A characterization of Lipschitz normally embedded surface singularities
复解析空间的任一芽都具有两个自然度量：由周围空间的厄米度量导出的外度量和芽上的黎曼度量。这两个度量在bilipschitz同胚上一般是不等价的。给出了法向曲面奇点为Lipschitz法向嵌入（LNE）的一个充要条件，即，以具有bilipschitz等效的外部和内部度量。在合作伙伴的论文[15]中，我们应用它来证明有理曲面奇点是LNE当且仅当它们是最小的。
2018-07-31 math.AG
Minimal surface singularities are Lipschitz normally embedded
复解析空间的任何芽都具有两个自然度量：由周围空间的厄米度量导出的{ \it外度量}和芽上的黎曼度量{ \it内度量}。我们证明了极小曲面奇点是Lipschitz正规嵌入的（LNE），即，恒等映射是外度量和内度量之间的bilipschitz同胚，并且它们是唯一具有此性质的有理曲面奇点。
2018-08-02 math.AG
Invariants of the bi-Lipschitz contact equivalence of continuous definable function germs
我们构造了一类可定义在多项式有界o-极小结构中的连续函数芽的双Lipschitz接触等价不变量，如半代数函数.对于芽$f,$，不变量是用$f,$沿$f.$的切簇的连通分支的渐近展开式的首项系数给出的
2019-01-14 math.AG
Lipschitz contact equivalence of function germs in $\mathbb{R}^2$
本文研究了可定义在多项式有界o-极小结构中的平面上的连续函数芽的Lipschitz接触等价性，如半代数函数和次解析函数。我们将原点处的平面的芽划分为函数具有显式渐近行为的区域。这样的一个分区被称为比萨饼。我们表明，每个功能芽承认一个最小的比萨饼，唯一的组合等价。证明了两个可定义的连续函数芽是可定义的Lipschitz接触等价的当且仅当它们对应的极小pizza是等价的。
2014-07-10 math.AG
A bi-Lipschitz invariant for analytic function germs
本文为双变量解析函数芽提出新的双Lipschitz不变量，改进了Henry-Parusinski不变量。
2025-04-24 math.AG
Testing Lipschitz non normally embedded complex spaces
我们引入了一个截面准则来检验复解析芽$(X,0) \subset (\bC^n, 0)$是否为Lipschitz非正规嵌入的。
2018-06-08 math.AG math.CV
On the bi-Lipschitz contact equivalence of plane complex function-germs
本文考虑二元复解析函数芽的双Lipschitz接触等价问题。它是询问无穷小的大小，这样的功能芽，双Lipschitz变化的坐标。我们证明了这个问题等价于右拓扑分类问题。
2014-01-22 math.AG
Lipschitz geometry of pairs of normally embedded Hölder triangles
我们考虑一个特殊情况下的外部双Lipschitz分类的真正的半代数（或者，更一般地说，可定义在一个多项式有界的O-最小结构）表面芽，获得作为一个工会的两个正常嵌入的霍德尔三角形。我们定义了一个组合不变的等价类，这样的表面芽，称为$στ$ -比萨饼，并猜想，在这种特殊情况下，它是一个完整的组合不变的外部双Lipschitz等价。
2022-07-20 math.AG math.MG
Classification of Lipschitz unimodal function germs
本文为孤立奇点引入Lipschitz模概念，完整分类了余秩2且4-jet非零的Lipschitz单模奇点，并证明6-jet消失时模至少为2，给出上界。
2025-10-08 math.AG
Ambient Lipschitz geometry of normally embedded surface germs
本文研究半代数曲面的环境利普希茨几何，证明ℝ³中具孤立奇点的利普希茨正规嵌入曲面芽的环境双利普希茨等价性等价于外部双利普希茨等价性与环境拓扑等价性的结合。
2024-11-27 math.AG math.MG
Lipschitz Normal Embeddings and Determinantal Singularities
代数簇的芽自然地配备有两个不同的度量，直到bilipschitz等价。内度量和外度量。如果两个度量是bilipschitz等价的，则称为通常嵌入的一个变种Lipschitz的胚芽。本文证明了模型行列式奇点，即秩小于给定数的$m\times n$矩阵空间，是Lipschitz正规嵌入的。我们还将讨论一些困难的情况下推广这一结果一般行列式奇点。
2016-07-26 math.AG
Inner Lipschitz Geometry of Complex Surface Germs with Non-Isolated Singularities: A Complete Classification
Institute of Mathematics of the Polish Academy of Sciences（波兰科学院数学研究所）
本文通过归一化映射坐标函数的数值不变量和适当好解消的组合学，给出了非孤立奇点复曲面芽内部Lipschitz几何的完全不变量，将Birbrair-Neumann-Pichon的结果推广到非孤立情形。
2026-06-16 math.AG
One point compactification and Lipschitz normally embedded definable subsets
本文证明了o-minimal结构中可定义闭子集的Lipschitz法向嵌入性等价于其单点紧化在单位球面上的相应性质，并由此得出欧氏空间中任意闭连通无界可定义子集可定义地内部bi-Lipschitz同胚于Lipschitz法向嵌入的可定义集。
2023-10-24 math.AG math.LO math.MG
Bi-Lipschitz A-equivalence of K-equivalent map germs
本文给出了两个K-等价映射芽是双Lipschitz A-等价的两个充分条件。对于给定的两个K-等价映射芽，这些结果是关于C^r-A-等价$(0 \leq r \leq \infty)$的已知结果的Lipschitz类似.作为推论，我们的结果之一，著名的Fukuda-Fukuda定理的Lipschitz版本提供。
2013-02-20 math.AG math.GT
Lipschitz normal embedding among superisolated singularities
复解析空间的任一芽都具有两个自然度量：由周围空间的厄米度量导出的外度量和芽上的黎曼度量。一个复解析芽称为Lipschitz正规嵌入（LNE），如果它的内外度量是bilipschitz等价的. LNE似乎是相当罕见的表面奇点;唯一已知的LNE表面芽以外的平凡的情况下（直锥）是最小的奇点。本文证明了超孤立超曲面奇点是LNE的当且仅当它的射影切锥只有普通奇点。这提供了一个无限家庭的LNE奇点，这是根本不同的类的最小奇点。
2018-11-05 math.AG
Lipschitz Geometry of Real Semialgebraic Surfaces
本文给出了半代数曲面芽的Lipschitz几何的基本结果。虽然关于内部度量的表面芽的bi-Lipschitz分类问题早已解决，但关于外部度量的分类仍然是一个开放的问题。我们回顾最近的结果有关的外部和环境的双Lipschitz分类的表面细菌。特别是，我们解释了为什么外部Lipschitz分类比内部分类难得多，以及为什么表面芽的环境Lipschitz几何与它们的外部Lipschitz几何非常不同。特别是，我们表明，环境Lipschitz几何的表面芽包括所有的纽结理论。
2022-12-11 math.AG math.MG
On the link of Lipschitz normally embedded sets
$\mathbb{R}^n$中的路径连通子分析子集自然地配备有两个度量：内部度量和外部度量。我们说一个子集是Lipschitz正常嵌入（LNE），如果这两个度量是等价的。本文给出了次解析集是LNE的几个判别准则。这是一个基本的问题，知道是否LNE属性是圆锥形的，即，如果有可能描述的LNE性质的芽的一个子解析集方面的性质，其链接。我们回答这个问题，通过引入一个新的概念称为链接Lipschitz正常嵌入。我们证明了这个概念是等价的LNE概念的情况下，集与连通链接。
2023-03-29 math.AG math.MG
Lipschitz geometry does not determine embedded topological type
研究了$(\mathbb C^n,0)$中超曲面芽的Lipschitz外几何与超曲面芽的嵌入拓扑型之间的关系.众所周知，复平面曲线芽的Lipschitz外几何决定并由其嵌入的拓扑型决定。我们证明，这在更高的维度中并不成立。即给出了$(\mathbb C^3,0)$中具有相同外Lipschitz几何和不同嵌入拓扑型的两个正规超曲面芽$(X_1,0)$和$(X_2,0)$.我们的对由两个超孤立的奇性，其切锥形成一个亚历山大-Zorkiki对只有尖点奇点。我们的结果是基于描述的Lipschitz外部几何的超孤立奇点。我们还证明了超孤立奇点的Lipschitz内几何完全由它的（非嵌入的）拓扑型决定，或者等价地由它的切锥的组合型决定.
2015-11-24 math.AG
The kissing dimension of subanalytic sets is preserved by a bi-Lipschitz homeomorphism
设A子集R^n是R^n中的一个在0处的集芽，使得0在A的闭包中。设D（A）表示A在R^n中0处的所有方向的集合。设A，B子集R^n是R^n中在0处的次解析集芽，使得0属于它们的闭包.我们研究的问题，是否共同方向集的尺寸，称为他们的接吻维数，是由双Lipschitz同胚保持。我们表明，在一般情况下，它是不保存。我们证明了接吻维数是保持的，如果考虑下的次解析集的图像也是次解析的。特别地，如果两个次解析集芽是双Lipschitz等价的，则它们的方向集必须具有相同的维数。
2009-04-22 math.AG
Local quasi-isometries and tangent cones of definable germs
本文通过引入度量芽的局部拟等距概念，证明可定义芽的拟等距等价与切锥的双Lipschitz同胚等价，并由此重新证明Sampaio切锥定理及Fernandes-Sampaio关于Lipschitz正规嵌入芽的切锥保持性质。
2023-05-25 math.AG math.AT
Lipschitz geometry of surface germs in $\mathbb{R}^4$: metric knots
$\mathbb{R}^4$中二维半代数曲面的孤立奇点原点处的链接是$S^3$中的拓扑结（或链接）。研究了$\mathbb{R}^4$中半代数曲面芽的环境Lipschitz几何与纽结理论之间的联系.也就是说，对于任何结$K$，我们在$\mathbb{R}^4$中构造一个表面$X_K$，使得：$X_{K}$的原点处的链接是平凡结;芽$X_K$对于所有$K$都是外双Lipschitz等价的;只有当结$K$和$K'$是同位素时，两个芽$X_{K}$和$X_{K'}$才是环境双Lipschitz等价的。我们表明，琼斯多项式可以用来识别周围的双Lipschitz非等价表面芽$\mathbb{R}^4$，即使当他们是拓扑平凡和外部双Lipschitz等价。
2022-03-19 math.AG math.GT math.MG
bi-Lipschitz versus Analytic equivalence of two variable complex quasihomogeneous function-germs
Universidade Federal do Espírito Santo（圣埃斯皮里图联邦大学）；Universidade Federal do Ceará（塞阿拉联邦大学）
本文证明了双变量复拟齐次多项式函数芽的bi-Lipschitz等价与解析等价等价，从而完成了该类的分类。
2026-09-22 math.AG math.CV
Characterization of Lipschitz Normally Embedded complex curves
本文主要证明了连通复仿射代数曲线在复空间中为LNE的充要条件，完整刻画了紧复流形中的LNE复解析曲线，并指出LNE曲线的Lipschitz分类是拓扑的。
2023-11-27 math.AG math.MG
Lipschitz Normal Embeddings in the Space of Matrices
代数簇的芽自然地配备有两个不同的度量，直到bilipschitz等价。内度量和外度量。如果两个度量是bilipschitz等价的，则称为通常嵌入的一个变种Lipschitz的胚芽。本文证明了矩阵空间中某些代数子集的Lipschitz正规嵌入性。这些矩阵包括空间$m \times n$矩阵、秩等于给定数的对称矩阵和反对称矩阵及其闭包，以及具有行列式$0$的上三角形矩阵。我们也做了一个简短的讨论，推广这些结果到实空间和复空间中的行列式簇。
2017-03-13 math.AG
Multi-$\mathcal{K}$-Lipschitz equivalence in dimension two
本文通过引入Multipizza划分将平面多重芽转化为非阿基米德空间，证明了其在多重$\mathcal{K}$-Lipschitz等价下的存在性、唯一性与完全不变性。
2023-04-13 math.AG
mu-constancy does not imply constant bi-Lipschitz type
我们证明了一族具有常数Milnor数的孤立复超曲面奇点在最强意义下可能不具有常数双Lipschitz型。我们的例子是Briac CON-Speder家庭$X_t:=\{(x,y,z)\in\C^3 | x^5+z^{15}+y^7z+txy^6=0 \}$的正常复杂的表面芽，我们显示的芽$(X_0, 0)$是不是双Lipschitz同胚相对于内部度量的芽$(X_t,0)$为$t\ne 0$。
2008-09-04 math.AG math.GT
Multiplicity and degree as bi-Lipschitz invariants for complex sets
研究了复解析芽的重数和复仿射集的度在外双Lipschitz变换下的不变性（第一种情况是芽的外双Lipschitz同胚，第二种情况是芽在无穷远处的外双Lipschitz同胚）.我们证明了局部情况下的重数不变性等价于全局情况下的度不变性。我们证明了曲线和曲面的不变性。在这种方式中，我们证明了切锥的不变性和相对多重性在无穷远下的外双Lipschitz同胚在无穷远，和一个齐次表面芽的抽象拓扑决定其多重性。
2017-10-17 math.AG math.CV
Bi-Lipschitz triviality of function-germs on singular varieties
本文研究奇异簇上解析函数芽形变的双李普希茨平凡性，引入强有理双李普希茨平凡族概念并给出无穷小判别准则，进而得到齐次与加权齐次情形下的平凡性和刚性结果。
2025-02-10 math.AG math.CV math.DG
Lipschitz geometry and combinatorics of abnormal surface germs
我们研究外Lipschitz几何的真正半代数，或更一般的，定义在一个多项式有界的O-极小结构的现实，表面芽。特别是，任何可定义的霍德三角形要么是Lipschitz正常嵌入的，要么包含一些“异常”弧。我们证明了异常弧在所有弧的空间中构成了许多“异常区”，并研究了异常曲面芽的几何和组合性质。我们建立了一个强大的几何和组合学之间的关系异常Hölder三角形。
2021-08-26 math.AG math.CO math.MG
On the Lipschitz saturation of toric singularities
本文研究环面奇点芽的Lipschitz饱和，证明具有光滑正规化的环面奇点芽的Lipschitz饱和仍为环面奇点，并展示了如何从定义半群计算特定环面奇点族的Lipschitz饱和。
2024-07-29 math.AG math.CV
The Nash modifications and the bi-Lipschitz equivalence
本文研究了具有孤立奇点的双芽超曲面族的Nash修改与Bi-Lipschtiz等价芽之间的关系。
2012-07-29 math.AG math.AT
On the minimality of pancake decomposition of surface germs
本文针对捕捉外部Lipschitz现象的异常曲面（蛇与环蛇），提出获取最小煎饼分解的算法，并证明弱外部Lipschitz等价曲面的贪心煎饼分解具有弱等价性与典范性。
2025-05-29 math.AG math.MG
On a link criterion for Lipschitz normal embeddings among definable sets
由Mendes和Sampaio的一个结果可知，子解析芽的Lipschitz正规嵌入完全由其链的Lipschitz正规嵌入刻画。本文证明了对于$(\mathbb{R}, + , .)$上的任意o-极小结构的可定义芽，上述结果仍然成立.我们还给出了一个例子表明，对于由恒等映射诱导的MD-同调之间的同态，同构不足以确保给定的芽是Lipschitz正常嵌入的。这是对Bobadilla等人在他们关于适度不连续同源性的论文中提出的问题的否定回答。
2022-03-01 math.AG math.GT
Lipschitz geometry of complex surface germs via inner rates of primary ideals
本文通过为准素理想关联连续函数，证明了该函数由复曲面芽的外部Lipschitz几何决定，并构造了正规化同构但Lipschitz类型不同的孤立奇点无穷族。
2025-03-05 math.AG math.CV
On Strong Bi-Lipschitz Triviality of Deformations
Indian Institute of Technology Goa（印度果阿理工学院）
本文通过构造反例，证明Thom-Levine判据的逆命题在双Lipschitz范畴不成立，即存在双Lipschitz平凡但非强双Lipschitz平凡的形变。
2026-09-16 math.AG math.MG
Local Lipschitz geometry of weighted homogeneous surfaces
我们计算Hoelder复形，即完整的双Lipschitz不变量，芽实加权齐次代数或半代数曲面。
2007-12-17 math.AG math.MG
An introduction to Lipschitz geometry of complex singularities
本文的目的是向读者介绍最近的一个观点的利普希茨分类的复杂奇点。给出了复平面曲线奇点Lipschitz几何的完整分类，特别介绍了研究芽Lipschitz几何的重要工具--气泡技巧和带跳气泡技巧.它还描述了一个正常的复杂的曲面奇异性的厚-薄分解，并建立了两个几何分解的正常的表面芽成标准件，这是不变的分别由内部和外部bilipschitz同胚。这导致特别是完整的分类Lipschitz几何的内部度量。
2020-07-08 math.AG math.MG
Lipschitz geometry of complex curves
我们描述了复曲线的Lipschitz几何。在大多数情况下，这是众所周知的材料，但我们给出了一个更强的版本，甚至已知的结果。特别是，我们给出了一个快速的证明，没有任何分析的限制，外部Lipschitz几何的芽的复平面曲线确定，并确定其嵌入拓扑。这是范和泰西耶首先证明的，但是在分析范畴内。
2013-02-11 math.AG
Real and complex integral closure, Lipschitz equisingularity and applications on square matrices
本文改进矩阵芽 Lipschitz 平凡性的已有结果，将积分闭包结论推广到实背景，并应用于 Bruce 和 Tari 分类的方阵奇异性研究。
2020-05-18 math.AG
On the decomposition of a 2D-complex germ with non-isolated singularities
给出了具有非孤立奇点的二维复芽的半代数集分解。这种分解由四类组成：定义在Seifert纤维流形上的黎曼锥、赋予Cheeger-Nagase度量的加厚环面上的拓扑锥、赋予Hsiang-Pati度量的映射环面上的拓扑锥和链环奇点的管状邻域上的拓扑锥。在这种分解中，存在着在构成链路的流形上度量圆锥的半代数集。该胚芽被重构为描述其几何行为的模型的双Lipschitz等价。
2014-11-12 math.AG
Lipschitz geometry of the image of finite mappings
本文研究复解析超曲面参数化芽的LNE性质，证明了重数等于一般次数的有限解析映射芽的像在原点为LNE等价于其为光滑芽，还给出了余秩1映射及单射映射芽的相关LNE等价条件。
2025-07-30 math.AG math.CV
Global Lipschitz geometry of conic singular sub-manifolds with applications to algebraic sets
本文证明了黎曼流形中连通的锥奇异子流形是 Lipschitz 正常嵌入的，并利用单点紧化下的闭包等价条件，推导出一般仿射实与复代数集的连通分支在无穷远处呈锥形且满足该嵌入性质。
2023-06-26 math.AG math.DG math.GT
On Lipschitz rigidity of complex analytic sets
证明了$\mathbb{C}^n$中任意无穷远Lipschitz正规嵌入且无穷远切锥为$\mathbb{C}^n$线性子空间的复解析集必为$\mathbb{C}^n$自身的仿射线性子空间.不需要对奇异集、维数和余维数进行限制。特别地，在无穷远处Lipschitz正则的$\mathbb{C}^n$中的复代数集是仿射线性子空间。
2018-03-05 math.AG math.CV
Euler obstruction and Lipschitz-Killing curvatures
将闭次解析集的局部Gauss-Bonnet公式应用于复解析情形，得到了复解析芽的Euler阻塞的Lipschitz-Killing曲率和正则部分的Chern形式的特征.我们还证明了类似的结果为全球欧拉障碍。作为推论，我们肯定地回答了傅立叶关于Euler阻塞和Gauss-Bonnet测度的一个问题。
2014-05-23 math.AG math.DG
Lipschitz geometry of complex surfaces: analytic invariants and equisingularity
证明了正规复曲面奇异性的芽$(X,0)$的外Lipschitz几何决定了其大量的解析结构。特别是，它遵循任何解析家庭的正常表面奇点与常数Lipschitz几何是Zebrski等奇异。我们还证明了$\mathbb C^3$中正规复超曲面奇性族的一个强逆：Zorski等奇异性蕴涵Lipschitz平凡性。因此，对于这样的一族Lipschitz平凡性，常Lipschitz几何和Zenkiki等奇异性是等价的。
2016-02-17 math.AG math.CV
Fast vanishing cycles on perturbations of complex weighted-homogeneous complete intersection germs
Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）；Universidade de Integração Internacional da Lusofonia Afro-Brasileira (unilab)（非洲卢梭邦国际融合大学）
该研究对加权齐次完全交的扰动芽，通过权重确定其快速周的同伦型等性质，得到大量快速周，应用于构造奇异利普希茨结构及判断内度量锥的障碍。
2026-08-04 math.AG math.CV
Lipschitz fractions of a complex analytic algebra and Zariski saturation
这段文字是Naoufal Bouchareb对1969年未发表的手稿的英文翻译（法文版可在HAL上找到，编号为hal-00384928），灵感来自于Zurski的饱和理论。它的出版是有道理的事实，它似乎现在作为一个先驱，最近发展的研究利普希茨几何（外度量）芽复杂的解析空间。这个版本包含一些新的脚注和一个额外的参考书目。
2020-06-19 math.AG math.CV
Separating sets, metric tangent cone and applications for complex algebraic germs
给出了一个解释，最初令人惊讶的普遍存在的分离集在正常的复杂的表面胚芽。它表明，他们是相当普遍的，在更高的维度。描述了Bernig和Lytchak的度量切锥的几何与分离集之间的关系。此外，分离集被用来表明，内Lipschitz型不需要在一个家庭的正常复杂的表面芽常拓扑常数。
2009-05-27 math.AG math.GT
Bi-H"older invariants in o-minimal structures
FPT University（FPT大学）；Hanoi National University of Education（河内国家教育大学）；University of Science and Technology of Hanoi（河内科学技术大学）
研究o-最小结构中双Holder不变量的性质，证明双α-Holder等价的germ具有相同的LNE性质、切锥维度及同调群，从而推导出复解析germ的光滑性定理。
2025-12-25 math.AG
Clustering polar curves
本文基于二元函数芽的极曲线分组为极簇的思想。在拓扑范畴中，人们得到了两个拓扑等价的函数芽的极导数的某些划分之间的双射对应。我们解释了如何双射对应可能会细化在Lipschitz类别的相关梯度峡谷。
2021-11-13 math.AG math.CV
Hölder equivalence of complex analytic curve singularities
证明了：如果在$0\in\mathbb{C}^2$上的两个不可约复解析曲线芽具有不同的特征指数序列，则存在$0<α<1$使得这两个芽不是$α$ -Hölder同胚的.对于具有多个不可约分支的复解析平面曲线芽，证明了若其中任意两个是$α$同胚的，则对所有的$0<α<1$，其保持特征指数序列的分支与分支对的交重数之间存在对应关系.特别地，我们恢复了复解析平面曲线芽的分支特征指数序列和分支对的交重数是Lipschitz不变量.
2017-04-07 math.AG math.CV
Topological and bilipschitz types of complex surface singularities and their links
本文证明正规复曲面芽的内双Lipschitz同胚蕴含相同定向拓扑型与最小配管图，并给出锥形结构定理的逆命题，为此研究了Hirzebruch-Jung奇点与尖点奇点的拓扑及内Lipschitz几何。
2025-11-07 math.AG
Inner Metric Geometry of Complex Algebraic Surfaces with Isolated Singularities
我们产生的例子复代数曲面与孤立奇点，使这些奇点不是度量圆锥，即芽的表面附近的奇点是不是双Lipschitz等价，相对于内部度量，锥。证明度量锥结构不存在的技巧与度量同调的发展有关。类的例子是相当大的，它包括一些曲面的Brieskorn。
2007-05-22 math.AG math.AT
Moderately discontinuous homology of real surfaces
本文研究可定义曲面芽的 MD-Homology，完全确定内度量情形，并通过气泡、蛇形曲面和角状曲面等例子展示外度量情形的多样性，同时证明弱外 Lipschitz 等价在特定条件下可完全决定外度量下的 MD-Homology。
2024-08-01 math.AG math.AT math.MG
