AI 中文总结
本文证明完全非齐次 $p$-adic Littlewood 猜想对几乎所有实数及所有二次无理数成立，肯定回答了 Cassels 提出的 $p$-adic 版本问题。
AI 中文摘要
我们证明对于几乎所有的 $\alpha\in\RR$，完全非齐次 $p$-adic Littlewood 猜想成立；即，对于所有 $\delta\in\RR$ 和所有 $\kappa\in\ZZ_p$，有 $\liminf_{\av{q}\rightarrow+\infty}q\inn{q\alpha+\delta}\abs{q+\kappa}_p=0$。这里 $\inn{\cdot}$ 表示到最近整数的距离，$|\cdot|_p$ 表示 $p$-adic 范数。此外，我们证明该猜想对每个二次无理数 $\alpha$ 成立。这肯定地回答了 Cassels 在 \cite{Cas59} 中提出的问题的 $p$-adic 版本。
英文摘要
We prove that for almost every $α\in\mathbb{R}$, the \textit{fully inhomogeneous $p$-adic Littlewood Conjecture} holds; namely, $$\forall\, δ\in\mathbb{R},\;\forall\, κ\in\mathbb{Z}_p, \quad \liminf_{|q|\rightarrow+\infty}\, q\,\langle qα+δ\rangle\,|q+κ|_p=0.$$ Here, $\langle\cdot\rangle$ denotes the distance to the nearest integer and $|\cdot|_p$ denotes the $p$-adic norm. Moreover, we prove this conjecture for every quadratic irrational $α$. This gives an affirmative answer to the $p$-adic version of a question posed by Cassels in [Cas59].
