Itô differential representation of singular stochastic Volterra integral equations
Nguyen Tien Dung
本文给出了一类奇异随机Volterra积分方程的Itô微分表示.作为应用，我们研究了解的小时间中心极限定理收敛速率。
In this paper we obtain an Itô differential representation for a class of singular stochastic Volterra integral equations. As an application, we investigate the rate of convergence in the small time central limit theorem for the solution.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The central limit theorem for stochastic Volterra equations with singular kernels
这项工作涉及随机Volterra方程奇异核。在适当的条件下，证明了它们的中心极限定理。此外，我们将我们的结果应用到随机Volterra方程的分数布朗运动的Hurst参数$H\in(0, 1)$的核。
Backward Doubly Stochastic Integral Equations of the Volterra Type
本文研究了Volterra型倒向双随机积分方程（简称BDSIEVs）.在一致Lipschitz假设下，我们建立了一个解的存在唯一性结果.
Uniqueness for Volterra-type stochastic integral equations
研究一类Volterra型随机积分方程解的唯一性.我们专注于非Lipschitz噪声系数的情况下。这些方程的某些退化随机偏微分方程的连接起着关键作用。
Explicit solution for backward stochastic Volterra integral equations with linear time delayed generators
本文旨在给出具有线性时间延迟生成元的倒向随机Volterra积分方程的显式解。过程$Y$用一个积分来表示，该积分的核是显式给出的。过程$Z$由涉及$Y$的Hida-Malliavin衍生物表示。
Anticipating backward stochastic Volterra integral equations
本文介绍并研究了一类新的积分方程-预测倒向随机Volterra积分方程（预测BSVIEs）。在这些方程中，生成元不仅涉及解的当前值，而且还涉及解的未来值。我们得到的存在性和唯一性定理和比较定理的解决方案，这些预期的BSVIE。
Rough Volterra equations 2: convolutional generalized integrals
我们定义和解决Volterra方程驱动的不规则信号，通过一个变种的粗糙路径理论允许处理广义积分加权指数系数。所得结果应用于Hurst系数大于1/3的分数阶布朗运动
Symmetrical martingale solutions of backward doubly stochastic Volterra integral equations
研究了一类新的积分方程--倒向双随机Volterra积分方程（BDSVIEs）.引入了BDSVIE的对称鞅解（SM-解）的概念。在SM-解的意义下建立了BDSVIE的存在唯一性定理。
On the Analysis of a Singular Stochastic Volterra Differential Equation driven by a Wiener Noise
本文研究了由奇异漂移向量场和Wiener噪声驱动的随机Volterra微分方程的强解唯一性及初始值对强解的Sobolev可微性。
Volterra type McKean-Vlasov SDEs with singular kernels: Well-posedness, Propagation of Chaos and Euler schemes
本文研究奇异核Volterra型McKean-Vlasov SDE，建立了适定性，证明了带显式收敛率的混沌传播，并提出了粒子系统的显式Euler格式。
Backward stochastic Volterra integral equations with jumps in a general filtration
本文研究了文[26，45]中引入的倒向随机Volterra积分方程，推广了文[31]中关于一般滤过的存在性、唯一性或比较性结果（不仅限于Brownian-Poisson情形）.我们还考虑了Lp数据，并在It{<$}设置下探索了解的时间规律性，这在这种跳跃设置中也是新的。
Symmetrical Solutions of Backward Stochastic Volterra Integral Equations and Their Applications
研究了倒向随机Volterra积分方程（BSVIE）.本文引入了适应对称解（简称S-解）的概念，它不同于Yong [17]所引入的M-解。我们也给出了一些新的结果。最后，利用BSVIE得到了一类动态一致风险度量。
Error Distribution Of The Euler Approximation Scheme For Stochastic Volterra Integral Equations
本文的目的是建立标准布朗运动驱动的随机Volterra方程的Euler逼近格式的归一化误差依分布收敛，其核形式为$(t-s)^α$，其中$α\in (-\frac 12, \frac 12)$ .
Stochastic Volterra integral equations with jumps and non-Lipschitz coefficients
带跳的随机Volterra积分方程（SVIEs）由于与数学金融、生物学、工程学等学科有着密切的联系，在非利普希茨条件下，利用逐次逼近方法研究了由布朗运动和补偿Poisson随机测度驱动的SVIEs解的存在唯一性.
Asymptotic behaviors for Volterra type McKean-Vlasov stochastic integral equations with small noise
本文针对小噪声下Volterra型McKean-Vlasov随机微分方程，采用弱收敛方法建立大、中偏差原理，推导中心极限定理及含漂移系数Lions导数的极限过程满足的Volterra积分方程，明确其渐近行为。
Comparison Theorems for Backward Stochastic Volterra Integral Equations
对于多维欧几里得空间中的倒向随机Volterra积分方程，系统地建立了适应解与适应M-解的比较定理.为了完整性，比较定理（前向）随机微分方程，倒向随机微分方程，（前向）随机Volterra积分方程（FSVIEs）。对偶原理在相关的证明中得到了应用。同时，还发现某些单调性条件对保证FSVIE和BSVIE的比较定理成立起着至关重要的作用。各种反例表明，所假设的条件在某种意义下几乎是必要的。
Variation of constants formulae for forward and backward stochastic Volterra integral equations
在通常的伊藤框架下，给出了线性（前向）随机Volterra积分方程（SVIE，简称SVIE）和线性II型后向随机Volterra积分方程（BSVIE，简称BSVIE）的常数变易公式.为了这些目的，我们定义合适的类的随机Volterra内核，并引入新的概念，适应$L^2$ -过程的产品。通过考察乘积的代数性质，利用相应的预解式得到了常数变易公式。我们的框架包括SVIE奇异内核，如分数随机微分方程。此外，我们的结果可以应用到一般类的SVIE和BSVIE无穷多个迭代随机积分。证明了广义SVIE和广义BSVIE之间的对偶原理。
On symmetric fuzzy stochastic Volterra integral equations with retardation
本文研究带常数滞后且两侧均含模糊随机积分的对称模糊随机Volterra积分方程，在Lipschitz连续性和核函数连续性条件下证明了初值问题的适定性、解的唯一性及对参数的连续依赖性。
Reflected Backward Stochastic Volterra Integral Equations and related time-inconsistent optimal stopping problems
研究一类由布朗运动驱动的一维连续反射倒向随机Volterra积分方程的解，其中反射使解保持在给定的随机过程（下障碍）之上.我们证明了存在性和唯一性的一个不动点参数，我们得到一个比较结果。此外，我们展示了我们的问题的解决方案是如何与时间不一致的最优停止问题，并得出一个最优策略。
Backward stochastic Volterra integral equations associated with a Levy process and applications
研究了一类由Teugels鞅驱动的、与独立Lévy过程和独立布朗运动相关联的倒向随机Volterra积分方程（BSVIELS）.我们证明了这些方程的适应M-解的存在唯一性和稳定性。建立了一个对偶原理和一个比较定理。作为应用，我们通过某些BSVIEL的M-解导出了一类动态风险度量。
Lp solutions of backward stochastic Volterra integral equations
本文利用文献[15]中引入的M-解和文献[6]、[11]中的适应解，研究了倒向随机Volterra积分方程（BSVIE）的唯一可解性.本文证明了Lp（1<p<2）中BSVIEs的M-解的存在唯一性，推广了[15]中的结果.本文还讨论了Lp（p>1）中BSVIE适应解的唯一可解性，推广了[6]和[11]中的结果.
Extended Backward Stochastic Volterra Integral Equations, Quasilinear Parabolic Equations, and Feynman-Kac Formula
建立了倒向随机Volterra积分方程（简称BSVIEs）与一类非局部拟线性（可能退化）抛物型方程之间的关系.首先介绍了广义后向随机Volterra积分方程（EBSVIEs，简称EBSVIEs）。在适当的条件下，我们建立了EBSVIEs的适定性，并利用Malliavin演算得到了EBSVIEs适应解的一些正则性结果。我们证明了用EBSVIEs的解表示的给定函数可解一类非局部抛物型偏微分方程（PDE），推广了Pardoux{Peng [21]中著名的非线性Feynman-Kac公式.
New approach to optimal control of delayed stochastic Volterra integral equations
本文利用Hida-Malliavin calculus研究延迟随机Volterra积分方程的最优控制，推导出逆向随机Volterra积分方程，并建立随机最大原理，为延迟随机系统的最优控制提供了严谨框架。
Stochastic Volterra integral equations and a class of first order stochastic partial differential equations
研究了随机Volterra方程及其极限律。我们考虑的随机Volterra方程是由希尔伯特空间值\Levy噪声驱动的，并且积分核可能对过程的当前状态具有非线性依赖性。我们的方法是基于嵌入到希尔伯特空间的功能，它允许代表的解决方案的Volterra方程的随机偏微分方程的解决方案的边界值。我们首先收集抽象的结果，并在更具体的函数空间给出更详细的条件。
Picard approximation of a singular backward stochastic nonlinear Volterra integral equation
倒向随机微分方程是随机分析和计算随机学中研究最多的一类方程。本文证明了具有全局Lipschitz连续非线性项的倒向随机微分方程的Picard迭代以指数速度收敛于解。本文的主要结果是建立了一个基本引理，证明了希尔伯特空间中$α\in (\frac{1}{2},1)$阶奇异倒向随机非线性Volterra积分方程（简称奇异BSVIE）在比Lipschitz更弱的条件下适应解的整体存在唯一性.
Support characterization for regular path-dependent stochastic Volterra integral equations
在多维背景下，考虑了一个具有正则路径依赖系数的随机Volterra积分方程和一个积分为布朗运动的随机Volterra积分方程.在一个强加的绝对连续条件下，唯一解是一个半鞅，几乎必然允许Hölder连续路径。基于泛函Itô演算，证明了它的律在Hölder范数下的支撑可以用由扩散系数的垂直导数构造的普通积分微分方程的温和解流来描述.
Backward Stochastic Volterra integral equations driven by G-Brownian motion
本文研究了由G-布朗运动驱动的反向随机Volterra积分方程，通过新的反向迭代方法构建近似序列，并利用随机分析技术证明了解的存在性、唯一性和连续性，同时推导了比较定理。
Backward stochastic Volterra integral equations with time delayed generators
本文研究了一类带时滞生成元的倒向随机Volterra积分方程。在一定条件下（小时间视界或Lipschitz常数），我们得到了一个存在唯一性结果.接下来，借助这两个例子的BSVIE我们提供这个条件是必要的。然而，对于一类特殊的延迟生成元，以前的存在性和唯一性结果保持任意的时间范围和Lipschitz常数。最后，我们通过建立一个加性假设下，路径连续性的性质。
Stochastic Volterra equations driven by fractional Brownian motion with Hurst parameter H > 1/2
本文证明了Hurst参数H > 1/2的分数阶布朗运动驱动的随机Volterra积分方程解的存在唯一性，并证明了解具有有限矩.分数阶布朗运动的随机积分是一个路径方向的黎曼-斯蒂尔切斯积分。
Young-Stieltjes integrals with respect to Volterra covariance functions
被积函数和积分函数之间的互补正则性是积分$\int_0^T f(r) \, \mathrm{d} g(r)$在Riemann-Stieltjes意义下存在的一个众所周知的条件。该条件也适用于多维情况，特别是2D积分$\int_{[0, T]^2} f(s,t) \, \mathrm{d} g(s,t)$。本文在积分器$g$是Volterra协方差函数的假设下，给出了积分存在的一个新条件.我们引入了强Hölder双连续性的概念，并证明了如果被积函数具有这一性质，则可以放松关于互补正则性的假设，从而使积分的Riemann-Stieltjes和收敛.
Backward Stochastic Volterra Integral Equations--- Representation of Adapted Solutions
对于倒向随机Volterra积分方程（BSVIEs，简称BSVIEs），在适当的条件下，适应解或适应M-解唯一存在.然而，令人满意的规则性的解决方案是很难获得的一般。受正倒向随机微分方程解耦思想的启发，利用表示偏微分方程和（正向）随机微分方程，对一类BSVIE建立了适应M解的表示.在一定意义下证明了该表示式偏微分方程的适定性。
Existence and smoothness of the density of the solution to fractional stochastic integral Volterra equations
考虑Hurst参数H > 1/2的分数阶布朗运动驱动的随机Volterra积分方程.我们首先得到的解决方案和Malliavin衍生物的上确界范数估计。然后，我们证明了存在性和光滑的密度适当的非退化条件下。这推广了Hu-Nualart和Nualart-Saussereau关于分数阶布朗运动驱动的随机微分方程的结果.证明使用先验估计的确定性微分方程驱动的一个功能，在一个合适的索伯列夫空间。
Limit error distributions of Milstein scheme for stochastic Volterra equations with singular kernels
本文证明奇异核随机Volterra方程的Milstein格式收敛速率$n^{-2H}$最优，并揭示归一化误差的极限分布为随机系数线性Volterra方程的非零解。
A BDG inequality for stochastic Volterra integrals
本文为随机Volterra积分建立了Burkholder-Davis-Gundy型不等式，给出有限与无限区间上的上界，并用于量化不同核的方程间路径距离及均值回归方程的均匀时间界。
Explicit Solution of Infinite-Horizon Linear Backward Stochastic Volterra Integral Equations
研究无限时域线性倒向随机Volterra积分方程，通过引入指数衰减加权函数空间建立适应M解的存在唯一性，并利用Girsanov变换和Hida Malliavin微积分给出解分量的显式公式。
Stochastic Volterra integral equations driven by $ G $-Brownian motion
本文研究由 $G$-布朗运动驱动的随机Volterra积分方程，证明了解的存在性、唯一性与连续性，并利用拟线性化与两步逼近法建立比较定理，免除了系数偏导数的经典假设。
Volterra differential equations with singular kernels
受分数布朗运动的潜在应用的启发，我们研究了形式为~：\begin{equation}X\_t = x+ \int\_0^tK(t,s)b(s,X\_s)ds + \int\_0^tK(t,s) σ(s,X\_s)\,dB\_s ,\tag{E} \label{eq:sdefbm}\end{equation}的Volterra随机微分，其中$(B\_s, \, s\in [0,1])$是一维标准布朗运动，$(K(t,s), \, t,s \in [0,1])$是确定性核，其性质将在下面精确描述，但我们不假设其任何有界性。
Convolution-type stochastic Volterra equations with additive fractional Brownian motion in Hilbert space
考虑具有可加Hilbert值分数布朗运动的卷积型随机Volterra方程，$0<H<1$ .我们找到了这个随机Volterra方程的弱解，并研究了它的随机积分部分，随机卷积，我们证明是平均零高斯。我们发展了一个关于Hilbert值分数布朗运动的随机积分的It <$isometry，并用它来计算随机卷积的协方差。该公式使用了分数次积分和导数，推广了$H=1/2$情形中的著名公式。
Well-posedness and regularity of mean-field backward doubly stochastic Volterra integral equations and applications to dynamic risk measures
本文研究平均场倒向双重随机Volterra积分方程，证明其M-解的适定性与比较定理，借助Malliavin微积分建立正则性，并应用于动态风险度量的性质分析。
Linear Volterra backward stochastic differential equations
给出了由布朗运动和补偿泊松随机测度驱动的线性型倒向随机Volterra积分方程（BSVIE）的显式解三元组$(Y, Z, K)$.过程$Y$用一个积分来表示，该积分的核是显式给出的。过程$Z$和$K$由涉及$Y$的Hida-Malliavin衍生物表达。
$L^p$-valued stochastic convolution integral driven by Volterra noise
研究了线性随机偏微分方程的时空正则性。在状态空间$L^p$中定义了该解的温和意义。通过证明随机卷积积分在适当的函数空间中是Hölder连续的，得到了相应的正则性.在特殊情况下，这允许显示解的时空赫尔德连续性。所使用的主要工具是Banach空间值随机变量在有限Wiener混沌的超压缩性结果。
Multi-Dimensional Super-Linear Backward Stochastic Volterra Integral Equations
本文系统地研究了生成元在调节变量$Z$中为超线性的多维倒向随机Volterra积分方程（BSVIE）的一般可解性.讨论了两种主要情况：（i）当自由项有界且生成元对$Z$的依赖性是“严格对角”二次增长且与非对角分量次二次耦合时;（ii）当自由项是无界的，具有任意阶的指数矩，生成元对$Z$的依赖性对角地不超过二次，并且与非线性无关时，对角分量此外，对于生成元是超二次的情况，在$Z$中给出了一些否定的结果。
Affine Volterra processes with jumps
仿射过程理论最近被扩展到具有连续轨迹的随机Volterra方程的框架。这些所谓的仿射Volterra过程克服了仿射过程的建模缺点，因为它们可以具有其规律性不同于布朗运动的路径的规律性的轨迹。更具体地说，奇异核产生粗糙仿射过程。本文将这一理论推广到带跳的仿射随机Volterra方程。这种扩展并不简单，因为跳跃结构与核的可能奇点一起可能引起轨迹的爆炸。
Pathwise uniqueness for singular stochastic Volterra equations with Hölder coefficients
本文证明了一类由布朗运动驱动、带奇异核和Hölder连续扩散系数的一维随机Volterra方程的道路唯一性，进而得到唯一强解的存在性。
Path independence for the additive functionals of stochastic Volterra equations with singular kernels and Hölder continuous coefficients
本文针对奇异核、Hölder 连续系数随机 Volterra 方程，先证明适定性，再借助抛物型 SPDE 的 mild 表述与随机发展方程结果刻画可加泛函路径无关性，并应用于分数 Brown 运动相关核。
Infinite Horizon Optimal Control of Forward-Backward Stochastic Volterra Equations with Delay
研究无限时间 horizon 系统的最优控制问题，利用Hida-Malliavin微积分证明最大原理，并建立无限时间 horizon 向后随机Volterra积分方程的存在性和唯一性结果。
On stochastic integration for volatility modulated Lévy-driven Volterra processes
本文建立了波动调制Lévy-driven Volterra（VMLV）过程的随机积分理论。它扩展了最近的文献中的结果，允许随机波动和纯跳跃过程的积分。新的积分算子是基于Malliavin演算，并描述了一个预期的积分。导出了积分的基本性质，并给出了重要的应用。
Approximations for adapted M-solutions of Type-II backward stochastic Volterra integral equations
研究了一类II型倒向随机Volterra积分方程（BSVIE）.对于适应的M-解，我们得到了两个近似结果，即一个Bundle近似和一个数值逼近. BSDES逼近是指有限的倒向随机微分方程（BSDES）系统的解收敛于原方程的适应M-解。由于BSVIEs近似，我们获得了适应的M-解决方案的II型BSVIEs的$L^2$ -时间正则性的估计。对于数值逼近，我们给出了一个向后的Euler-Maruyama格式，并证明了该格式在强$L^2$意义下收敛，收敛速度为$1/2$阶.这些结果在系数没有任何可微性条件的情况下成立。
Stochastic Integration with respect to Volterra processes
我们为所谓的Volterra过程构建了一个随机分析的基础，即，定义为时间相关核相对于标准布朗运动的随机积分的过程。对于分数阶布朗运动的自然推广过程，我们构造了一个随机积分，并证明了它的一些主要性质：关于时间和核的正则性，概率绝对连续变化下的变换，可能的逼近方案和Ito公式.
Markovian lifting and asymptotic log-Harnack inequality for stochastic Volterra integral equations
针对具有完全单调核的随机Volterra积分方程，提出在可分Hilbert空间上的马尔可夫提升新框架，证明提升随机发展方程解的存在性、唯一性与马尔可夫性，并通过渐近耦合方法建立渐近对数Harnack不等式。
Volterra Integral Reduction for Boundary Diffusion Problems
本文将一类边界扩散问题转化为等价的第二类沃尔泰拉积分方程，为该类问题的理论分析与数值近似提供统一框架，并给出其在金融数学中的应用示例。
Infinite Dimensional Pathwise Volterra Processes Driven by Gaussian Noise -- Probabilistic Properties and Applications
我们调查的概率和分析性质的Volterra过程构造为路径积分的确定性内核相对于Hölder连续轨迹的希尔伯特值高斯过程。为此，我们将Volterra缝合引理从\cite{HarangTindel}推广到二维情形，构造了二维Young型算子值Volterra积分.我们证明了无穷维Volterra过程的协方差算子可以用这样一个二维积分来表示，这扩展了目前这种协方差算子的表示概念。然后，我们讨论了一系列的应用这些结果，包括建设一个粗糙的路径相关的Volterra过程驱动的高斯噪声与可能不规则的协方差结构，以及描述的不规则协方差结构所产生的高斯过程沿不规则的轨迹时移。进一步，我们考虑了高斯噪声驱动下的无穷维分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程，它可以看作是Rosenbaum等人在\cite{ElEuchRosenbaum}中提出的波动率模型的推广.
Backward doubly stochastic Volterra integral equations and applications to optimal control problems
引入并系统研究了倒向双随机Volterra积分方程（BDSVIEs）.在引入M-解的意义下，建立了BDSVIE的适定性。证明了BDSVIE的一个比较定理。借助于比较定理，我们得到了具有连续系数的BDSVIE方程解的存在性。进一步得到了线性（前向）双随机Volterra积分方程（简称FDSVIE）与BDSVIE的对偶原理.对于FDSVIE的最优控制问题，建立了Pontryagin型最大值原理.
On the approximation of Lévy driven Volterra processes and their integrals
Volterra过程出现在从湍流到能源金融的几个应用中，它们用于温度和风以及相关金融衍生品的建模。Volterra过程一般是非半鞅的，关于这种过程的积分理论实际上是不标准的。本文通过对核函数的扰动，构造了Lévy驱动的Volterra过程的逼近序列.用这种方法，可以得到半鞅的一个近似序列。然后将Volterra过程的分数次积分作为积分子，研究了相应的分数次积分的近似。我们说明的方法，提出具体的研究的伽马-Volterra过程。通过仿真给出了实例和说明。
Integral operator Riccati equations arising in stochastic Volterra control problems
我们建立了取值于巴拿赫空间L1（$μ$ $\otimes$ $μ$）中的无穷维Riccati方程对某些符号矩阵测度$μ$的解的存在唯一性.这类方程可以看作是矩阵Riccati方程的无穷维模拟，它们出现在随机Volterra方程的线性二次控制理论中。
Extended backward stochastic Volterra integral equations and their applications to time-inconsistent stochastic recursive control problems
本文研究了广义后向随机Volterra积分方程（EBSVIEs，简称EBSVIEs）。我们建立了较弱的假设下比文献的适定性，并证明了一种新的正则性性质的解决方案。作为应用，我们在开环框架下研究了时间不一致的随机递归控制问题，其中代价泛函由后向随机Volterra积分方程（BSVIE）的解定义.我们证明了相应的伴随方程成为EBSVIE，并提供了一个充要条件开环平衡控制通过变分方法。
A maximum principle for forward-backward stochastic Volterra integral equations and applications in finance
在控制区域为凸的条件下，建立并研究了正倒向随机Volterra积分方程（简称FBSVIE）的随机最大值原理.然后，提出了一个倒向随机Volterra积分方程（BSVIEs）的线性二次型（LQ）问题来说明上述最优控制问题。受上述问题求解技巧的启发，提出了一种更为简便的BSVIE M-解唯一可解性的判定方法。最后，我们将研究一个风险最小化问题的最大值原理的FBSVIE。在某些特殊情况下，得到了封闭形式的最优投资组合。
A unified approach to well-posedness of type-I backward stochastic Volterra integral equations
研究了一类新的广义多维I型倒向随机Volterra积分方程.为了实现这一目标，我们引入了一个无穷维系统的标准向后的SDES，并建立其适定性，我们表明，它是等价于一个I型向后随机Volterra积分方程。我们还建立了Hamilton-Jacobi-Bellman型非线性半线性偏微分方程的表示公式。作为应用，我们从博弈论的角度考虑时间不一致随机控制的研究。我们表明，目前的两种方法来解决这个问题，从概率和分析的角度来看是等价的。
Singular backward stochastic Volterra integral equations in infinite dimensional spaces
本文研究无限维奇异 BSVIEs，提出涵盖分数阶核等情形的奇异性条件并建立适定性，进而用于随机 Volterra 方程最优控制及时滞发展方程最大值原理。
On the maximum principle for optimal control problems of stochastic Volterra integral equations with delay
本文证明了具有凸控制区域和有限时滞的随机Volterra积分方程无穷时域折扣控制问题的充分必要最大值原理。相应的伴随方程是一类新的无穷时域期望倒向随机Volterra积分方程。我们的结果可应用于随机时滞微分方程和分数阶随机时滞微分方程的折扣控制问题。作为一个例子，我们考虑一个时滞分数阶系统的随机线性二次型调节器问题。基于最大值原理，我们证明了该具体例子的最优控制的存在唯一性，并得到了最优控制的一种新的显式高斯状态反馈表示公式.
Numerical Approximation of Stochastic Volterra Integral Equation Using Walsh Function
本文提出利用 Walsh 函数逼近及积分运算矩阵求解线性随机 Volterra 积分方程的数值方法，给出了收敛性与误差分析，并通过算例证明其比现有技术更精确。
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