Proof of Chudnovskys' series for $1/π$
Jesús Guillera
本文用作者的方法证明了David和Gregory Chudnovky兄弟发现的水平$1$的有理交错Ramanujan型级数.我们用Maple（数学符号软件）进行了计算。
We prove rational alternating Ramanujan-type series of level $1$ discovered by the brothers David and Gregory Chudnovky, by using a method of the author. We have carried out the computations with Maple (a symbolic software for mathematics).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Chudnovsky's formula for $1/π$ revisited
该文件包含一个大纲的模块证明拉马努金-丘德诺夫斯基身份。
An extension of the Chudnovsky algorithm
本研究借助Chudnovsky级数的无穷推广与Gauss-Salamin-Brent迭代，提出一种每一项可产生约153位数字的高阶Chudnovsky算法扩展，优于当前每一项110位的世界纪录，并给出PARI/GP实现方案。
On Chudnovsky-Ramanujan Type Formulae
在一个著名的1914年的文件，拉马努金了一些迅速收敛系列的$1/π$这是来自使用模函数的较高水平。D. V.和G. V. Chudnovsky在他们1988年的论文中使用1级的模函数$J$导出了表示$1/π$的类似级数，这导致了$1/π$的高度收敛级数，通常在实践中使用。在本文中，我们解释Chudnovsky方法的背景下，椭圆曲线，模曲线，和皮卡德-富克斯微分方程。在这样做时，我们也推广他们的方法，以产生公式是有效的周围的任何奇异点的Picard-Fuchs微分方程。将该方法应用于由水平1的绝对Klein不变量$J$参数化的椭圆曲线族，确定了所有在三个奇点之一：$0, 1, \infty$附近有效的Chudnovsky-Ramanujan型公式.
A detailed proof of the Chudnovsky formula with means of basic complex analysis -- Ein ausführlicher Beweis der Chudnovsky-Formel mit elementarer Funktionentheorie
本文给出了计算$π$的Chudnovsky公式的另一种证明--用基本的复分析方法作了详细的证明。除了第十章，证明是独立的，为我们使用的所有高级定理提供了证明（例如克劳森公式和皮卡德-富克斯微分方程）。--在这之后，Chudnovsky公式将被用于对$π$的推导，它包含了基本的功能理论和分析方法。Die benötigten fortgeschrittenen Sätze（z.B. Clausen-Formel和Picard-Fuchs-Differentialleichung）werden irrseits ausführlich bewiesen.只有在白天，我们才能从外面出去。
On a Ramanujan-type series associated with the Heegner number 163
本文利用Chudnovsky兄弟公式和Borwein公式的解析延拓，证明了Bagis和Glasser提出的与Heegner数163相关的一级Ramanujan型级数猜想，并作为副产品得到了一个推广Chudnovsky算法的1/π无限族级数。
Chudnovsky-Ramanujan Type Formulae for non-Compact arithmetic triangle groups
本文推广 Chudnovsky 兄弟的方法，为非紧算术三角群及非 Fuchsian 覆盖统一推导 Chudnovsky-Ramanujan 型公式，复现并扩展 Chan-Cooper 与孙智伟的有理级数，并提出严格确认权 2 规范化 Eisenstein 级数奇异值的算法。
Class-Number-One Cubic Fricke Companions on $Γ_0(2)^+$ and an Exact Chudnovsky Bridge
证明了\(\Gamma_0(2)^+\)上RS级数的结构分类及桥接结果，确定特定判别式下不可约三次弗里克尖点伴随式情况，给出\(z\)与\(X\)的显式桥接等
Asymptotic expansions for the truncation error in Ramanujan-type series
许多已知的计算$π$的最快算法涉及广义超几何级数，例如Ramanujan-Sato级数。本文研究了几个这类级数的收敛速度，并给出了有限逼近误差的渐近展开式。例如，当使用Chudnovskys级数的第一$n$项时，我们得到有限近似$π_n\approx π$。已知截断误差满足$|π_n-π|\approx 53360^{-3n}.$在本文中，我们证明了Chudnovskys级数中的截断误差的渐近展开式是$$\left|π_n-π\right|=53360^{-3n}\cdot\frac{{106720}\sqrt{{10005}π}}{{1672209}\sqrt{n}}\cdot\exp\left(\frac{A_1}{n}+\frac{A_2}{n^2}+\frac{δ_n}{n^3}\right),$$，具有${0.006907}<δ_n<{0.008429}$和$A_1$和$A_2$的精确有理数值：$$A_1= -\frac{1781843197433}{7456754505816},$$ $$A_2= -\frac{1080096011925710088395}{3475199235000451148614116}.$$因此，我们演示了如何建立精确的误差界，通过对$1/π$的Ramanujan样级数获得的$π$的近似。在附录中，我们还给出了所有已知的$1/π$有理超几何级数…
An Explicit Cubic Ramanujan--Sato Series for $1/π$ on $Γ_0(2)^+$ at $D=-163$
提出一个在 $Γ_0(2)^+$ 上 $D=-163$ 处的显式三次 Ramanujan--Sato 公式，每项产生约 15.01 位十进制几何收缩，系数位于三次代数域中。
Arithmetic theory of q-difference equations (G_q-functions and q-difference modules of type G, global q-Gevrey series)
本文第一部分给出了G_q-函数的定义，并建立了一个正则性结果，它是Andre '-Chudnovsky定理[And 89，VI]和Katz定理[Kat 70，§13]的q-模拟的组合。在第二部分中，我们将它与某些形式的q-类Fourier变换相结合，得到了G_q-函数的形式$q$ -Borel变换的特殊值的无理性的一个命题。
Kind of proofs of Ramanujan-like series
我们对不同类型的证明进行了总结，并加入了一些新的想法。此外，我们猜想一些关系，可能是必要的“模型证明”（尚未发现）的拉马努金式级数为1/π^2。
WZ-proofs of "divergent" Ramanujan-type series
我们证明了$1/π$和$1/π^2$应用WZ方法的Barnes积分策略的一些“发散”Ramanujan型系列。
Simple proof of Gallagher's singular series sum estimate
本文给出了一种简单的估计与素k元组有关的奇异级数平均值的方法。
Proofs of some Ramanujan series for $1/π$ using a Zeilberger's program
通过一些例子说明如何利用终止恒等式初等地证明$1/π$的某些Ramanujan型级数。
Short proofs, generalizations and applications of certain identities concerning multiple Dirichlet series
本文给出Tahmi和Derbal（2022）关于多重狄利克雷级数的恒等式的其他证明、推广和类似.作为应用，我们得到了某些相关和的带余项的渐近公式。
Proof of a rational Ramanujan-type series for $1/π$. The fastest one in level 3
利用Chan和Liaw给出的一个关于$3$和次数$23$的模方程，证明了关于$3$的$1/π$的最快收敛有理Ramanujan型级数.
WZ proofs of Ramanujan-type series (via $_2F_1$ evaluations)
本文利用Zeilberger算法结合$_2F_1$求值，为若干拉马努金型级数恒等式提供了WZ证明。
The fastest series for $1/π$ due to Ramanujan. Proofs from modular polynomials
本文提出证明拉马努金型 $1/π$ 级数的一般公式，并利用 Russell 和 Weber 模多项式完整证明了拉马努金最快的 $1/π$ 级数，同时提供 Maple 程序实现自动证明。
A simpler proof of a Katsurada's theorem and rapidly converging series for $ζ{(2n+1)}$ and $β{(2n)}$
在最近关于偶狄利克雷β值的欧拉型公式（即$β{(2n)}$）的工作中，我导出了一类zeta级数的精确闭式表达式.从这个结果，我已经证明了两个家庭的zeta级数的封闭形式的总和。在本书中，我首先使用威尔顿的一个已知公式来证明这些假设。作为应用的例子，一些特殊情况下进行了探讨，产生快速收敛的系列表示的Apéry常数，$ζ(3)$，和加泰罗尼亚常数，$G = β(2)$。有趣的是，我们对$\,ζ(3)\,$的级数收敛速度比Apéry在他的非理性证明（1978）中使用的更快。此外，我们的系列$\,G\,$收敛速度比一个著名的发现Ramanujan（1915年）。最后，对Katsurada最近的一个定理给出了一个更简单、更直接的证明，它推广了上述结果。
On the Proof of the Genčev-Rucki Conjecture for Multiple Apéry-Like Series
本文用超几何函数和迭代积分方法证明了Genčev-Rucki关于多重类Apéry级数的猜想，并推广了相关恒等式，将多重混合值用Riemann zeta值显式表示。
On WZ-pairs which prove Ramanujan series
与$1/π$相关的Ramanujan型级数的已知WZ-证明给了我们发展基于WZ-方法的新证明策略的洞察力。使用这种方法，我们能够找到更多的推广和发现第一WZ证明某些系列的这种类型。
The singular series of a cubic form in many variables and a new proof of Davenport's Shrinking Lemma
该研究探讨整系数三次型的奇异级数，在Davenport几何条件下证明10个及以上变量时奇异级数绝对收敛且为正，改进已有结果，还给出9变量情形的条件性处理，并提供Davenport收缩引理的简短初等新证明。
An elementary proof of a power series identity for the weighted sum of all finite abelian p-groups
利用组合技巧，证明了所有有限交换$p$ -群$\sum_G |G|^{-u} |\text{Aut}(G)|^{-1}$的自同构的倒数的加权和等于$\prod_{j=u+1}^\infty\left(1-1/p^j\right)^{-1}$，其中$u$是非负整数.这个结果最初是由H. Cohen和H. W.小伦斯特拉本文给出了其结果的一个新的初等证明。
Fake proofs for identities involving products of Eisenstein series
在2016年7月在萨拉热窝举行的Building Bridges 3会议的研讨会上，我介绍了与W. Raji（Mathematische Annalen 2017，preprint arXiv：1402.1854）.这篇文章给出了$Γ(N)$上两个Eisenstein级数乘积之间的各种线性关系的证明，包括一个与Hecke算子对这种乘积的作用有关的有趣恒等式。真正的证明涉及到一些处理收敛问题的注意。在这篇笔记中，我们给出了这些恒等式的“假”证明，忽略了收敛问题;在我勾勒出真正的证明之前，这些假证明中的一些出现在研讨会演讲中，作为一个有趣的旁注。这些假证明中的某些东西是相当有暗示性的，即使证明本身显然是无效的（甚至产生错误的结果）。了解这里到底发生了什么会很有趣。
On a symmetric $q$-series identity
我们证明了一个有趣的对称$q$ -系列的身份，推广了由于Ramanujan的结果。一个证明，是分析性质的，和一个双射型证明也概述。
On an incomplete argument of Erdos on the irrationality of Lambert series
我们证明了Lambert级数$f(x)=\sum d(n) x^n$对负整数$b < -1$在$x=1/b$处是无理数，并使用初等证明完成了Erdos的不完全证明.
The transcendence of $\mathrm{e}$ via formal power series
本文通过形式幂级数方法，回顾希尔伯特的经典分析证明，并提供两种证明e的超越性的方法，基于形式幂级数的代数方法。
A hypergeometric proof for a binomial identity related to $1/π$
我们表明，二项式身份的范围内所产生的系列展开的研究$1/π$可以被看作是一个化身的惠普尔斯第二定理的超几何级数。
Quadratic irrational analogues of Ramanujan's series for $1/π$
本文通过分类二次无理数级数，揭示了不同级数间的相互关系，包括拉马努金和Borweins等人级数的等价性。
Convergence of multiple Fourier series and Pick's theorem
我们添加另一块砖的大型建筑包括证明皮克定理。虽然我们的证明不是最基本的，它是短的，揭示了皮克定理和逐点收敛的多重傅里叶级数的分段光滑函数之间的联系。
On the Double Lambert Series Conjecture of Andrews-Dixit--Schultz-Yee
本文针对Andrews-Dixit-Schultz-Yee提出的双重Lambert级数奇偶性猜想，补全了Amdeberhan等人此前未完成的证明工作，推进了该数论猜想的证明进程。
Connectors of the Ohno relation for parametrized multiple zeta series
Ohno关系是多重zeta值理论中的一个众所周知的关系。最近，Seki和Yamamoto提出了一种连接器方法，并给出了简洁的证明。另一方面，Igarashi得到了参数化多重zeta级数的Ohno关系的推广。在本文中，我们给出了新的连接符，以简化他的证明。
Non-vanishing of Dirichlet series without Euler products
给出了半平面$\{s\in{\mathbb C}:σ>1\}$中黎曼ζ函数非零的一个新的证明。这个证明的一个新的特点是它不使用$ζ(s)$的欧拉积。
The Voronoi formula and double Dirichlet series
我们证明了一个Voronoi公式的系数的一大类的$L$ -功能，包括马斯尖点形式，Rankin-Selberg卷积，和某些等压和。我们的证明是基于$L$ -函数的函数方程扭曲的Dirichlet字符，并不直接依赖于自同构。因此，它比以前的证明有更广泛的应用。其关键是构造一个二重狄利克雷级数。
A new proof for the exact values of $ζ(2k)$ for $k \in \mathbb{N}$
我们建立了一个函数和一个系列表示之间的连接使用类似的技术，欧拉用来解决巴塞尔问题。我们的结果涉及到一个更一般的系列，从中可以得到$ζ(2k)$作为一个极限情况。作为应用，我们还证明了用Bernoulli数表示$ζ(2k)$的著名结果.
Modular Heights of Unitary Shimura Varieties III: Proof of the Main Theorem
通过比较混合 Eisenstein-theta 级数的全纯投影与除子生成级数的算术度，证明了 CM 数域上酉 Shimura 簇的模高度公式。
Combinatorial proofs of q-series identities
本文给出了Andrews，Jimenez-Urroz和Ono [q]-级数恒等式和某些$L$ -函数的值的组合证明. Duke Math.J.108（2001），no.3，395- 419]。
Proofs for two Lambert series identities of Gosper
应用模形式理论和Lambert级数运算，建立了一个Eisenstein级数恒等式.从这个公式中，我们确认了一个由戈恩所证明的朗伯级数恒等式。利用Lambert级数运算，还证实了Gobaly的另一个Lambert级数恒等式.
Proofs of conjectures on Ramanujan-type series of level 3
本文针对最具挑战性的3级拉马努金型级数，借助椭圆函数与Kummer-Goursat变换极限情形提出新恒等式，证明了三个已有的猜想公式并发现一个新的四次无理数参数的3级拉马努金型级数。
A note on Fourier coefficients of Poincaré series
本文给出了经典模形式和Siegel尖点形式的Poincaré级数的傅里叶系数的渐近正交性的一个简短而“软”的定性证明.
A simple proof of a congruence for a series involving the little $q$-Jacobi polynomials
本文给出了一个简单的和更明确的证明，模$4$同余的一系列涉及小$q$ -雅可比多项式，这出现在最近的研究中的某种限制过划分函数。
A Geometric Proof to Cantor's Theorem and an Irrationality Measure for Some Cantor's Series
推广了J.Sondow的一个几何思想，给出了Cantor定理的一个几何证明.此外，还给出了某些Cantor级数的一个无理性测度.
Another proof of Zagier's evaluation formula of the multiple zeta values $ζ(2,...,2,3,2,...,2)$
利用广义超几何级数$\,_3F_2$的一些变换公式，给出了D. Zagier的多重zeta值评估公式$ζ(2,...,2,3,2,...,2)$。
An elementary proof of the irrationality of Tschakaloff series
我们提出了一个新的证明的不合理性系列$T_q(z)=\sum_{n=0}^\infty z^nq^{-n(n-1)/2}$的价值观在定性和定量的形式。证明是基于一个超几何结构的有理逼近$T_q(z)$。
On the meromorphic continuation of Eisenstein series
爱森斯坦级数在自守形式理论中是普遍存在的。Selberg和Langlands关于Eisenstein级数亚纯延拓的传统证明是从尖点Eisenstein级数的特殊情况出发，然后从谱理论推导出一般情况。我们提出了一个“软”的证明，它只依赖于基本的Fredholm理论（只需要在数域的情况下）。它对由任意自守形式导出的Eisenstein级数都成立。证明依赖于亚纯延拓原理。这是接近精神塞尔伯格后来的证据。
Tiling proofs of Jacobi triple product and Rogers-Ramanujan identities
本文利用镶嵌的方法给出了一些著名的$q$ -级数恒等式的初等组合证明，如Jacobi三重积恒等式，Rogers-Ramanujan恒等式，以及Rogers的一些恒等式.我们给出了q-二项式定理的一个平铺证明和q-二项式系数的一个平铺解释.一个新的广义$ k $ -产品$q$ -系列恒等式也获得通过采用“平铺法”，其中的生成函数的所有可能的矩形板的平铺的集合计算在两种不同的方式，以获得所需的$q$ -系列恒等式。建立了几个新的递归$ q$ -级数恒等式.“平铺方法”有望提供一种美观的方法来证明新旧$q$系列恒等式。
Modularity of Higher Theta Series III: Proof of the Modularity Conjecture
该研究证明了埃尔米特 shtuka 模堆栈上高阶θ级数的模性猜想，确立一般线性 shtuka 的超模性，还证明低余秩希钦堆栈的迹猜想，实现特殊周期的虚基本类为范畴迹。
Expansion of the infinite product $(1-x)(1-xx)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)(1-x^6)$ etc. into a simple series
翻译自拉丁原文“Evolutio producti infiniti $(1-x)(1-xx)(1-x^3)(1x^4)(1-x^5)(1-x^6)$ etc. in seriem simplicem”（1775）。Enestroem指数中的E541。在本文中，欧拉是重温他的证明五边形数定理。他给出了他的原始证明，解释有点不同，然后给出了一个不同的证明。然而，这第二个证明仍然是相当接近他原来的证明。为了理解这两个证明，我用下标表示法和和积表示法把它们写出来。这将是一个有用的练习，试图真正理解证明，而不使用任何现代符号。正确的符号为我们提供了很多帮助，否则我们必须在头脑中保持活跃。
Proof of a congruence concerning truncated hypergeometric series ${}_6F_5$
本文主要证明了J. C. Liu：$$ {}_6F_5\bigg[\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\&\frac{1}{4}&1&1&1&1\end{matrix}\bigg|\ -1\bigg]_{\frac{p-1}{2}}\equiv-\frac{p^3}{16}Γ_p\left(\frac{1}{4}\right)^4\pmod{p^5}, $$其中$p\geq5$是与$p\equiv3\pmod{4}$的素数。
Ghost series and a motivated proof of the Andrews-Bressoud identities
我们提出了我们所谓的“动机证明”的Andrews Bressoud分区身份，甚至模。G. E.安德鲁斯河J. Baxter的证明，并且这个证明被J. Lepowsky和M.竹最近，一个“动机证明”有点类似的Göllnitz-Gordon-Andrews恒等式已经found. In目前的工作中，我们引入“架子”的正式系列纳入我们所谓的“幽灵系列”，这使我们能够通过自然递归从一个架子到下一个，导致我们的动机证明。我们预计，这些新的系列将提供深入了解正在进行的程序的顶点代数分类的各种“动机证明。"
Proof of some supercongruences concerning truncated hypergeometric series
本文证明了截断超几何级数的一些超同余。例如，我们证明了对于任何素数$p>3$和正整数$r$，$$ \sum_{k=0}^{p^r-1}(3k+1)\frac{(\frac12)_k^3}{(1)_k^3}4^k\equiv p^r+\frac76p^{r+3}B_{p-3}\pmod{p^{r+4}} $$和$$ \sum_{k=0}^{(p^r-1)/2}(4k+1)\frac{(\frac12)_k^4}{(1)_k^4}\equiv p^r+\frac76p^{r+3}B_{p-3}\pmod{p^{r+4}}, $$，其中$(x)_k=x(x+1)\cdots(x+k-1)$是Pochhammer符号和$B_0,B_1,B_2,\ldots$是伯努利数。这两个一致性证实了孙[科学。中国数学。54（2011），2509--2535]和郭[Adv. Appl. Math. 120（2020），Art. 102078]分别。
Two Proofs of a Conjecture of Amdeberhan, Andrews and Ballantine for double Lambert series and a new Representation for $E_2(q)$
本文证明了Amdeberhan、Andrews和Ballantine关于双Lambert级数的一个猜想，并给出了两个证明，其中一个推导出拟模形式$E_2(q)$的新表示。
Irrationality proof of certain Lambert series using little q-Jacobi polynomials
我们应用Pade技术来找到% \[h^{\pm}(q_1,q_2)=\sum_{k=1}^\infty\frac{\q_1^k}{1\pm \q_2^k}, 0<q_1,q_2<1, q_1\in\mathbb{Q}, q_2=1/p_2, p_2\in\mathbb{N}\setminus\{1\}.\] %的有理逼近。一个单独的部分专门用于特殊情况$q_i=q^{r_i}, r_i\in\mathbb{N}, q=1/p, p\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$。在这种构造中，我们利用小$q$ -雅可比多项式。我们的有理逼近足以证明$h^{\pm}(q_1,q_2)$的非理性，并给出了一个上界的非理性措施。
Fast Coefficient Computation for Algebraic Power Series in Positive Characteristic
我们重新讨论了正特征的代数幂级数的Christol定理，并给出了它的另一个证明，这个新的证明结合了已有证明的几个要素和优点，这使得它非常适合于算法目的.我们应用新证明中的结构设计了一个新的有效算法，用于计算理想特征域$p$上给定代数幂级数的$N$阶系数.它有几个很好的特点：它比以前的算法更通用，更自然，更有效。新算法的运算复杂度在$\log N$中是线性的，在~ $p$中是准线性的，而且它对输入度的依赖性比以前最好的算法小小于. {此外，当基域是有限的时，新方法产生一个更快的算法，其比特复杂度在$\log N$中是线性的，在~ $\sqrt{p}$中是准线性的}。
A new Ramanujan-like series for $1/π^2$
我们的主要结果是$1/π^2$的一个新的Ramanujan-like级数的WZ-证明和一个包含三个级数的超几何恒等式。
An identity of Andrews, multiple integrals, and very-well-poised hypergeometric series
本文给出了Zudilin的一个定理的新证明，该定理等价于一个非常平衡的超几何级数和一个特殊的多重积分。这个积分推广了Vasilenko和Vasilyev的积分，这些积分被提出作为研究黎曼ζ函数值在整数上的算术行为的工具。我们的证明是基于极限情况下的一个基本超几何身份的安德鲁斯。
Fast Computation of the Nth Term of an Algebraic Series over a Finite Prime Field
我们解决的问题，计算一个选定的一项代数幂级数。在特征零中，目前已知的用于计算代数级数的第$N$个系数的最佳算法使用微分方程，并且在$\sqrt{N}$中具有准线性的算术复杂度。我们证明了在正特征$p$的素域上，复杂度可以降低到$O(\log N)$。这个戏剧性的改进的数学基础是一个经典的定理，它指出在有限域中系数的形式幂级数是代数的，当且仅当它的系数序列可以由自动机生成。我们重新审视和加强这一结果的两个建设性的证明有限素域。第一个证明使用马勒方程，其大小似乎大得令人望而却步。第二个证明依赖于有理数函数的对角线，我们把它变成一个有效的算法，在$\log N$和准线性$p$的复杂性线性。
On Some Double Nahm Sums of Zagier
Zagier为Nahm的问题提供了11个代数秩2的例子。除第五个例子外，所有这些都在文献中得到了证明，而第十个例子没有$q$系列证明。我们证明了第五个和第十个例子实际上是等价的。然后我们对第五个例子给出了一个$q$ -级数证明，证实了Wang最近的一个猜想。这也是第十个例子的第一个$q$系列证明，其显式形式由Vlasenko和Zwegers在2011年证明。
Ghost series and a motivated proof of the Bressoud-Göllnitz-Gordon identities
本文结合ghost级数与递归方法，给出Bressoud-Göllnitz-Gordon分拆恒等式的动机性证明，并期望借此理解相关扭曲顶点代数构造。
Lagrange Inversion Theorem for Dirichlet series
证明了狄利克雷级数的拉格朗日反演定理的一个类似定理。证明是基于研究Dirichlet卷积多项式的性质，它是Knuth在[4]中引入的卷积多项式的类似物。
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