Large images of reducible galois representations
给出一个可约伽罗瓦表示$\overlineρ: G_{\mathbb{Q}} \rightarrow GL_2( \mathbb{F}_q)$，证明了在无穷多个素数上分歧的$\overlineρ$存在一个不可约变形$ρ: G_{\mathbb{Q}} \rightarrow GL_2 (\mathbb{W} [[T_1, T_2,.., T_r,....,]])$，其中$\mathbb{W}$表示$\mathbb{F}_q$的Witt向量环.这是对罗摩克里希纳关于不可约情形的结果的修正。
2016-11-09 math.NT
Sixteen points in $\mathbb{P}^4$ and the inverse Galois problem for del Pezzo surfaces of degree one
一个定义在有理数上的度为1的del Pezzo曲面有240条例外曲线。这些曲线被绝对伽罗瓦群的作用置换。我们展示了如何解决经典的逆伽罗瓦问题的一个子群的外尔群的类型$D_8$引起的逆伽罗瓦问题的解决方案，这个子群的行动上的240例外曲线。具有这种伽罗瓦作用的一次德尔佩佐曲面在其皮卡格中包含一个$D_8$型伽罗瓦不变子格;这可以用$\mathbb{P}^4$中的某个十六点集来表征。
2021-11-27 math.NT
On the explicit Galois group of $\mathbb{Q}(\sqrt{a_{1}}, \sqrt{a_{2}}, \dots, \sqrt{a_{n}}, ζ_{d})$ over $\mathbb{Q}$
设$S= \{ a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \}$是非零整数的有限集合。在\cite{KBAM21}中，Karthick Babu和Anirban Mukhopadhyay计算了$\mathbb{Q}$上的多二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{a_{1}}, \sqrt{a_{2}}, \dots, \sqrt{a_{n}})$的伽罗瓦群的显式结构.对于正整数$d \geq 3$，$ζ_{d}$表示本原$d$的单位根。本文根据$1 \leq i \leq n$的$\mathbb{Q}(\sqrt{a_{1}}, \sqrt{a_{2}}, \dots, \sqrt{a_{n}}, ζ_{d})$在$\mathbb{Q}$上对$ζ_{d}$和$\sqrt{a_{i}}$的作用，计算了$\mathbb{Q}$上的伽罗瓦群的显式结构.
2022-01-04 math.NT
Modular forms and some cases of the inverse Galois problem
我们证明了新的情况下，逆伽罗瓦问题考虑的残留伽罗瓦表示所产生的一个固定的newform。具体选择权$3$新形式将表明，存在$\mathbb{Q}$的伽罗瓦扩张，其中伽罗瓦群$PSL_2(\mathbb{F}_p)$用于所有素数$p$，$PSL_2(\mathbb{F}_{p^3})$用于所有奇素数$p \equiv \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6 \pmod{13}$。
2015-08-31 math.NT
Minimal ramification and the inverse Galois problem over the rational function field $\mathbb{F}_p(t)$
逆伽罗瓦问题是关于给定伽罗瓦群的域$K$的伽罗瓦扩张问题。在本文中，我们考虑的特殊情况下，基本字段是$K=\F_p(t)$。本文给出了$K$的$G$ -扩张中分歧的有限和无限素数的最小个数的一个公式，并对这一猜想的许多情形给出了理论和计算证明.
2014-10-30 math.NT
Arithmetic statistics of Galois groups
我们开发了一个计算框架的有限图像的伽罗瓦字符的统计特征，与应用程序的特征伽罗瓦群和建立等价的有限图像的$\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$的字符。
2020-12-19 math.NT
Artin L-functions to almost monomial Galois groups
若$K/\mathbb Q$是一个有限伽罗瓦扩张，且具有一个几乎单项式伽罗瓦群，且$s_0\in\mathbb C\setminus\{1\}$不是与伽罗瓦群的不同复不可约特征标相关联的任意两个Artin L函数的公共零点，则$K/\mathbb Q$的所有Artin L函数在$s_0$上全纯.我们提出的例子和几乎单项式群的基本性质。
2019-09-09 math.NT
On the image of the Galois representation associated to a non-CM Hida family
修复主$p > 2$。设$ρ: \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \text{GL}_2(\mathbb{I})$是Hida的$p$ -普通Hecke代数的一个非CM不可约分支$\mathbb{I}$的伽罗瓦表示.假设残差表示$\barρ$是绝对不可约的。在较小的技术条件下，我们识别出包含$\mathbb{Z}_p[[T]]$的$\mathbb{I}$的子环$\mathbb{I}_0$，使得$ρ$的图像相对于$\mathbb{I}_0$较大。也就是说，对于某些非零$\mathbb{I}_0$ -理想$\mathfrak{a}$，$\text{Im} ρ$包含$\text{ker}(\text{SL}_2(\mathbb{I}_0) \to \text{SL}_2(\mathbb{I}_0/\mathfrak{a}))$。本文建立在最近的工作Hida谁表明，这样的伽罗瓦表示的图像是大的$\mathbb{Z}_p[[T]]$。我们的结果是一个$\mathbb{I}$ -adic模拟的图像的描述的伽罗瓦表示附加到一个非CM的经典模块形式获得的Ribet和Momose在20世纪80年代。
2014-09-30 math.NT
Galois representations with big image in the general symplectic group $\operatorname{GSp}_4(\mathbb{Z}_p)$
设$p$是奇素数，$e_p$是它的不规则指数.如果$4e_p+8 <\frac{p-1}{2}$，我们构造了一个Galois表示，它的镜像在$\op{GSp}_4(\Fp)$的对角环面上，提升到一个特征$0$表示，它在所有素数$\ell\neq p$上都是无分歧的，镜像包含$\Symp$的一个有限指数子群。
2022-08-23 math.NT
Examples of Quadratic Polynomials over $\mathbb{Q}$ with Surjective Arboreal Galois Representations
研究二次多项式与严格预周期点的组合，以提供无限多个arboreal Galois表示可表征的示例。
2026-03-26 math.NT
Galois representations and composite moduli
已知对任何椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$和与$30,$互素的整数$m$，导出的伽罗瓦表示$ρ_{E,m}: \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \longrightarrow \text{GL}_{2}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$是满射的当且仅当$ρ_{E,\ell}$对任何素数$\ell|m.$是满射的。在这篇文章中，我们将讨论这一现象的一些推广、应用和变体。
2023-01-03 math.NT
A unified approach to the Galois closure problem
本文给出了求有限覆盖的Galois闭包问题的一个统一的范畴方法，它包括常见的有限可离域扩张、连通无向图的有限无分歧覆盖、局部连通拓扑空间的有限覆盖空间、光滑射影不可约代数簇的有限代数覆盖和正规簇的有限覆盖等特殊情况.我们提出了两个算法，其输出被证明是所需的伽罗瓦闭包。并给出了每种算法下的Galois闭包度的上界。
2017-07-01 math.NT
Density results for specialization sets of Galois covers
我们提供了证据证明这一结论：给定一个有限的伽罗瓦覆盖$f: X \rightarrow \mathbb{P}^1_\mathbb{Q}$的组$G$，几乎所有（在密度意义上）实现的$G$在$\mathbb{Q}$不发生的专业化$f$。我们表明，这持有的$f$的分支点的数量是足够大的，根据abc猜想，并可能，下界预测的Malle猜想的伽罗瓦扩展的$\mathbb{Q}$给定的组和有界判别式的数量。这广泛地扩展了格兰维尔的结果缺乏$\mathbb{Q}$ -有理点上二次扭曲的超椭圆曲线的$\mathbb{Q}$与大亏格，根据abc猜想（丢番图重新制定的情况下$G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$我们的结果）。作为进一步的证据，我们给出了几个有限群$G$，对于它们，上述结论对群$G$的几乎所有$\mathbb{P}^1_\mathbb{Q}$覆盖都无条件成立.我们还介绍了一个局部-全局原则的专门化的伽罗瓦覆盖$f: X \rightarrow \mathbb{P}^1_\mathbb{Q}$，并表明，它往往失败，如果$f$有阿贝尔伽罗瓦群和足够多的分支点，在abc猜想。一方面，这样的局部-全局结论强调了$\mathbb{P}^1_\mathbb{Q}$的伽罗瓦覆盖的专门化集的“小性”。另一方面，它允许有条件地产生“许多”曲线超过$\mathbb{Q}$失败的哈塞原则，从而推广…
2019-10-10 math.NT
Galois module structure of square power classes for biquadratic extensions
对于具有$\text{char}(K)\neq 2$和$\text{Gal}(K/F) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的Galois扩张$K/F$，我们确定了$K^\times/K^{\times 2}$的$\mathbb{F}_2[\text{Gal}(K/F)]$ -模结构.虽然有无限多的（成对非同构）不可分解的$\mathbb{F}_2[\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}]$ -模，我们的分解包括最多$9$不可分解的类型。本文标志着第一次伽罗瓦模结构的幂类的域已完全确定时，模表示理论允许无限数量的不可分解的类型。
2021-07-22 math.NT
On Galois inertial types of elliptic curves over $\mathbb{Q}_\ell$
本文研究 $\mathbb{Q}_\ell$ 上椭圆曲线的 Galois 惯性表示，并给出其惯性 Weil–Deligne 类型的完整显式分类。
2024-04-08 math.NT
An approach for computing families of multi-branch-point covers and applications for symplectic Galois groups
提出了一种计算具有指定分歧类型的多参数伽罗瓦扩张族的方法。更确切地说，我们结合现有的变形和插值技术与最近开发的强大的工具计算的$3$点覆盖。为了证明该方法在较大程度上的适用性，我们计算了几个具有辛伽罗瓦群的多项式族，特别是得到了第一个具有伽罗瓦群的全实多项式PSp（6，2）.
2019-09-24 math.NT
Potential automorphy of $\mathrm{GSpin}_{2n+1}$-valued Galois representations
证明了合适的伽罗瓦表示$Γ_{F^+} \to \mathrm{GSpin}_{2n+1}(\overline{\mathbb{F}}_p)$和$Γ_{F^+} \to \mathrm{GSpin}_{2n+1}(\overline{\mathbb{Q}}_p)$的一个潜在自同构定理，其中$Γ_{F^+}$是全实数域$F^+$的绝对伽罗瓦群.我们还证明了$\mathrm{GSp}_{2n}(\mathbb{A}_{F^+})$的可解下降的结果，并使用这些表示$Γ_{F^+} \to \mathrm{GSpin}_{2n+1}(\overline{\mathbb{Q}}_p)$到兼容系统的$\mathrm{GSpin}_{2n+1}(\overline{\mathbb{Q}}_{\ell})$值表示。
2020-10-25 math.NT
Hopf Galois module structure of dihedral degree $2p$ extensions of $\mathbb{Q}_p$
设$p$为奇素数。对于Galois群同构于$2p$阶二面体群$D_{2p}$的域扩张$L/\mathbb{Q}_p$，我们考虑了整数环$\mathcal{O}_L$的每一个Hopf Galois结构和模结构中计算相关阶的基的问题.我们解决了$L/\mathbb{Q}_p$不完全分歧的情况，并给出了一个实用的方法，为$p=3$和$p=5$的情况提供了一个完整的答案.我们看到，在这个家庭的二面角扩展，环的整数总是免费的相关订单在不同的霍普夫伽罗瓦结构。
2021-05-24 math.NT
The motivic Galois group of mixed Tate motives over $\mathbb{Z}[1/2]$ and its action on the fundamental group of $\mathbb{P}^{1}\setminus\{0,\pm1,\infty\}$
本文引入了运动欧拉和（也称为交替多重zeta值）的汇流关系，并证明了运动欧拉和之间的所有线性关系都可由汇流关系所穷尽.这决定了$\mathbb{P}^{1}\setminus\{0,\pm1,\infty\}$的de Rham基本广群的所有自同构都来自混合Tate动机的动机伽罗瓦群在$\mathbb{Z}[1/2]$上的作用。此外，我们还讨论了合流关系的其它应用，如对给定的运动欧拉和按其基的显式$\mathbb{Q}$ -线性展开以及展开式中系数的$2$ -adic积分性.
2022-02-10 math.NT
Lower Bounds for Heights in Relative Galois Extensions
本文的目标是获得一个代数数的高度在一个相对设置的下界，扩展以前的工作Amoroso和Masser。具体地说，在我们的第一个定理中，我们得到了一个有效的界限高度的代数数$α$时，基域$\mathbb{K}$是数域和$\mathbb{K}(α)/\mathbb{K}$是伽罗瓦。我们的第二个结果建立了一个明确的高度界为任何非零元素$α$这不是一个单位根在伽罗瓦扩展$\mathbb{F}/\mathbb{K}$，取决于程度的$\mathbb{K}/\mathbb{Q}$和共轭的$α$是乘法独立的$\mathbb{K}$。因此，我们得到了这样的$α$，是独立的乘法独立性条件的高度界。
2017-04-10 math.NT
A note on Galois representations valued in reductive groups with open image
设$G$是一个具有$\dim Z(G) \leq 1$的可裂约化群.我们证明了对于任何相对于$G$足够大的素数$p$，都存在一个带开象的离散分歧伽罗瓦表示$ρ\colon Γ_{\mathbb Q} \to G(\mathbb Z_p)$.证明了对任意给定的整数$e$，若$p$的无规则指数至多为$e$，且$p$相对于$G$和$e$足够大，则存在一个仅在$p$上分支的开象伽罗瓦表示$Γ_{\mathbb Q} \to G(\mathbb Z_p)$，推广了A. Ray.第一种类型的伽罗瓦表示是通过使用Fakhruddin-Khare-Patrikis的提升定理将合适的伽罗瓦表示提升到$G(\mathbb F_p)$中来构造的，第二种类型的伽罗瓦表示是使用Ray的论证的变体来构造的。
2022-09-14 math.NT
Braid orbits and the Mathieu group $M_{23}$ as Galois group
目前，对于Mathieu群$M_{23}$，$\mathbb{Q}$上的逆Galois问题尚未得到解决.在这里，概述了在实现$M_{23}$作为伽罗瓦群使用刚性方法和辫子的作用的当前状态。计算辫子轨道$M_{23}$发现新的不变量的行动辫子除了弗里德的提升不变量。这些不变量可以用来构造Mathieu群$M_{24}$在$\mathbb{Q}$上的一般辫子轨道和更多的Galois实现，但是直到现在还没有成功地将$M_{23}$实现为$\mathbb{Q}$上的伽罗瓦群。因此，$M_{23}/\mathbb{Q}$保持打开状态。最后，给出了关于群实现为伽罗瓦群的类向量的搜索算法。
2022-05-29 math.NT
Galois covers of the open p-adic disc
本文研究了开$p$ -adic圆盘的Galois分支覆盖及其到特征$p$的约化.利用Fontaine和Wintemberger的范函子域，证明了Galois覆盖的特殊纤维是由一般纤维的算术和几何性质及其特征零特化决定的.作为应用，我们在Abel情形下得到了一个好约化的判据，并给出了关于曲线芽循环覆盖可升性的局部Oort猜想的一个算术重新表述.
2011-03-08 math.NT
The Inverse Galois Problem for p-adic fields
基于Jannsen和Wingberg对$\mathbb{Q}_p$的绝对Galois群的描述，我们描述了一种计算$\mathbb{Q}_p$在给定Galois群$G$下的扩张数的方法.因为这种描述只适用于奇数$p$，所以我们的结果不适用于$\mathbb{Q}_2$。我们报告的结果计数这样的扩展$G$的顺序高达$2000$（除了那些可被$512$整除），为$p=3,5,7,11,13$。特别是，我们强调了一个相对较短的最小$G$列表，这些列表不是作为伽罗瓦群出现的。受此启发，我们证明了关于$\mathbb{Q}_p$逆Galois问题的两个定理：一个给出了$\mathbb{Q}_p$在$\mathbb{Q}_p$上可实现的必要条件，另一个给出了一个充分条件.
2018-09-26 math.NT
Surjectivity of the adelic Galois Representation associated to a Drinfeld Module of prime rank
设$ϕ$是由$$ϕ_T=T+τ^{r-1}+T^{q-1}τ^r.$$定义的素秩$r$的$\mathbb{F}_{q}(T)$上的Drinfeld模，证明了在一定条件下，$\mathbb{F}_q$上的椭圆伽罗瓦表示$$ρ_ϕ:{\rm{Gal}}(\mathbb{F}_q(T)^{\rm{sep}}/\mathbb{F}_q(T))\longrightarrow \varprojlim_{\mathfrak{a}}{\rm{Aut}}(ϕ[\mathfrak{a}])\cong {\rm{GL_r}}(\widehat{A})$$是满射的.
2021-11-08 math.NT
Motivic Galois representations valued in Spin groups
令$m$为整数，使得$m \geq 7$和$m \equiv 0,1,7 \mod 8$。我们构建严格兼容的系统表示的$Γ_{\mathbb Q} \to \mathrm{Spin}_m(\overline{\mathbb Q}_l) \xrightarrow{\mathrm{spin}} \mathrm{GL}_N(\overline{\mathbb Q}_l)$是潜在的自守和motivic。作为应用，我们证明了自旋群的$\mathbb F_p$ -点的逆伽罗瓦问题的实例。对于奇数$m$，我们将我们的例子与A.克雷特和S. W. Shin，他研究了在$\mathrm{Spin}_m$中取值的自守伽罗瓦表示。
2020-06-05 math.NT
Potentially $\text{GL}_2$-type Galois representations associated to noncongruence modular forms
本文考虑绝对伽罗瓦群$\text{Gal}(\overline {\mathbb Q}/\mathbb Q)$的伽罗瓦表示，它是附着于$\text{SL}_2(\mathbb Z)$的非同余子群的模形式上的.当底层模曲线具有$\mathbb Q$上的模型时，这些表示由Scholl构造并且被称为Scholl表示，其形成一大类motivic伽罗瓦表示。特别地，根据Belyi的结果，Scholl表示包括在$\mathbb Q$上定义的代数曲线的雅可比簇上的伽罗瓦作用。由于肖尔表征是动机性的，根据朗兰兹哲学，它们被期望对应于自守表示。利用最近的事态发展，在自同构提升定理，我们获得各种自同构和潜在的自同构结果潜在的$\text{GL}_2$型伽罗瓦表示相关的非全等模形式。我们的结果被应用到各种例子。特别是，我们得到了潜在的自同构结果的伽罗瓦表示附加到一个无限家庭的空间的重量3非同余尖形的任意大的尺寸。
2017-08-09 math.NT
Galois representations attached to elliptic curves with complex multiplication
本文的目标是给出一个明确的分类可能的$p$ -adic伽罗瓦表示，附加到椭圆曲线$E$与CM定义在$\mathbb{Q}(j(E))$。更准确地说，令$K$是虚二次域，并且令$\mathcal{O}_{K,f}$是导体$f\geq 1$在$K$中的阶。令$E$是CM乘$\mathcal{O}_{K,f}$的椭圆曲线，使得$E$由$\mathbb{Q}(j(E))$上的模型定义。令$p\geq 2$是素数，令$G_{\mathbb{Q}(j(E))}$是$\mathbb{Q}(j(E))$的绝对伽罗瓦群，令$ρ_{E,p^\infty}\colon G_{\mathbb{Q}(j(E))}\to \operatorname{GL}(2,\mathbb{Z}_p)$是与Tate模块$T_p(E)$上的伽罗瓦作用相关联的伽罗瓦表示。然后，我们的目标是明确地描述可以作为$ρ_{E,p^\infty}$的图像出现的$\operatorname{GL}(2,\mathbb{Z}_p)$的组，直到共轭，对于任意阶$\mathcal{O}_{K,f}$。
2021-11-18 math.NT
A propos d'une version faible du problème inverse de Galois
本文讨论了弱逆Galois问题，对于给定的域$k$，证明了对每个有限群$G$，存在有限可分扩张$L/k$使得${\rm{Aut}}(L/k)=G$ .它的目标之一是解释如何一般地产生满足这个问题的域族，但不满足通常的逆伽罗瓦问题。我们表明，这适用于，例如，字段$\mathbb{Q}^{\rm{sol}}$、$\mathbb{Q}^{\rm{tr}}$、$\mathbb{Q}^{\rm{pyth}}$和用于$\mathbb{Q}$的最大pro-$p$-扩展。此外，我们还证明了对于每个有限非平凡群$G$，存在许多满足弱逆Galois问题的域，但在这些域上$G$不作为Galois群出现.作为进一步的应用，我们证明了每个域都满足弱逆伽罗瓦问题的正则形式。
2018-05-11 math.NT
On the images of the Galois representations attached to certain RAESDC automorphic representations of $\mbox{GL}_n(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$
在80年代，Aschbacher对几乎所有的有限几乎单群的极大子群进行了分类。基本上，这种分类将这些亚组分为两类。第一种类型大致由保留某种几何结构的子群组成，因此它们通常被称为几何类型的子群。本文证明了与$\mbox{GL}_n(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$的正则代数、本质自对偶、尖点自守表示相关的$n$维伽罗瓦表示的无穷多相容系统$\{ ρ_\ell \}_\ell$的存在性（甚至是$n$）使得对于几乎所有素数$\ell$，$\overlineρ_{\ell}$的图像（$ρ_\ell$约化的半简化）不能包含在$n$维辛或正交群的几何型极大子群中。然后，我们将这一结果应用到一些12维的表示，给启发式的证据对逆伽罗瓦问题的偶数维正交群。
2018-08-21 math.NT
On Galois groups of linearized polynomials related to the general linear group of prime degree
令$L(x)$是系数在$\mathbb{F}_q$中的任何$q$线性化多项式，次数为$q^n$。考虑$\mathbb{F}_q(t)$上$L(x)+tx$的Galois群，其中$t$在$\mathbb{F}_q$上是超越的.证明了当$n$是素数时，除$L(x)=x^{q^n}$外，Galois群总是$GL(n,q)$.等价地，我们证明了$L(x)/x$的算术单值群是$GL(n,q)$。
2022-07-28 math.NT
Deformations of Reducible Galois Representations to Hida-Families
研究了具有固定辅助条件的剩余可约伽罗瓦表示的整体变形理论。我们发现，$\barρ:\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\rightarrow \operatorname{GL}_2(\bar{\mathbb{F}}_p)$电梯的Hida线的权重范围在一个同余类模- $p^2$。纯伽罗瓦理论方法的优点是，它允许我们构造提升实际表示$\barρ$的伽罗瓦表示的$p$ -adic族，而不仅仅是半简化。
2021-04-11 math.NT
On the number of ramified primes in specializations of function fields over $\mathbb{Q}$
本文研究了$\mathbb{Q}$的有限Galois扩张中分歧素数的个数，通过特殊化$\mathbb{Q}(T)$的有限Galois扩张得到了$\mathbb{Q}$的有限Galois扩张.我们的主要结果是一个中心极限定理。我们也给出了伽罗瓦的一些理论应用。
2018-09-27 math.NT
Frobenius elements in Galois representations with SL_n image
假设我们有一个数域上的椭圆曲线，它的mod $l$表示与$SL_2(\mathbb{F}_l)$有像同构。我们提出了一种方法来确定相关的伽罗瓦群的Frobenius元素，它结合了可用的线性结构。我们能够区分$SL_n(\mathbb{F}_l)$ -共轭性和$GL_n(\mathbb{F}_l)$ -共轭性;这可以被认为类似于当伽罗瓦群被认为是置换群时区分$A_n$ -共轭性和$S_n$ -共轭性的结果。
2017-06-11 math.NT
Images of Galois representations in mod $p$ Hecke algebras
设$(\mathbb{T}_f,\mathfrak{m}_f)$表示模$p$局部Hecke代数，该模$p$局部Hecke代数附着于规范化Hecke本征形$f$，它是特征$p$的有限域$\mathbb{F}_q$上的具有剩余域$\mathbb{F}_q$的交换代数.由Carayol的一个结果我们知道，如果剩余伽罗瓦表示$\overlineρ_f:G_\mathbb{Q}\rightarrow\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$是绝对不可约的，那么可以给这个代数附加一个伽罗瓦表示$ρ_f:G_\mathbb{Q}\rightarrow\mathrm{GL}_2(\mathbb{T}_f)$，它是$\overlineρ_f$的提升。我们将展示如何可以确定图像的$ρ_f$的假设下，$(i)$图像的残差表示包含$\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_q)$，$(ii)$的$\mathfrak{m}_f^2=0$和$(iii)$的系数环生成的痕迹。作为一个应用程序，我们将看到，我们使用的方法，使我们能够推导出存在某些$p$ -基本阿贝尔扩展的大非可解数域。
2020-10-05 math.NT
Elliptic curves over $\mathbb{Q}$ and 2-adic images of Galois
我们给出了一个分类的所有可能的$2$ -进图像的伽罗瓦表示相关的椭圆曲线上$\mathbb{Q}$。为此，我们计算的“算术最大”塔的2幂级模曲线，开发技术来计算他们的方程，并分类这些曲线上的有理点。
2015-05-15 math.NT
Torsion of rational elliptic curves over quartic Galois number fields
令$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，并且令$K$是作为$\mathbb{Q}$上的伽罗瓦的四次数域。本文的目的是对$E(K)_{\text{tors}}$的不同同构类型进行分类。
2015-11-03 math.NT
Constructing Galois representations ramified at one prime
设$n>1$，$e\geq 0$和一个素数$p\geq 2^{n+2+2e}+3$，使得$p$的正则性指数为$\leq e$ .证明了在所有素数$l\neq p$上有无穷多个不可约的伽罗瓦表示$ρ: Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\rightarrow {GL}_n(\mathbb{Q}_p)$是不可分歧的.此外，这些表示所示的图像包含一个固定的有限指数子群的${SL}_n(\mathbb{Z}_p)$。这样的表示是通过提升合适的残差表示$\barρ$与图像中的对角环面在${GL}_n(\mathbb{F}_p)$，全局变形问题是通畅的。
2021-06-05 math.NT
Galois action on the $\bar\mathbb{Q}$-isogeny classes of abelian surfaces with quaternionic multiplication
数域上的阿贝尔簇称为L-阿贝尔簇，如果对于数域L的绝对伽罗瓦群的任何元素，共轭阿贝尔簇通过保持自同态环上伽罗瓦作用的同构与给定的阿贝尔簇同构。我们可以认为它们是定义在L上的阿贝尔簇的推广，其自同态也定义在L上。在一维情况下，定义在L上的椭圆曲线产生由其Tate模上的伽罗瓦作用提供的伽罗瓦表示。这种经典的伽罗瓦表示在过去的几十年里一直是数论研究的中心对象。此外，给定椭圆L-曲线，可以构造以前的伽罗瓦表示的投影模拟。在这项工作中，我们在二维情况下构建了类似的射影表示，即通过四元数乘法或假椭圆曲线附着到阿贝尔L曲面。此外，我们证明了这样的射影表示也描述了Galois作用的椭圆L-曲线的Isonite类，在经典的情况下，或阿贝尔L-曲面与四元数乘法，在一般情况下。
2014-04-10 math.NT
Lübeck's classification of representations of finite simple groups of Lie type and the inverse Galois problem for some orthogonal groups
本文证明了对于$n=4\varpi$（其中$\varpi$是$17$和$73$之间的素数）形式的整数，对于几乎所有的素数$\ell$和无穷多个整数$s > 0$，下列群中至少有一个是$\mathbb{Q}$的Galois群：$PΩ^+_n(\mathbb{F}_{\ell^s})$，$PSO^+_n(\mathbb{F}_{\ell^s})$，$PO_n^+(\mathbb{F}_{\ell^s})$或$PGO^+_n(\mathbb{F}_{\ell^s})$.这是利用有限李型单群的小度表示的分类来定义F的特征的。Lübeck和作者以前关于附在$GL_n(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$的RAESDC自守表示上的伽罗瓦表示的象的一个结果。
2019-07-16 math.NT
On Galois representations with large image
对每个素数$p\geq 3$和整数$m\geq 1$，我们证明了存在一个连续的伽罗瓦表示$ρ: G_\mathbb{Q} \rightarrow Gl_m(\mathbb{Z}_p)$，它具有开象且在$\{p,\infty\}$外是非分歧的（分别是）.在$\{2,p,\infty\}$之外），当$p\equiv 3$ mod $4$（分别$p \equiv 1$ mod $4$）。
2021-04-06 math.NT
Construction of a cyclic $p$-extension of number fields whose unit group has prescribed Galois module structure
本文证明对任意有限循环p-群G，每个无Z_p-挠的有限生成Z_p[G]-模都可在相差自由直和项的意义下实现为某数域G-扩张的单位群，从而刻画了单位群的伽罗瓦模结构。
2025-07-17 math.NT
Lower bounds for the number of number fields with Galois group $GL_2(\mathbb{F}_\ell)$
本文证明了伽罗瓦群为 $GL_2(\mathbb{F}_\ell)$ 且判别式有界的数域数量具有明确的渐近下界，并对按 Artin 导子排序的相应满射伽罗瓦表示给出了类似下界。
2024-11-25 math.NT
Explicit lower bounds for the height in Galois extensions of number fields
本文建立了Amoroso和Masser关于数域的Galois扩张中代数数高度下界定理的显式版本。
2024-11-17 math.NT
Algebraic functional equation for big Galois representations over multiple $\mathbb{Z}_p$-extensions
Hua Loo-Keng Center for Mathematical Science, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院华罗庚数学科学中心）；School of Mathematics and Statistics, Key Laboratory of Nonlinear Analysis and Applications (Ministry of Education), Central China Normal University（华中师范大学数学与统计学院非线性分析与应用教育部重点实验室）
本文提出了一种方法，用于在多重Z_p扩展上建立大Galois表示的代数函数方程，涵盖Iwasawa理论多种场景，并扩展了已知结果，回答了Greenberg的问题。
2026-01-15 math.NT
On Possible Genus 0 adelic Galois Images of non CM Elliptic Curves over $\mathbb{Q}$
本文研究了定义在有理数域上的非 CM 椭圆曲线的 adelic Galois 表示，分类了当 $\pm ρ_E$ 的像具有亏格 0 时由 $ρ_E$ 的像与 $-I$ 生成的群的可能形式，但给出的列表并非最小。
2023-07-06 math.NT
A family of polynomials with Galois group $PSL_5(2)$ over $\mathbb{Q}(t)$
我们计算了一类定义在$\mathbb{Q}$上的具有正则伽罗瓦群$PSL_5(2)$的具有四个分歧点的覆盖。一方面，这是（据我所知）第一个明确的多项式与组$PSL_5(2)$在$\mathbb{Q}(t)$。另一方面，它也肯定地回答了$PSL_5(2)$是否是$\mathbb{Q}$上有理函数的单值群的问题。至少这并不是从考虑$PSL_5(2)$中的类三元组得出的，因为没有严格的、合理的亏格零三元组。此外，对于4元组，我们的家族是唯一一个具有亏格为零的Hurwitz曲线的家族（然而，如果没有明确的计算，似乎并不立即清楚该曲线是否可以定义为$\mathbb{Q}$上的有理曲线）。也有亏格为零的族有五个分支点，也许它们的Hurwitz空间可以被证明有有理点;然而，到目前为止，我还没有看到这样的论点。
2013-08-07 math.NT
On Galois realizations of the 2-coverable symmetric and alternating groups
设f（x）是Z[x]中的首一多项式，无有理根，但对所有p根在Q_p中，或等价地，对所有n根在mod n中.已知f（x）不能是不可约的，但可以是两个或多个不可约多项式的乘积，并且如果f（x）是m个>1个不可约多项式的乘积，则它的伽罗瓦群必须是“m-可覆盖的”，即m个真子群的共轭的并，其总交是平凡的。因此我们得到了逆Galois问题的一个变形：给定一个m-可覆盖有限群G，通过Z[x]中的多项式f（x）找到G在有理数Q上的Galois实现，该多项式f（x）是m个非线性不可约因子（在Q[x]中）的乘积，使得f（x）对所有p都在Q_p中有根。已知对称群S_n是2-可覆盖的当且仅当2<n<7，交错群A_n是2-可覆盖的当且仅当3<n<9.本文利用MAGMA、PARI和GAP软件包，对2-可覆盖的对称交错群求解了上述的Galois逆问题，并给出了每个群的显式多项式.
2011-04-16 math.NT
Fine structure of even Galois deformation rings
Aarhus Universitet（奥胡斯大学）
该论文研究素导体为ℓ的偶Galois表示族，证明其对应水平S={ℓ,3}的偶模3变形环的商环不存在特定形式，进而推导出全局偶变形环在Z_3模范畴中有限且平坦的结论。
2026-10-14 math.NT
Large arboreal Galois representations
给定域$K$、多项式$f \in K[x]$和适当的元素$t \in K$，迭代$f^{\circ n}$下的$t$的原像集合携带$d$ -ary树的自然结构。研究了$K$的绝对伽罗瓦群通过自同构的全群作用于树的条件。当$K=\mathbb{Q}$，我们展示的例子多项式的每一个偶数次最大伽罗瓦行动的原像树，部分肯定了猜想Odoni。我们还研究了$K=F(t)$和$f \in F[x]$的情形，其中对应的伽罗瓦群是分歧覆盖$f^{\circ n}: \mathbb{P}^1_F \to \mathbb{P}^1_F$的单值群。
2020-03-03 math.NT
Galois groups arising from families with big orthogonal monodromy
本文研究了由相容的大正交单值表示族构成的多项式的伽罗瓦群。我们表明，伽罗瓦群通常是尽可能大的函数方程和判别式的考虑对他们施加的限制。作为应用，我们考虑了次数至少为$3$的$\mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^{2n+1}$中超曲面的middle阶上同调所产生的Frobenius多项式.本文还研究了函数域$\mathbb{F}_q(t)$上椭圆曲线的定次二次扭的$L$-函数。为了确定椭圆曲线上的典型伽罗瓦群，需要使用Birch和Swinnerton-Dyer猜想的一些已知情况。这扩展和概括了Chavdarov，Katz和Jouve的工作。
2020-01-20 math.NT
Tame torsion, the tame inverse Galois problem, and endomorphisms
确定正整数$g$和有理数素数$p$。通过对自同态环施加条件，证明了存在亏格$g$曲线$C/\mathbb{Q}$使得其Jacobian的mod $p$表示是驯服的.作为应用，我们考虑驯服逆伽罗瓦问题，并能够实现一般辛群作为$\mathbb{Q}$驯服扩展的伽罗瓦群。
2020-06-08 math.NT
Towards a classification of entanglements of Galois representations attached to elliptic curves
本文研究椭圆曲线附加的 adelic Galois 表示的像偏小问题，提出一种群论分类方法来解释除域间的纠缠，并证明了在 abelian 扩张上发生纠缠的椭圆曲线及主极化 abelian 簇的若干结果。
2024-06-03 math.NT
Special Points Arising From Faithful Metacyclic and Dicyclic Galois Covers of the Projective Line
本文研究了Schottky问题中Torelli轨迹的特殊子簇，提出了判定3点分支的$G$-Galois覆盖导出的Jacobian簇具有复乘（CM）的表示论判据，分类了忠实亚循环和双循环情况下的覆盖，并计算出相应Jacobian簇的CM域与类型，发现了CM阿贝尔簇的新实例。
2023-11-26 math.NT
