。对于一个大类的无限图，我们表明，这个阈值是独立的$p$。我们考虑了正多边形在平面上平铺时的自举渗流。这种平铺中的\emph{vertex type}是满足公共顶点的面的循环顺序。首先，我们确定每个阿基米德晶格的渗流阈值。更一般地，令$\mathcal{T}$通过正多边形表示平面平铺$T$的集合，使得如果$T$包含顶点类型的一个实例，则$T$包含该类型的无限多个实例。我们发现，没有平铺在$\mathcal{T}$具有阈值4或更多。此外，阈值为3的$\mathcal{T}$中仅有的镶嵌是四个阿基米德晶格。最后，我们描述了一个大的$\mathcal{T}$的阈值为2的子类。
2019-06-11 math.CO math.PR
Strong-majority bootstrap percolation on regular graphs with low dissemination threshold
考虑图上的强多数自助渗流模型。设r是某个正整数，p在[0，1]中。最初，每个顶点都以概率p活跃，独立于所有其他顶点。然后，在该过程的每一步，如果至少（deg（v）+r）/2个相邻顶点是活动的，则度为deg（v）的每个顶点v变为活动的。给定任意小的p>0和任意整数r，我们构造了一族d=d（p，r）-正则图，使得所有的顶点都有很高的概率最后成为活跃的.特别是，r=1的情况回答了一个问题，并反驳了Rapaport，Suchan，Todinca和Verstraete的猜想（Rummica，2011）。
2015-03-28 cs.DM math.CO math.PR
Edge percolation on a random regular graph of low degree
考虑一个具有固定度$d\ge3$的一致随机正则图，其顶点为$n$。假设每条边都是开（闭）的，概率分别为$p(q=1-p)$。Alon，Benjamini和Stacey在2004年证明了$p^*=(d-1)^{-1}$是由开边构成的子图中出现巨分支的阈值概率。在本文中，我们表明，$p^*$周围的过渡窗口的宽度约为$n^{-1/3}$的顺序。更准确地说，假设$p=p(n)$是这样的，即$ω:=n^{1/3}|p-p^*|\to\infty$。如果是$p<p^*$，则最大分量具有$O((p-p^*)^{-2}\log n)$顶点的概率很高（whp）。如果$p>p^*$和$\logω\gg\log\log n$，则最大分量具有大约$n(1-(pπ+q)^d)\asymp n(p-p^*)$顶点，并且第二大分量的大小最多为$(p-p^*)^{-2}(\log n)^{1+o(1)}$，其中$π=(pπ+q)^{d-1},π\in(0,1)$。如果$ω$在$n$中仅仅是多对数的，则其中最大的分量包含$n^{2/3+o(1)}$顶点。
2008-08-26 math.PR
Elliptic regularity and quantitative homogenization on percolation clusters
我们建立定量均匀化，大规模的规律性和刘维结果的随机电导模型的超临界（伯努利键）渗流集团。在团簇电导率为常数的情况下，所得结果也是新的。这个论证通过了一系列的重整化步骤：首先，我们使用标准的渗流结果来找到一个大尺度，在这个尺度之上，渗流簇的几何行为（在某种意义上变得精确）就像欧几里得空间的几何行为。然后，根据巴洛的工作，我们发现了一系列更大的尺度上，某些功能和椭圆估计举行。这给了我们的分析工具，以适应定量均匀化程序的阿姆斯特朗和智能估计，但更大的规模上的解决方案的集群可以很好地近似调和函数$\mathbb{R}^d$。这是第一个定量均匀化结果在多孔介质和谐波近似使我们能够估计的规模上，高阶正则性理论。这些随机尺度的大小至少有一个拉伸指数矩。作为这个正则性理论的结果，我们得到了一个刘维尔型的结果，指出，对于每个$k\in\mathbb{N}$，在最像$o(|x|^{k+1})$作为$|x|\to \infty$增长的解决方案的向量空间具有相同的维度作为一组调和多项式的次数最多$k$，推广的结果Benjamini，杜米尼-Copin，Kozma，和Yadin从$k\le1$到$k\in\mathbb{N}$。
2017-02-03 math.AP math.PR
Regularity of the time constant for last passage percolation on complete directed acyclic graphs
研究了非负整数集上的完全有向无圈图的最后一次通过渗流的时间常数$C(ν)$，其中边具有独立同分布.具有分布$ν$的权重，支持包含在$\{-\infty\}\cup\mathbb{R}$中。我们证明了在$ν$中$ν\mapsto C(ν)$是严格递增的。我们还证明了，$C(ν)$是连续的$ν$的措施$ν$。此外，当$ν$是纯原子，我们表明，$C(ν)$是解析的原子的重量。在两个正原子的特殊情况下，它是这些权重的显式有理函数。
2023-03-21 math-ph math.MP math.PR
Factor of iid percolation on trees
我们研究d-正则树上的不变渗流过程，它是作为iid过程的因子而得到的。我们证明了当d趋于无穷大时，有限团簇的iid位渗流过程的任一因子的密度渐近至多为（log d）/d。这个界限是渐近最优的，因为它可以实现独立的集。结果的一个含义是一个（1/2）-因子近似间隙，渐近d，估计最大诱导森林的密度在局部树状d-正则图通过因子的iid过程。
2016-10-03 math.CO math.PR
Invasion percolation on regular trees
我们考虑一个有根的正则树上的入侵渗流。对于从根侵入的无限簇，我们确定其$r$ -点函数的缩放行为的任何$r\geq2$和它的体积都在给定的高度和低于给定的高度。我们发现，虽然幂律的标度是相同的初始无限集群的普通渗流，标度函数不同。因此，有点令人惊讶的是，这两个集群的行为不同，事实上，我们证明，他们的法律是相互奇异的。此外，我们推导出简单的随机游动的规模估计的集群从根开始。我们表明，入侵渗流集团是随机主导的初始无限集团。远远高于根，这两个集群具有相同的法律局部，但不是全球。证明中的一个关键因素是沿着入侵渗流簇的主干的向前最大权重的分析。这些权重衰减到普通渗流的临界值，但只是缓慢的，这种缓慢的衰减导致标度行为不同于初始的无限集群。
2008-04-21 math-ph math.MP math.PR
An upper bound for the critical probability on the Cartesian product graph of a regular tree and a line
在$d$ -正则树与直线的笛卡儿积图上的Bernoulli键渗流中，给出了临界概率$p_c$的一个上界.
2018-04-21 math.PR
Critical percolation on random regular graphs
本文描述了n阶随机d-正则图上临界独立p-键渗流的组分尺寸，其中d \geq 3是固定的，n是增长的.我们证明了临界概率p_c=1/（d-1）附近的平均场行为。特别地，我们证明了在p_c附近存在一个宽度为n^{-1/3}的尺度窗口，其中最大分量的大小约为n^{2/3}，并且我们描述了它们的极限联合分布。我们还表明，对于亚临界区，即p =（1-eps（n））p_c，其中eps（n）=o（1），但\eps（n）n^{1/3}趋于无穷大，最大组分的大小集中在一个显式函数n和eps（n），这是一个顺序o（n^{2/3}）。在超临界状态下，即p =（1+ \eps（n））p_c，其中eps（n）=o（1），但eps（n）n^{1/3}趋于无穷大，最大组分的大小集中在值（2d/（d-2））\eps（n）n附近，并且二元性原理成立：其他组分的大小分布与亚临界状态相同。
2007-07-20 math.CO math.PR
The Constrained-degree percolation model
在图$(\mathbb{V},\mathbb{E})$上的约束度渗流模型中，存在一个序列$(U_e)_{e\in\mathbb{E}}$，其i.i.d.分布为$U[0,1]$和正整数$k$的随机变量。每个键$e$尝试在时间$U_e$打开，如果其两个端点的度数最多为$k-1$，则成功。我们证明了这个模型的相变定理的正方形格$\mathbb{L}^2$，以及在d元正则树。我们还证明了在超临界状态下，正方形晶格上的无限团簇是唯一的。
2020-03-28 math.PR
Frozen percolation on the binary tree is nonendogenous
在冷冻渗滤中，i.i.d.均匀分布的激活时间被分配给图的边缘。在指定的时间，如果边的两个端点都不是无限开簇的一部分，则边打开;在相反的情况下，它冻结。Aldous（2000）证明了这样的过程可以在无限3-正则树上构造，并询问给定边冻结的事件是否是分配给所有边的激活时间的可测函数。我们对这个问题给出了否定的回答，或者，使用Aldous和Bandyopadhyay（2005）引入的等价公式和术语，我们证明了与定向二叉树上的冻结渗流相关的递归树过程是非内生的。在我们的证明中，一个重要的作用是由一个冻结的渗流过程中的连续时间的二进制高尔顿沃森树，具有良好的尺度不变性质。
2020-12-02 math.PR
Site percolation on non-regular pseudo-random graphs
本文研究了图序列$\{G_n\}_{n\geq1}$在$n$顶点上的点渗透问题，其中每个顶点的度都在区间$(np -a_n, np+a_n)$内，且每对顶点的余度至多为${n}p^2+ b_n$，其中$p \in (0,1)$和$\{a_n\}_{n\geq1}$，$\{b_n\}_{n\geq1}$是实数序列.在适当的条件下，$p \in (0,1)$，$a_n$的和$b_n$的，我们表明，这些序列的图上的网站渗流在$\frac{1}{np}$进行急剧的相变。更精确地说，对于$\varepsilon>0$，我们通过以概率$ρ_n$独立地包括$G_n$的每个顶点来形成随机集$R(ρ_n)$。如果$ρ_n = \frac{1-\varepsilon}{np}$，则对每个足够小的$\varepsilon>0$和足够大的$n$，由$R(ρ_n)$诱导的$G_n$的子图中的所有连通分支在$n$中以高概率最多是多对数的.如果$ρ_n = \frac{1+\varepsilon}{np}$，则对于每个足够小的$\varepsilon>0$和足够大的$n$，由$R(ρ_n)$诱导的$G_n$的子图以高概率包含大小至少为$\frac{\varepsilon}{p}$的“巨”连通分支。此外，我们证明了在一个额外的假设下，$\{b_n\}_{n\geq 1}$的巨组件是唯一的。这部分地解决了Krive…
2017-12-09 math.CO math.PR
Interlacement percolation on transient weighted graphs
在本文中，我们首先扩展了由A.S. Sznitman在[arXiv：0704.2560]，更一般的设置瞬态加权图。我们证明了该模型的Harris-FKG不等式，并分析了它在特定图类上的一些性质。对于非顺从图的情形，我们证明了空集渗流的临界值u * 是有限的。我们还证明了，当G满足等周不等式IS_6（见（1.5））时，u_* 对乘积G × Z（其中我们赋予Z单位权）是正的。当所考虑的图是一棵树时，我们能够用一个Bernoulli独立的渗流过程来刻画包含某些不动点的空簇。对于正则树的特殊情况，我们得到了临界值u_* 的一个显式公式。
2009-07-02 math.PR
Metastable behavior for bootstrap percolation on regular trees
本文研究了初始律由Bernoulli（p）给出的正则（b+1）叉树上的自举渗流问题。根据通常的规则更新站点：如果一个空闲站点至少有theta个被占用的邻居，则它将被占用，被占用的站点将永远被占用。我们知道，当b> θ>1时，占据格点的极限密度q=q（p）在（0，1）中的某个p_t=p_t（b，θ）处有一个跳跃，从q_t：=q（p_t）<1跳到p>p_t时的q（p）=1。我们调查与此过渡的亚稳态行为。解释性地，我们选择p=p_t+h，h>0，并表明，当h减小到0时，系统在时间顺序h^{-1/2}的“临界”状态附近徘徊，然后在时间O（1）处过渡到完全占据状态。当在（q_t，1）中占据密度为q时，观察到的整个构型的规律随着h趋于0而收敛到一个明确定义的测度。
2009-07-25 math-ph math.MP math.PR
The fluctuations of the giant cluster for percolation on random split trees
基数$n$的分裂树通过将$n$“球”分布在无限树的顶点子集中来构造，无限树包括许多类型的随机树，诸如$m$元搜索树、四叉树、$(2k+1)$的中值树、边缘平衡树、数字搜索树和随机单纯形树。在这项工作中，我们研究了任意分裂树的大，但有限的基数$n$的伯努利键渗流。我们表明适当的渗流制度，依赖于基数$n$的分裂树，存在一个独特的巨人集群，波动的巨人集群的大小为$n \rightarrow \infty$描述的无穷可分分布，属于稳定的柯西定律类。这项工作推广了Berzunza（2015）中随机$m$ -ary递归树的结果。我们的方法是基于一个显着的分解的巨大的渗流集群的大小作为一个基本上独立的随机变量的总和，这可能是有用的研究渗透对其他树木的对数高度，例如，在这项工作中，我们还研究的情况下，经常树。
2021-05-26 math.PR
Percolation of the contact process on the regular tree
CRiSM, Department of Statistics, University of Warwick（华威大学统计系CRiSM）；Department of Mathematics, New York University Shanghai（纽约大学上海分校数学系）
本文研究正则树上接触过程的渗流相变，证明在 $d\geq 3$ 时 $\lambda_1<\lambda_p$，并在 $d\geq 7$ 时给出完整的相变顺序，解决了长期未决问题。
2026-09-10 math.PR
Components, large and small, are as they should be I: supercritical percolation on regular graphs of growing degree
本文针对度增长正则图给出超临界渗流出现类G(n,p)相变的充分条件，刻画了巨分量与其余分量的规模，证明了结果的紧性，为多类已知图的渗流结论提供统一证明。
2025-11-14 math.CO math.PR
Truncated long-range percolation of words on the square lattice
Universidade de São Paulo, Instituto de Matemática e Estatística（圣保罗大学数学与统计学院）；Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Estatística（米纳斯吉拉斯联邦大学统计学系）
研究正方形晶格上的混合长程渗透，通过概率控制边连接性，证明在满足一定条件的情况下，所有二进制序列均可从原点同时观测到。
2026-07-28 math.PR
Scale-free percolation
本文在$\Zbold^d$上建立并研究了非均匀长程渗流模型。每个顶点$x\in\Zbold^d$被分配非负权重$W_x$，其中$(W_x)_{x\in\Zbold^d}$是i.i.d.。随机变量根据权重，并给定两个参数$α,λ>0$，边是独立的，并且在$x$和$y$之间存在边的概率由$p_{xy}=1-\exp\{-λW_xW_y/|x-y|^α\}$给出。参数$λ$是逾渗参数，而$α$描述了模型的长程性质。我们专注于度分布在所得到的图，是否存在一个无限的组件和远程对顶点之间的图的距离。首先，我们证明了度分布的尾部行为与权分布的尾部行为有关。当$W_x$分布的尾部随指数$τ-1$规则变化时，则度分布的尾部随指数$γ=α(τ-1)/d$规则变化。参数$γ$对模型的行为至关重要。的重量分布和$γ$的条件制定的存在一个临界值$λ_c\in(0,\infty)$，使图包含一个无限组件时，$λ>λ_c$和没有无限组件时，$λ<λ_c$。此外，在点$γ=2$处，即在度从具有有限二阶矩切换到无限二阶矩的点处，建立了无限分量中顶点之间的图距离的相变。该模型可以被看作是一个插值之间的长程渗流和模型的非均匀随机图，我们表明，这两个模型的有趣的功能，共享的行为。
2011-03-01 math.PR
Asymptotics in percolation on high-girth expanders
我们考虑一类高围长$d$正则展开子上的超临界键渗流。Alon、Benjamini和Stacey（2004）确定了线性尺寸（“巨型”）组件出现的临界概率是$p_c=1/(d-1)$。我们的主要结果恢复了在任何$p>p_c$的巨星和它的2-核心的顶点的大小和度分布的尖锐渐近性。在[ABS 04]中进一步表明，对于某些$ω<1$，在任何$0<p<1$处，第二大分量的大小最多为$n^ω$。我们发现，与经典的Erdens-Rényi随机图中的情况不同，即使具有任意大的围长，在常规膨胀剂上的键渗流中的第二大组分可以具有任意接近$1$的尺寸$n^{ω'}$（对于$ω'$）。此外，作为该构造的副产品，我们否定地回答了Benjamini（2013）关于扩张子上渗流中分量的直径与巨分量存在性之间的关系的问题。最后，我们建立了巨分支的其他典型特征，例如，一条直线路径的存在
2020-01-08 math.CO math.PR
The growth of the infinite long-range percolation cluster
我们考虑$\mathbb{Z}^d$上的长程渗流，其中距离$r$处的两个顶点由边连接的概率由$p(r)=1-\exp[-λ(r)]\in(0,1)$给出，并且不同边的存在或不存在是独立的。这里，$λ(r)$是一个严格正的、非增的、规则变化的函数。我们研究了$k$ -球在原点周围的大小的渐近增长，$|\mathcal{B}_k|$，也就是说，对于$k\to\infty$，对于不同的$λ(r)$，在原点的图形距离$k$内的顶点数。我们表明，条件的起源是在（唯一的）无限集群，nonempty类的非增加定期变化的$λ(r)$存在，其中，分别为：$\bullet$ $|\mathcal{B}_k|^{1/k}\to\infty$几乎肯定; $\bullet$存在$1<a_1<a_2<\infty$，使$\lim_{k\to \infty}\mathbb{P}(a_1<|\mathcal{B}_k|^{1/k}<a_2)=1$ ; $\bullet$ $|\mathcal{B}_k|^{1/k}\to1$几乎肯定。这一结果可以应用于空间SIR流行病。特别是，制度确定的基本繁殖数，$R_0$，这是一个重要的数量流行病在非结构化人群中，有一个有用的对应空间流行病。
2011-01-07 math.PR
Rumor Spreading on Percolation Graphs
本文研究了随机谣言传播（推模型）在d-正则图G中的性能与相同算法在离散图G_p中的性能之间的关系，证明了当T = o（pd）时，如果推模型在图G中的T轮内成功传播谣言，则在图G_p中传播谣言只需要（1 + ε）T轮.
2011-10-05 cs.DM math.PR
Coexistence in competing first passage percolation with conversion
我们在无限连通图上引入了一个两类首通渗流竞争模型。类型1从一个独特的站点以1的速率通过图的边缘传播，而所有其他站点最初都是空的。一旦站点被类型1占用，它将以速率$ρ>0$转换为类型2。2型占据的位点以$λ>0$的速率通过1型占据的空位\emph{and}扩散，而1型只能通过空位扩散。如果类型1所占据的位点集始终非空，我们称之为类型1 \emph{survives}。在$d\geq 3$的规则$d$ -ary树的情况下，我们表明类型1可以生存时，它比类型2慢，提供$ρ$是足够小的。这与当基础图是$\mathbb{Z}^d$时形成对比，其中对于任何$ρ>0$，如果$λ>1$，则类型1几乎肯定消失。
2021-08-24 math.PR
Frog models on trees through renewal theory
本文研究了正则树上一类随机游动的增长系统，文献中称之为\emph{frog models with geometric lifetime}。借助于更新理论的结果，我们得到了它们的临界参数的新的界。我们的方法还改进了文献中关于树上的渗流模型的临界参数的界，称为\emph{cone percolation}
2018-04-10 math.PR
Law of large numbers for the maximal flow through a domain of $\mathbb{R}^d$ in first passage percolation
我们考虑标准的第一次通过渗流模型在重新标度图$\mathbb{Z}^d/n$的$d\geq 2$，和一个域$Ω$的边界$Γ$在$\mathbb{R}^d$。令$Γ^1$和$Γ^2$是$Γ$的两个不相交的开子集，表示$Γ$中某些水可以通过其进入和从$Ω$中逸出的部分。我们调查的渐近行为的流动$ϕ_n$通过一个离散版本$Ω$之间的相应的离散集$Γ^1_n$和$Γ^2_n$ $Ω_n$。我们证明了在某些条件下的正则性的域和法律的能力的边缘，$ϕ_n$几乎必然收敛到一个常数$ϕ_Ω$，这是一个连续的非随机最小割问题的解决方案。此外，我们给出了一个必要和充分条件的法律能力的边缘，以确保$ϕ_Ω >0$。
2009-07-31 math.PR
Components, large and small, are as they should be II: supercritical percolation on regular graphs of constant degree
本文证明在满足扩张性与局部稀疏条件的常数度正则图上，超临界边渗流存在大小约为 $yn$ 的巨型分支，其余分支仅为对数阶。
2024-09-08 math.CO math.PR
The phase transition in site percolation on pseudo-random graphs
我们建立了伪随机$d$ -正则图上的渗流相变的存在性。设$G=(V,E)$是一个$(n,d,λ)$ -图，即$n$顶点上的$d$ -正则图，其中除第一个特征值外，邻接矩阵的所有特征值的绝对值至多为$λ$.通过将每个顶点$v\in V$以概率$p$独立地放入$R$中，形成$V$的随机子集$R$。则对于任何足够小的常数$ε>0$，如果$p=\frac{1-ε}{d}$，则由$R$诱导的$G$的子图的所有连通分量的大小在$n$中至多为对数，而对于$p=\frac{1+ε}{d}$，如果特征值比$λ/d$作为$ε$的函数足够小，则典型地$R$跨越大小至少为$\frac{εn}{d}$的连通分量和长度与$\frac{ε^2n}{d}$成比例的路径。
2015-07-05 math.CO math.PR
Site Percolation on Pseudo-Random Graphs
我们考虑伪随机$d-$正则图上的顶点渗流。第二作者先前的研究建立了从小组分到线性（在$\frac{n}{d}$中）尺寸组分的相变的存在，在$p=\frac{1}{d}$。在超临界状态下，我们的主要结果恢复了最大组分的大小的尖锐渐近，并表明所有其他组分通常要小得多。此外，我们考虑了最大分支的其他典型性质，如边数，长圈的存在性和膨胀。在亚临界区域，我们加强了可能组分尺寸的上界。
2022-11-29 math.CO math.PR
Point-to-point distance in first passage percolation on (tree) x Z
本文研究了T_d × Z上的第一次通过渗流（FPP）问题，其中T_d是d-正则树（d ≥ 3）。它表明，对于树中的固定顶点v，点（v，0）和（v，n）之间的FPP度量的距离的波动是最多log n的顺序。我们推测，真正的波动是1阶，并解释为什么。
2018-06-19 math.MG math.PR
Kardar-Parisi-Zhang Universality in First-Passage Percolation: the Role of Geodesic Degeneracy
我们已经描述了两种类型的离散网络，规则的正方形晶格和无序的Delaunay晶格上的第一次通过渗流（FPP）模型的标度行为，从而解决底层拓扑结构的影响。几个分布函数的链接时间被认为是。的渐近行为的波动的最小到达时间和横向偏差的测地线路径是在完美的协议与Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适类的链接时间分布和格拓扑的类型无关。前渐近行为，另一方面，被发现依赖于唯一的测地线在没有混乱的地方交叉时间，拓扑性质的晶格方向，我们术语测地线退化。这个属性对模型有重要的影响，例如众所周知的规则晶格中的各向异性生长。在这项工作中，我们提供了一个框架，以了解其影响，以及表征其程度。
2018-02-14 cond-mat.stat-mech math.PR
