Generalized quadrature for solving singular integral equations of Abel type in application to infrared tomography
ITMO University（ITMO大学）；Energy Systems Institute of RAS（俄罗斯科学院能源系统研究所）
本文提出广义四阶法求解阿贝尔型奇异积分方程，通过解析计算消除奇异性，将问题转化为非奇异线性方程组，结合Tikhonov正则化提升精度，并在红外层析中验证了方法的有效性。
2015-09-09 cs.NA math.NA
Recursive reduction quadrature for the evaluation of Laplace layer potentials in three dimensions
Center for Computational Mathematics, Flatiron Institute, Simons Foundation（计算数学中心，Flatiron研究所，西蒙斯基金会）；Institute for Theoretical Sciences, Westlake University（理论科学研究所，西湖大学）
本文提出递归求积法，将三维拉普拉斯层势的奇异面积分简化为线积分，消除了多数现有高阶求积法所需的自适应积分，实现12位精度且提速5倍以上。
2026-09-04 cs.NA math.NA
Fractional Laplacian - Quadrature rules for singular double integrals in 3D
本文提出了一种求积规则，用于有效地计算三维分数拉普拉斯算子的刚度矩阵。这些规则是基于Duffy变换，这是一种常见的奇异性去除工具。这里，该变换适应于三维中的分数拉普拉斯算子的需要。从这个达菲变换得到的积分是在低维域上的正则积分。我们提出的高斯点的数量上的界限，以保证误差估计是相同的数量级的有限元错误。本文提出的方法也可推广到其它具有代数奇点的三维奇异二重积分的计算。
2022-08-11 cs.NA math.NA
Chebyshev Differential Quadrature for Numerical Solutions of Higher Order Singular Perturbation Problems
Istanbul Kemerburgaz University（伊斯坦布尔凯梅尔博加兹大学）；Istanbul Gelişim University（伊斯坦布尔盖利希姆大学）
本文利用切比雪夫多项式构建加权系数矩阵，解决高阶奇异摄动问题，通过测试案例验证了方法的准确性和有效性。
2017-05-26 cs.NA math.NA
A Unified Trapezoidal Quadrature Method for Singular and Hypersingular Boundary Integral Operators on Curved Surfaces
本文描述了一种梯形求积法，用于离散奇异和超奇异边界积分算子（BIO），这些算子是在求解椭圆型偏微分方程边值问题中出现的。积分是基于一个统一的网格在参数空间与标准的打孔梯形法则。一个关键的观察是，在内核中的奇异性所产生的误差可以精确地表示使用广义欧拉-麦克劳林公式，涉及的黎曼ζ函数在2D和Epstein zeta函数在3D。利用这些展开式，通过局部扩张在奇点处使用一种新的系统矩拟合方法来校正误差。这种新方法提供了所有常见BIO（拉普拉斯，亥姆霍兹，斯托克斯等）的统一处理。我们提出的数值例子，显示收敛到32阶的二维和9阶的三维相对于网格步长。
2022-09-05 cs.NA math.NA
Accurate quadrature of nearly singular line integrals in two and three dimensions by singularity swapping
Helsing及其同事的方法评估拉普拉斯和相关层的潜力所产生的面板（复合）正交曲线，有效地和高阶精度任意接近的目标。由于它利用了复分析，因此其使用仅限于二维（2D）。我们首先解释其损失的准确性，面板变得弯曲，使用经典的复杂的近似结果沃尔什，可以被解释为“静电屏蔽”的施瓦茨奇点。然后，我们引入了一个变种，交换目标奇点在其复杂的参数原像;在后者的空间面板是平坦的，因此收敛速度可以高得多。通过牛顿迭代法鲁棒地找到原像。这个想法也使，第一次，近奇异积分的潜力产生的平滑曲线在3D中，建立在递归的Tornberg-Gustavsson。我们应用这个精确的评估斯托克斯流附近的弯曲细丝在细长体近似。我们的3D方法比现有的唯一替代方案，即自适应集成，效率高出数倍（无论是在内核评估方面，还是在C实现中的速度方面）。
2019-10-22 cs.NA math.NA
Zeta Correction: A New Approach to Constructing Corrected Trapezoidal Quadrature Rules for Singular Integral Operators
介绍了一种用于离散平面光滑封闭边界上边界积分方程的高精度求积法则。这种求积可以看作是Kress（1991）的谱求积和Kapur和Rokhlin（1997）的局部校正梯形求积的混合。新技术结合了两种方法的优点，并获得高阶收敛，数值稳定性，易于实现，并与“快速”算法（如快速多极子方法或快速直接求解器）的兼容性。穿孔梯形法则和黎曼ζ函数之间的重要联系，这使得一个全收敛分析，并导致非常简单的程序，用于构建的正交校正。本文报告了新方法与Kress，Kapur和Rokhlin以及Alpert（1999）的方法之间的详细比较。
2021-04-07 cs.NA math.NA
Integral Representations and Quadrature Schemes for the Modified Hilbert Transformation
我们提出的正交计划来计算矩阵，其中涉及所谓的修改希尔伯特变换。这些矩阵出现的时间部分的Galerkin有限元离散的抛物或双曲问题时，修改后的希尔伯特变换用于变分设置。这项工作提供了计算这些矩阵的机器精度为任意多项式次数和非均匀网格。所提出的求积方案是基于修改的希尔伯特变换的弱奇异积分表示。首先证明了修正Hilbert变换的弱奇异积分表示。其次，使用这些整表示，我们得到的积分计划，适当地对待发生的奇异性。因此，指数收敛相对于所提出的正交计划的正交节点的数量。数值结果，观察到这种指数收敛，结束这项工作。
2022-07-24 cs.NA math.NA
On quadrature for singular integral operators with complex symmetric quadratic forms
本文针对带复对称二次型的各类奇异边界积分算子，提出基于Epstein zeta函数解析延拓的局部修正穿孔梯形求积法，通过数值算例验证了其高阶收敛性，可用于三维时谐声电界面问题的复方法求解。
2023-12-11 cs.NA math.NA
High order corrected trapezoidal rules for a class of singular integrals
本文提出一类高阶修正梯形求积公式，通过泰勒展开和节点权重修正处理点奇异积分，并应用于拉普拉斯层核的隐式边界积分，实现高阶精度。
2023-07-26 cs.NA math.NA
Convolution quadrature for Hadamard fractional calculus and correction methods for the subdiffusion with singular source terms
本文通过指数型网格将卷积求积法推广至Hadamard分数阶微积分，结合分数阶BDF和有限元法求解奇异源项次扩散问题，提出自然推广的修正技术，实现最优精度并获数值验证。
2023-11-12 cs.NA math.NA
Singular quadrature rules and fast convolutions for Fourier spectral methods
Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）
提出一种通用方案，通过奇异核分解和径向奇点的精确傅里叶系数计算，构造具有谱精度的修正梯形规则，实现任意维度弱奇异积分算子的快速卷积。
2012-11-26 cs.NA math.NA
Stabilizing the singularity swap quadrature for near-singular line integrals
KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）；Flatiron Institute（平顿研究所）
针对三维曲线密度势的近目标评估，提出目标特定平移基函数以消除奇点交换求积法中的灾难性抵消，实现接近机器精度的误差。
2026-06-08 cs.NA math.NA
High-order BDF convolution quadrature for subdiffusion models with a singular source term
针对带弱奇异源项次扩散方程中高阶BDF方法阶数降低的问题，提出ID$m$-BDF$k$平滑方法，通过正则化奇异项并离散化方程，在源项弱奇异且初始数据不兼容时恢复$k$阶收敛性。
2023-05-05 cs.NA math.NA
Highly accurate special quadrature methods for Stokesian particle suspensions in confined geometries
边界积分法非常适用于复杂几何形状的问题，但需要特殊的求积方法来精确计算出现在其中的奇异和近似奇异层势。本文提出了一种边界积分法，可用于研究有围壁的三维周期Stokes流中刚性颗粒的运动。我们的方法的一个核心是高精度的特殊求积方法，它是基于上采样的正交和正交扩展（QBX）的组合，使用预计算方案加速。该方法被证明为棒状和球状颗粒，与限制的几何形状由一个管道或一对平面壁。提出了一种特殊的求积方法的参数选择策略，并进行了测试。周期性的相互作用计算使用频谱埃瓦尔德（SE）快速求和方法，这使得我们的方法运行在O（n log n）的时间为n个网格点，假设几何对象的数量增长，而网格点浓度保持固定。
2020-05-26 cs.NA math.NA physics.comp-ph
High-order Corrected Trapezoidal Rules for Functions with Fractional Singularities
本文引入并分析了任意高阶求积规则，用于计算二维奇异积分的形式\begin{align} I_{i,j} = \int_{\mathbb{R}^2}ϕ(x)\frac{x_ix_j}{|x|^{2+α}} \d x, \quad 0< α< 2 \end{align}，其中$i,j\in\{1,2\}$和$ϕ\in C_c^N$用于$N\geq 2$ .这类奇异积分及其求积法则出现在二维非局部Fokker-Planck方程分数阶Laplacian的数值离散中。求积规则是梯形法则，其配备有用于奇点周围的点的校正权重。我们证明了收敛阶是$2p+4-α$，其中$p\in\mathbb{N}_{0}$与校正权的总数相关联。虽然我们在2D环境中工作，但为了通用性，我们在适当的时候在$n\in\mathbb{N}$维度中制定定义和定理。我们提出了数值实验，以验证所提出的修改的求积规则的收敛顺序。
2022-03-21 cs.NA math.NA
Characterization and Integration of the Singular Test Integrals in the Method-of-Moments Implementation of the Electric-Field Integral Equation
在本文中，我们的特点所产生的对数奇异性矩量法从格林函数在测试域的积分，我们使用两种方法来设计几何对称的求积规则来整合这些奇异的被积。这些规则比多项式的求积规则具有更好的收敛性，并且一般来说，可以用更少的求积点获得更好的准确性。我们证明了他们的有效性遇到的几个例子中的标量和矢量电位的电场积分方程（奇异，近奇异，远相互作用）相比，常用的多项式计划和双马-Rokhlin-Wandzura（DMRW）规则，其样本点位于三角形内不对称。
2020-12-29 cs.NA math.NA physics.class-ph
Numerical Quadrature for Singular Integrals on Fractals
本研究针对自相似分形集上的正则与奇异积分，提出利用测度不变性将奇异积分转化为正则积分的复合求积规则，结合复合重心规则实现二阶收敛，可用于分形屏散射问题中奇异重积分的精确计算。
2022-07-14 cs.NA math.NA
Estimation of quadrature errors in layer potential evaluation using quadrature by expansion
KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）
本文通过展开求积方法准确估计层势计算中因近奇异积分产生的求积误差，为二维和三维层势应用中的参数选择提供理论支持。
2016-04-20 cs.NA math.NA
Symmetric Triangle Quadrature Rules for Arbitrary Functions
尽管对三角形的对称多项式求积规则及其计算方法进行了广泛的研究，但很少有研究关注非多项式函数，特别是使用对称三角形规则进行积分。在本文中，我们通过开发可以积分任意函数的规则，提出了两种计算奇异被积体对称三角形规则的方法。第一种方法非常适合于中等数量的点，并保留了多项式求积规则的大部分效率。第二种方法可以更好地处理大量的点，尽管它的效率不如第一种方法。我们证明了这两种方法的有效性奇异被积，这往往可以产生相对误差两个数量级小于那些从多项式求积规则。
2020-01-10 cs.NA math.NA
Geometrically Graded h-p Quadrature Applied to the Complex Boundary Integral Equation Method for the Dirichlet Problem with Corner Singularities
本文提出使用几何分级h-p复合求积规则求解带角点奇异性的Dirichlet问题，通过复边界积分方程方法（CBIEM）实现高效高阶数值解，并给出MATLAB实现与实验结果。
2000-02-23 cs.NA math.NA
Quadrature by Expansion: A New Method for the Evaluation of Layer Potentials
Courant Institute of Mathematical Sciences（库朗数学科学研究所）；Department of Mathematics, Dartmouth College（达特茅斯学院数学系）
提出基于局部展开的高阶求积方法QBX，用于精确计算奇异、弱奇异和近奇异核的边界积分，兼容快速多极子算法。
2013-03-17 cs.NA math.NA
Analysis of Log-Weighted Quadrature Domains
本文研究了具有奇异权重ρ₀(w)=|w|⁻²的加权对数四边形域(LQDs)，揭示了奇异点导致的四次方数据非唯一性，并建立了LQDs的广义Schwarz函数特征化，通过Riemann映射外因子扩展得到显式公式，扩展了非奇异理论。
2026-04-12 cs.NA math-ph math.AP
On the numerical quadrature of weakly singular oscillatory integral and its fast implementation
College of Mathematics and Information Science, Zhengzhou University of Light Industry（郑州轻工业大学数学与信息科学学院）
本文提出一种Clenshaw-Curtis-Filon型方法，用于求解具有傅里叶和Hankel核的弱奇异振荡积分，通过插值非振荡非奇异部分，实现O(N log N)复杂度的快速求积，并推导修改矩的递推关系以高效计算。
2016-04-15 cs.NA math.NA
Layer potential quadrature on manifold boundary elements with constant densities for Laplace and Helmholtz kernels in $\mathbb{R}^3$
提出一种基于微分几何两项分解的方法，用于计算常密度流形边界元上Laplace和Helmholtz方程的层势，有效处理奇异和近奇异积分并验证了高精度。
2023-09-14 cs.NA math.NA
Unified Compact Numerical Quadrature Formulas for Hadamard Finite Parts of Singular Integrals of Periodic Functions
本文考虑Hadamard有限部分意义下的有限范围奇异积分$$I[f]=\intBar^b_a f(x)\,dx,\quad f(x)=\frac{g(x)}{(x-t)^m},\quad m=1,2,\ldots,\quad a<t<b,$$的数值计算，假定$g\in C^\infty[a,b]$和$f(x)\in C^\infty(\mathbb{R}_t)$是$T$ -周期的，其中有$\mathbb{R}_t=\mathbb{R}\setminus\{t+ kT\}^\infty_{k=-\infty}$，$T=b-a$ .利用[A. Sidi，具有任意代数端点奇点的积分的{Euler--Maclaurin}展开式。{ \em Math. Comp.}，81：2159- 2173，2012]，我们统一了这些积分的处理。对于每个$m$，我们开发了一些数值求积公式$\widehat{T}^{(s)}_{m,n}[f]$的梯形$I[f]$。例如，对于$m=3$情况，从这种方法得到三个梯形类型的数值求积公式，它们是\begin{align*} \widehat{T}^{(0)}_{3,n}[f]&=h\sum^{n-1}_{j=1}f(t+jh)-\frac{π^2}{3}\,g'(t)\,h^{-1} +\frac{1}{6}\,g'''(t)\,h, \quad h=\frac{T…
2021-02-12 cs.NA math.NA
A Smoothly Varying Quadrature Approach for 3D IgA-BEM Discretizations: Application to Stokes Flow Simulations
University of Florence（佛罗伦萨大学）；University of Rome Tor Vergata（罗马托尔维加塔大学）
本文提出了一种适用于3D IgA-BEM离散化的平滑求积方法，通过去奇异变换提升计算精度和鲁棒性，应用于斯托克斯流模拟并验证了收敛性。
2025-11-24 cs.NA math.NA
An adaptive kernel-split quadrature method for parameter-dependent layer potentials
基于面板的核分裂求积是目前最有效的方法之一，可用于精确评估奇异和近奇异层潜力在二维。但对于修正的Helmholtz方程、双调和方程和斯托克斯方程中的层势，它可能完全失效。这些方程取决于一个参数，表示为$α$，当这个参数增长超过某个阈值时，核分裂正交快速失去其精度。本文介绍了一种算法，解决这个问题，使用每目标自适应采样的源几何形状。细化是通过递归二分法，精心挑选的规则集。这以作为$\logα$缩放的增加的成本来维持参数$α$的宽范围的准确性。使用这种算法允许核分裂正交是准确和有效的更广泛的问题比以前可能的。
2022-01-19 cs.NA math.NA
Corrected trapezoidal rules for singular implicit boundary integrals
我们提出了使用[Kublik，Tanushev和Tsai - J. Comp. Phys. 247：279-311，2013]中介绍的方法重新导出的一族边界积分算子的新高阶求积。在这个公式中，一个光滑的，封闭的超曲面上的边界积分被转换成一个等效的体积积分定义在一个足够薄的管状邻域的表面。体积公式使得在均匀笛卡尔网格上使用简单的梯形法则成为可能，并且减轻了使用参数化来开发求积的需要。因此，层势中的典型点奇点沿着表面的法线延伸。我们提出了新的高阶修正的梯形法则的网格节点周围的奇点。这种校正基于奇异性的局部分解，并且取决于相对于表面主曲率方向接近奇异性的角度。建议的分解，体积配方相结合，导致一个特殊的正交误差消除。
2022-03-31 cs.NA math.NA
Quadrature-Enhanced Monte Carlo fPINN Method for High-Dimensional Fractional PDEs
Central China Normal University（华中师范大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
本文提出一种四阶增强的蒙特卡洛fPINN方法，用于解决高维分数PDEs中的高维计算问题，通过几何自适应分解和数值方法提升精度与收敛性。
2026-04-21 cs.NA math.NA
Spherical configurations and quadrature methods for integral equations of the second kind
本文针对单位球面上的第二类积分方程，提出了一种基于 Marcinkiewicz--Zygmund 性质的乘积积分方法，利用球面调和函数逼近连续核与解的乘积，并推导出实用的 $L^{\infty}$ 误差界，数值算例验证了该分析。
2024-08-26 cs.NA math.NA
Composite Quadrature Methods for Weakly Singular Convolution Integrals
众所周知的Caputo分数阶导数和相应的Caputo分数阶积分自然地出现在许多非均匀介质下模拟物理现象的方程中。两个分数项之间的关系可以通过对给定方程应用拉普拉斯变换来容易地获得。我们试图用卷积积分的泰勒级数展开来数值近似卡普托分数次积分。这自然地扩展到能够近似更广泛类别的卷积积分核$K(t-s)$的卷积积分。这种方法的主要优点之一是能够数值逼近弱奇异核，这在传统的求积方法下无法收敛。我们提供这些复合求积的稳定性和收敛性分析，它提供了最佳的$C^γ[0,T]$，其中$α\leq γ\leq 5$和$0<α< 1$逼近函数的收敛性。对于阶$γ= 1,2,3,4,5$方案，所得到的近似是$O(τ^γ)$精确的，其中$τ$是时域分区的大小。相反，通过利用分数泰勒级数展开，我们能够获得对于$γ\in (0,5)-\{1,2,3,4\}$阶的方案，其产生具有依赖于核函数的常数的$O(τ^γ)$的近似，这提高了收敛阶。这允许更广泛的函数类被近似，并且通过加强正则性假设，我们能够获得更准确的结果。一般的卷积积分在不假设$K$减小的情况下，直到$γ= 2$都表现出这些结果。最后给出了一些数值例子，验证了我们的研究结果.
2020-01-22 cs.NA math.NA
Numerical quadratures for near-singular and near-hypersingular integrals in boundary element methods
University of Bath（巴斯大学）
提出一种无需显式分析奇异性或分解被积函数即可生成高斯型求积规则的方法，用于计算包含近奇异和近超奇异核的积分。
2007-12-11 cs.NA math-ph math.MP
Computing Highly Oscillatory Integrals
Guangdong Province Key Lab of Computational Science, School of Mathematics and Computational Science, Sun Yat-sen University（中山大学数学与计算科学学院）；Department of Mathematics, Syracuse University（雪城大学数学系）
本文提出两类复合无矩数值求积法，用于计算具有可积奇点和驻点的高振荡积分。第一类具有多项式收敛阶，第二类具有指数收敛阶。通过改进无矩Filon型方法加速收敛，并针对不同积分情况设计求积规则，实验显示方法精度和效率优于最新方法。
2015-07-02 cs.NA math.NA
An adaptive kernel-split quadrature method for parameter-dependent layer potentials
基于面板的核分裂求积是目前最有效的方法之一，可用于精确评估奇异和近奇异层潜力在二维。但对于修正的Helmholtz方程、修正的双调和方程和修正的斯托克斯方程的层势，它可能完全失效。这些方程取决于一个参数，表示为$α$，当这个参数增长超过某个阈值时，核分裂正交快速失去其精度。本文介绍了一种算法，解决这个问题，使用每目标自适应采样的源几何形状。细化是通过递归二分法，精心挑选的规则集。这以作为$\log α$缩放的增加的成本来维持参数$α$的宽范围的准确性。使用这种算法允许核分裂正交是准确和有效的更广泛的问题比以前可能的。
2021-08-03 cs.NA math.NA
High-precision quadrature via local Fourier extension: analytic integration, uniform sampling, and correction for piecewise smooth integrands
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）
本文提出基于局部傅里叶扩展的高精度积分方法，通过解析计算傅里叶系数实现高效积分，在均匀采样下预计算并重用离散LFE矩阵，兼容经典复合规则，同时针对分段光滑被积函数开发修正策略，提升积分精度。
2026-03-15 cs.NA math.NA
Quadrature by fundamental solutions: kernel-independent layer potential evaluation for large collections of simple objects
求解椭圆型边值问题的适定性边界积分法是静态和动态物理模拟的有力工具。当有许多接近接触的边界时（例如，在复杂流体中），或者当需要整体解时，必须在许多目标处计算近奇异积分。我们表明，预先计算从表面密度的线性映射到一个有效的源表示，使这项任务非常有效，在常见的情况下，每个对象是“简单的”，即，其平滑的边界只需要适度多的节点。我们提出了一个核独立的方法，只需要一个上采样的光滑表面求积，和一个密集的因式分解，为每个不同的形状。不需要（近）奇异求积规则。由此产生的有效源与快速算法兼容，没有本地校正也没有簿记。我们广泛的数值测试包括2D基于FMM的Helmholtz和Stokes BVP，最多有1000个对象（281000个未知数），以及3D Laplace BVP，10个椭圆体由直径的$1/30$分隔。我们包括对2D和3D分析数据的严格分析。
2021-09-18 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Arbitrary-order asymptotic expansions of Gaussian quadrature rules with classical and generalised weight functions
高斯求积法则是一个经典的工具，用于数值逼近具有光滑被积函数和正权函数的积分。我们推导并expenditurally列出了三个一般类的正权函数的高斯求积规则的点和权的渐近表达式：在端点具有代数奇点的有界区间上的解析函数，在无穷远处具有指数衰减且在有限端点具有代数奇点的半直线上的解析权函数，以及实直线上的解析函数，在无穷远处的两个方向上呈指数衰减。结果包括经典正交多项式（Legendre，Jacobi，Laguerre和Hermite）的Gauss定则作为特例。我们目前的实验表明，在这些表达式达到高精度的点的数量的范围。我们提供了一个算法，可以计算任意多项在这些扩展的经典情况下，和许多，但不是所有的广义情况下。
2022-08-24 cs.NA math.NA
A fast, high-order scheme for evaluating volume potentials on complex 2D geometries via area-to-line integral conversion and domain mappings
本文提出了一种新的高精度算法，通过体积源函数与格林函数的卷积，求出线性常系数偏微分方程（PDE）的特解。利用体积区域分解，积分计算在一个联盟的规则框（贷款计划与自适应盒码的兼容性）和三角形区域（这可能是潜在的弯曲附近的边界）。奇异和近奇异求积是通过使用单元映射和庞加莱引理的元素将体积区域上的积分转换为约束参考体积单元的线积分来处理的，然后利用现有的一维近奇异和奇异求积适合于核的奇异性质。该方案实现了与快速多极子方法（FIGH）的兼容性，从而通过耦合全局规则的目标独立的正交光滑函数的局部目标相关的奇异正交校正的最佳渐近复杂性，它依赖于正交多项式系统的每个单元格的条件良好，高阶和有效的（相对于所需的体积函数的数量评估）近似的任意体积源。我们的域离散化方案是自然兼容的标准网格软件，如Gmsh，这是用来离散一个狭窄的区域周围的域边界。我们提出了8阶精度的结果，证明了成功的方法与示例显示高达12位数的精度复杂的几何形状，和静态的几何形状，我们的数值例子显示远远超过$99\%$的评估时间的特解花在FMM步骤。
2022-03-11 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Rectangular polar quadrature in 1D and its error analysis
本文提出一维矩形-极坐标积分策略，结合Fejér第一求积法与多项式变量替换处理弱奇异卷积积分，推导了收敛条件与误差估计，数值实验验证了其在奇异积分方程及二维表面散射问题中的有效性。
2025-01-14 cs.NA math.NA
High-order BDF convolution quadrature for fractional evolution equations with hyper-singular source term
本文针对含超奇异源项的分数阶演化方程提出基于Hadamard有限部分积分的光滑化方法，结合ID$m$-BDF$k$格式恢复高阶收敛速率，并通过数值实验验证理论结果。
2023-09-18 cs.NA math.NA
Fast algorithms for Quadrature by Expansion I: Globally valid expansions
Yale University（耶鲁大学）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；New York University（纽约大学）
本文提出一种结合扩展求积法与定制快速多极子方法的统一数值方案，实现层势在任意空间位置的线性时间复杂度计算，提高求解亥姆霍兹方程的效率和精度。
2017-02-22 cs.NA math.NA
High-order kernel regularization of singular and hypersingular Helmholtz boundary integral operators
POEMS, CNRS, Inria, ENSTA Paris, Institut Polytechnique de Paris（POEMS，CNRS，Inria，ENSTA巴黎，巴黎理工学院）；Department of Applied Mathematics, University of Twente（特温特大学应用数学系）；Department of Mathematics, Farmingdale State College, SUNY（萨福克大学法明代尔州立学院数学系）
本文提出高阶核正则化方法，用于三维亥姆霍兹Calderon算术中的四种表面边界积分算子，实现超奇异算子的高阶正则化，并通过统一误差分析和数值实验验证方法的有效性。
2026-10-27 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Singularity swapping method for nearly singular integrals based on trapezoidal rule
本文提出一种基于梯形法则和三角插值的奇点交换方法，用于精确计算任意接近目标的近奇异积分，实现谱精度，并扩展到分段解析曲线，数值算例验证了高阶精度。
2023-05-10 cs.NA math.NA
Fast multipole methods for evaluation of layer potentials with locally-corrected quadratures
虽然快速多极子方法（Fast Multipole Method，FMF）广泛用于快速计算由拉普拉斯、亥姆霍兹、麦克斯韦或斯托克斯方程控制的势场，但它们与高阶求积法的耦合用于计算层势仍然是一个活跃的研究领域。在三维空间中，一些问题需要解决，包括规范的表面作为工会的高阶补丁，纳入准确的积分规则整合奇异或弱奇异格林函数的补丁，和他们的耦合到八叉树数据结构上的FMM分离近场和远场相互作用。虽然后者对于点分布是直接的，但是贴片的准域由其物理尺寸确定，而不是表面上离散点的分布。在这里，我们提出了一个一般的框架，有效地耦合局部校正的求积与FFT，主要依赖于所谓的广义高斯求积规则，辅之以自适应积分。然而，该方法是相当普遍的，很容易适用于其他计划，如正交扩展（QBX）。我们还引入了一些加速度，以减少正交生成本身的成本，并提出了几个数值例子的声散射，证明该计划的准确性，鲁棒性和计算效率。在Intel i5 2.3GHz处理器的单核上，该方案的Fortran实现可以产生每秒1000到10，000点的准域正交校正，这取决于精度的量级和所需的精度。在这项工作中描述的算法的Fortran实现可在https://gitlab.com/fastalgorithms/fmm3dbie上获得。
2021-04-23 cs.NA math.NA
Quadrature by Parity Asymptotic eXpansions (QPAX) for scattering by high aspect ratio particles
利用边界积分方程方法研究了高纵横比粒子的散射问题。这个问题在纳米光子学问题中有重要的应用，包括传感和等离子体成像。为了说明奇偶校验的效果和需要适应的方法在存在高纵横比的颗粒，我们认为在两个维度的散射声硬，高纵横比椭圆。这个基本问题突出了主要的挑战，并提供了有价值的见解，以解决等离子体问题和一般的高纵横比粒子。对于这个问题，我们发现边界积分算子是近似奇异的，这是由于从椭圆到线段的几何塌陷。我们发现，这种几乎奇异的行为导致定性不同的渐近行为的解决方案与不同的奇偶校验。如果不明确考虑这种近乎奇异的行为和这种奇偶性，计算的解决方案会产生很大的误差。为了解决这些挑战，我们引入了一种新的方法，称为正交奇偶渐近展开（QPAX），有效地和高效地解决这些问题。我们首先发展QPAX来解决拉普拉斯方程在高深宽比椭圆中的狄利克雷问题。然后，我们扩展QPAX散射的声音硬，高纵横比椭圆。我们通过几个数值例子证明了QPAX的有效性。
2021-09-07 cs.NA math.NA
Spherical polar coordinate transformation for integration of singular functions on tetrahedra
给出了一种计算四面体上积分的方法，其中被积函数在一个顶点上有可积奇点。该方法使用了球极坐标的转换，明确消除了奇异性，有利于积分限制的评估。该方法还实现了自适应的形式，使收敛到所需的公差。从该方法的结果进行比较，从一个四面体的精确分析方法的输出，并显示出很高的精度。特别是，当使用自适应算法时，对于通常对数值求积技术存在困难的条件差的四面体，发现了高度精确的结果。该方法也证明了非结构化网格上的Biot-Savart积分与固定节点求积规则相结合的评价，并表现出良好的收敛性和准确性。
2022-05-03 cs.NA math.NA
Weighted Quadrature on Unstructured Splines
Shanghai Jiao Tong University Global College, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学全球学院）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
提出一种基于非结构化样条曲面的加权求积方法，通过物理域定义求积规则、按函数指定求积点数量以及截断奇异值分解解决病态问题，实现伽辽金矩阵的快速组装。
2026-05-28 cs.NA math.NA
Fast, high-order numerical evaluation of volume potentials via polynomial density interpolation
针对二维Poisson和Helmholtz方程相关奇异体积积分算子求值问题，提出基于多项式密度插值的高阶数值方法，将体积势转化为层势与正则化体积积分之和，减少专用求积量，兼容快速算法，精度和效率经数值验证，可用于非均匀散射。
2024-05-23 cs.NA math.NA physics.comp-ph
High-order accurate Nystrom discretization of integral equations with weakly singular kernels on smooth curves in the plane
University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）；Dartmouth College（达特茅斯学院）
针对平面光滑曲线上具有对数奇异核的边界积分方程，本文构造并比较了四种高阶Nyström离散化方法（Kapur-Rokhlin、Alpert、Kress和Kolm-Rokhlin），通过数值实验验证了它们在低频和高频Helmholtz问题及三维轴对称Laplace问题中的收敛性与迭代性能差异。
2012-11-21 cs.NA math.NA
High-Order Quadrature on Multi-Component Domains Implicitly Defined by Multivariate Polynomials
提出了一种高阶求积算法，用于计算几何形状由（一个或多个）多元多项式的水平集隐式定义的曲面和体上的积分。该算法重铸的隐式定义的几何图形的一个隐式定义的，多值高度函数，并适用于降维的方法，只需要一维求积。特别是，我们探讨了使用高斯-勒让德和双曲正切-辛方法，并证明了正交算法继承其高阶收敛速度。在$h$-细化与$q$固定的作用下，正交计划产生的$2q$，其中$q$是一维节点计数的精度的顺序;数值实验证明高达22阶。在$q$-细化的作用下，几何形状固定，收敛近似为指数，即，使$q$加倍大约使计算的积分的精确位数加倍。复杂的几何形状由算法自动处理，包括，例如，由多个多项式水平集产生的多分量域、隧道和结，以及自相交、尖点和其他种类的奇点。各种数值实验演示了二维和三维问题的求积算法，包括：随机生成的几何形状，涉及多个高曲率件;具有挑战性的例子，涉及高度奇异性，如尖点;适应单纯形约束细胞除了超矩形约束细胞;和布尔运算计算积分重叠域。
2021-09-21 cs.NA math.AG math.NA
Ubiquitous evaluation of layer potentials using Quadrature by Kernel-Independent Expansion
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）；Dartmouth College（达特茅斯学院）
本文提出一种高阶准确计算一般椭圆PDE相关层势的四阶方法，通过点核评估实现PDE无关性，适用于各种奇异核的边界积分。
2016-12-03 cs.NA math.NA
Analytical solution for heat conduction due to a moving Gaussian heat flux with piecewise constant parameters
Arcam EBM；Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Gothenburg（哥德堡大学）
本文提出了一种在半空间中受移动高斯热通量作用的热传导解析解，该解可用于粉末床熔融应用中通过控制热传导来优化激光扫描过程。
2018-03-28 cs.NA math.NA
Unified Regularization of 2D Singular Integrals for Axisymmetric Galerkin BEM in Eddy-Current Evaluation
Wuhan University（武汉大学）；Politecnico di Milano（米兰理工大学）
本文提出了一种轴对称伽辽金边界元方法用于建模激励线圈与导体物体之间的涡流相互作用，通过统一的正则化框架处理二维奇异积分，提高了计算效率和稳定性。
2026-06-05 cs.NA math.NA physics.comp-ph
