Critical digraphs with few vertices
Matěj Stehlík
我们证明了至多2k-2个顶点的k-二色点临界有向图都有一个不连通补图。这回答了Bang-Jensen等人的一个问题，推广了Gallai关于无向顶点-临界图的一个经典定理。
We show that every k-dichromatic vertex-critical digraph on at most 2k-2 vertices has a disconnected complement. This answers a question of Bang-Jensen et al., and generalises a classical theorem of Gallai on undirected vertex-critical graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Kernels in digraphs with colored vertices
该研究提出顶点着色有向图中核的推广概念——上着色核，并推导得出若干有向图族及特定有向图积具备上着色核的充要条件。
Asymptotic enumeration of strongly connected digraphs by vertices and edges
本文给出了具有$n$顶点和$m$弧（有向边）的强连通有向图的个数的一个渐近公式，该公式对$m-n\to\infty$作为$n\to \infty$提供给$m=O(n\log n)$是有效的.这填补了赖特的结果适用于$m=n+O(1)$之间的差距，和长期已知的阈值$m$，以上的随机有向图与$n$顶点和$m$弧很可能是强连接。
The smallest number of vertices in a 2-arc-strong digraph which has no good pair
Bang-Jensen，Bessy，Havet和Yeo证明了每个独立数不大于2且弧连通度不小于2的有向图都有一个弧不相交的出分支$B^+$和一个入分支$B^-$（这两个分支称为{ \it好对}），解决了Kassen关于独立数为2的有向图的一个猜想.证明了顶点数不超过6且弧连通度不小于2的有向图都有好对，并给出了一个独立数为4的顶点数为10的2-弧强有向图$D$没有好对的例子.他们要求在没有好对的2-弧强有向图中顶点数最少的图$n$。本文证明了顶点数不超过9且弧连通度不小于2的有向图都有一个好对，从而解决了这一问题。
On Cycles through Vertices of Large Semidegree in Digraphs
设$D$是$n=2m+1\geq 5$上的强有向图.本文证明了如果$D$包含一个长度为$n-1$的圈，则$D$也有一个圈包含所有入度和出度至少为$m$的顶点（除非某些极端情况）.
On existence of noncritical vertices in digraphs
设$D$是$n\ge 4$上的强连通有向图.如果有向图$D-v$是强连通的，则$D$的一个顶点$v$是非临界的.证明了：若$D$中任意两个邻顶点的度之和至少为$n+1$，则$D$中存在非临界点;若$D$中任意两个邻顶点的度之和至少为$n+2$，则$D$中存在两个非临界点.一系列的例子证实了这些界限是紧的。
The Number of Seymour Vertices in Random Tournaments and Digraphs
西摩距离2猜想指出，在任何有向图中，都存在一个顶点（“西摩顶点”），它在距离2处的邻居至少和在距离1处的邻居一样多。我们探索的有效性的概率语句沿线建议西摩的猜想，证明几乎肯定有一个“大”的西摩顶点的随机比赛和“甚至更多”一般随机有向图。
Digraphs in which every $t$ vertices have exactly $λ$ common out-neighbors
本文扩展了关于 $(t,λ)$-liking digraph 的已有结果，完全刻画了满足 $t \geq λ+2$ 的此类有向图，并给出了其成为 $t+λ$ 个顶点上完全有向图的等价条件。
On Cyclic Kautz Digraphs
图论中的一个突出问题是寻找在直径、度和顶点数上有限制的极图或有向图。本文得到了一类新的具有最小直径的有向图，即给定顶点数和出度，不存在直径更小的有向图。这个新的图族被称为修改的循环有向图$MCK(d,\ell)$，它是从Kautz有向图$K(d,\ell)$导出的。在给定顶点数和出度的情况下，找到具有最小直径的非正则有向图并不常见。Kautz有向图$K(d,\ell)$是所有有向图中直径最小的顶点数和度。我们定义循环考茨有向图$CK(d,\ell)$，其顶点由长度为$\ell$的所有可能序列$a_1\ldots a_\ell$标记，使得每个字符$a_i$从包含$d+1$不同符号的字母表中选择，其中序列中的连续字符是不同的（如在考茨有向图中），并且现在还需要$a_1\neq a_\ell$。循环Kautz有向图$CK(d,\ell)$在顶点$a_1 a_2\ldots a_\ell$和$a_2 \ldots a_\ell a_{\ell+1}$之间具有弧，其中$a_1\neq a_\ell$和$a_2\neq a_{\ell+1}$。与Kautz有向图$K(d,\ell)$不同，$CK(d,\ell)$的顶点的任何标签可以循环移位以再次形成$CK(d,\ell)$的顶点的标签。我们给出了$CK(d,\ell)$的主要参数：顶点数、弧数和直径。此外，我们构造了修正的循环Kautz有向图…
Vertices with the Second Neighborhood Property in Eulerian Digraphs
第二邻域猜想指出，每个简单有向图都有一个顶点，其第二外邻域至少与其第一外邻域一样大，即具有第二邻域性质。偶图的圈交图是一个新的图，其顶点是原图的圈分解中的圈，其边表示圈的顶点交。通过使用这个概念的一个有向图的变体，我们证明了允许一个简单圈交图的欧拉有向图不仅符合第二邻域猜想，而且局部简单性在某些情况下也意味着原有向图中存在一个Seymour顶点.
Immersing complete digraphs
考虑了t个顶点的完全有向图浸入简单有向图的问题。对于欧拉有向图，我们证明了当最小度至少为t（t-1）时，这样的浸入总是存在的，并且对于最小度至多为4的t，至少t-1就足够了.另一方面，我们证明了存在非欧拉有向图，其所有顶点的入度和出度都是任意高的，并且不包含完全有向图在3个顶点上的浸入。作为一个副结果，我们得到了一个大出度的有向图的结构，其中所有的圈都有奇数的长度，简化了以前的结构，这样的图由Drachassen。
Hajós and Ore constructions for digraphs
有向图$D$的色数$\overrightarrowχ(D)$是对$D$的顶点着色所需的最小颜色数，使得每个颜色类都导出$D$的一个非循环子有向图。一个有向图$D$是$k$ -临界的，如果对于$D$的所有真有向子图$D'$，$\overrightarrowχ(D) = k$但$\overrightarrowχ(D') < k$.我们研究的方法，创造无限家庭的关键有向图，狄拉克加入和定向和bidirected Hajós加入。我们证明了一个有向图$D$的色数至少为$k$当且仅当它包含一个子有向图，该子有向图可以通过（有向）Hajós连接和识别非邻顶点从$k$上的双向完全图得到.在此基础上，我们证明了一个有向图$D$的色数至少为$k$当且仅当它可以由双向$K_k$通过使用有向和双向Hajós连接和识别非邻顶点（所谓的Ore连接）构造而成，从而将Urquhart的一个著名结果转移到有向图上.最后证明了一个Gallai型定理，它刻画了临界有向图的低顶点子有向图的结构，即由$D$中具有入度$k-1$和出度$k-1$的顶点所诱导的子有向图.
Reconstruction of small graphs and digraphs
我们描述了计算机搜索，证明了图重建猜想的图与多达13个顶点和一些有限的类较大的尺寸。我们还研究了可重构的比赛高达13个顶点，有向图高达9个顶点，和偏序集高达13点。在所有情况下，我们的结果也适用于集合重建问题，使用同构减少甲板。
On non-Hamiltonian circulant digraphs of outdegree three
我们构造了无穷多个出度为3的连通循环有向图，这些图没有哈密顿回路。我们所有的例子都有偶数个顶点，我们的例子有两种类型：或者有向图中的每个顶点都与两个直径相对的顶点相邻，或者每个顶点都与与它自己直径相对的顶点相邻。
Digraphs in which every $t$ vertices share exactly $λ$ out-neighbors and exactly $λ$ in-neighbors
本文提出双向$(t,λ)$-喜好有向图的概念，证明了$λ≥2$时2阶该类图的正则性参数关系，以及$t≥3$时其唯一为完全有向图的结论，推广了已有结果并关联对称区组设计。
On the Meyniel condition for hamiltonicity in bipartite digraphs
本文证明了平衡二部有向图的Hamilton性的一个Meyniel型判别准则：对于k大于或等于2，色类为k的二部有向图D是Hamilton的，如果对每一对顶点u，v，使得D不含弧uv和vu，则顶点u和v的度之和至少为3 k +1.由此，我们得到了关于最小度的哈密尔顿性的一个尖锐的充分条件：2k个顶点的平衡二部有向图D是哈密尔顿的，如果它的最小度至少是（3 k + 1）/2.
Ramsey numbers of sparse digraphs
Burr和Erdés在1975年证明了，Chvátal，Rödl，Szemerédi和Trotter后来证明了，任何有界度图的Ramsey数是关于顶点数的线性。在本文中，我们反驳了Burr-Erdés猜想的自然定向模拟，回答了Bucić，Letzter和Sudakov的一个问题。若$H$是无圈有向图，则$H$的定向Ramsey数（记为$\overrightarrow{r_{1}}(H)$）是最小的$N$，使得$N$顶点上的每个竞赛图都包含$H$的一个拷贝.证明了对任意$Δ\geq 2$和任意充分大的$n$，存在一个无圈有向图$H$，它的顶点数为$n$，最大度为$Δ$，使得\[ \overrightarrow{r_{1}}(H)\ge n^{Ω(Δ^{2/3}/ \log^{5/3} Δ)}. \].这证明了对于有界度$H$，$\overrightarrow{r_{1}}(H)$的顶点数不总是线性的.另一方面，我们证明了典型的有界度无圈有向图$H$的$\overrightarrow{r_{1}}(H)$的顶点数是近似线性的，并得到了几类自然的有界度无圈有向图的线性或近似线性界.对于多种颜色，我们证明了一个拟多项式上界$\overrightarrow{r_{k}}(H)=2^{(\log n)^{O_{k}(1)}}$的所有有界度无循环有向图$H$上的$n$顶点，其中$\overrig…
Subdivisions of oriented cycles in digraphs with large chromatic number
定向循环是无向循环的定向。我们首先证明了，对于任何定向圈$C$，有没有细分$C$（作为一个子有向图）和任意大的色数的有向图。与此相反，我们证明了，对于任何$C$一个圈与两个块，每个强连通有向图具有足够大的色数包含一个细分的$C$。我们证明了一个类似的结果，四个顶点上的反向圈（其中两个顶点有出度$2$和两个顶点有入度$2$）。
Cospectral digraphs from locally line digraphs
当每对顶点$u,v\in V$的内邻域相等或不相交时，有向图$\G=(V,E)$是有向线图。当这个条件只适用于给定子集中的顶点（至少有两个元素）时，我们说$\G$是局部线有向图。本文给出了一种新的方法来得到一个有向图$\G'$与一个给定的直径为$D$的局部线图$\G$的共谱，其中$\G'$的直径$D'$在区间$[D-1,D+1]$内.特别是，当该方法被应用到德Bruijn或Kautz有向图，我们得到的共谱有向图具有相同的代数性质，表征前者。
Normally Regular Digraphs
参数为$(v,k,λ,μ)$的正则有向图是$v$顶点上的有向图，其邻接矩阵$A$满足方程$AA^t=k I+λ(A+A^t)+μ(J-I-A-A^t)$。这意味着每个顶点具有出度$k$，一对不相邻的顶点具有$μ$公共外邻居，由一个方向上的边连接的一对顶点具有$λ$公共外邻居，并且由两个方向上的边连接的一对顶点具有$2λ-μ$公共外邻居。我们经常假设两个顶点不能在两个方向上连接。证明了正规正则有向图的邻接矩阵是正规的。具有正规邻接矩阵的连通$k$-正则有向图是正规正则有向图当且仅当除$k$之外的所有特征值都在复平面的一个圆上。我们证明了几个不存在的结果，结构特征，和正常正则有向图的建设。在许多情况下，这些图是凯莱图的阿贝尔群和建设，然后根据一个概括的差集。我们还展示了与其他组合对象的连接：强正则图，对称2-设计和关联方案。
Longest cycles in sparse random digraphs
稀疏随机图和有向图中的长路和长圈是20世纪80年代研究的热点。Frieze在1986年证明了具有$p=c/n$的随机图$\cG(n,p)$在除最多$(1+ε)ce^{-c}n$点外的所有点上都有高概率的圈，其中$ε=ε(c)\to 0$为$c\to\infty$ .由于顶点的度为1，因此对未覆盖顶点的数量的估计基本上是紧的。然而，对于随机有向图$\cD(n,p)$，没有严格的结果是已知的，最佳估计是远离相应下界的$c/2$的因子。在这项工作中，我们关闭了这个差距，并表明，随机有向图$\cD(n,p)$与$p=c/n$有一个圈包含所有，但$(2+ε)e^{-c}n$顶点w.h.p.，其中$ε=ε(c)\to 0$为$c\to\infty$。这本质上是紧的，因为w.h.p.这样的随机有向图包含具有零入度或出度的$(2e^{-c}-o(1))n$顶点。
The smallest vertex-primitive $2$-arc-transitive digraph
2017年，Giudici，Li和第三作者构造了第一个已知的顶点本原$2$ -弧传递有向图族，其效价至少为$2$。这个族中最小的有向图允许$\mathrm{PSL}_3(49)$作用于$2$ -弧传递的顶点稳定子$\mathrm{A}_6$，因此有$30758154560$顶点。本文证明了这类有向图是顶点数最少的顶点本原$2$ -弧传递有向图，其效价至少为$2$.
Mark sequences in digraphs
一个k-有向图是一个多重图的定向，它没有环，并且在任何一对不同的顶点之间最多包含k条边。我们获得了非降序非负整数序列成为附在k-有向图顶点上的称为记号（k-分数）的数字序列的充要条件。我们刻画了k-有向图中的不可约标号序列和2-有向图中的唯一可实现标号序列。
Vertex-primitive digraphs having vertices with almost equal neighbourhoods
我们考虑两个顶点具有几乎相等邻域的顶点本原有向图（即，一个顶点的邻域而不是另一个顶点的邻域的顶点集很小）。我们证明了这样的有向图的结构结果，然后将其应用于回答一个问题的Araújo和卡梅隆同步组。
Arc-disjoint out- and in-branchings in compositions of digraphs
有向图$D$中的出分支$B^+_u$（入分支$B^-_u$）是$D$的连通生成子有向图，其中除顶点$u$（称为根）外的每个顶点的入度（出度）为1。$D$中的{ \bf good $\mathbf{(u,v)}$ -pair}是一对没有共同弧的分支$B^+_u,B^-_v$。证明了判定一个有向图是否有好偶是NP-完全的。一个有向图是{ \bf semicomplete}，如果它没有不相邻的顶点对。{ \bf半完全合成}是通过用任意有向图$H_x$代替$S$的每个顶点$x$而从半完全有向图$S$获得的任何有向图$D$。最近，作者给出了具有良好$(u,v)$ -对的半完全有向图的完全分类，其中$u,v$是$D$的指定顶点.对于给定的半完全有向图$D$和$D$的顶点$u,v$，他们给出了一个多项式算法，该算法要么在$D$中产生一个好的$(u,v)$ -对，要么证明$D$具有这样的对.本文给出了如何利用半完全有向图的结果来完全解决判定给定的半完全合成$D$，对于$D$的给定顶点$u,v$是否有好的$(u,v)$ -对的问题。我们的解决方案意味着问题是多项式可解的所有半完全组合物。特别地，我们的结果意味着存在一个多项式算法来判定给定的拟传递有向图$D$对于$D$的给定顶点$u,v$是否具有好的$(u,v)$ -对。这证实了Bang-Jensen和Gutin在1998年提出的一个猜想。
Acyclic Subgraphs of Planar Digraphs
有向图中的无圈集是指导出无圈子图的顶点集。Harutyunyan在2011年证明了$n$顶点上不含有向2-圈的平面有向图都有一个大小至少为$3n/5$的无圈集.我们证明了这个猜想的有向图，其中每个有向圈的长度至少为8。更一般地说，如果$g$是最短的有向循环的长度，我们表明，存在一个非循环集的大小至少为$(1 - 3/g)n$。
Kernels by properly colored paths in arc-colored digraphs
弧着色有向图$D$的{由适当着色的路径得到的\em核}是$D$的顶点的集合$S$，使得（i）$S$中没有两个顶点通过$D$中的适当着色的有向路径连接，并且（ii）$S$外部的每个顶点都可以通过$D$中的适当着色的有向路径到达$S$。在本文中，我们猜想，每个弧着色有向图的所有圈适当着色有这样一个核，并验证了猜想的单圈，半完全有向图和二部竞赛图。此外，还给出了后两类有向图的较弱条件。
Note: a counterexample to a conjecture of Jackson about hamiltonicity of diregular digraphs
$3$ -$12$顶点上的双正则循环有向图是Jackson关于双正则有向图的Hamilton性猜想的一个反例
Point- and arc-reaching sets of vertices in a digraph
在有向图$D = (X, \mathcal{U})$中，不一定是有限的，如果存在源自$u$并包含$(x, y)$的有向行走$W$，则弧$(x, y) \in \mathcal{U}$是从顶点$u$可达的。子集$S \subseteq X$是$D$的弧到达集合，如果对于每个弧$(x, y)$，存在起源于顶点$u \in S$并且包含$(x, y)$的双行走$W$。最小弧可达集是弧基。$S$是一个可达点集，如果对于每个顶点$v$，都存在一个从$W$到$v$的双向行走，该双向行走起源于顶点$u \in S$。最小可达点集是点基。我们将Harary，Norman和Cartwright关于有限有向图中点基的结果推广到无限有向图中的点基和弧基。
Semicomplete Compositions of Digraphs
设$T$是一个有向图，其顶点为$u_1, \dots, u_t$（$t\ge 2$），$H_1, \dots, H_t$是一个有向图，使得$H_i$的顶点为$u_{i,j_i},\ 1\le j_i\le n_i.$，则合成$Q=T[H_1, \dots, H_t]$是一个有向图，其顶点集为$\{u_{i,j_i}\colon\, 1\le i\le t, 1\le j_i\le n_i\}$，弧集为$$A(Q)=\cup^t_{i=1}A(H_i)\cup \{u_{ij_i}u_{pq_p}\colon\, u_iu_p\in A(T), 1\le j_i\le n_i, 1\le q_p\le n_p\}.$$。如果$T$是半完全的，即每对顶点之间至少有一条弧，则合成$Q=T[H_1, \dots, H_t]$是半完全的。有向图合成推广了一些有向图族，包括（扩展）半完全有向图、拟传递有向图和字典序积有向图。特别地，强半完全合成是强拟传递有向图的一个重要推广。本文研究了半完全合成图的结构性质，得到了关于连通度、路、圈、强生成子图和无圈生成子图的一些结果。我们的研究结果表明，这类有向图具有拟传递有向图的一些优良性质。
Double domination and total $2$-domination in digraphs and their dual problems
有向图$D$的顶点子集$S$是双控制集（全$2$ -控制集），如果每个不在$S$中的顶点都与$S$中的至少两个顶点相邻，并且每个在$S$中的顶点都与$S$中的至少一个顶点相邻（由$S$导出的子有向图没有孤立点）.有向图$D$的双控制数（全$2$ -控制数）是$D$中双控制集（全$2$ -控制集）的最小基数.本文研究了图的双重控制到有向图的两个推广，以及与之有密切关系的$2$ -有限填充和全$2$ -有限填充.
Constructing All Birthday 3 Games as Digraphs
本文通过穷举与随机搜索证明第3天产生的全部1474个游戏值可由至多8个顶点的有向图放置游戏实现，并给出该界最优的组合证明及后续天数的改进上界。
Notes on a conjecture of Manoussakis concerning Hamilton cycles in digraphs
1992年，Manoussakis证明了强2-连通有向图$n$是Hamilton的，如果对每两个不同的独立顶点对$x,y$和$w,z$，我们有$d(x)+d(y)+d(w)+d(z)\geq 4n-3$ .本文证明了$D$有一条Hamilton路，从而给出了支持这一猜想的一个肯定的证据.
Vertex-monochromatic connectivity of strong digraphs
强有向图$D$的顶点染色是\emph{strong vertex-monochromatic connection coloring (SVMC-coloring)}，如果对于$D$中的每对$u, v$，都存在一条内部顶点都是同色的$(u,v)$ -路.令$smc_v(D)$表示有向图$D$的SVM-染色中使用的最大颜色数。当$D$是有向图的线图时，本文确定了$smc_v(D)$的值.另外，如果$T$是一个锦标赛，我们给出了条件，找到确切的值的$smc_v(T)$。
A census of 4-valent half-arc-transitive graphs and arc-transitive digraphs of valence two
给出了最多1000个顶点的所有连通的弧传递的不对称有向图的一个完整列表。作为副产品，一个完整的列表，所有连接的4-valve图承认一个半弧-传递群的自同构上最多1000个顶点。几个图论性质的元素，我们的普查计算和讨论。
Linkedness and ordered cycles in digraphs
有向图D的最小半度是它的最小出度和最小入度中的最小者。证明了最小半度至少为n/2 +k-1的充分大有向图D是k-连通的.最小半度上的界是最好的，并且证实了Manoussakis在1990年提出的一个猜想。我们还确定了最小的最小半度，它确保了一个足够大的有向图D是k-序的，即对于D的每个k个不同顶点的有序序列，都有一个有向圈以这个顺序遇到这些顶点。
Long Directed Cycles in Vertex-Transitive Digraphs
在图论与群论交叉领域，寻找顶点传递图和有向图中的哈密顿圈是经典问题。本文构造无限多个最长有向圈遗漏至少\(n/12\)个顶点的连通顶点传递有向图，证实相关猜想，还将有向圈长度下限从\(\Omega(n^{1/3})\)提高到\(\Omega(\sqrt n)\) 。
On the $A_α$ spectral radius of strongly connected digraphs
设$G$是一个具有邻接矩阵$A(G)$的有向图。设$D(G)$是$G$的顶点度为out的对角矩阵。Nikiforov \cite{Niki}提出研究无向图的度的邻接矩阵和对角矩阵的凸组合。Liu等人的\cite{LWCL}将该定义扩展到了有向图。对于任何实数$α\in[0,1]$，有向图$G$的矩阵$A_α(G)$定义为$$A_α(G)=αD(G)+(1-α)A(G).$$。$A_α(G)$的特征值的最大模称为$G$的$A_α$谱半径，记为$λ_α(G)$。本文证明了关于谱半径$λ_α(G)$的一些极值结果，推广了以前关于$λ_0(G)$和$λ_{\frac{1}{2}}(G)$的结果.特别地，我们刻画了$n$顶点上的所有$\widetilde{\infty}$ -有向图和$\widetildeθ$ -有向图中具有最大（或最小）$A_α$谱半径的极有向图.此外，我们确定了强连通双圈有向图中具有第二和第三小$A_α$谱半径的有向图。对于$0\leqα\leq\frac{1}{2}$，我们还确定了在$n$顶点上的所有强连通有向图中具有第二、第三和第四最小$A_α$谱半径的有向图。最后，我们刻画了在所有含有完全二部子有向图的强连通二部有向图中具有最小$A_α$谱半径的有向图。
Covering 2-colored complete digraphs by monochromatic $d$-dominating digraphs
一个有向图是{\em $d$-支配的}，如果每个至多$d$顶点的集合有一个公共外邻居.对所有整数$d\geq 2$，设$f(d)$是使每个2-边着色（有限或无限）完全有向图（包括环）的顶点至多能被$f(d)$单色$d$-控制子图的顶点覆盖的最小整数.请注意，$f(d)$的存在并不明显--实际上，激发这篇论文的问题仅仅是确定$f(d)$是否有界，即使对于$d=2$也是如此。我们对所有$d\geq 2$都肯定地回答了这个问题，证明了所有$d\ge 3$都有$4\leq f(2)\le 8$和$2d\leq f(d)\le 2d\left(\frac{d^{d}-1}{d-1}\right)$。我们还给出了一个例子来说明，有两个以上的颜色没有类似的界限。我们的结果为关于$d$-退化图的Ramsey数的Burr-Erdés猜想的一个无限类似问题提供了一个肯定的答案.此外，我们的结果的一个特殊情况是相关的$d$-悖论竞赛的性质。
k-Ordered Hamilton cycles in digraphs
给定一个有向图D，D的最小半度是它的最小入度和最小出度中的最小者。D是k-序哈密尔顿算子，如果对于每个k个不同顶点的有序序列，都有一个有向哈密尔顿圈以这个顺序遇到这些顶点。我们的主要结果是：任意阶足够大且最小半度至少为（n+k）/2 - 1的有向图D都是k-阶Hamilton图.最小半度上的界是最好的。这个结果的一个无向版本在早期被Kierstead，Sárközy和Selkow证明。
Arc-disjoint out-branchings and in-branchings in semicomplete digraphs
有向图$D$中的出分支$B^+_u$（入分支$B^-_u$）是$D$的连通生成子有向图，其中除顶点$u$（称为根）外的每个顶点的入度（出度）为1。众所周知，存在一种多项式算法，用于判定给定有向图是否具有带指定根的$k$弧不相交出分支（$k$是输入的一部分）。与此形成鲜明对比的是，判定一个有向图是否有一个出分支与某个入分支弧不相交已经是NP-完全的。一个有向图是{ \bf semicomplete}，如果它没有非邻顶点对。一个{ \bf tournament}是一个没有长度为2的有向圈的半完全有向图。本文给出了一类半完全有向图的完全分类，其中出分支$B^+_u$与入分支$B^-_v$弧不相交，其中$u,v$是$D$的规定顶点.我们的表征，这是令人惊讶的简单，推广了一个复杂的表征比赛从1991年的第一作者和我们的证明意味着存在的多项式算法检查是否一个给定的半完全有向图有这样一对分支的规定顶点$u,v$，并构造一个解决方案，如果存在。这证实了Bang-Jensen关于半完全有向图的一个猜想。
Vertex-quasiprimitive $2$-arc-transitive digraphs
研究了点准本原$2$ -弧传递有向图，将点本原$2$ -弧传递有向图的问题归结为几乎单群的问题.这包括顶点拟本原$2$ -弧传递有向图的完全分类，其中顶点上的作用具有O 'Nan-Scott型SD或CD。
On the vertex-degree based invariants of digraphs
设$D=(V,A)$是一个无孤立点的有向图.与$D$的实函数$φ$相关的基于顶点度的不变量$I(D)$被定义为对所有弧的求和，$I(D) = \frac{1}{2}\sum_{uv\in A}{φ(d_u^+,d_v^-)}$，其中$d_u^+$（分别为PDMATHABM0和PDMATHABM0）。$d_u^-$）表示出度（或在度）的顶点$u$。本文给出了有向图中$n$非孤立点的$I(D)$的极值和极图。应用这些结果，我们得到了有向图的一些基于顶点度的拓扑指数，如Randić指数、Zagreb指数、和连通度指数、$GA$指数、$ABC$指数和调和指数的极值以及相应的极有向图.
On the $k$-linkage problem for generalizations of semicomplete digraphs
本文研究半完全与拟传递等广义有向图的 $k$-链接问题，证明 $3k$-强、最小出度至少 $23k$ 的相关图类及高连通 $l$-拟传递有向图可实现 $k$-链接，并利用最大入度顶点的丰富短路径结构作为关键工具。
Paths with Prescribed Endpoints in Semicomplete and Locally Semicomplete Digraphs
本文解决半完全有向图中端点分属不同强分量的最长(x,y)-路径问题，确定局部半完全有向图连通非强情形的可能端点，给出多项式时间精确算法并分析未解决有向图的性质。
A new condition on dominated pair degree sum for a digraph to be supereulerian
本文在已有强有向图超欧拉性的不相邻顶点对度数和条件基础上，进一步针对受控与支配型不相邻顶点对研究对应的度数和条件，拓展超欧拉图的判定依据。
On longest non-Hamiltonian Cycles in Digraphs with the Conditions of Bang-Jensen, Gutin and Li
设$D$是$n\geq 4$上的强有向图.在[2，J. Graph Theory 22（2）（1996）181-187）]中，J. Bang-Jensen，G. Gutin和H. Li证明了如下定理：如果对每对具有公共内邻点的不邻顶点$x, y$，（*）$d(x)+d(y)\geq 2n-1$和$min \{d(x), d(y)\}\geq n-1$，或对每对具有公共内邻点或公共外邻点的不邻顶点$x, y$，（**）$min \{d^+(x)+ d^-(y),d^-(x)+ d^+(y)\}\geq n$，则$D$是Hamilton的.本文证明了：（i）若$D$满足条件（*）且$D$的最小半度至少为2，或（ii）若$D$不是有向圈且满足条件（**），则要么$D$包含一个长为$n-1$的圈，要么$n$是偶数且$D$同构于完全二部有向图或同构于完全二部有向图减一条弧.
On kernels by rainbow paths in arc-coloured digraphs
2018年，白，藤田和张（\emph{Discrete Math.} 2018，341（6）：1523-1533）通过彩虹路径引入了内核的概念（简称RP-核），它是$D$的顶点的子集$S$，使得（$a$）对于$S$的任何一对不同的顶点都不存在彩虹路径，并且（$b$）$S$外部的每个顶点都可以通过$D$中的彩虹路径到达$S$。证明了判别弧色有向图是否有RP-核是NP-困难的，判别弧色竞赛图是否有RP-核是NP-完全的。本文给出了弧色单圈有向图、半完全有向图、拟传递有向图和二部竞赛图存在RP-核的充分条件，并证明了如果某些“短”圈和某些“小”诱导子图是彩虹图，则这些弧色有向图有RP-核。
Gallai colorings and domination in multipartite digraphs
设D是一个不含循环三角形的有向图，其顶点被划分为A_1，…，独立顶点的A_t。一个集合$U=\cup_{i\in S} A_i$称为一个大小为|S|的支配集，如果对于任何顶点$v\in \cup_{i\notin S} A_i$，U中有一个w使得（w，v）在E（D）中。设beta（D）是D的最大独立集的基数，其顶点来自D的不同分类。我们的主要结果是存在h=h（beta（D））使得D有一个大小不超过h的控制集。这一结果被应用于解决一个与广义Gallai染色有关的问题，即不含三色三角形的图的边染色。
Immersion of transitive tournaments in digraphs with large minimum outdegree
证明了一个函数$h(k)$的存在性，使得每个最小出度大于$h(k)$的简单有向图包含传递竞赛图在$k$顶点上的浸入.这解决了Devos，McDonald，Mohar和Scheide的一个猜想。
On Link-irregular Digraphs
研究了链接不规则有向图的性质，证明了其存在条件，并构造了相关例子。
Packing and domination parameters in digraphs
给定一个有向图$D=(V,A)$，如果$B$的顶点之间没有弧连接，并且对于任意两个顶点$x,y\in B$，$x$和$y$的内邻集是不相交的，则集合$B\subset V$是$D$中的填充集。集合$S$是$D$中的控制集（开控制集），如果不在$S$中（在$V$中）的每个顶点在$S$中都有内邻。此外，如果由$S$导出的子图没有孤立点，则称控制集$S$为全控制集.本文研究了有向图的最大势填充集和最小势（全开）控制集。证明了有向树的填充和控制的两个最优集达到相同的值，并给出了它的一些应用，给出了所有连通反功能有向图的类似等式，刻画了所有满足这些等式的有向图$D$.此外，对有向图分别给出了填充集和控制集的最大和最小基数的精确界。最后，我们提出了两个开放的问题的解决方案，涉及总的和开放的最小基数控制集，指出在[澳大利亚。J. Combin。39（2007），283- 292]。
Probabilistic Properties of GIG Digraphs
研究了最大增格（GIG）有向图的概率性质。我们计算一个特定序列的有向边连接两个随机顶点的概率。我们计算一组顶点都是汇的联合概率，并推导出随机标记的GIG有向图中汇数量的均值和方差。最后，我们证明了顶点的最大分量的期望大小收敛。
Sufficient conditions for a digraph to admit a $(1,\leq\ell)$-identifying code
有向图$D$中的$(1,\le \ell)$标识码是$D$的顶点的子集$C$，使得基数至多为$\ell$的顶点的所有不同子集在$C$内具有不同的闭内邻域。本文给出了最小入度$δ^-\ge 1$的有向图允许$\ell=δ^-, δ^-+1$的$(1,\le \ell)$ -识别码的若干充分条件。作为推论，我们得到了Laihonen的结果：最小度$δ\ge 2$且围长至少为7的图允许有一个$(1,\le δ)$ -识别码.证明了每个$1$ -非正则有向图都有一个$(1,\le 2)$ -识别码当且仅当其围长至少为5.我们还刻画了所有允许$\ell=2,3$的$(1,\le \ell)$ -标识码的2-正则有向图.
Arc-disjoint in- and out-branchings in digraphs of independence number at most 2
证明了独立数不大于2且弧连通度不小于2的有向图都有一个弧不相交的外分支$B^+$和一个弧不相交的内分支$B^-$（我们称这样的分支为好对）.这在弧连通性方面是最好的，因为有无限多个独立数为2的强有向图和任意高的最小入度和出度，它们具有良好的无对。这一结果解决了Dahassen关于独立数为2的有向图的一个猜想。证明了顶点数不超过6且弧连通度不小于2的有向图都有好对，并给出了一个独立数为4的顶点数为10的2-弧强有向图$D$没有好对的例子.我们还证明了存在无穷多个独立数为7且弧连通度为2的有向图没有好对。最后，我们提出了一些开放的问题。
The competition-common enemy graphs of digraphs satisfying Conditions $C(p)$ and $C'(p)$
S. -R. Kim和F. S. Roberts（2002）引入了以下有向图的条件$C(p)$和$C'(p)$，作为有向图是半序的条件的推广。条件$C(p)$（resp.对于$D$中的$p$顶点的任何集合$S$，存在$x \in S$使得$N^+_D(x) \subseteq N^+_D(y)$（相应地，$N^-_D(x) \subseteq N^-_D(y)$），其中$N^+_D(x)$（分别$N^-_D(x)$）是外邻居（分别为在$D$中的$x$的内邻居）。有向图$D$的竞争图是具有与$D$相同的顶点集并且在两个不同的顶点$x$和$y$之间有一条边的（简单无向）图，如果$N^+_D(x) \cap N^+_D(y) \neq \emptyset$。Kim和Roberts刻画了满足条件$C(p)$的有向图的竞争图。有向图$D$的竞争共敌图是与$D$具有相同顶点集且在两个不同顶点$x$和$y$之间有一条边的图，如果$N^+_D(x) \cap N^+_D(y) \neq \emptyset$和$N^-_D(x) \cap N^-_D(y) \neq \emptyset$都成立.本文刻画了满足条件$C(p)$和$C'(p)$的有向图的竞争-共敌图。
Sufficient conditions for Hamiltonian cycles in bipartite digraphs
证明了平衡二部有向图中存在哈密顿圈的两个尖锐的充分条件。设$D$是一个强连通的平衡二部有向图.设$x,y$是$D$中的不同顶点。如果$x\rightarrow z$和$y\rightarrow z$，则$\{x,y\}$支配顶点$z$;在这种情况下，我们称这对$\{x,y\}$支配。(i){ \it如果对每个控制顶点对$\{x,y\}$有$a\geq 4$和$max \{d(x), d(y)\}\geq 2a-1$，则要么$D$是哈密尔顿的，要么$D$同构于一个8阶例外有向图。} (ii){ \it如果对每个控制顶点对$\{x,y\}$有$a\geq 5$和$d(x)+d(y)\geq 4a-3$，则$D$是哈密尔顿的。}第一个结果改进了R. Wang（arXiv：1506.07949 [math.CO]）的第二个结果，特别地，建立了Bang-Jensen，Gutin和Li（J. Graph Theory，22（2），1996）关于阶数至少为10的强连通平衡二部有向图的一个猜想。
A sufficient condition for pre-Hamiltonian cycles in bipartite digraphs
设$D$是一个强连通平衡二部有向图，其阶为$2a\geq 10$，不是有向圈.设$x,y$是$D$中的不同顶点。如果$x\rightarrow z$和$y\rightarrow z$，则$\{x,y\}$支配顶点$z$;在这种情况下，我们称这对$\{x,y\}$支配。在本文中，我们证明：如果对每个控制顶点对$\{x,y\}$都有$ max\{d(x), d(y)\}\geq 2a-2$，则$D$包含所有长度的圈$2,4, \ldots , 2a-2$或$D$同构于我们指定的某个10阶有向图.
Boundary vertices of Strongly Connected Digraphs with respect to `Sum Metric'
本文研究强连通有向图关于和度量的边界顶点，定义和距离，探讨四类边界顶点关系，并刻画冠积的边界型集合与中心。
Locally semicomplete weakly distance-regular digraphs
本文针对局部半完全弱距离正则有向图展开研究，在交换性假设下完成了对这类有向图的全部刻画，为弱距离正则有向图的分类研究提供了相关结果。
Vertex coloring acyclic digraphs and their corresponding hypergraphs
我们考虑了无圈有向图$\Gdag$的顶点着色，使得在$\Gdag$中有共同祖先的两个顶点得到不同的颜色.当为各种遗传数据限定空间以进行有效分析时，这种着色以自然的方式出现。我们讨论了相应的{ \em下色数}，并导出了一个上界作为$D(\Gdag)$、给定顶点的最大后代数和相应超图的退化度的函数。最后，我们确定了一个由$\Gdag$和$D(\Gdag)$的顶点数表示的下色数的渐近紧上界。
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