S. -R. Kim and F. S. Roberts (2002) introduced the following conditions $C(p)$ and $C'(p)$ for digraphs as generalizations of the condition for digraphs to be semiorders. The condition $C(p)$ (resp. $C'(p)$) is: For any set $S$ of $p$ vertices in $D$, there exists $x \in S$ such that $N^+_D(x) \subseteq N^+_D(y)$ (resp. $N^-_D(x) \subseteq N^-_D(y)$) for all $y \in S$, where $N^+_D(x)$ (resp. $N^-_D(x)$) is the set of out-neighbors (resp. in-neighbors) of $x$ in $D$. The competition graph of a digraph $D$ is the (simple undirected) graph which has the same vertex set as $D$ and has an edge between two distinct vertices $x$ and $y$ if $N^+_D(x) \cap N^+_D(y) \neq \emptyset$. Kim and Roberts characterized the competition graphs of digraphs which satisfy Condition $C(p)$. The competition-common enemy graph of a digraph $D$ is the graph which has the same vertex set as $D$ and has an edge between two distinct vertices $x$ and $y$ if it holds that both $N^+_D(x) \cap N^+_D(y) \neq \emptyset$ and $N^-_D(x) \cap N^-_D(y) \neq \emptyset$. In this note, we characterize the competition-common enemy graphs of digraphs satisfying Conditions $C(p)$ and $C'(p)$.
有向图的p-竞争图的概念是由S-R提出的。金，T. A. McKee，F. R. McMorris和F. S. Roberts [p-竞争图，线性代数应用，217（1995）167- 178]作为有向图的竞争图的推广。设p为正整数。有向图D=（V，A）的p-竞争图C_p（D）是具有相同顶点集V且在不同顶点x和y之间有一条边的（简单无向）图当且仅当存在p个不同顶点v_1，.，v_p，使得（x，v_i），（y，v_i）是有向图D的弧，其中i=1，.，在本文中，我们给出了一个长度为n的圈，计算了p关于n的精确值，使得它是一个p-竞争图，推广了Kim等人的结果，我们还找到了p关于n的精确值，使得它的补图是一个p-竞争图.
On the phylogeny graphs of degree-bounded digraphs
Hefner [K. A. S. Hefner，K. F. Jones，S. -R.金河，巴西-地Lundgren和F. S.罗伯茨：$(i,j)$竞争图，离散应用数学，32，（1991）241-262]刻画了无圈有向图，其每个顶点的度和出度至多为2，且其竞争图是区间图。对于每个顶点的度和出度最多为两个$(2,2)$有向图的有向图，我们称之为无圈有向图。本文研究了$(2,2)$有向图的生成图。特别地，我们给出了$(2,2)$有向图具有弦生成图的一个充分条件和必要条件。系统发育图在贝叶斯网络理论中也称为道德图。我们的工作是出于贝叶斯网络中的证据传播相关的问题，这是有用的，知道哪些无环有向图有他们的道德图弦。
A generalization of Opsut's lower bounds for the competition number of a graph
竞争图的概念是由J.E. 1968年的科恩。有向图$D$的竞争图C（D）是具有与D相同的顶点集且在两个不同顶点x和y之间有一条边的（简单无向）图当且仅当存在D中的顶点v使得（x，v）和（y，v）是D的弧.对任意图G，G加上足够多的孤立点是某个无圈有向图的竞争图。1978年，F. S. Roberts将图G的竞争数k（G）定义为图G中孤立点的最小个数。一般来说，图G的竞争数k（G）是很难计算的，用图G的竞争数刻画图G是竞争图研究中的重要问题之一。1982年，R. J.Opsut给出了图的竞争数的两个下界。本文给出了图的竞争数的这两个下界的推广。
竞争图的概念是由J.E. 1968年的科恩。有向图D的竞争图C（D）是一个（简单无向）图，它与D具有相同的顶点集，并且在两个不同的顶点x和y之间有一条边，当且仅当D中存在一个顶点v，使得（x，v）和（y，v）是D的弧。对任意图G，G加上足够多的新孤立点是某个无圈有向图的竞争图。1978年，F. S. Roberts将图G的竞争数k（G）定义为图G中孤立点的最小个数。一般来说，图G的竞争数k（G）是很难计算的，通过计算图G的竞争数来刻画图G是竞争图研究中的重要问题之一。众所周知，在三维欧几里得空间中存在5种正多面体：四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体。我们把多面体看作一个图.利用已知的竞争数结果，可以很容易地计算四面体、六面体、八面体和十二面体的竞争数。本文以二十面体为研究对象，给出了二十面体竞争数的精确值。
