A Class of Hessian quotient equations in Euclidean space
Xiaojuan Chen, Qiang Tu, Ni Xiang
本文考虑了欧几里得空间中的一类Hessian商方程。在一定的充分条件下，基于Hessian商方程解的a先验估计，利用标准度理论得到了一个解的存在性结果.
In this paper, we consider a Class of Hessian quotient equations in Euclidean space. Under some sufficient condition, we obtain an existence result by the standard degree theory based on the a prior estimates for the solutions to the Hessian quotient equations.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Serrin-type overdetermined problems for Hessian quotient equations
证明了一类完全非线性方程，即Hessian商方程和Hessian商曲率方程的超定问题解的对称性。我们的方法是基于建立一个Rellich-Pohozaev型恒等式的Hessian商方程和使用一个P函数。我们的结果推广了k-Hessian方程和k-曲率方程的超定问题。
The Neumann problem of Hessian quotient equations
本文得到了Hessian商算子的几个重要不等式，以及Hessian商方程Neumann问题的整体$C^2$估计.利用连续性方法，建立了Hessian商方程Neumann问题的$k$ -可采纳解的存在性定理.
The Neumann Problem for Parabolic Hessian Quotient Equations
本文研究抛物型 Hessian 商方程的 Neumann 问题，证明 $k$-容许解全局存在并收敛到椭圆方程的光滑解，且经典问题解收敛到平移解。
The Dirichlet problem for a class of Hessian quotient equations on Riemannian manifolds
本文考虑黎曼流形上一类Hessian商方程的狄利克雷问题。在允许子解的假设下，利用Hessian商型方程解的先验估计，讨论了边界无几何约束区域上狄利克雷问题解的存在唯一性.
Viscosity solution to complex Hessian quotient equations
本文证明了紧致Hermitian流形上复Hessian方程在粘性意义下存在严格下解时粘性解的存在性，结果涵盖复Hessian商方程，推广了以往需满足行列式支配条件的研究。
Interior Hessian estimates for sum Hessian quotient equation
本文针对和 Hessian 商方程，建立了内部 C^2 估计和 Pogorelov 型估计，并在 k=n 时给出较弱结果。
Interior estimates for Hessian quotient equations
本文证明了Hessian商方程在次数差为一或二时的内部Hessian估计，并证明该范围最优，方法结合非线性比较函数、加倍极大值原理和Pogorelov估计。
A class of sum Hessian quotient equations arising in conformal geometry
本文研究黎曼流形上带修正Schouten张量的和型Hessian商方程的(n-1)-容许解的存在性，通过建立一致先验估计，利用度理论证明其可解性。
The exterior Dirichlet problems of Hessian quotient equations
本文研究了外区域上Hessian商方程的狄利克雷问题。通过估计解的特征值，得到了径向解存在的充要条件。利用常微分方程的解，构造了粘性上下解，并利用Perron方法证明了外问题的黏性解的存在性.
The Neumann problem for a class of degenerate Hessian quotient type equations
本文研究退化Hessian商类型算子的重要不等式，推导了Neumann问题的全局先验估计及存在性定理，扩展了k的可接受范围。
On the exterior Dirichlet problem for Hessian quotient equations
本文建立了在无穷远处具有规定渐近行为的Hessian商方程的外狄利克雷问题解的存在唯一性定理。这推广了以前关于蒙日-安培方程和Hessian方程的相关结果，并以系统的方式重新排列它们.基于Perron方法，本文的主要内容是构造Hessian商方程的一些适当的子解，这是通过引入一些关于初等对称函数的新量来实现的，并利用它们分析与原方程的广义径向对称子解相关的相应常微分方程.
The Dirichlet problem for Hessian quotient equations on exterior domains
本文考虑了Hessian商方程的外狄利克雷问题，其中$g$是正函数，且$g=1+O(|x|^{-β})$在无穷远处，对某些$β>2$ .在给定的无穷远点的广义对称渐近行为下，利用比较原理和Perron方法建立了一个黏性解的存在唯一性定理.这推广了以前关于蒙日-安培方程和Hessian方程的结果.
On Liouville's theorem for the Hessian quotient equation $σ_2/σ_1$
本文证明了Hessian商方程σ₂/σ₁=1在Rⁿ中半凸整个解的Liouville定理，通过将商算子转化为σ₂算子并引用Shankar和Yuan的结果。
Interior Hessian estimates for k-convex solutions of Hessian quotient equations with 2k>n
针对满足2k>n的Hessian商方程，利用凹性不等式和逐点加倍论证，建立了k凸解的内部Hessian估计。
Interior Hessian estimates for $k$-convex solutions of Hessian quotient equations
针对Hessian商方程的$k$-凸解，采用Li-Wu的定量分离传播法推导加倍不等式，结合Shankar-Yuan的紧性论证得到内部Hessian估计，该方法也适用于一类一般Hessian方程。
Interior $C^2$ estimate for Hessian quotient equation in dimension three
本文针对三维 Hessian 商方程，利用 Jacobi 不等式建立了内部 $C^2$ 估计，是该领域的重要进展。
Interior Hessian estimates for Hessian quotient equations
研究针对$l=k-1$和$l=k-2$情形的一般Hessian商方程，借助半凸条件下Hessian商算子的定量凹性不等式，建立了容许半凸解的内部$C^2$估计，为任意维数下对应范围的该类方程提供了统一论证。
Interior $C^{2}$ estimate for semi-convex solutions to a class of Hessian quotient equations in arbitrary dimensions
研究Hessian商方程在任意维度下的内部$C^2$估计，探讨半凸条件下的椭圆性，并推导相应求和Hessian方程的结果，同时建立若干刚性结论。
Hessian Estimates for Convex Solutions of Hessian Quotient Equations via Compactness
本文通过紧致性方法，为两类 Hessian 商方程的凸解建立了内部 Hessian 估计，并改进了 Lu 和 Fung 的证明。
Existence of classical solutions to the exterior Dirichlet problem for Hessian quotient equations
本文针对右端非恒定的Hessian商方程外狄利克雷问题，通过构造半径无关的边界到内部估计与爆破论证，证明了经典容许解的存在性及无穷远处Hessian的收敛性，还处理了源项非径向扰动等情形。
A Concavity Inequality for Hessian Quotient Equations
本文利用对称多项式基变换证明Hessian商算子σ_k/σ_{k-1}的凹性不等式，消除了相关方程凸解C²估计的额外假设，还得到初等对称多项式的若干有用不等式。
Interior Hessian estimates for Hessian quotient equations in dimension three
本文研究了三维中2凸解的内部Hessian估计，以及更高维中半凸解的估计，并提出新方法证明光滑解的倍增不等式，同时在更高维中引入动态半凸性条件。
The Neumann problem for a class of Hessian quotient type equations
针对右端含梯度项的一类 Hessian 商方程 Neumann 问题，论文在增长条件下建立 $(\Lambda,k)$-凸解的内部梯度估计，并据此获得全局先验估计与存在性定理。
Exterior Dirichlet Problems for Hessian Quotient Equations of Mixed Type
本研究针对混合型Hessian商方程的外狄利克雷问题，通过三阶段次解构造证明了具有指定二次无穷远渐近行为的光滑容许解的存在与唯一性，并得到余项的全导数衰减。
The existence of $(\mathbf{p}, k)$-convex hypersurfaces for a class of Hessian quotient type curvature equations
本文研究了一类Hessian商型曲率方程中闭合星形超曲面的存在性，结合先验估计与连续方法，证明了非齐次和齐次方程的(p,k)-凸超曲面存在性和唯一性，并利用新发现的『逆凸性』性质，证明了常秩定理，从而获得严格凸解的存在性和唯一性。
Interior derivative estimates and Bernstein theorem for Hessian quotient equations
本文针对椭圆型和抛物型Hessian商方程建立了内部导数估计，并在此基础上证明了抛物型Hessian商方程的Bernstein定理，刻画了全局抛物凸解必为线性时间项与凸二次多项式之和的形式。
A concavity inequality and interior $C^2$ estimate for Hessian quotient equations
该研究建立了特定参数下Hessian商算子的凹性不等式与对应Jacobi不等式，结合已有框架得到Hessian商方程凸解的内部Hessian估计，并证明了具有二次增长的整体凸解必为二次多项式。
The oblique boundary value problem for degenerate Hessian quotient type equations
本文针对光滑有界域中的退化Hessian商型方程斜边值问题，在无几何限制条件下，于指定函数类中建立先验估计，得到$C^{1,1}$解的存在与唯一性结果。
Dirichlet problem for degenerate Hessian quotient type curvature equations
本文研究退化Hessian商型曲率方程的Dirichlet问题，在特定正则性条件下证明 $C^{1,1}$ 图形超曲面的存在唯一性，并给出退化Hessian型方程在最优条件下的二阶导数估计。
Doubling Argument of the Hessian Estimate for the Hessian Quotient Equations
本文针对特定条件下的黑塞商方程，建立逐点加倍论证来获取凸解的黑塞估计，不依赖勒让德变换等，还给出反例说明结构假设的必要性，最后将论证扩展到一般黑塞商方程。
C^0 estimates for Hessian quotient equations on HKT manifolds
我们直接巧妙地利用锥条件给出了具有挠流形的超Kähler上的Hessian商方程解的$C^0$估计，而不需要对其超复结构作任何额外的假设.
The $L_p$ dual Christoffel-Minkowski type problem for a class of Hessian quotient equations
本文研究了Hessian商算子σ_k(Λ)/σ_l(Λ)的L_p对偶Christoffel-Minkowski类型问题，利用新发现的'逆凸性'性质，在适当结构假设下建立了满秩定理，并结合先验估计证明了严格球面凸解的存在性和唯一性。
Interior $C^2$ estimate for Hessian quotient equation in general dimension
针对一般维数下 Hessian 商方程的内部 $C^2$ 正则性问题，论文证明该估计在 $k=n-1,n-2$ 时成立，并在 $k\leq n-3$ 时以奇异解证明其失效。
A class of Hessian quotient equations in the warped product manifold
本文考虑了翘曲积流形$\overline{M}=I\times_λM$上的一类Hessian商方程.在充分条件下，利用标准度理论，基于Hessian商方程解的先验估计，得到了$\overline{M}$中星形紧致超曲面$Σ$的存在性结果.
Hessian quotient equations on exterior domains
众所周知，蒙日-安培方程的著名的Jörgens-Calabi-Pogorelov定理指出，$\mathbb{R}^n$中的任何经典（粘性）凸解$\det(D^2u)=1$必须是二次多项式。因此，研究这类完全非线性偏微分方程的Dirichlet问题在无穷远处的渐近条件的存在性和唯一性是一个有趣的课题。作为Caffarelli-Li对蒙日-安培方程和Bao-Li-Li对$k$ -Hessian方程工作的继续，本文研究了Hessian商方程$σ_k(λ(D^2u))/σ_l(λ(D^2u))=1$的Dirichlet外问题对任意$1\leq l<k\leq n$在所有维数$n\geq 2$上的可解性.通过引入广义对称下解的概念，利用Perron方法，建立了一类黏性解的存在性定理，该解在无穷远处具有接近于某个二次多项式的渐近性态.
Pogorelov type interior $C^2$ estimate for Hessian quotient equation and its application
针对Hessian商方程建立Pogorelov型内部$C^2$估计，并据此给出凸粘性解在两类尖锐正则性阈值下的正则性结论。
A special concavity property for positive Hessian quotient operators
该研究建立了正Hessian商算子的特殊凹性性质，并以此证明了黎曼流形上满足对应方程的一般对称张量的Jacobi不等式，丰富了相关算子的性质研究。
The Dirichlet problem for Hessian quotient type curvature equations in Minkowski space
针对非凸区域，在不假设下解和Serrin型条件下建立先验估计，证明闵可夫斯基空间中一类Hessian商型曲率方程Dirichlet问题的存在性。
Remarks on Hessian quotient equations on Riemannian manifolds
针对 Delanoë 和 Urbas 提出的相关问题，本文在二维黎曼流形上利用新测试函数与商算子凹性，证明实 Hessian 商方程具有无障碍二阶先验估计，并揭示其与复几何中 $J$-方程障碍的差异。
Necessary and Sufficient Conditions to Bernstein Theorem of a Hessian Equation
研究了黑塞矩阵D^2u的特征值的k阶对称初等函数S_k（D^2u）的Hessian商方程. Bao-Cheng-Guan-Ji（[1]，American J. Math.，2003，125，301-316），分别确保了Hessian商方程或k-Hessian方程的Bernstein性质。本文抛弃了文[1]中的点式二次增长条件，分别利用一个逆等周型不等式、体积增长或Lp-可积证明了（0.1）和（0.2）的Bernstein性质的三个充要条件，我们的体积增长或Lp-可积条件大大改进了文[1，6，7，13，18]等中已知的各种点式条件.
Pogorelov type interior $C^2$ estimate for sum Hessian quotient equations on Riemannian manifolds
针对黎曼流形上一类和Hessian商方程，建立了测地球中心处的内部$C^2$估计以及带零Dirichlet边界的Pogorelov型估计。
Pogorelov type estimates for a class of Hessian quotient equations in Lorentz-Minkowski space $\mathbb{R}^{n+1}_{1}$
设$Ω$是$(n+1)$维Lorentz-Minkowski空间$\mathbb{R}^{n+1}_{1}$中双曲平面$\mathscr{H}^{n}(1)$上的有界区域（具有光滑边界），中心在原点，半径为$1$.本文利用先验估计，建立了一类定义在$Ω\subset\mathscr{H}^{n}(1)$上且Dirichlet边界条件为零的Hessian商方程的$k$ -凸解的Pogorelov型估计.
Rigidity of the entire solutions of 2-Hessian equation
本文证明了欧几里得空间中2-Hessian方程的2-凸整体解的刚性定理。作为应用，我们得到了全局特殊Lagrange图的一个Bernstein型定理.
The curvature estimates for convex solutions of some fully nonlinear Hessian type equations
甚至对于凸集\cite{GRW}，商曲率方程的曲率估计也不总是存在.因此寻找其他类型的具有曲率估计的椭圆型方程是一个自然的问题。本文讨论了由对称多项式定义的完全非线性椭圆型方程，主要是初等对称多项式的线性组合的曲率估计的存在性.
Overdetermined problems for sum Hessian equations in the space forms
本文研究空间形式中规范化Hessian和方程及其商方程的过定问题，证明在星形或Dirichlet值上界条件下区域为测地球，并推广至无星形假设情形，方法为辅助函数与Rellich–Pohožaev恒等式。
Pogorelov type $C^2$ estimates for Sum Hessian equations and a rigidity theorem
本文主要研究Sum Hessian方程狄利克雷问题解的Pogorelov型$C^2$估计。在一定条件下，分别建立了$k$ -凸解和可采纳解的Pogorelov型$C^2$估计.进一步，我们应用这种估计得到了欧几里得空间中Sum Hessian方程的$k$ -凸解的刚性定理.
Oblique boundary value problems for augmented Hessian equations I
本文研究了一类一般算子的增广Hessian方程斜边值问题的整体正则性。通过假设一个自然的凸性条件的域加上适当的凸性条件的矩阵函数的增广Hessian，我们开发了一个整体理论的经典椭圆形解决方案，建立全球先验导数估计到二阶。除了已知的Monge-Hessian 'ere型算子在最优输运和几何光学中的应用外，本文的一般理论还包括共形几何中的预定中曲率问题以及增广k-Hessian、Hessian商方程和某些退化方程的斜边值问题。
Hessian equations of Krylov type on Kähler manifolds
本文考虑闭Kähler流形上的Hessian方程，其结构为初等对称函数的组合。我们给出了这类方程可解的一个充分和必要条件，推广了Hessian方程和Hessian商方程的结果。
On the Dirichlet problem for general augmented Hessian equations
在本文中，我们应用各种第一和第二导数估计和障碍建设从我们的治疗斜边值问题增广Hessian方程，Dirichlet边界条件的情况下。因此，我们将以前关于Monge-Ampere和k-Hessian情形的结果推广到欧几里得空间中的广义Hessian方程
Optimal function spaces for the weak continuity of the distributional $k$-Hessian
本文在欧氏$n$ -空间$k=2,\ldots,n$中引入了与Besov型函数相关的分布$k$ -Hessian的概念.特别地，受Baer和Jerison最近关于分布Hessian行列式的工作的启发，我们证明了分布$k$ -Hessian在Besov空间$B(2-\frac{2}{k},k)$上是弱连续的，并且在空间$B(s,p)$的框架下是最优的，即，分布$k$在$B(s,p)$中定义良好当且仅当$B(s,p)\subset B_{loc}(2-\frac{2}{k},k)$。
On the exterior Dirichlet problem for a class of fully nonlinear elliptic equations
本文主要建立了一类完全非线性二阶椭圆型方程的外狄利克雷问题解的存在唯一性定理，该方程的特征值在无穷远处具有给定的广义对称渐近行为.此外，我们还对已有的Hessian方程、Hessian商方程和特殊的Lagrange方程给出了一些新的结果。
On the exterior Dirichlet problem for Hessian type fully nonlinear elliptic equations
讨论了一类完全非线性椭圆型方程$$f(λ(D^2u))=g(x),$$的外狄利克雷问题，该方程在无穷远处具有规定的渐近行为.这种类型的方程已经被广泛研究的Caffarelli-Nirenberg-Spruck \cite{Caffarelli1985}，Trudinger \cite{Trudinger1995}和许多其他人，并有显着的讨论，可解性的经典狄利克雷问题通过连续性方法，假设$f$是一个凹函数。本文在Perron方法的基础上，通过假设$f$与\cite{Caffarelli1985,Trudinger1995}一样满足一定的结构条件，建立了方程黏性解的外部存在唯一性结果，它可以包括著名的蒙日-安培方程，Hessian方程和Hessian商方程作为特例，但不需要证明.
A viscosity approach to the Dirichlet problem for degenerate complex Hessian type equations
在$\C^n$中，对域上复Hessian型方程的狄利克雷问题引入了粘性方法.的论点是仿照理论的黏性解的真正海森型方程开发的Trudinger。因此，我们解决了狄利克雷问题的海森商和特殊的拉格朗日方程。我们还建立了解的基本正则性结果。
Some results for semi-stable radial solutions of $k$-Hessian equations
本文研究了欧几里得空间$R^n$上的$S_k(D^2u) = w(|x|)g(u)$的半稳定非常数径向解.我们建立点态估计和必要条件存在这样的解决方案（不一定有界），该方程。对于有界解，我们估计它们在无穷远处的渐近行为。所有的估计都是根据空间维数$n$、$k$的值和$w$的增长率函数在无穷远处的行为给出的。
An interior estimate for convex solutions and a rigidity theorem
建立了$k$ -Hessian方程狄利克雷问题的$k+1$凸解的内部$C^2$估计.利用这一估计，我们得到了欧几里得空间中$k$ -Hessian方程的$k+1$凸整解的刚性定理.
On uniform estimate of complex elliptic equations on closed Hermitian manifolds
本文研究了闭Hermitian流形上的Hessian方程和复商方程。我们直接导出了可采纳解的一致估计。作为应用，我们求解了闭Kähler流形上的一般Hessian方程.
Local pointwise second derivative estimates for strong solutions to the $σ_k$-Yamabe equation on Euclidean domains
证明了欧几里得整环上$σ_k$ -Yamabe方程正$W^{2,p}$解的局部逐点二阶导数估计，并讨论了正解和负解的情形。增广海森方程的推广也被认为是。
Second order estimates for Hessian type fully nonlinear elliptic equations on Riemannian manifolds
本文给出了黎曼流形上一类完全非线性椭圆型方程解的二阶导数的先验估计。我们考虑的方程自然出现在几何问题和其他应用中，如最优运输。在文献中有一些基本的假设，以确保方程是椭圆的，并且一旦估计到二阶导数，就可以应用Evans-Krylov定理。然而，在以前的工作需要额外的假设，这是更多的技术性质，以克服各种困难。在本文中，我们能够消除这些技术假设中的大部分。事实上，我们在几乎最优的条件下推导出了估计，并证明了狄利克雷问题的存在性结果，即使对于欧几里得空间中的有界域来说，这些结果也是新的。此外，我们的方法可以应用到其他类型的非线性椭圆和抛物型方程，包括那些在复流形。
Euclidean Domains with Nearly Maximal Yamabe Quotient
本文证明欧几里得域若其Yamabe商几乎达到球的最大值，则该域几乎为球，并给出与拟共形系数的定性比较。
The Dirichlet problem of the homogeneous $k$-Hessian equation in a punctured domain
本文考虑齐次$k$ -Hessian方程在$0\inΩ$上具有规定渐近行为的狄利克雷问题，其中$Ω$是欧氏空间中的$(k-1)$ -凸有界区域.如果是$k>\frac{n}{2}$，解在$0$处的规定渐近行为为零;如果是$k=\frac{n}{2}$，解在$0$处的规定渐近行为为$\log|x|+O(1)$;如果是$k<\frac{n}{2}$，解在$-|x|^{\frac{2k-n}{n}}+O(1)$处的规定渐近行为为$-|x|^{\frac{2k-n}{n}}+O(1)$。为了解决这个问题，我们考虑了在$Ω\setminus \overline{B_r(0)}$中逼近$k$ -Hessian方程的狄利克雷问题，其中$r$是小的.首先构造了近似$k$ -Hessian方程的下解.然后基于第二作者和第三作者建立的新的梯度和二阶估计，我们得到了逼近方程的逐点$C^{2}$ -估计。此外，我们证明了一个一致的正下界的梯度，如果域是星形的$0$。作为应用，我们证明了一个沿近似解水平集的恒等式，并得到了一个近似单调公式。特别地，我们利用$\frac{n}{2}\le k<n$得到了$\mathbb R^n$中光滑严格的$(k-1)$ -凸星形闭超曲面的一个加权几何不等式。
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