Badly approximable numbers related to the Littlewood conjecture
利用Peres-Schlag方法证明了实数$α, β$的存在性，使得$$ \liminf_{q\to \infty}（q \log^2 q）||αq||||βq||> 0。
2008-10-04 math.NT
Some Results on a Conjecture of Hardy and Littlewood
令$m$和$n$是正整数，其中$m,n \geq 2$。第二个Hardy-Littlewood猜想指出，区间$(m,m+n]$中素数的个数总是小于或等于区间$[2,n]$中素数的个数。基于素数计数函数$π(x)$的新的显式估计，我们给出了这个猜想成立的一些新的范围。
2019-09-30 math.NT
On the Littlewood conjecture in simultaneous Diophantine approximation
对于任意给定的具有有界部分幂元的实数$α$，我们构造了许多具有有界部分幂元的实数$β$，其中对$(α, β)$满足Littlewood猜想的强形式.我们的证明是初等的，并依赖于连分数的基本理论。
2005-11-28 math.NT
On t-adic Littlewood conjecture for generalised Thue-Morse functions
考虑由无穷乘积$g_u(t) = \prod_{n=0}^\infty (1 + ut^{-2^n})$定义的洛朗级数，其中$u\in \mathbb{F}$是参数，$\mathbb{F}$是域.我们证明了对于所有的$u\in\mathbb{Q}\setminus\{-1,0,1\}$序列$g_u(t)$不满足$t$ -adic Littlewood猜想.另一方面，如果$\mathbb{F}$是有限的，那么$g_u(t)\in \mathbb{F}((t^{-1}))$要么是一个有理函数，要么满足$t$ -adic Littlewood猜想。
2020-01-06 math.NT
A note on the $p$-adic inhomogeneous Littlewood conjecture
University of Warwick（华威大学）
本文针对p进非齐次Littlewood猜想，在Bugeaud等人2011年解决p进Littlewood猜想度量版本的基础上，建立了完全非齐次推广，并在混合情形下得到Harrap等人2013年结果的部分非齐次推广。
2026-10-14 math.NT
A randomized version of the Littlewood Conjecture
丢番图逼近中的Littlewood猜想可以看作是关于以有理点为中心的双曲线并覆盖平面的问题。本文研究了双曲线的中心平移一个随机量的问题，该随机量取决于相应有理函数的分母。使用随机覆盖的论点，我们证明，不仅是这个随机版本的Littlewood猜想真的几乎所有的选择中心，一个更强的声明与一个额外的因子的对数也成立。
2016-10-26 math.NT
Ramanujan Cayley graphs of the generalized quaternion groups and the Hardy-Littlewood conjecture
本文研究了广义四元数群的Cayley图的价的界，它保证是Ramanujan的。与我们以前研究的循环群和二面体群的情形一样，我们证明了在一个特殊的情形下，对于由二次多项式表示的素数，上界的确定与经典的Hardy-Littlewood猜想有关.
2016-11-30 math.NT
On a question of Gowers related to Littlewood's conjecture
Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Department of Analysis and Operations Research, Institute of Mathematics, Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学数学研究所分析与运筹学系）
本文针对Gowers提出的与Littlewood猜想相关的单位立方体点集双曲距离问题，通过显式构造给出解答，证明了若不添加改进则该思路无法用于证明Littlewood猜想。
2026-09-29 math.NT
Applying Discrete Fourier Transform to the Hardy-Littlewood Conjecture
本文通过对$\mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}$进行离散傅里叶变换，研究了素数对计数函数$π_{2k}(n)$的渐近性质.我们开发的方法可以看作是一个离散模拟的Hardy-Littlewood圆方法。我们讨论了一些优点，这比傅立叶级数$\mathbb{R} /\mathbb{Z}$，这是在圆的方法。我们展示了如何恢复的主要条款为$π_{2k}(n)$预测的Hardy-Littlewood猜想从离散傅立叶级数。这些论点依赖于$\mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}$及其子群$\mathbb{Z}/ Q\mathbb{Z},$ $Q \, | \, n.$上傅里叶变换的相互作用
2016-07-08 math.NT
The second Hardy-Littlewood conjecture is true
第二个Hardy-Littlewood猜想，即$π(x)+π(y) \geq π(x+y)$对于整数$x$和$y$与$\min\{x,y\}\geq 2$，是在1923年提出的。直到近100年后的今天，它仍然吸引着人们的注意。在1975年Udrescu证明，这一猜想持有$(x,y)$足够大，但没有明确的有效范围内的有效性。我们将重新审视Udrescu的结果，修改它以获得明确的有效界，最终证明第二个Hardy-Littlewood猜想实际上是无条件正确的。此外，我们注意到，对素数计数函数的约束意味着，（并被暗示），对素数位置的约束，并重新铸造西格尔1962年等价的第二个哈迪-利特尔伍德猜想在更对称（也许更清楚）的形式，即整数$i$和$j$与$\min\{i,j\} \geq 2$有$p_{i+j-1} \geq p_i + p_j -1$。
2021-01-12 math.NT
Hardy-Littlewood tuple conjecture over large finite field
我们证明了大有限域上Hardy-Littlewood猜想（它推广了孪生素数猜想）的如下函数域模拟.设n，r为正整数，q为奇素数方幂.对于不同的多项式a_1，.，设π（q，n;a）是F_q上n次首一多项式f的个数，使得f+a_1，.，f+a_r是同时不可约的。我们证明了π（q，n;a）渐近等于q^n/n^r，因为q在奇素数幂上趋于无穷大，并且n，r是固定的（元组a1，.，a_r不需要固定）。
2012-10-04 math.NT
The algorithm for the $2d$ different primes and Hardy-Littlewood conjecture
利用一种新的求$2d$异素数的简单算法，给出了$2d$异素数存在密度的估计.该算法是一种筛法，但其特征在于取$2d$不同素数之间的中心数。由于给出了该算法中$2d$异素数存在密度的下界，我们可以得出存在无穷多个$2d$异素数的结论，包括$d=1$情形中的孪生素数。我们还讨论了Hardy-Littlewood猜想和Sophie Germain素数。
2014-01-25 math.NT
Infinite Loops and the $p$-adic Littlewood Conjecture. Part I: Reformulating the $p$-adic Littlewood Conjecture in Terms of Infinite Loops
本文引入模$n$的无限循环的概念，并讨论了这些对象所具有的性质。特别地，我们证明了一个实数$α$是$p$ -adic Littlewood猜想的反例当且仅当存在一些$m\in\mathbb{N}$使得对于所有的$k\in\mathbb{N}$，$p^kα$是一个无限循环mod $p^m$.本文是研究无限循环与$p$ -adic Littlewood猜想之间联系的两部分系列文章的第一部分。
2021-01-13 math.GT math.NT
The Hardy--Littlewood conjecture and rational points
辛策尔假说（H）被柯利奥特-泰伦和桑纳，以及后来的塞尔、斯温纳顿-戴尔和其他人用来证明布劳尔-马宁障碍控制着哈塞原理和二次曲线束的弱逼近。当基域为Q且束的退化几何纤维都定义在Q上时，用Green，Tao和Ziegler最近建立的广义Hardy-Littlewood猜想的有限复杂性情形代替假设（H），可以用这些方法得到无条件的结果.
2014-03-19 math.NT
The Hardy--Littlewood--Chowla conjecture in the presence of a Siegel zero
假设Siegel零存在，我们证明了一个混合版本的Chowla和Hardy-Littlewood素数元组。因此，对于自然数的无穷序列$x$和任何不同的整数$h_1,\dots,h_k,h'_1,\dots,h'_\ell$，我们建立了$$\sum_{n\leq x}Λ(n+h_1)\cdots Λ(n+h_k)λ(n+h_{1}')\cdots λ(n+h_{\ell}')$$对任何$0\leq k\leq 2$和$\ell \geq 0$的渐近公式。专门针对$\ell=0$或$k=0$，我们推出了以前已知的结果Hardy-Littlewood（或孪生素数）猜想和Chowla猜想的Siegel零点的存在下，由于Heath-Brown和Chinis，分别。我们的渐近公式的有效性范围比这些以前的结果更广泛。
2022-06-06 math.NT
Averaged Form of the Hardy-Littlewood Conjecture
我们研究了素数对计数函数$π_{2k}(x),$及其在$2k.$上的平均值。我们表明，通过考虑平均值，可以用相对较少的努力获得良好的结果。证明了$π_{2k}(x)$在$2k \leq x^θ,$ $θ> 7/12,$上的长平均的渐近关系，并给出了$k \leq C \log x,$ $C >1/2.$上相当短平均的几乎尖锐的下界。
2016-05-16 math.NT
Disproof of the uniform Littlewood conjecture
Western Sydney University（西悉尼大学）
本文通过构造性方法证明了统一利特伍德猜想不成立，展示了反例集具有正豪斯多夫维数，并反驳了p进数利特伍德问题的统一版本及更一般S-算术设置中的弱化版本。
2026-03-13 math.NT
On the Hardy-Littlewood-Chowla conjecture on average
最近有兴趣在杂交形式的著名的adistures的哈代-利特尔伍德和Chowla。证明了对任何$k,\ell\ge1$和不同整数$h_2,\ldots,h_k,a_1,\ldots,a_\ell$，只要$H\geq (\log X)^{\ell+ε}$为$h_1\leq H$的$o(H)$值，就有$$\sum_{n\leq X}μ(n+h_1)\cdots μ(n+h_k)Λ(n+a_1)\cdotsΛ(n+a_{\ell})=o(X)$$.这改善了范围$H\ge (\log X)^{ψ(X)}$，$ψ(X)\to\infty$，在以前的工作中获得的第一作者。我们的结果也推广从莫比乌斯函数$μ$任意（非自命不凡）乘性函数。
2022-06-21 math.NT
On continued fraction expansion of potential counterexamples to $p$-adic Littlewood conjecture
$p$ -adic Littlewood猜想（PLC）指出，对于每个素数$p$和每个实数$x$，有$\liminf_{q\to\infty} q\cdot |q|_p \cdot ||qx|| = 0$.设$w_{CF}(x)$是由$x$的连分数展开式构成的无限字，$\mathrm{T}$是标准左移映射.假设$x$是PLC的反例，我们得到了序列$\{\mathrm{T}^n w_{CF}(x)\}_{n\in\mathbb{N}}$的极限元素的几个限制。因此，我们表明，对于任何这样的极限元素$w$，我们必须有$\lim_{n\to\infty} P(w,n) - n = \infty$，其中$P(w,n)$是$w$的字复杂度。我们还表明，$w$不能在一定的集合递归构造的话。
2015-02-23 math.NT
Variants of the Littlewood conjecture, their connection to uniformly distributed sequences, and the exact order of the discrepancy of van der Corput--Kronecker-type sequences
本文利用有限域上 $X$-进 Littlewood 猜想的反例构造 van der Corput–Kronecker 型序列，并确定其差异度精确阶，从而支持一致分布理论中的最优差异度上界猜想。
2025-08-29 math.NT
On the $P(t)$-adic Littlewood conjecture in odd characteristics
本文证明了在奇特征域上，对于任意不可约多项式 $P(t)$，$P(t)$-adic Littlewood 猜想不成立。
2026-05-30 math.AG math.NT
The convergence of an alternating series of Erdős, assuming the Hardy--Littlewood prime tuples conjecture
本文针对Erdős提出的某交错级数收敛性的公开问题，结合素数随机筛选模型与Gallagher计算变体，在强版本Hardy–Littlewood素数元组猜想下证明了该级数条件收敛。
2023-08-23 math.NT
Contradictions in some primes conjectures
本文从Cramer、Hardy-Littlewood和Bateman-Horn的定理（提出大正整数为素数的概率--$\frac {1} {\ln(x)}$）证明了包含在不能被不同素数整除的正整数$x$中的事件与比率$0,5e^γ$（$γ$ -欧拉常数）有关。在建立Hardy-Littlewood和Bateman-Horn定理时，他们的作者在第一个建议的基础上又提出了另一个假设，即假设上述事件是独立的，这在第一个建议和Merten定理的基础上是不完全的。本文以孪生素数的Hardy-Littlewood猜想为例，论证了为什么这些建议不会导致错误的结果。作者提供了广义的证明，如果与第一个建议结合起来，则使Hardy-Littlewood的素$k$ -元组和Bateman-Horn的证明为真。
2014-07-22 math.NT
The uniform Littlewood conjecture fails on a set of positive Hausdorff dimension
Sydney Mathematical Research Institute, The University of Sydney（悉尼数学研究所，悉尼大学）
该数学研究证明一致Littlewood猜想不成立，给出两类反例集合的Hausdorff维数下界，与经典Littlewood猜想的反例维数结论形成对比。
2026-08-27 math.NT
Some refined results on mixed Littlewood conjecture for pseudo-absolute values
本文研究了具有伪绝对值的混合Littlewood猜想。对于任意的伪绝对值序列$\mathcal{D}$，我们得到了一个尖锐的准则，使得对于任意的$α$，不等式\begin{equation*} |n|_{\mathcal{D}}|nα-p|\leq ψ(n) \end{equation*}对于某个单参数$ψ$族有无穷多个互质解$(n,p)\in\N\times \Z$.在伪绝对值序列$\mathcal{D}_1$，$\mathcal{D}_2,\cdots, \mathcal{D}_k$的较小条件下，我们得到了一般序列$ψ(n)$的一个精确准则，使得对几乎每个$α$，不等式\begin{equation*} |n|_{\mathcal{D}_1}|n|_{\mathcal{D}_2}\cdots |n|_{\mathcal{D}_k}|nα-p|\leq ψ(n) \end{equation*}都有无穷多个互质解$(n,p)\in\N\times \Z$ .
2018-08-23 math.NT
Estimating lower limit in the $p$-adic Littlewood conjecture
本文验证了 $p$-adic Littlewood 猜想中下极限的上界，对所有实数和小素数成立，其中 $p=2$ 时 $\varepsilon=1/25$，$3\le p\le 29$ 时上界不超过 $1/10$。
2025-06-20 math.NT
Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood's conjecture
对SL（k，R）/SL（k，Z）上在正对角矩阵群A作用下不变遍历的测度进行了分类.我们应用这一点来证明，一组例外的Littlewood猜想有豪斯多夫维数为零。
2006-12-22 math.DS math.NT
Consecutive Piatetski-Shapiro primes based on the Hardy-Littlewood conjecture
本文基于Hardy-Littlewood猜想，研究连续素数对分别属于两个Piatetski-Shapiro序列的分布，提出计数函数猜想并给出启发式论证，还证明了奇异级数加权平均的命题。
2025-03-31 math.NT
Counterexamples to the $p(t)$-adic Littlewood Conjecture Over Small Finite Fields
本文在特征为5的域上构造了p(t)-进Littlewood猜想的显式反例，并猜想该反例适用于所有特征p≡1 mod 4的域，同时将已有反例推广到特征7和11，借助自动序列与Diophantine逼近相结合的高效算法填补了函数域上该猜想研究的空白。
2025-04-08 math.NT
Théorème de Chebotarev et complexité de Littlewood
Chebotarev密度定理在广义黎曼假设和Artin猜想下的有效形式（cf. Iwaniec and Kowalski's解析数论，5.13）涉及有限群$G$的子集$D$的数值不变量，我们称之为$D$的Littlewood复杂度。我们详细研究了这个不变量。利用这项研究，和一个新的应用程序的大筛，我们给出了改进版本的两个标准问题有关Chebotarev：第一个总理的限制在一个Frobenian集，和渐近的一组素数与给定的Frobenius在一个无限的伽罗瓦扩展。然后，我们给出了具体的应用，在数论中的各种问题，如第一原根模一个素数$\ell$，因式分解的整数多项式模素数，朗-特罗特猜想及其推广，和塞尔的一致性猜想。
2013-08-05 math.NT
On the cardinality of the exception set in Littlewood's discrete conjecture
HSE University（高等经济大学）
本文证明在Littlewood离散猜想中，对几乎所有$a$，最小乘积的阶为$1/((\ln p)^{d-1}\ln H)$，刻画了例外集的基数。
2026-09-10 math.NT
On the Second Hardy-Littlewood Conjecture
本文研究第二个Hardy-Littlewood猜想，通过将素数计数函数的次可加性与素数定理误差项相联系，无条件改进了次可加性成立的范围，并在假设黎曼猜想下证明了更广范围内的不等式成立。
2025-03-04 math.NT
A Note on the Base-$p$ Expansions of Putative Counterexamples to the $p$-adic Littlewood Conjecture
本文研究p进Littlewood猜想的假定反例，证明若反例存在则存在基p展开为一致回复的反例，并给出形态词条件下猜想成立的充分条件，特别证明p=2时猜想对所有纯形态词成立。
2024-02-22 math.CO math.NT
A Geometric Interpretation of the $p$-adic Littlewood Conjecture
利用几何结构研究了连分数的整数乘法。特别地，本文证明了连分数的整数乘法可以通过用另一个三角剖分代替轨道的一个三角剖分来表示。这种方法被用来表明，最终周期连分数有偏导数具有指数增长性时，迭代乘以$n$，$n$任何固定的，自然数。
2018-09-27 math.GT math.NT
The mixed Littlewood conjecture for pseudo-absolute values
本文研究了具有伪绝对值的混合Littlewood猜想.证明了若p是素数，D是满足较弱条件的伪绝对值序列，则n的下确界在自然数n上。|n| _p. |n| _D.| |nx||对所有实数x都等于0。我们的证明依赖于一个措施的刚性定理，由于Lindenstrauss和下界的线性型，由于贝克和Wustholz的曲线。我们还推导出了相关度量问题的答案，即对于几乎每个x，上确界趋于零的速度有多快。
2011-08-11 math.DS math.NT
Winning property of counterexamples to Uniform Littlewood's Conjecture
Brandeis University（布兰迪斯大学）；University of Chicago（芝加哥大学）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences（上海数学与交叉学科研究院）；Fudan University（复旦大学）
本文证明了BFK25提出的一致Littlewood猜想反例集合是超平面绝对获胜的，且在二维实数空间中具有满Hausdorff维数。
2026-09-04 math.NT
On a generalization of Littlewood's conjecture
给出了R^d（d ≥ 2）中的一类格，称之为GL-格，并猜想任何格都是GL-格.这个猜想被称为GLC。利特尔伍德的猜想等于说Z^2是GL。然后，我们证明GL格的存在性，首先建立一个可能的例外集的维数界。用类似的方法证明了R^d中具有特殊丢番图性质的向量（GL-向量）的存在性。对于维数d >= 3，我们给出了GL格的显式构造（实际上是一个更强的性质）。我们还证明了GLC是由G. A.关于对角群的有界轨道。统一的主题的方法是利用刚性结果的动力学和推导结果的丢番图逼近或数的几何。
2009-05-07 math.DS math.NT
A combinatorial approach to the Littlewood conjecture in a field of formal series
Littlewood关于同时丢番图逼近的一个长期存在的猜想对于形式洛朗级数$\mathbb{F}(\!(t^{-1})\!)$也有类似的问题。也就是说，我们可以问，对于任何系列$Θ$，$Φ$和任何$ε>0$，是否存在多项式$α$，使得$|α|\langleαΘ\rangle\langleαΦ\rangle$，其中$\langleΘ\rangle=\underset{β\in\mathbb{F}[t]}{\inf}|Θ-β|$。如果基域$\mathbb{F}$是无限的，那么根据达文波特和刘易斯（1963），答案是否定的。给出了当$\mathbb{F}$有限时，半群作用下轨道的组合数学与丢番图逼近问题之间的联系。
2019-02-26 math.DS math.NT
On a Problem in Diophantine Approximation
证明了丢番图逼近中Littlewood和Mixed Littlewood拓扑的新结果。
2013-05-06 math.NT
Measure rigidity and $p$-adic Littlewood-type problems
本文研究了各种$p$ -adic版本的Littlewood猜想，推广了最近考虑的de Mathan和Teulie的设置。在许多情况下，它表明，这些结构的例外集有豪斯多夫维数为零。证明遵循Einsiedler，Katok和Lindenstrauss的测度ridigity方法。
2005-06-24 math.DS math.NT
Dispersion and Littlewood's conjecture
本文利用色散估计和三距离定理，构造显式全测度集，显著改进了Littlewood猜想相关不等式的定量界，并证明例外集Fourier维数为零。
2023-07-27 math.NT
Ramanujan circulant graphs and the conjecture of Hardy-Littlewood and Bateman-Horn
本文给出了奇数循环图的阶数的界，它保证对每一个固定的顶点数都是Ramanujan图。在大多数情况下，该界与平凡界一致，平凡界来自循环图的最大非平凡特征值的平凡估计。作为例外情况，该界实际上超过了平凡的二分之一。然后，我们证明，这种例外只发生在顶点的数量有最多两个素因子的情况下，并表示为一个二次多项式在一个有限的家庭，而且，根据猜想的Hardy-Littlewood和贝特曼-霍恩，存在无穷多。
2015-03-13 math.CO math.NT
Combinatorics on Number Walls and the $P(t)$-adic Littlewood Conjecture
对于任何素数$p$和实数以及$α$，由de Mathan和Teulié提出的$p$ -adic Littlewood猜想断言：\[\inf_{|m|\ge1}|m|_p\cdot |m|\cdot |\left\langleαm\right\rangle|=0.\]上面，$|m|$是通常的绝对值，$|m|_p$是$p$ -adic范数，$\left|\left\langle x\right\rangle\right|$是从$x\in\mathbb{R}$到最近整数的距离。设$\mathbb{K}$是一个域，$P(t)\in\mathbb{K}[t]$是一个不可约多项式。本文在$\mathbb{K}$上的形式Laurent级数域上讨论了这一猜想的类似，称为$P(t)$ -adic Littlewood猜想（$P(t)$ -LC）.得到了如下结果：（1）当$P(t)$是任意不可约多项式时，对于$P(t)=t$情形，$P(t)$-LC的任意反例生成一个反例.由于已知当$P(t)=t$和$\mathbb{K}$具有特征0、3、5、7和11时$P(t)$ -LC为假，因此对于任意不可约多项式$P(t)$的选择，得到了在任意这样的域上的$P(t)$-LC的反证. (2)建立了$t$-adic乘法逼近的Khintchine型定理，使得在$P(t)=t$的情形下，可以确定附加单调增长函数的$P(t…
2025-10-31 math.NT
On a lower bound of the number of integers in Littlewood's conjecture
我们表明，对于任何$0<γ<1/2$，任何$(α,β)\in\mathbb{R}^2$除了一个集合上的Hausdorff维数约$\sqrtγ$，任何小$0<\varepsilon<1$和任何大$N\in\mathbb{N}$，整数$n\in[1,N]$的数量，使$n\langle nα\rangle\langle nβ\rangle<\varepsilon$大于$γ\varepsilon\log N$的一致常数。这可以被看作是一个定量的结果，事实上，例外集Littlewood的猜想有豪斯多夫维数为零，获得了M。Einsiedler，A. Katok和E. 2000年的林登施特劳斯。为了证明，我们研究了经验测度关于$\rm{SL}(3,\mathbb{R})/\rm{SL}(3,\mathbb{Z})$上对角作用的行为，并证明了如果相应的经验测度行为良好，我们可以得到关于$(α,β)$的Littlewood猜想的定量结果.我们还估计Hausdorff维数的例外集是小的。
2022-11-30 math.DS math.NT
On the Hardy--Littlewood--Chowla conjecture
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Mathematical Research Center, Shandong University（山东大学数学研究中心）
本文证明了哈代-李特尔伍德-乔拉猜想，作为应用得出在满足μ²(p+2)=1的素数中，μ(p+2)取1和-1的集合渐近密度均为1/2的结论。
2026-10-14 math.NT
On the Constants of the Lang-Trotter Conjecture for CM Elliptic Curves
本文通过检验 20 条 CM 椭圆曲线，验证 Wan–Xi 所得显式常数等于原 Lang-Trotter 常数，并确立相关猜想关于 r 的等价性。
2024-06-13 math.NT
The Lang-Trotter Conjecture for the elliptic curve $y^2=x^3+Dx$
设$E$是$\mathbb{Q}.$上的一条椭圆曲线。对于一个固定的整数$r,$，定义素数计数函数为$π_{E,r}(x):=\sum_{p\leq x,p\nmid Δ_E,a_p=r}1$ . Lang-Trotter猜想预测$$π_{E,r}(x)=C_{E,r}\cdot \frac{\sqrt{x}}{{\rm log}x}+o(\frac{\sqrt{x}}{{\rm log}x})$$为$x\longrightarrow \infty,$，其中$C_{E,r}$是特定的非负常数。Hardy-Littlewood猜想给出了一个类似于上述的关于$ax^2+bx+c$形式的素数个数的渐近公式。建立了椭圆曲线$y^2=x^3+Dx.$的Hardy-Littlewood猜想与Lang-Trotter猜想之间的关系。证明了Hardy-Littlewood猜想蕴含着$y^2=x^3+Dx.$的Lang-Trotter猜想。相反，如果Lang-Trotter猜想对某些具有正常数$C_{E,2r},$的$D$和$2r$成立（对于$y^2=x^3+Dx, p\nmid D, a_p$总是偶数），则多项式$x^2+r^2$表示无穷多个素数。对于素数$p$，如果$a_p=2r$，则$p$必然是$x^2+r^2$的形式。固定$r$和$D$，并假设Hardy-Littlewood猜想成立，我们得…
2021-08-13 math.NT
On the complexity of a putative counterexample to the $p$-adic Littlewood conjecture
令$|| \cdot ||$表示到最近整数的距离，对于素数$p$，令$| \cdot |_p$表示$p$ -adic绝对值。在2004年，de Mathan和Teulié提出了一个问题，即$\inf_{q \ge 1} \, q \cdot || q α|| \cdot | q |_p = 0$是否对所有可差逼近的实数$α$和所有素数$p$都成立。在其他结果中，我们建立，如果一个实数$α$的部分分量的序列的复杂性增长太快或太慢，那么他们的猜想是真实的对$(α, p)$与$p$任意素数。
2015-01-22 math.DS math.NT
An improvement of the lower bound of the number of integers in Littlewood's conjecture
本文改进了Littlewood猜想中满足不等式条件的整数数量的下界，证明在除低维集合外，该数量至少为\\(\gamma(\log N)^2/(\log\log N)^2\\)（至多差一个常数）。
2024-04-20 math.DS math.NT
Some Bounds Related to the $2$-adic Littlewood Conjecture
本文改进了$2$-adic Littlewood猜想反例的下界至15，并研究其B-变体证明界至少为5，同时利用Hurwitz算法发现具有特定等价性质的二次无理数族。
2025-08-12 math.NT
An elementary heuristic for Hardy-Littlewood extended Goldbach's conjecture
本文提出一个基于超几何分布和Hoeffding型界的初等组合启发式，用于预测Hardy-Littlewood扩展哥德巴赫猜想。
2019-08-28 math.CO math.NT
Smooth discrepancy and Littlewood's conjecture
本文估计了 Kronecker 序列的 smooth discrepancy，发现其在低维下优于经典 discrepancy，并建立了 Beck 局部到全局原理的确定性类比，为攻击 Littlewood 猜想开辟新途径。
2024-09-25 math.CA math.DS math.NT
On the $t$-adic Littlewood Conjecture
由De Mathan和Teulié提出的$p$ -adic Littlewood猜想断言，对于任何素数$p$和任何实数$α$，等式$$\inf_{|m|\ge 1} |m|\cdot |m|_p\cdot |\langle mα\rangle|\, =\, 0 $$成立。这里，$|m|$是整数$m$的通常绝对值，$|m|_p$是其$p$ -adic绝对值，而$ |\langle x\rangle|$表示从实数$x$到整数集的距离。这个仍然开放的猜想是著名的Littlewood猜想的一个变体。以与后者相同的方式，它在基场$\mathbb{K}$的形式洛朗级数$\mathbb{K}\left(\left(t^{-1}\right)\right)$的域上存在一个自然对应物。这就是所谓的\emph{$t$-adic Littlewood Conjecture}（$t$ -LC）。已知当接地场$\mathbb{K}$无限大时，$t$-LC失效。这篇文章关注的是更困难的情况下，后者领域是有限的。更确切地说，我们给出了一个\emph{fully explicit}反例，证明了当$\mathbb{K}$是特征为3的有限域时，$t$ -LC不成立.还讨论了具有不同于3的特征的场的推广。证明是计算机辅助的。它减少到显示，一个无限矩阵编码的Hankel行列式的纸折叠序列在$\mathbb{F}_3$，所…
2020-10-11 cs.DM cs.FL math.CO
Positive Logarithmic Hausdorff Measures of Exceptional Sets for the $p$-adic and $t$-adic Littlewood Conjectures
University of Sydney（悉尼大学）；University of York（约克大学）
该研究证明p进Littlewood猜想例外集若非空则具正对数Hausdorff测度，还得到有限域上t进情形的更强结论，改进了Lai和Sprang的构造，特征2情形的结论仍待反例存在性验证。
2026-08-25 math.DS math.NT
