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arXiv 0810.42982008-10math.DSmath.NT

关于Littlewood猜想的一个推广

On a generalization of Littlewood's conjecture

Uri Shapira

备注：: 17 pages

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摘要：

给出了R^d（d ≥ 2）中的一类格，称之为GL-格，并猜想任何格都是GL-格.这个猜想被称为GLC。利特尔伍德的猜想等于说Z^2是GL。然后，我们证明GL格的存在性，首先建立一个可能的例外集的维数界。用类似的方法证明了R^d中具有特殊丢番图性质的向量（GL-向量）的存在性。对于维数d >= 3，我们给出了GL格的显式构造（实际上是一个更强的性质）。我们还证明了GLC是由G. A.关于对角群的有界轨道。统一的主题的方法是利用刚性结果的动力学和推导结果的丢番图逼近或数的几何。

英文摘要：

We present a class of lattices in R^d (d >= 2) which we call GL-lattices and conjecture that any lattice is such. This conjecture is referred to as GLC. Littlewood's conjecture amounts to saying that Z^2 is GL. We then prove existence of GL lattices by first establishing a dimension bound for the set of possible exceptions. Existence of vectors (GL-vectors) in R^d with special Diophantine properties is proved by similar methods. For dimension d >= 3 we give explicit constructions of GL lattices (and in fact a much stronger property). We also show that GLC is implied by a conjecture of G. A. Margulis concerning bounded orbits of the diagonal group. The unifying theme of the methods is to exploit rigidity results in dynamics and derive results in Diophantine approximations or the geometry of numbers.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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