On complicial homotopy monoids
Ryo Horiuchi
对于具有顶点的Kan复形，我们有它的单纯同伦群的概念。本文对顶点在Verity意义下的弱复集，构造了单同伦群的推广幺半群。
For a Kan complex with a vertex, we have the notion of its simplicial homotopy groups. In this paper, for a weak complicial set in the sense of Verity with a vertex, we construct monoids which are a generalization of simplicial homotopy groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Weak complicial sets, a simplicial weak omega-category theory. Part II: nerves of complicial Gray-categories
本文通过研究在弱复集上丰富的范畴，继续发展弱ω-范畴的单纯理论。这些复灰范畴推广了同伦理论的Kan复丰富范畴和弱3-范畴论的灰范畴。我们推导出一个单纯神经结构，这是密切相关的Cordier和波特的同伦相干神经，并表明，这忠实地表示复杂的灰色范畴弱复杂集。弱复集范畴本身可以规范地扩充为复格雷范畴，其母集是同态、强变换和修改的双范畴的高级推广。通过将我们的神经结构应用到这个结构中，我们证明了所有（小）弱复杂集及其在高维的结构态射的总和形成了一个结构丰富的（大）弱复杂集。
Weak complicial sets, a simplicial weak omega-category theory. Part I: basic homotopy theory
本文发展了弱omega范畴的单形理论的基础，它建立在Ross Street在1987年关于定向单形的论文中最初阐述的见解之上。由此产生的理论弱复杂集提供了一个共同的概括理论的（严格）欧米茄类别，康复合物和Joyal的准类别。我们概括了一些结果，由于目前的作者关于复杂集和严格的欧米茄类别提供了一个军械库的表现良好的技术设备，如连接和灰色张量积，这将被用来研究这些弱欧米茄-范畴论的这些结构在一系列的同伴论文。特别地，我们通过构造以弱复集为映射对象的层单纯集范畴上的Quillen模型结构，建立了它们的基本同伦理论。作为一个简单的推论，这项工作，我们提供了一个独立的建设Joyal的模型结构的单纯集的准范畴的对象。
On loop spaces with marking
Kan复形的单纯同伦群的一个类似构造可以应用于饱和复集，得到幺半群。本文研究了Kan复形的闭路空间的构造如何提升到复形的情形并与这类幺半群相联系。
Gray tensor product and saturated $N$-complicial sets
我们表明，预张量和张量积的单纯集与标记是兼容的同伦理论饱和$N$ -复集（这是一个建议的模型$(\infty,N)$ -范畴），在一个Quillen双函子和同伦双函子的形式，分别。
Complicial sets, an overture
这些笔记的目的是介绍的直觉动机的概念“complicial集”，一个单纯集与某些显着的“薄”单形，见证了组成关系的单形之间的边界。通过改变标记约定，复杂集可以用于为每个$n \geq 0$（包括$n=\infty$）建模$(\infty,n)$ -类别。出于这个原因，复杂集提供了一个肥沃的设置思考弱无限维范畴在不同的维度。这一提议提出了三个行为：第一次介绍单纯模型的更高阶范畴;第二次定义的街道神经，其中嵌入严格的$ω$ -类别作为“严格”复杂集;第三次探索一个重要的饱和条件，在复杂集的标记单形，并提出了各种模型结构，捕捉其基本同伦理论。对于那些想要更深入地了解这些概念的读者，各处都有建议的练习。
Centers and homotopy centers in enriched monoidal categories
本文研究了幺半范畴中幺半群的中心和同伦中心的理论，这些幺半群本身在duoidal范畴中是丰富的。Duoidal范畴（由Aguillar和Mahajan引入，名为2-幺半范畴）是具有两个monoidal结构的范畴，它们通过一些不一定可逆的凝聚态射联系在一起。在这个意义上的幺半群的中心包括许多不是“经典的”的例子。特别是，范畴的2-范畴是我们意义上的中心的一个例子。同伦中心（类似于经典的Hochschild复形）的例子包括2-范畴、2-函子和自然变换的Gray范畴Gray和dg-范畴、dg-函子和相干dg-变换的Tamarkin同伦2-范畴。
Up-to-Homotopy Monoids
非正式地说，同伦么半群是一种类似么半群的结构，其中诸如结合性之类的性质只能以某种一致的方式保持“同伦”。本文给出了同伦么半群的严格定义，并对一些例子进行了简要分析。它是论文“同伦代数的运算”（数学QA/0002180）的一个非常简短的版本，并没有假设任何运算知识。
Algebraic theories, span diagrams and commutative monoids in homotopy theory
我们适应的概念，一个代数理论工作的准范畴的设置最近开发的Joyal和Lurie。我们对一般理论作了一定的发展.我们详细研究了一个扩展的例子：交换幺半群理论（它本质上只是一个2-范畴）。这给出了一个简单的，组合上明确的，有指导意义的交换幺半群的概念。我们证明，这个定义是等价的（在适当的意义上）都是一个E-无限幺半群的经典概念和Lurie的概念的一个交换代数对象。
Monoids related to self homotopy equivalences of fibred product
引入了一个与纤维指向空间的自同伦等价有关的么半群的嵌套序列，使得其极限是纤维指向空间的自等价的同伦类的群。我们探讨这个幺半群的产品在个别空间。进一步，我们研究了与这些幺半群相关的两个不变量：自贴近数和自长度。
Homotopy Algebras for Operads
我们提出了一个同伦代数的定义，并探讨其后果。该文件应该是访问拓扑学家，范畴理论家，任何人熟悉的操作。在回顾了算子和幺半范畴的基础上，给出了同伦代数的定义。具体地说，假设M是一个幺半范畴，在这个范畴中讨论某个运算数P的代数是有意义的。那么我们的定义就说明了M中的同伦P-代数是什么，只要M中的某些态射被标记为“同伦等价”。大部分的文件包括同伦代数的例子。我们证明了任何闭路空间都是同伦幺半群，并且，事实上，任何n重闭路空间在适当的意义下都是n重同伦幺半群。我们尝试将A_无限空间、A_无限代数和非严格幺半范畴等弱化代数结构与我们的同伦代数进行比较，并取得了不同程度的成功。我们还证明了“基变换”的结果，例如同伦幺半范畴范畴的分类空间是同伦拓扑幺半群。最后，我们反思了我们定义的优点和缺点，以及该定义应该如何被一个更微妙的无穷范畴版本所取代。
Normal and conormal maps in homotopy theory
设M是一个幺半范畴，它具有一个特殊的弱等价类，并具有么半群和余半群的适当相容分类丛.本文定义并研究了M中幺半群映射的正规性和余半群映射的共形性的同伦不变概念。这些概念推广了主丛和交叉模，并被足够好的monoidal函子所保留，例如规范化的链复形函子。当M是交换环上的单纯集范畴或链复形范畴时，我们给出了同伦-正规映射和同伦-余正规映射的几类显式例子.
Frobenius complexes and the homotopy colimit of a diagram of posets over a poset
仿射幺半群是可消的、有点的、可加的幺半群。仿射幺半群$Λ$具有由$λ\le λ+ μ$定义的偏序。Frobenius复形是$Λ$的开区间关于这个偏序的序复形。Frobenius复形的约化同调与幺半群代数$K[Λ]$的扭群有关。本文研究了Frobenius复形的同伦类型，当$Λ$是由两个仿射幺半群$Λ_1$和$Λ_2$用一个关系胶合而成的仿射幺半群时，我们用$Λ_1$和$Λ_2$的同伦类型来表示$Λ$的Frobenius复形的同伦类型.我们还陈述了么半群代数的扭群的Poincaré级数的一个应用。
Homotopy theory of monoids and derived localization
我们使用派生本地化的酒吧和神经结构提供简单的证明代数拓扑的一些结果。这包括最近的推广亚当斯的cobar建设的非简单连接的情况下，和一个新的模型的同伦理论的连接拓扑空间使用无限类别的离散monoid。
Transversal Homotopy Monoids of Complex Projective Space
我们将给出k维复射影空间的n横截同伦幺半群的几何描述，这里我们按通常的方法分层为低维的复射影空间. transmittal同伦幺半群被定义为一类基横截映射到惠特尼分层空间直到等价通过这样的映射。我们证明了k维复射影空间的n横截同伦幺半群同构于n维球面的某些滤子的合痕类。所需的过滤是由嵌套的闭子空间$X_0 \subset ... \subset X_k=S^n$，使得任何两个之间的差是一个流形和正规丛的$X_i$在$X_{i+1}$是一个可定向的实2维向量丛，欧拉类表示的庞加莱对偶$X_{i-1}$。
Rational visibility of a Lie group in the monoid of self-homotopy equivalences of a homogeneous space
设M是允许通过连通李群G左平移的齐性空间.作用的伴随映射产生一个从G到M的自同伦等价幺半群的映射.本文的目的是研究由有理同伦上的伴随映射诱导的同态的内射性.特别地，对于由Oniscik分类的单李群及其相关的秩为1的齐性空间的所有情况，都明确地确定了可见度。
On the global homotopy theory of symmetric monoidal categories
本文证明可和范畴的整体同伦论可由对称幺半范畴建模，并等价于可和单纯集的同伦论，为整体相干交换幺半群提供桥梁。
Dwyer-Kan Homotopy Theory of Algebras over Operadic Collections
在适当的monoidal模型范畴上，我们构造了增广运算集上代数范畴的Dwyer-Kan模型范畴结构。作为例子，我们得到了德怀尔-坎模型的类别结构上的类别丰富的轮式道具，轮式propriads，轮式操作，等等。这一结果扩展了已知的模型范畴结构的范畴上的operads，propriads和props丰富的单纯集和其他monoidal模型类别。我们还表明，我们的Dwyer-Kan模型类别结构是行为良好的同时变化的基础monoidal模型类别和增强的操作集合。
Monoidal model categories
么半群模型范畴是具有相容闭么半群结构的模型范畴。这样的东西在自然界中比比皆是;阿贝尔群的单纯集和链复形就是例子。给定一个么半群模型范畴，我们可以考虑么半群和么半群上的模。我们希望能够研究这些幺半群和模的同伦理论。这个问题首先由Stefan Schwede和Brooke Shipley在“Algebras and Modules in monoidal model categories”中提出，他们证明了在一定条件下，存在monoid和给定monoid上的模的模型范畴。本文件是该文件的后续文件。我们研究会发生什么情况时的条件Schwede-Shipley不举行。这将发生在任何拓扑情况下，特别是在拓扑对称谱。我们发现，在我们的monoidal模型范畴上，除了它是余纤维生成的和单位是余纤维的之外，没有任何条件，我们仍然得到monoidal的同伦范畴，并且这个同伦范畴在适当的意义下是同伦不变量的.
Second homotopy classes associated with non-cancellative monoids
本文通过CW复形基本群的半正基本关系定义非消去幺半群，构造其非消去元组孪生体对应的第二同伦类，并成功重构了Akio Hattori研究的generic lines arrangement补集的第二同伦类，为后续椭圆判别式轨迹补集的应用奠定基础。
Homotopy theory for algebras over polynomial monads
研究了monoidal模型范畴中“monoidal like”对象的转移模型结构的存在性和左适当性。这些包括真正的幺半群，但也包括所有类型的运算，例如对称，循环，模块，更高的运算，propriads和PROP。所有这些结构都可以实现为多项式单子上的代数。我们给出了多项式单子的一般条件，该条件保证了其代数的转移模型结构的存在性和（相对）左适当性。这个条件是一个组合的性质，并挑出一类特殊的多项式单子，我们称之为驯服多项式。许多重要的单子被证明是驯服的多项式。
Dwyer-Kan homotopy theory of enriched categories
本文在满足幺半群公理的组合闭对称幺半模范畴上的富集小范畴范畴中，建立了以 Dwyer-Kan 等价为弱等价的模型结构。
Bott-Chern and Aeppli homotopy
本文针对双单纯集的可纤维类引入 Bott-Chern 和 Aeppli 同伦集，建立其基本性质，并证明与 Bott-Chern 同调群的同构关系。
The homotopy groups of a homotopy group completion
设$M$是具有同伦群完备$ΩBM$的拓扑幺半群.在强同伦交换性假设下，证明了$M$是自由同伦类的幺半群$[S^k, M]$与它的零同伦映射的子幺半群的商.我们给出两个应用程序。首先，这个结果给出了一个具体的描述的劳森同调的复射影簇的有效代数圈的球面家庭的逐点添加。其次，我们将这一结果应用到从离散群的酉或一般线性表示空间构建的幺半群上，从而得到关于将连续字符族提升到连续表示族的结果。
Homotopy theory of presheaves of Gamma-spaces
我们考虑Gamma-空间的预层范畴，或者等价地，考虑单纯预层中Gamma-对象的预层范畴。我们的主要结果是建设稳定的模型结构，这一类参数化的局部模型结构的单纯预层。如果单形预层上的局部模型结构是么半群，则对应的Gamma空间的预层上的稳定模型结构也是么半群，并且满足么半群公理。这使我们能够提升稳定的模型结构的代数和模块的类别在交换代数。
Monoids of self-maps of topological spherical space forms
拓扑球面空间型是球面与有限群的自由作用的商。一般来说，它们的同伦类型依赖于群的特定作用。我们证明了拓扑球面空间型的自映射的同伦类么半群是由作用群和球面的维数决定的，而不依赖于特定的作用。
Homotopy invariance of convolution products
本文的目的是证明各种卷积积是完全同伦的，这意味着它们在两个变量中保持弱等价，而无需任何相干假设。我们建立了这个属性的图表的单纯集索引的有限集和注射和驯服的$M$ -单纯集，与$M$的单射自映射的正自然数的幺半群。我们还证明了Nikolaus和第一作者研究的某个卷积积是全同伦的。这意味着每一个可表示的对称monoidal $\infty$ -范畴都可以用一个具有全同伦monoidal积的对称monoidal模型范畴来表示。
Lie models of homotopy automorphism monoids and classifying fibrations
给定$X$是有限幂零单纯集，考虑分类纤维化$$ X\to Baut_G^*(X)\to Baut_G(X),\qquad X\to Z\to Baut_π^*(X), $$，其中$G$和$π$分别表示$X$的自由和指向自同伦等价的自由和指向同伦类的子群，它们幂零地作用在$H_*(X)$和$π_*(X)$上。我们给出了代数模型，在完全微分分次李代数（CDGL的），这些纤维化的有理同伦类型。说明了如果$L$是$X$的cdgl模型，则存在$L$的导子的李代数$Der L$的连通子cdgl的$Der^G L$和$Der^π L$，使得cdgl态射序列$$ L\stackrel{ad}{\to} Der^G L\to Der^G L\widetilde\times sL,\qquad L\to L\widetilde\times Der^π L\to Der^π L $$的几何实现具有上述分类纤维化的有理同伦类型.其中的后果，我们还描述了在cdgl条款的Malcev $Q$ -完成$G$和$π$连同合理同伦类型的分类空间$BG $和$Bπ$。
Weak model categories in classical and constructive mathematics
我们引入了“弱模型范畴”的概念，它是Quillen模型范畴概念的弱化，但仍然足以定义同伦范畴、Quillen算子、Quillen等价和大多数通常的范畴同伦理论的构造。左半模型范畴和右半模型范畴都是弱模型范畴，弱模型范畴的对立面也是弱模型范畴。弱模型范畴的主要优点是它们比Quillen模型范畴更容易构造。特别地，我们给出了两个弱因子分解系统构成弱模型范畴的简单判据。该理论是在一个非常弱的建设性框架，我们用它来生产，完全建设性（甚至预测），弱版本的各种标准模型类别，包括坎-奎伦模型结构，变体的Joyal模型结构的标记单纯集，和Verity模型结构的弱复杂集。我们还构造了所有这些的半单纯形式。
Algebraic homotopy classes of rational functions
我们计算域的谱上的射影线P^1的自同态的朴素指向同伦类的集合。我们的计算与Fabien Morel的一个自同态的motivic指向同伦类P^1的比较好：在朴素同伦类的集合上存在一个先验幺半群结构，使得从这个幺半群到motivic同伦类群的典范映射是一个群完备。
Rational Homotopy Type of the Classifying Space for Fibrewise Self-Equivalences
设p是具有有限基B和纤维F的单连通CW复形的纤维化。设aut_1（p）表示p的所有纤维同伦自等价空间的单位连通区，Baut_1（p）表示该拓扑幺半群的分类空间。给出了Baut_1（p）的微分分次李代数模型.利用这个模型，我们给出了由Baut_1（p）表示的有理同伦类型的分类结果，并得到了么半群aut_1（p）有理化后是双环空间的条件。
The rational homotopy type of the space of self-equivalences of a fibration
设Aut（p）表示纤维化p的自纤维同伦等价的拓扑幺半群：E \to B.我们对这个幺半群作了一般性的研究，特别是在有理同伦理论中。当E和B是单连通CW复形，且E有限时，我们将Aut（p）的单位连通区的有理Samelson李代数证明为p的Koszul-Sullivan模型导子的DG李代数的同调，并得到了纤维映射空间的有理同伦群和Aut（p）的自然幂零子群的有理化的相关证明.
Iterated Monoidal Categories
我们提出了迭代幺半范畴的概念，并证明了这个概念与迭代闭路空间的概念是精确对应的。具体地说，这样一个范畴的神经的群完备化是一个迭代回路空间，而自由迭代幺半范畴产生了与经典小立方体运算相同同伦类型的有限单纯运算，这些运算用于参数化迭代闭路空间的更高H空间结构。迭代幺半范畴范畴包含了一个特殊的情形，即辫状张量范畴的概念，如在量子群理论中所使用的。
On the homology and homotopy of commutative shuffle algebras
对于交换代数，有三个重要的同调论：Harrison同调论，Andre-Quillen同调论和Gamma-同调论。一般来说，这些是不同的，除非是关于特性为零的基域工作。我们发现，这些同调论的类似物同意在对称序列的指向交换幺半群的范畴，霍赫希尔德同调总是具有霍奇分解在这种设置。此外，我们还证明了对称序列上的点微分分次交换幺半群范畴具有模型结构，并且它与对称序列上的点单纯交换幺半群的模型范畴是Quillen等价的.
A dg Lie model for relative homotopy automorphisms
本文构造了空间的同伦自同构群幺半群的分类空间的泛覆盖的dg Lie模型。
Generalized stability for abstract homotopy theories
证明了一个导子是稳定的当且仅当同伦有限极限与同伦有限余极限可交换，当且仅当同伦有限极限函子有右伴随，当且仅当同伦有限余极限函子有左伴随.这些特征推广到一个抽象的概念“稳定性相对于一类函子”，其中特别包括指向性，半可加性，和普通的稳定性。为了证明它们，我们发展了丰富的monoidal左导子和加权同伦极限和colimits的导子理论。
Smash products for secondary homotopy groups
我们在次级同伦群上构造了一个smash积运算，得到了一个松弛对称monoidal函子的结构。杯一产品，户田括号和Whitehead产品上的应用被认为是。特别地，我们证明了Barratt-Jones-Mahowald提出的关于球的不稳定同伦群上的杯一积运算的交叉效应的一个公式.
Enriched model categories and the Dold-Kan correspondence
研究通过Dold-Kan对应改变富集结构对模型范畴性质的影响，揭示保留在弱单向Quillen对下的属性变化。
On the homotopy groups of symmetric spectra
由Hovey，Shipley和Smith引入的对称谱是稳定同伦范畴的一个方便的模型，它在点集水平上具有良好的结合和交换Smash积，并具有相容的Quillen闭模型结构。这个模型唯一的缺点是不能通过反转那些在同伦群上诱导同构的态射来定义稳定等价，因为这会留下太多的同伦类型。在这个意义上，单纯定义的同伦群常常是“错误的”，然后它们与“真”的同伦群的精确关系（即，态射在稳定同伦范畴从球谱）显得神秘。本文讨论并利用对称谱的朴素定义的同伦群的额外代数结构，即自然数的内射自映射幺半群的一种特殊作用.这个额外的结构澄清了关于同伦群和稳定等价的几个问题，并解释了为什么朴素的同伦群毕竟不是那么错误。例如，幺半群作用允许半稳定对称谱的简单表征。
Monoids of moduli spaces of manifolds
我们从Tillmann和Galatius-Madsen-Tillmann-Weiss的角度研究了d维配边范畴。有一类$C_θ$的封闭光滑（d-1）-流形和光滑d维配边，配备了广义方向指定的纤维化$θ: X \to BO(d)$。GMTW的主要结果是确定了分类空间$BC_θ$的同伦型。本文的目的是系统地研究具有与$C_θ$等价的分类空间同伦的$C_θ$的子范畴$D$，这种$D$越小越好.我们证明了在大多数情况下，$D$可以被选为同伦交换幺半群。证明了具有$θ$ -结构的曲面的多个模空间的稳定上同调是某个Thom谱的无限闭路空间的上同调.这是已知的某些特殊的$θ$，使用同源稳定性的结果，我们的工作是独立的，这样的结果，并涵盖了更多的情况。
Mapping Spaces for DG Hopf Cooperads and Homotopy Automorphisms of the Rationalization of $E_n$-operads
定义了微分分次Hopf余范畴（简称dg Hopf余范畴）上的单纯富集.我们证明，我们的单纯性丰富满足，在部分情况下，公理的单纯模型范畴结构的范畴dg霍普夫合作。我们利用这种单纯模型结构定义了dg Hopf合作范畴中的映射空间模型，并通过处理单纯幺半群结构，改进了文献中关于dg Hopf合作的同伦自同构空间的结果.运算的有理同伦理论表明dg Hopf余运算的同伦自同构空间可以看作是拓扑空间（或单纯集）中运算有理化的同伦自同构空间的模型。作为主要应用，我们证明了Kontsevich图复李代数上的Maurer-Cartan型空间在单纯幺半群范畴内同伦等价于小圆盘运算有理化的同伦自同构空间.
Homotopy Types of Small Semigroups
提出利用投射分解结构快速计算有限半群同调群的软件包，给出小阶半群和幺半群的计算结果，并构造反例反驳Nico猜想。
Homotopy theory of monoid actions via group actions and an Elmendorf style theorem
该研究借助群作用开展幺半群作用同伦论研究，构造了幺半群空间范畴上的一类模型结构，并证明其与空间反变图范畴的射影模型结构存在Quillen等价，得到埃尔门多夫型定理。
Homotopy theory of symmetric powers
我们引入了对称h-幺半群，对称性，对称平坦性的概念。正如我们的论文arXiv：1410.5675所示，这些性质是有色对称运算及其代数的同伦理论的核心。特别是，前一个属性可以被看作是类似的施韦德和希普利的幺半群公理代数对称运算，并允许一个装备的范畴，这种代数的模型结构，而后者确保弱等价的运算诱导奎伦等价的范畴代数。我们讨论这些性质的基本模型类别，如单纯集，单纯预层，和链复形。此外，我们提供了强大的工具，以促进这些属性从这样的基本模型类别，更涉及的，如对称谱上的稳定模型结构。
A universality theorem for Voevodsky's algebraic cobordism spectrum
一个代数版本的定理由于奎伦证明。更精确地说，对于一个基域k，我们考虑具有arXiv：0709.3905v1 [math.AG]中描述的对称么半群结构的P^1-谱的运动稳定同伦范畴SH（k）。代数配边P^1-谱MGL被认为是一个具有正则定向的交换幺半群。对于SH（k）范畴中的交换幺半群E，我们用E的所有方向集来确定运动稳定同伦范畴中从MGL到E的幺半群同态集。这个结果最初由G. arXiv中的Vezzosi：math/0004050 v2 [math.AG]。
Adjoining roots in homotopy theory
本文利用“扭群代数“方法构造性地邻接形式根$\sqrt[n]α$，其中$α$是交换环谱中的单位或对称monoidal $\infty$范畴中的可逆对象.我们表明，这种结构是分类的映射从Eilenberg-Mac巷对象的单位谱，皮卡德频谱，和布劳尔频谱。
Simplicial Monoid Actions and The Associated Universal Simplicial Monoid Construction
与点单纯M-集相关联的作用范畴上的约化泛幺半群已经以各种单纯幺半群和群构造的形式出现。这些包括米尔诺和詹姆斯的经典结构，以及他们后来由卡尔森和吴的概括。我们证明了，如果在同一轨道上的任意两个n-单形因一个可逆幺半群元的作用而不同，则这个约化泛幺半群的分类空间是从点单形集到其约化Borel构造的包含的同伦上纤维.上述四种结构各自的分类空间的已知公式是这个结果的特殊情况。因此，我们在范畴上统一了上述四种结构。
Discrete Morse Theory and a Reformulation of the K(π,1)-conjecture
Dobrinskaya最近的一个定理指出，对于Artin群G，K（π，1）-猜想成立当且仅当从BM到BG的标准映射是一个同伦等价，其中M表示与G相关联的Artin么半群.本文的目的是利用离散莫尔斯理论和抽象同伦理论给出另一种证明。此外，我们展示了一个新的模型的分类空间的Artin幺半群，在Charney，Meier和Whittlesey的精神，和一个小的链复形计算幺半群的同源性，类似于一个Squier。
Divided power structures and chain complexes
我们将单纯交换环同伦群上的分幂结构解释为在来自非标准对称monoidal结构的链复形上的分幂结构中具有对应的分幂结构。
Geometric Realizations of Tricategories
任何三范畴都有其特征性地关联着各种单纯或伪单纯对象。本文探讨了伪单纯双范畴（称为三范畴的Grothendieck神经）、单纯双范畴（称为其Segal神经）和单纯集（称为其Street几何神经）之间的关系，并证明了所有这些可能的候选“三范畴神经”的几何实现是同伦等价的。我们的研究结果提供了一致性的所有合理的扩展到tricategories的奎伦的定义的“分类空间”的一个类别的几何实现类别的Grothendieck神经。根据用于实现的神经，三范畴的分类空间构造的许多性质可能更容易建立。例如，通过使用Grothendieck神经，我们的状态和证明的精确形式，在该过程中采取分类空间传输tricategorical相干同伦相干。Segal神经使我们能够将Mac Lane、Stasheff和Fiedorowicz关于环空间与monoidal或辫状幺半范畴之间关系的结果推广到双范畴，证明了一个富含monoidal结构的双范畴的分类空间的群完备化是一个闭路空间。利用几何神经，我们得到了真正的单纯集，其单纯形具有令人满意的几何描述的细胞的tricategory和，此外，我们得到了一个推广的结果Joyal，街，和Tierney的分类编织范畴群和它们的关系，连接，单连通同伦3型，通过表明，通过分类空间的建设，双范畴群是连通同伦3-型的一个方便的代数模型。
An algebraic model for commutative HZ-algebras
证明了整数的Eilenberg-Mac Lane谱上的交换代数谱的同伦范畴等价于无界链复形中的E-无穷幺半群的同伦范畴.我们通过在相应的模型范畴之间建立一个Quillen等价链来做到这一点。我们还提供了一个Quillen等价交换幺半群的函子范畴从有限集和注入到无界链复形。
Simplicial localization of homotopy algebras over a prop
证明了链复形中两个协色（有色）支之间的弱等价诱导了相应代数范畴的单纯局部化之间的Dwyer-Kan等价.这种在基变换下的同伦不变性意味着，在一个支撑P上的同伦代数的同伦范畴不依赖于P的一个相干分解的选择，并因此给出了在这种设置下代数直到同伦的概念的一致性。这一结果对于组合monoidal dg范畴中的代数更为普遍。
Algebraic structure of the space of homotopy classes of cycles and singular homology
描述了具有标记圆盘拓扑标志的圈同伦类空间的代数结构。这个空间是一个非交换幺半群，其阿贝尔商对应于奇异同调群$H_k(M)$。对于标记的标志收缩到一个点的乘法成为交换和分组的球面周期对应于通常的同伦群$π_k(M)$。
A new Quillen model for the Morita homotopy theory of DG categories
基于Drinfeld的DG商和局部化对的概念，我们为DG范畴的Morita同伦理论构造了一个新的Quillen模型。这个新的Quillen模型进行了自然的封闭对称monoidal结构，并允许我们重新解释Toen的建设的同伦范畴的DG类别作为一个总的右导出的内部Hom-functor的内部Hom-functor。
Mapping spaces from projective spaces
我们用$B_nG$表示拓扑幺半群$G$的第$n$个射影空间，用$BG$表示分类空间.设$G$是CW复形的同伦型的良点拓扑幺半群，$G'$是良点群状拓扑幺半群。证明了点映射空间$\mathrm{Map}_0(B_nG,BG)$与从$G$到$G'$的所有$A_n$ -映射空间之间的弱等价性。这一事实有几个应用。作为第一个应用，我们证明了评价纤维序列$\mathrm{Map}_0(B_nG,BG)\rightarrow\mathrm{Map}(B_nG,BG)\rightarrow BG$的连接映射$G\rightarrow\mathrm{Map}_0(B_nG,BG)$是去环的。作为其它应用，我们考虑了高阶同伦交换性，规范群的$A_n$型，Iwase-Mimura-Oda-Yoon的$T_k^f$ -空间和$A_n$ -映射的同伦拉回.特别地，我们证明了$T_k^f$ -空间和$C_k^f$ -空间是完全相同的概念，并给出了$T_k^f$ -空间的一些新例子.
The Galois group of a stable homotopy theory
对于一个“稳定同伦理论”（一个可呈现的、对称的monoidal稳定$\infty$范畴），我们自然地将一个有限代数对象范畴与一个我们称之为伽罗瓦群的投射有限群（使用格罗滕迪克的范畴机）联系起来。然后，我们在几个例子中计算了伽罗瓦群。例如，我们表明，伽罗瓦群的周期$\mathbf{E}_\infty$ -代数的拓扑模形式是平凡的，$K(n)$ -局部稳定同伦理论的伽罗瓦群是一个扩展版本的Morava稳定群。我们还刻画了有限群的稳定模范畴的伽罗瓦群。贯穿全文的一个基本思想是“可下降”代数对象的纯范畴概念和在此上下文中忠实平坦下降的相关模拟。
Orbispaces, orthogonal spaces, and the universal compact Lie group
本文将拓扑栈和轨道空间的同伦理论与不稳定整体同伦理论等同起来。同时，我们提供了一个新的视角，通过解释它作为同伦理论的“空间与一个行动的普遍紧李群”。其结果是一种新的方式来构建和研究真正的上同调理论栈，orbifolds和orbispaces，定义从稳定的全球同伦类型表示的正交谱。泛紧李群（既不是紧的也不是李群）是一个众所周知的对象，即$\mathbb R^\infty$的线性等距自嵌入的拓扑幺半群$\mathcal L$。$\mathcal L$的基础空间是可收缩的，而$\mathcal L$ -空间关于基础弱等价的同伦理论只是空间同伦理论的另一个模型。然而，幺半群$\mathcal L$以一种特殊的方式包含了所有紧李群的拷贝，并且我们通过在相应的不动点上测试来定义$\mathcal L$ -空间的全局等价性.本文在$\mathcal L$ -空间范畴上建立了一个整体模型结构，并证明了它与正交空间的整体模型范畴和轨道空间范畴是Quillen等价的，空间在整体轨道范畴上的预层。
Homology of higher categories
本文基于Eilenberg-Steenrod公理定义高阶范畴的同调，通过范畴论类比公理建立Dold-Kan对应，利用Street神经网络作为奇异复形，推导出具有乘法结构的高阶同调计算。
Infinitary commutativity and fundamental groups of topological monoids
著名的Eckmann-Hilton原理可以用来证明$H$ -空间的基本群是交换的。在本文中，我们确定了一个无限类似的Eckmann-Hilton原则，适用于基本群的所有拓扑幺半群和稍微更一般的对象称为前$Δ$ -幺半群。特别是，我们表明，每一个前$Δ$ -幺半群$M$是“$π_1$ -交换”的意义上说，置换的因素的任何无限循环级联索引的可数无限的顺序和根据身份$e\in M$是一个同伦不变量的行动。我们还详细地介绍了James约化积的基本群，并应用超限$π_1$ -交换性进行了一些计算.
Representations of Spaces
我们解释同伦余极限的概念如何产生的映射空间，即使在范畴不是单纯的。我们应用模型近似的技术，并使用基本性质的范畴的空间，能够构建决议。证明了任何monoidal模型范畴的同伦范畴都是空间同伦范畴上的中心代数。
Homotopy type of Frobenius complexes II
${\mathbb N}^d$的可加子幺半群$Λ$具有由$λ, μ\in Λ$的$λ\le λ+ μ$定义的偏序。Frobenius复形是$Λ$的开区间的阶复形。本文将$Λ[ρ/ r]$的Frobenius复形的同伦型表示为$Λ$的同伦型，其中$Λ[ρ/ r]$是将$ρ$的第$r$部分加到$Λ$上的加法幺半群.作为应用，我们确定了$\mathbb N$的某些子幺半群的Frobenius复形的同伦类型，例如由有限等比数列生成的子幺半群.我们还陈述了多重分次Poincaré级数的一个应用。
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