Evolutionary Equations
Christian Seifert, Sascha Trostorff, Marcus Waurick
这是第23届演化方程因特网研讨会讲义的最终版本，也可参见https://www.mat.tuhh.de/isem23/。
This is the final version of the lecture notes of the 23rd Internet Seminar on Evolutionary Equations, see also https://www.mat.tuhh.de/isem23/.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Profile for the imaginary part of a blowup solution for a complex-valued seminar heat equation
本文在全空间$\mathbb{R}^n$中考虑如下复值半线性热方程\begin{eqnarray*} \partial_t u = Δu + u^p, u \in \mathbb{C}, \end{eqnarray*}，其中$ p \in \mathbb{N}, p \geq 2$ .我们的目标是为这个方程构造一个复解$u = u_1 + i u_2$，它在有限时间$T$中爆破，并且只在一个爆破点$a$处爆破，对于最终轮廓\begin{eqnarray*} u(x,T) &\sim & \left[ \frac{(p-1)^2 |x-a|^2}{ 8 p |\ln|x-a||}\right]^{-\frac{1}{p-1}}, u_2(x,T) &\sim & \frac{2 p}{(p-1)^2} \left[ \frac{ (p-1)^2|x-a|^2}{ 8p |\ln|x-a||}\right]^{-\frac{1}{p-1}}\frac{1}{ |\ln|x-a||} , \text{ as } x \to a. \end{eqnarray*}有以下估计。注意，虚部是非零的，并且它也在点$a$处爆破。我们的方法依赖于两个主要参数：减少的问题，以有限维的和拓扑参数的基础上的指数理论得到的结论。据我们所知，这是第一次在多维空间中导出虚部的爆破行为。
On the Monge-Ampère equation
本文包含作者在2018年6月的布尔巴基研讨会上讨论的材料，关于蒙日-安培方程理论的最新发展。
On The Interpretation Of The Master Equation
自P.L.狮子在他的讲座和研讨会在法兰西学院，见[9]，也是非常有益的注意Cardialaguet [4]对狮子的讲座，主方程吸引了很多的兴趣，并提出了各种观点，例如见Carmona-Delarue [5]，Bensoussan-Frehse-Yam [2]，Buckdahn-Li-Peng-Rainer [3]。有几种方法来引入这种类型的方程;在那些提到的作品中，它们涉及一个参数，这是一个概率测度，而P. L. Lions最近提出了用希尔伯特空间中的平方可积〔的〕随机变量工作的思想。因此，写方程是一个问题;而另一个问题是它的起源。在这篇文章中，我们讨论了所有这些不同的方面，我们的建模论点在很大程度上依赖于法国学院由P.L.狮子座2014年11月14日
On construction of solutions of evolutionary Non Linear Schrodinger equation
在这项工作中，我们提出了一个应用程序的船只的理论解决方案的演变非线性薛定谔（NLS）方程。初值问题可解的函数类依赖于通常NLS方程的逆散射理论的类似物的存在。该方法与Zackarov-Shabbath求解演化NLS方程的经典方法类似，但具有公式简单、构造演化NLS方程解的新技术和新概念的优点。
Maximal Regularity for Non-Autonomous Evolutionary Equations
讨论了具有非自治系数的发展方程的最大正则性问题。这里发展方程是在希尔伯特空间中考虑的抽象偏微分代数方程。该捕获是考虑指数加权希尔伯特空间中的时间相关的偏微分方程。顺便说一句，建立时间导数作为一个连续可逆的，正规算子承认一个谓词演算的傅里叶-拉普拉斯变换提供的谱表示。在这里，主要的结果，然后是一个正则性的结果为适定的发展方程仅仅基于一个假设的抛物线型结构的方程和估计的换向器的系数与时间导数的平方根。因此，我们同时推广现有的结果在文献中的非光滑域。讨论了散度型方程、积分微分方程、具有非自治系数和粗糙系数的扰动以及涡流型非自治方程的例子。
On completely integrable polynomial PDEs arising from Sturm-Liouville differential equation using evolutionary vessels. KdV Hierarchy
在这项工作中，我们提出了一个计划的建设解决方案的发展偏微分方程的一些多项式类型q '_t = P（q，q'_x，...），其中P是有限个变量的多项式。该方案是一个推广的现有技术的解决方案的完全可积偏微分方程使用逆散射的Sturm-Liouville微分方程。KdV方程q 't = - 3/2 q 'x + 1/4 q' xxx是一个特例，对应于第一类发展方程.本文给出了0型完全解，并给出了对应于无穷多个多项式发展方程的KdV族，其形式为β= 1/2 \int_0^x q（y，t）dy而不是q（x，t）本身，其中b_0 = -1/4 β“'_{xxx} + 3/2（β'_x）^2对应于KdV方程，4（b_{n+1}）β”'_x = -i（b_n）_{xxx}"' +4 i（β '_xb_n）β“'_x。孤立子解决方案（即只涉及纯指数），提出了每个这样的演化方程，展示了“简单”的解决方案建设。
Evolutionary Equations are $G$-compact
本文在 Picard 意义下证明自治演化方程的 $G$-紧性，通过引入更一般的材料律，去除了空间域有界性、正则性、周期性、遍历性及预解式紧性等假设，并给出仅用静态方程判定时间依赖方程 $G$-收敛的准则。
Solution of the Boussinesq equation using evolutionary vessels
在这项工作中，我们提出了一个解决方案的Boussinesq方程。导出的公式包括孤子，Schwartz类解决方案和解决方案，拥有一个闭集Z的（x，t）域，从零点的tau函数。求解Boussinesq方程的思想与求解KdV和演化NLS方程的（统一）思想相同：我们使用演化血管理论。但是，一个更强大的理论，非对称进化血管，插入灵活性的建设，并允许处理复值的解决方案。一个强大的散射理论的Deift-Tomei-Trubowitz的三维运营商，这是用来解决Boussinesq方程，适合我们的设置只有在特定的情况下。另一方面，我们创造了一个更广泛的一类解决方案的Boussinesq方程的奇点上的一个闭集$Z$。
Infinite energy solutions to the Navier-Stokes equations in the half-space and applications
这篇短文是对前川、三浦和普兰吉的论文arXiv：1711.01651和arXiv：1711.04486的介绍。这两篇文章讨论了半空间$\R^3_+$中Navier-斯托克斯方程的温和解和局部能量弱解的存在性.我们强调浓度的结果（次）临界规范附近的潜在的奇异性。这些笔记的内容于2017年10月在IHÉS的X-EDP研讨会上发表。
Continuous dependence on the coefficients for a class of non-autonomous evolutionary equations
某些（非自治，部分，积分微分代数，进化）方程的系数的解决方案的连续依赖性的解决方案。我们给出的标准，保证收敛的系数在弱算子拓扑意味着弱收敛的各自的解决方案。我们举三个例子：弹性力学Kelvin-Voigt模型的均匀化问题，阻抗型边界条件下声波系数的连续依赖性讨论，混合型方程的奇异扰动问题。通过反例证明了所得结果的最优性。
Exact Travelling Wave Solutions of Some Nonlinear Nonlocal Evolutionary Equations
将求解非线性偏微分方程精确解的直接代数方法应用于一类非线性非局部发展方程，包括非线性电报方程、Burgers方程的双曲推广以及一些空间非局部流体动力学模型。特别注意的是扭结和孤子的解决方案的建设。
Spatial Approximation for Evolutionary Equations
本文提出了一种适用于演化方程的通用近似理论，并通过谱方法对热方程进行空间离散化验证。
On the continuous dependence on the coefficients of evolutionary equations
在一个抽象的希尔伯特空间中，我们讨论了数学物理中的许多线性现象.提出的功能分析框架是用来解决某些（线性偏微分）方程的系数$\mathcal{M}$的解决方案运营商$\mathcal{S}(\mathcal{M})$的连续依赖。为此，我们引入了一类特殊的系数$\mathcal{M}$和研究（非线性）映射$\mathcal{M}\mapsto \mathcal{S}(\mathcal{M})$。我们提供的标准，保证连续性的$\mathcal{S}(\cdot)$下的规范，强，弱算子拓扑。我们在非自治的电磁理论，热力学和声学的研究结果。
Semigroups and Evolutionary Equations
我们展示了如何强连续半群可以与发展方程。为此，我们需要定义容许历史函数和初态的空间。此外，初值问题必须在演化方程的框架内制定，这是通过使用外推空间理论来完成的。结果被应用到两个例子。首先，讨论了无穷维微分代数方程，并证明了C_{0} -半群是如何与这类问题相联系的。在第二个例子中，我们处理一个具体的双曲型延迟方程。
Solution of the KdV equation using evolutionary vessels
本文提出了求解KdV方程q '_t = - \dfrac{3}{2} q'_x + \dfrac{1}{4} q "'_{xxx}的一种新方法.所提出的方法是一个特殊的情况下，进化的船只，在这项工作中开发的理论。Sturm-Liouville算子的逆散射及其势的演化是基本成分，类似于Gardner-Greene-Kruskal-Miura（1967），Zacharov-Shabbath（1974）和Peter Lax（1977）开发的现有方法。进化KdV血管可以被认为是这些以前的工作的推广。新方法的优点是，它产生了一个统一的方法，现有的KdV方程的解决方案。例如，奇数或偶数解析，周期，殆周期解被证明是这个理论的特殊情况。推广这种方法，我们也可以产生许多偏微分方程，与可积系统，在任意数量的变量（在精神Zakarov-Shabat）。
Generalized evolutionary equations with imposed symmetries
本文提出一种算法，可以识别出一般的一类描述具有相似对称性的动力系统的偏微分方程。我们将从一组给定的对称性出发，确定不变量，然后确定相容的演化方程。该算法将举例说明两类方程描述的福克-普朗克模型和“向后”Kolgomorov一个。
Duality for Evolutionary Equations with Applications to Null Controllability
本文研究了指数加权L²空间中演化方程的对偶性，并探讨了其在零可控性中的应用。
Exponential Stability and Initial Value Problems for Evolutionary Equations
在这篇论文中，我们考虑所谓的线性发展问题，一类线性偏微分方程，涵盖了数学物理中的经典椭圆型、抛物型和双曲型方程，以及积分微分方程、分数阶微分方程和时滞方程。我们在纯希尔伯特空间中讨论了问题的适定性。此外，还研究了该问题的指数稳定性和正则性。特别地，证明了一个Hille-Yosida型结果，从而得到了由容许初值和预历史组成的适当状态空间上的强连续半群。结果通过各种例子说明。
Exponential stability for second order evolutionary problems
研究了发展方程的指数稳定性。重点放在二阶问题，我们提供了一种方法来改写他们作为一个合适的一阶发展方程，其稳定性可以证明使用频域方法。所考虑的问题类是广泛的，足以涵盖积分微分方程，延迟方程和经典的发展方程在一个统一的框架。
Exponential Stability for Linear Evolutionary Equations
本文在演化方程的框架内给出了指数稳定性的一种方法。皮卡德经典数学物理中线性物质定律的结构观察。数学方法应用科学，32（14）：1768- 1803，2009]。我们得到了指数稳定的充分条件的物质法律运营商，这是通过一个解析和有界算子值函数定义，并给出了预期的衰减率的估计。通过微分代数方程、有限时滞偏微分方程和抛物型积分微分方程三个例子说明了所得结果。
Adjoints of sums of m-accretive operators and applications to non-autonomous evolutionary equations
本文为m-增生算子之和的伴随提出相容性条件，并应用于证明具有$L_{\infty}$系数的非自治演化方程的适定性，推广了已知结果并开辟新方向。
Homogenization of the two-dimensional evolutionary compressible Navier-Stokes equations
研究二维穿孔区域内极小孔洞亚临界情形下演化可压缩Navier-Stokes方程的均匀化，证明密度与速度收敛至非穿孔区域的解。
On Evolutionary Equations with Material Laws Containing Fractional Integrals
一个适定性结果的时移不变类的演化算子方程涉及材料的法律与分数时间积分的顺序$α\in]0,1[$被认为是一个应用程序的Kelvin-Voigt型模型和例证。
A priori bounds for degenerate and singular evolutionary partial integro-differential equations
研究了二阶拟线性发展型偏积分微分方程，其中包括时间阶小于1的时间分数阶$p$ -Laplace方程.通过适当的能量估计和De Giorgi的迭代技巧，我们建立了断言适当定义的弱解的整体有界性的结果。我们还证明了一个最大值原理对这类方程是有效的。
Square function estimates for the evolutionary p-Laplace equation
我们证明了新的（本地）平方函数/Carleson措施估计的非负解的发展$p$ -Laplace方程的补充抛物Ahlfors-David正则集。在热方程的情况下，拉普拉斯方程以及$p$ -拉普拉斯方程，相应的平方函数估计已被证明是基本的对称性和反/自由边界型问题，特别是在研究（抛物）一致可求长。虽然平方函数估计的影响是不太清楚的发展$p$ -拉普拉斯方程，主要是由于其缺乏同质性，我们给了一些初步的应用，抛物均匀可求长性，边界行为和Fatou型定理$\nabla_Xu$。
Well-posedness and exponential stability of dispersive nonlinear Maxwell equations with PML: An evolutionary approach
本文利用 Hilbert 空间中的演化方程框架，研究含 PML 的色散非线性 Maxwell 方程，证明其一阶系统适定且指数稳定，并建立适用于非局部材料的统一分析框架。
On evolutionary equations related to skew-symmetric spatial operators
本文研究实希尔伯特空间中与稠定斜对称算子相关的演化方程，建立压缩半群存在性及唯一性判据，并应用于具螺线管系数的输运方程。
Decay estimates for evolutionary equations with fractional time-diffusion
考虑一个时间扩散为分数阶的发展方程，给出了有界区域上解的$L^s$ -范数随时间的衰减估计。我们考虑的空间算子是非常普遍的，包括经典的局部和非局部扩散方程。
Decay estimate for the solution of the evolutionary damped $p$-Laplace equation
本文研究了具有Dirichlet边值的发展阻尼$p$-Laplace方程\begin{equation*} u_{tt}+a\, u_t =Δ_p u \end{equation*}的解$u$在$t$趋于无穷大时的渐近性态.设$u^*$表示具有相同边界值的平稳解，则对于像$t^{-\frac{1}{(p-1)p}}$这样的大$t$，在退化情形$ p > 2$下，$u(t) - u^{*}$的$W^{1,p}$ -范数衰减.
Stochastic evolutionary p-Laplace equation: Large Deviation Principles and Transportation Cost Inequality
建立了小乘性布朗噪声驱动下发展p-Laplace方程强解的大偏差原理，其中弱收敛方法起着关键作用.利用Girsanov变换和$L^1$ -压缩方法，证明了问题的强解的二次运输费用不等式.
Evolutionary branching via replicator-mutator equations
考虑一类非局部反应-扩散问题，在进化遗传学中称为复制-增变方程。对于一个限制适应度函数，我们证明了适定性，并明确地写的解决方案，通过一些基本的薛定谔谱元素（我们提供新的和非标准的估计）。因此，长时间行为由主本征函数或基态决定。在此基础上，我们讨论（严格和通过数值探索）的适应度函数和突变率的条件，进化分支发生。
Weak Operator Continuity for Evolutionary Equations
本文研究了 Picard 意义下演化方程的解算子连续性，提出了一种针对材料律的向量值全纯函数拓扑，使得解算子在弱算子拓扑下连续，并应用于时间依赖偏微分方程的非局部均匀化及细胞迁移模型。
Numerical Treatment of Non-local Integral Operators in the Framework of Evolutionary Equations
本文在演化方程框架下，研究非局部积分算子的数值处理方法，通过收敛性证明和模拟结果探讨其解的近似特性。
A Note on Fractional Evolutionary Equations
研究了一类含有分数阶时间导数的线性发展方程。主要的结果是适定性和因果关系的这个问题类。该方法说明了两个例子：一个分数福克-普朗克型方程和一类粘弹性材料通过分数阶导数描述。最后，讨论了施加初始条件的可能性。
Irregular dynamic systems according to R.J. DiPerna and P.L. Lions
这些是2003年在RAS力学问题研究所举行的一次研讨会的笔记，旨在介绍[R.J.DiPerna和P.L.狮子，发明。98，511（1989）]。讨论了DiPerna和Lions提出的奇异常微分方程的广义解的概念。本文从“自然哲学”的观点出发，强调奇异动力系统的重要性，并推广和简化了R.J.DiPerna和P.L.狮子进一步的扩展进行了讨论。
Stochastic optimal control of a evolutionary $p$-Laplace equation with multiplicative Lévy noise
本文研究了乘性Lévy噪声驱动的演化$p$ -Laplace方程的初值最优控制问题.我们首先提出了一个弱解的适定性，通过使用隐式时间离散的问题，随着Jakubowski版本的Skorokhod定理的非度量空间。然后，我们制定了相关的控制问题，并建立了最优解的存在性，通过使用变分方法和利用凸性的成本功能。
On Maximal Regularity for a Class of Evolutionary Equations
在希尔伯特空间的框架下讨论了一类发展方程的极大正则性问题。将演化方程看作两个无界算子的和，证明其最大正则性等于证明算子和与其自然区域的和已经是闭的。为此，我们使用系数的结构约束，而不是半群策略或半线性型方法，这将是很难得到我们的一般问题类。我们的方法，虽然限于希尔伯特空间的情况下，补充已知的策略接近最大的规律性，并在不同的方向上扩展它们。抽象的研究结果说明重新考虑一些已知的最大规律性的结果在框架内。
Moving gradient singularity for the evolutionary $p$-Laplace equation
该研究针对n维欧氏空间中的演化p-拉普拉斯方程，在p>n的条件下构造了一类沿给定曲线移动的梯度奇异性解，丰富了该方程的奇性解理论。
Well-Posedness of Evolutionary Navier-Stokes Equations with Forces of Low Regularity on Two-Dimensional Domains
证明了在适当的参数范围内，在空间$L^q( (0,T); \mathbf{W}^{-1,p}(Ω))$中带力的二维斯托克斯方程对于$p$和$q$解的存在唯一性.空间测量值的不均匀性的情况下，包括在内。对于相关的斯托克斯方程的适定性结果在任意维数与$1 < p, q < \infty$任意验证。
Evolutionary game theory in mixed strategies: from microscopic interactions to kinetic equations
在这项工作中，我们提出了一个动力学制定的进化对策论的零和对策时，代理人使用混合策略。我们从一个简单的自适应规则开始，在遭遇战之后，每个智能体都增加了在比赛中使用的成功纯策略的概率。我们推导出玻尔兹曼方程，它描述了这种微观规则的宏观效应，我们得到一个一阶，非局部，偏微分方程作为极限时的概率变化为零。我们研究了这个方程和著名的复制者方程之间的关系，证明了纳什均衡、偏微分方程的定态解和复制者方程的均衡之间的等价性.最后，我们将偏微分方程解的长时间行为与复制子方程的稳定性联系起来。
On linear evolutionary equations with skew symmetric spatial operators
本文研究了实 Hilbert 空间中与稠定斜对称算子相关的线性发展方程，证明了收缩半群的存在性以提供广义解并给出唯一性准则，应用于输运方程和线性化 Euler 方程，并在正则性假设下证明了空间算子的斜伴随性，确保了前向和后向 Cauchy 问题广义解的存在与唯一。
Evolutionary boundary delay equations
研究将演化偏微分方程适定性结果扩展到含非自治材料行为问题类，构建框架处理相关延迟边值问题，能特殊处理多种边界条件，通过应用展示理论可行性与通用性。
A pathwise regularization by noise phenomenon for the evolutionary $p$-Laplace equation
该研究针对势函数随时间平移的演化$p$-拉普拉斯问题，在轨迹局部时足够正则的条件下，证明了经典方法失效的奇异势函数下解的存在性，确立了该非线性问题的路径式噪声正则化现象。
On Non-Autonomous Integro-Differential-Algebraic Evolutionary Problems
在这篇文章中，我们证明了在[16]中建立的[13]意义下的发展方程的适定性结果的技术适用于更广泛的一类非自治积分微分代数方程。利用演化映射的概念，我们证明了相应的解决方案运营商不依赖于某些参数描述的基础空间中的适定性结果成立。
Well-posedness of Non-autonomous Evolutionary Inclusions
考虑了希尔伯特空间中一类非自治微分包含.通过建立映射的极大单调关系，证明了该类的适定性。此外，这样建立的解决方案运营商的因果关系。结果举例说明的热塑性方程与不定常系数和非自治版本的粘塑性方程与内部变量。
Singularities and heteroclinic connections in complex-valued evolutionary equations with a quadratic nonlinearity
本文研究了复值演化偏微分方程（PDE）解的动力学性质，并通过计算机辅助证明证明了从非平凡平衡点到零的异宿轨道的存在性.我们还表明，存在的无界解沿非稳定流形在平衡点以下的异宿轨道的存在。我们的计算机辅助证明由三个独立的技术严格的数值：一个封闭的本地非稳定流形的平衡，一个严格的集成偏微分方程，和建设性的验证零平衡周围的捕获区域。
Weak solutions and optimal control of hemivariational evolutionary Navier-Stokes equations under Rauch condition
本文考虑了非滑移边界条件下的演化Navier-斯托克斯方程，其中动压与速度法向分量之间存在Clarke次微分关系。在Rauch条件下，我们利用Galerkin逼近方法和弱预紧性准则来保证问题收敛到期望解。此外，与这样的方程组的控制问题进行了研究的帮助下，相对于外力的稳定性结果。本文最后给出了由Z. Naniewicz，即定向生长条件，被认为是和所有的结果重新检查。
On an evolutionary equation involving the nonlocal infinity Laplacian
研究非局部无穷拉普拉斯算子的演化方程，在柱体区域上利用 Perron 方法证明 Dirichlet 问题解的存在性和唯一性。
Evolutionary integro-differential equations of scalar type on locally compact groups
研究局部紧可分酉模群上由正左不变算子控制的标量型演化积分微分方程解的存在性、唯一性、范数估计与渐近行为，并给出热方程及分数阶方程的时空估计，进而探讨非线性方程的适定性。
Generalized convexity and the existence of finite time blow-up solutions for an evolutionary problem
本文研究了一类非线性项，使得具有Neumann-Robin边界条件的非局部抛物型方程对$p$ -Laplacian算子有有限时间爆破解.
Existence of dynamical low rank approximations for random semi-linear evolutionary equations on the maximal interval
给出了随机半线性发展方程动力学低秩逼近的一个存在性结果。DLR解在每个时刻通过确定性和随机性基函数的乘积的线性组合来逼近真实解，确定性和随机性基函数都随时间而演变。我们证明的一个关键是找到一个合适的等价公式的原始问题。所谓的对偶动态正交公式证明是方便的。在此基础上，将DLR逼近转化为一个合适的线性空间中的抽象Cauchy问题，并在极大区间上证明了其解的存在唯一性.
Evolutionary $Γ$-convergence of entropic gradient flow structures for Fokker-Planck equations in multiple dimensions
考虑了$\mathbb{R}^d$中有界凸区域上Fokker-Planck方程的有限体积近似，并研究了相应的梯度流结构.本文用演化$Γ$ -收敛方法重新证明了离散到连续的Fokker-Planck方程的收敛性，即我们在梯度流结构水平上达到极限，推广了Disser和Liero得到的一维结果。证明是变分的性质，并依赖于Mosco收敛结果的泛函在离散到连续的限制，是独立的利益。我们的结果适用于任意规则的网格，即使相关的离散运输距离可能无法收敛到Wasserstein距离在这种普遍性。
Confining integro-differential equations originating from evolutionary biology: ground states and long time dynamics
本文研究进化生物学中带非局部突变核和约束适应度势的复制-突变方程，针对对称突变情形提出更温和的主特征函数存在条件并首次量化谱间隙，同时用新方法恢复非对称情形的已有结果。
Evolutionary equations with state-dependent delay
本文将常状态依赖时滞微分方程的压缩映射方法推广至Picard意义下的发展偏微分方程，证明了广义初值问题的局部适定性，并通过多类算例验证了结果的可行性。
Existence of weak solutions to an evolutionary model for magnetoelasticity
证明了磁弹性材料演化模型弱解的存在性。该模型是措辞在欧拉坐标系中，并特别包括（i）Navier-斯托克斯方程，其中包括通过变分方法获得的应力张量中的磁和弹性项，（ii）正则化的变形梯度输运方程和（iii）的Landau-Lifshitz-Gilbert方程的磁化的动力学。证明是建立在一个Galerkin方法和一个固定点的论点。它是基于F的想法。H.林和第三作者的液晶流动的系统建模方法以及G。Carbou和P. Fabrie求解Landau-Lifshitz方程。
Geometry and Conservation Laws for a Class of Second-Order Parabolic Equations II: Conservation Laws
本文研究了一类带抛物符号的发展型二阶纯量微分方程的守恒律的存在性和结构。首先计算了这类方程的线性化特征上同调。这提供了一个辅助的微分方程满足的守恒定律的一个给定的抛物型方程。这是用来表明，任何发展抛物型方程的守恒律取决于最多的二阶导数的解决方案。作为推论，证明了唯一具有至少一个非平凡守恒律的发展抛物型方程是Monge-Ampère型的.
Geometry and Conservation Laws for a Class of Second-Order Parabolic Equations I: Geometry
本文研究了一类带抛物符号的二阶纯量微分方程的几何性质，包括非线性和非演化的抛物型方程。在定义了适当的$G$结构模型抛物型方程，我应用Cartan技术来确定局部几何不变（量不变的广义变量变量变换）。一类不变量给出了Monge-Ampère型抛物型方程的几何特征.第二类不变量决定了何时一个抛物型方程有一个局部坐标选择，使其成为演化形式。除了他们的内在利益，这些结果适用于后续文件的守恒律的抛物型方程。它表明，任何发展抛物型方程的守恒律依赖于最多的二阶导数的解决方案。作为推论，唯一具有至少一个非平凡守恒律的发展抛物型方程是Monge-Ampère型的.
Population invasion with bistable dynamics and adaptive evolution: the evolutionary rescue
本文将文献[8]中提出的反应扩散方程系统作为一个种群动力学模型。第一个方程代表种群密度，并模拟生态效应，即具有Allee效应（双稳态非线性）的扩散和增长。第二个代表Allee阈值，被视为一个特质均值，并解释了进化效应。准确地说，Allee阈值受到三个主要影响：分散（镜像生态），不对称的基因流和选择。后者的强度取决于人口密度，因此耦合生态学和进化。我们的主要结果是从数学上证明进化拯救：任何小的初始种群，如果在唯一的生态环境中灭绝，将由于进化因素而持续存在和传播。
Symmetric solutions of evolutionary partial differential equations
我们证明了对于一大类演化非线性和非局部偏微分方程，解的对称性意味着解和对称轴的非常严格的性质。根据方程的结构，这些限制是根据三个原则制定的。第一个原则涵盖方程，允许稳定的解决方案，并表明，任何空间对称的解决方案，实际上是稳定的速度所确定的运动的对称轴在初始时间。第二个原理包含了允许呼吸子和定常波的方程，因此不那么强：它认为对称轴在时间上是恒定的。最后一个原理是一种混合情况，当方程包含来自两个早期原理的那类项时，可能会有不同的结果;对于一类这样的方程，人们得到的是空间对称解在时间和空间上都必须是常数。我们列出并给出了30多个著名的方程和系统的例子，在一个和几个维度满足这些原则;相应的结果弱配方的这些方程可能会达到使用相同的技术。我们的调查是从[E.，Holden，and Raynaud，2009] to nonlocal equations，systems and higher dimensions，as well as a study of the standing and mixed cases.
Three-Scale Singular Limits of Evolutionary PDEs
研究了一类具有两个小参数和三个时间尺度的偏微分方程发展系统的奇异极限。在适当的条件下，解决方案的存在，并保持一致有界的一个固定的时间，这两个参数趋于零，在不同的速度。一个简单的例子表明，这些条件的必要性，以保持一致的界限。在进一步的条件下，当参数趋于零时，原系统的解趋于极限方程的解。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。