边界扩散问题的沃尔泰拉积分约化
Volterra Integral Reduction for Boundary Diffusion Problems
- Lomonosov Moscow State University（莫斯科国立罗蒙诺索夫大学）
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AI总结：
本文将一类边界扩散问题转化为等价的第二类沃尔泰拉积分方程，为该类问题的理论分析与数值近似提供统一框架，并给出其在金融数学中的应用示例。
AI中文摘要：
本文研究形如 $f(t,x)=g(t,x)+\int_0^t k(t,s)\\, p(t-s,x,y)\\, \partial_x f(s,y^+)\\,ds$（其中 $0 \le t \le T$，$f$ 为未知函数，$p$ 是扩散过程的转移密度，$g$、$k$ 为给定函数）的一类积分表示。对任意系数足够正则的扩散过程，本文证明该问题等价于第二类沃尔泰拉积分方程。这种约化方法为理论分析和数值近似提供了统一框架，并给出了其在金融数学领域的实现示例。
英文摘要：
This paper addresses a class of integral representations of the form \begin{equation} f(t,x)=g(t,x)+\int_0^t k(t,s)\, p(t-s,x,y)\, \partial_x f(s,y^+)\,ds, \qquad 0 \le t \le T, \end{equation} where $f$ is unknown, $p$ is the transition density of a diffusion process, and $g, k$ are prescribed functions. For an arbitrary diffusion process with sufficiently regular coefficients, we prove that this problem is equivalent to a Volterra integral equation of the second kind. This reduction provides a unified framework for both theoretical analysis and numerical approximation. An example of the implementation in the context of financial mathematics is presented.
