Exponential quadrature rules for linear fractional differential equations
Università degli Studi di Bari（巴里大学）；Università del Salento（莱切大学）
本文提出基于广义Mittag-Leffler函数的积分表达求解线性分数微分方程初值问题，设计适合的求积规则并推导代数型阶条件，通过数值实验验证理论结果并与其他方法对比展示有效性。
2013-11-06 cs.NA math.NA
On quadrature rules for solving Partial Differential Equations using Neural Networks
神经网络已被广泛应用于求解偏微分方程。这些方法需要使用求积规则来近似定积分。在这里，我们通过一维数值例子说明了在这些应用中可能出现的正交问题，并提出了不同的替代方案来克服它们，即：蒙特卡罗方法，自适应积分，神经网络输出的多项式逼近，以及在损失中包含正则化项。我们还讨论了每一个建议的替代方案的优点和局限性。我们提倡使用蒙特卡罗方法的高维（3或4以上），自适应积分或多项式逼近的低维（3或以下）。正则化项的使用是一种数学上优雅的替代方案，适用于任何空间维度，但是，在处理复杂的神经网络时，它需要对解进行某些正则性假设和复杂的数学分析。
2021-10-30 cs.NA math.NA
Numerical solution of space-fractional partial differential equations by a differential quadrature approach
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
本文提出一种直接数值方法，利用新的差分四次技术求解空间分数阶偏微分方程，通过三种径向基函数作为测试函数计算权重，验证了方法的鲁棒性和高精度。
2017-01-22 cs.NA math.NA
Sharp error bounds for Jacobi expansions and Gengenbauer-Gauss quadrature of analytic functions
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；Guizhou Normal University（贵州师范大学）；Hunan Normal University（湖南师范大学）
本文通过Bernstein椭圆对解析函数的Jacobi多项式展开的指数衰减进行了严格精细分析，推导了展开系数的新尖锐界，并扩展至Gegenbauer-Gauss求积余项估计。
2012-10-08 cs.NA math.NA
A Fast Algorithm with Error Bounds for Quadrature by Expansion
展开求积法（QBX）是一种求积方法，用于近似计算层势中遇到的奇异积分值。它利用层势的光滑性，通过形成局部有效的展开，然后计算积分的近表面值。最近将快速多极子方法（FMM）与QBX结合的工作，为快速评估此类积分（以及相关积分方程的解）迈出了第一步，尽管仅凭经验理解错误行为。在本文中，我们改进了这种方法与修改后的算法，我们给出了一个全面的误差和成本的情况下，拉普拉斯方程的二维分析。对于相同级别的（用户指定的）准确性，新算法经验上具有与先前方法相当的每准确性成本。我们提供实验结果来证明可扩展性和数值精度。
2020-03-04 cs.NA math.NA
A study on spline quasi-interpolation based quadrature rules for the isogeometric Galerkin BEM
University of Florence（佛罗伦萨大学）；INdAM（意大利国家高等研究数学研究所）
本文研究了两种新的弱奇异积分四阶规则，用于等几何伽辽金边界元法中的边界积分方程，比较了不同积分类型的求解方法，并验证了第二种方案在h细化时具有最优收敛阶。
2018-07-30 cs.NA math.NA
Numerical Methods for the Fractional Laplacian: a Finite Difference-quadrature Approach
Imperial College London（帝国理工学院）；McGill University（麦吉尔大学）
本文提出基于奇异积分表示的分数阶拉普拉斯算子数值方法，结合有限差分与求积得到正权重离散卷积算子，证明了方法的收敛性，并通过数值实验验证了收敛率。
2014-11-13 cs.NA math.NA
Generation of Nested Quadrature Rules for Generic Weight Functions via Numerical Optimization: Application to Sparse Grids
Scientific Computing and Imaging Institute, University of Utah（科学计算与成像研究所，犹他大学）；School of Computing, University of Utah（计算机学院，犹他大学）；Department of Mathematics, University of Utah（数学系，犹他大学）
本文提出一种数值方法，用于为各种加权函数生成嵌套求积规则，通过双层优化方案解决矩匹配条件，并展示其在有限/无限和对称/不对称支持上的应用，以及在稀疏网格中的应用验证。
2018-08-10 cs.NA math.NA
Spherical configurations and quadrature methods for integral equations of the second kind
本文针对单位球面上的第二类积分方程，提出了一种基于 Marcinkiewicz--Zygmund 性质的乘积积分方法，利用球面调和函数逼近连续核与解的乘积，并推导出实用的 $L^{\infty}$ 误差界，数值算例验证了该分析。
2024-08-26 cs.NA math.NA
Hyperbolic quadrature method of moments for the one-dimensional kinetic equation
对动力学理论中一个长期存在的开放问题提出了一种解决方法，即给定任意一组可实现的速度矩，构造了2n+1阶矩的封闭，使得从一维动力学方程的自由输运项中得到的矩系是全局双曲的，并且是保守形式的.在以前的工作中，双曲型矩量法（HyQ）被引入到四阶（n $\le$ 2）关闭这个时刻系统。在这里，HyQerk是重新制定和扩展到任意偶数阶的时刻。的HyQnovel封闭定义的基础上的唯一的速度矩的阶2n - 1定义的一元正交多项式Qn的属性。因此，HyQerk是严格的矩闭合，并且不依赖于具有相同矩的速度分布函数的重建。在矩空间的边界上，特征多项式P2 n +1的n个二重根是Qn的根，而在内部，P2 n +1与Qn共有n个根. P2 n +1的其余n + 1个根结合并分离Qn的根。本文在Chebyshev算法的基础上，提出了一种计算2n阶矩中2n + 1阶矩的有效算法。利用一维黎曼问题的解析解证明了HyQdom闭包随n的增加而收敛.
2021-03-18 cs.NA math.AP math.NA
Maximum bound preservation of exponential integrators for Allen-Cahn equations
针对Allen-Cahn方程，本文开发并分析了基于指数积分器迭代框架结合特定数值求积规则的任意高阶最大边界保持时间步长格式，证明其无条件保界且具任意高阶时间精度，通过误差分析与数值实验验证了有效性。
2025-04-14 cs.NA math.NA
Differential quadrature method for space-fractional diffusion equations on 2D irregular domains
Queensland University of Technology（昆士兰科技大学）；Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
本文提出了一种用于求解二维不规则域上空间分数扩散方程的差分求积方法，通过引入有效的差分求积公式将原方程转化为常微分方程组，并采用径向基函数计算权重系数，最后通过Crank-Nicolson方案进行离散化。
2018-01-02 cs.NA math.NA
Breaking quadrature exactness: A spectral method for the Allen--Cahn equation on spheres
本文提出一种球面上 Allen-Cahn 方程的谱方法，用 Marcinkiewicz-Zygmund 求积系统的受限等距关系替代传统求积精确性条件，放宽求积点选择限制并实现时间步长与扩散系数解耦，同时建立能量稳定性和几乎锐利最大值原理。
2025-08-18 cs.NA math.NA
Layer potential quadrature on manifold boundary elements with constant densities for Laplace and Helmholtz kernels in $\mathbb{R}^3$
提出一种基于微分几何两项分解的方法，用于计算常密度流形边界元上Laplace和Helmholtz方程的层势，有效处理奇异和近奇异积分并验证了高精度。
2023-09-14 cs.NA math.NA
High-order Corrected Trapezoidal Rules for Functions with Fractional Singularities
本文引入并分析了任意高阶求积规则，用于计算二维奇异积分的形式\begin{align} I_{i,j} = \int_{\mathbb{R}^2}ϕ(x)\frac{x_ix_j}{|x|^{2+α}} \d x, \quad 0< α< 2 \end{align}，其中$i,j\in\{1,2\}$和$ϕ\in C_c^N$用于$N\geq 2$ .这类奇异积分及其求积法则出现在二维非局部Fokker-Planck方程分数阶Laplacian的数值离散中。求积规则是梯形法则，其配备有用于奇点周围的点的校正权重。我们证明了收敛阶是$2p+4-α$，其中$p\in\mathbb{N}_{0}$与校正权的总数相关联。虽然我们在2D环境中工作，但为了通用性，我们在适当的时候在$n\in\mathbb{N}$维度中制定定义和定理。我们提出了数值实验，以验证所提出的修改的求积规则的收敛顺序。
2022-03-21 cs.NA math.NA
A local target specific quadrature by expansion method for evaluation of layer potentials in 3D
New Jersey Institute of Technology（新泽西理工学院）；KTH Mathematics, Linné Flow Centre/Swedish e-Science Research Center（皇家理工学院数学系、林奈流体力学中心/瑞典电子科学研究中心）
本文提出一种局部目标特定的展开法，用于高精度计算三维层势，通过局部展开减少计算误差，并在多连通域上验证了该方法的有效性。
2018-03-05 cs.NA math.NA
Fast and accurate computation of classical Gaussian quadratures
Universidad de Cantabria（坎塔布里亚大学）
本文提出了一种快速且准确的高斯求积算法，适用于多种经典求积规则，提升了计算速度、精度和参数范围。
2025-12-11 cs.MS cs.NA math.CA
Time-Domain Multiple Traces Boundary Integral Formulation for Acoustic Wave Scattering in 2D
提出了一种新的计算方法来求解声波在复合散射体上的传播问题，即具有结点或三重点的可穿透障碍物。我们的连续问题是铸造作为一个多道时域边界积分制定有效的二维和三维。在数值上，我们的二维非一致空间离散化使用基于第二类切比雪夫多项式的谱元素，而卷积正交方案是在复频域中执行的。计算实验揭示了多步和多级卷积求积预期收敛结果的各种复杂的域。
2022-03-31 cs.NA math.NA
An efficient differential quadrature method for fractional advection-diffusion equation
Department of Applied Mathematics, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学应用数学系）
本文提出一种高效的差分求积方法，用于求解一维和二维时间分数输运-扩散方程，通过立方三角样条函数构建测试函数，将原方程转化为常微分方程组，并通过有效差分方案或龙格-库塔方法进行离散化，验证了方法的稳定性与准确性。
2017-10-18 cs.NA math.NA
Composite Quadrature Methods for Weakly Singular Convolution Integrals
众所周知的Caputo分数阶导数和相应的Caputo分数阶积分自然地出现在许多非均匀介质下模拟物理现象的方程中。两个分数项之间的关系可以通过对给定方程应用拉普拉斯变换来容易地获得。我们试图用卷积积分的泰勒级数展开来数值近似卡普托分数次积分。这自然地扩展到能够近似更广泛类别的卷积积分核$K(t-s)$的卷积积分。这种方法的主要优点之一是能够数值逼近弱奇异核，这在传统的求积方法下无法收敛。我们提供这些复合求积的稳定性和收敛性分析，它提供了最佳的$C^γ[0,T]$，其中$α\leq γ\leq 5$和$0<α< 1$逼近函数的收敛性。对于阶$γ= 1,2,3,4,5$方案，所得到的近似是$O(τ^γ)$精确的，其中$τ$是时域分区的大小。相反，通过利用分数泰勒级数展开，我们能够获得对于$γ\in (0,5)-\{1,2,3,4\}$阶的方案，其产生具有依赖于核函数的常数的$O(τ^γ)$的近似，这提高了收敛阶。这允许更广泛的函数类被近似，并且通过加强正则性假设，我们能够获得更准确的结果。一般的卷积积分在不假设$K$减小的情况下，直到$γ= 2$都表现出这些结果。最后给出了一些数值例子，验证了我们的研究结果.
2020-01-22 cs.NA math.NA
Fast, reliable and unrestricted iterative computation of Gauss--Hermite and Gauss--Laguerre quadratures
描述了计算经典高斯求积规则的方法，这些方法对小次数和大次数都是有效的。这些方法是可靠的，因为节点的迭代计算具有保证的收敛性，并且由于它们的四阶收敛性和适当选择变量的渐近精确性，它们是快速的。对于Gauss-Hermite和Gauss-Laguerre求积，局部Taylor级数可以用来有效地计算所涉及的正交多项式，Hermite情形的初始值是精确的，Laguerre情形的初始值是用连分数计算的。所得到的算法几乎不受限制的有效性的参数。完全相对精度达到了埃尔米特节点，没有任何精度损失和任何程度，和一个温和的精度损失发生的埃尔米特和拉盖尔权重以及拉盖尔节点。这些快速方法完全基于收敛过程，这与底层迭代法的高阶收敛一起，使得它们对于高精度计算特别有用。我们展示了非常高精度的计算（高达$1000$位数的精度）的例子。
2019-06-12 cs.NA math.CA math.NA
Quadrature by Two Expansions: Evaluating Laplace Layer Potentials using Complex Polynomial and Plane Wave Expansions
Department of Mathematics, the University of North Carolina at Chapel Hill（北卡罗来纳大学教堂山分校数学系）
本文提出一种新的二次展开法（QB2X），通过复多项式和平面波展开准确评估拉普拉斯层势，改进了传统QBX方法，提高了边界附近计算的精度和效率。
2019-06-28 cs.NA math.NA
Poisson quadrature method of moments for 2D kinetic equations with velocity of constant magnitude
本文针对速度大小恒定的动理学方程提出基于泊松核的Poisson-EQMOM求积矩方法，其矩封闭系统良定义且近似分布函数随矩数增加而收敛，并设计了精细矩反演算法，在Vicsek模型及空间均匀、一维和二维数值实验中验证了方法的有效性。
2024-11-19 cond-mat.soft cs.NA math.NA
A Smoothly Varying Quadrature Approach for 3D IgA-BEM Discretizations: Application to Stokes Flow Simulations
University of Florence（佛罗伦萨大学）；University of Rome Tor Vergata（罗马托尔维加塔大学）
本文提出了一种适用于3D IgA-BEM离散化的平滑求积方法，通过去奇异变换提升计算精度和鲁棒性，应用于斯托克斯流模拟并验证了收敛性。
2025-11-24 cs.NA math.NA
A novel Hermite RBF-based differential quadrature method for solving two-dimensional variable-order time fractional advection-diffusion equation with Neumann boundary condition
Jiangsu Normal University（江苏师范大学）；De Montfort University（德蒙福特大学）
本文提出了一种基于Hermite径向基函数的差分四阶方法（H-RBF-DQ），用于准确处理导数边界条件。该方法不同于原始的Hermite RBF方法，通过二维变阶时间分数扩散方程的数值模拟验证了其鲁棒性和通用性。
2018-09-07 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Fast non-polynomial interpolation and integration for functions with logarithmic singularities
College of Science, National University of Defense Technology（国防科技大学理学院）
本文提出一种快速非多项式插值方法，用于处理具有对数奇异性函数，结合离散余弦变换实现高效计算，并提出新型求积公式，通过数值实验验证方法有效性。
2018-05-05 cs.NA math.NA
Fast and rigorous arbitrary-precision computation of Gauss-Legendre quadrature nodes and weights
INRIA – LFANT, CNRS – IMB – UMR 5251, Université de Bordeaux（法国国家信息与自动化研究所 - LFANT，法国国家科学研究中心 - IMB - UMR 5251，波尔多大学）；Sorbonne Université, CNRS, Laboratoire d’Informatique de Paris 6, LIP6（索邦大学，法国国家科学研究中心，巴黎第六大学计算机实验室，LIP6）
本文提出了一种高精度计算高斯-勒让德求积节点和权重的方法，结合了超几何级数的矩形分割求和与Bonnet三阶递推关系的固定点实现，并通过区间牛顿法计算严谨的封闭区间，验证了算法的正确性和效率。
2018-10-17 cs.MS cs.NA math.NA
A high order positivity preserving DG method for coagulation-fragmentation equations
Iowa State University（爱荷华州立大学）；Otto-von-Guericke University Magdeburg（马格德堡奥托·冯·格里克大学）
本文提出并验证了一种新的不连续Galerkin方法，用于求解凝聚-碎裂方程，通过简单缩放限制器保持数值解的正性，采用Gaussian求积方法并限制时间步长以传播正性。
2017-10-03 cs.NA math.NA
Positivity-Preserving Lax-Wendroff Discontinuous Galerkin Schemes for Quadrature-Based Moment-Closure Approximations of Kinetic Models
基于矩量法（QRST）提供了一类很有前途的近似技术，用于将动力学方程简化为在热力学平衡之外有效的流体方程。在这项工作中，我们研究了一个特定的五个时刻的变体称为HyQeroes的Qeroes，并建立该系统是在解空间的凸区域的时刻可逆。然后，我们开发了一个高阶不连续Galerkin（DG）计划解决由此产生的流体系统。该计划是基于预测-校正方法，其中的预测是一个本地化的空间-时间DG计划。预测中的非线性代数系统采用Picard迭代求解。修正是基于发展方程的时间积分的直接显式更新，其中时空预测取代了精确解的所有实例。在没有限制器的情况下，高阶格式并不能保证解保持在HyQdom矩可实现的凸集中。为了克服这一点，我们引入新的限制器，严格保证计算的解决方案不会离开可实现的解决方案的凸集，从而保证系统的双曲性。我们在预测和校正步骤中开发了保正限制器，并开发了一个振荡限制器，用于抑制冲击附近的非物理振荡。我们还开发了一种新的扩展，该计划包括BGK碰撞算子，所提出的方法被证明是渐近保持在高碰撞极限。的HyQNOW和HyQMOM-BGK求解器进行了验证，在几个测试用例，表现出高阶精度光滑的问题和冲击捕捉能力的问题与冲击。数值验证了HyQMOM-BGK求解器的渐近保持特性。
2022-10-24 cs.NA math.NA
An adaptive model reduction method leveraging locally supported basis functions
该研究提出融合全局与局部支撑基函数的连续伽辽金方法CG-GL，结合自适应机制与经验求积，解决降阶模型参数鲁棒性问题，实现精度与计算成本的可调权衡。
2023-10-09 cs.NA math-ph math.MP
On the Equivalence between Kernel Quadrature Rules and Random Feature Expansions
INRIA（法国国家信息与自动化研究所）
研究揭示核积分规则是随机特征展开的特例，通过理论分析得出样本数与积分算子特征值的关系，扩展至函数逼近问题并改进随机特征学习的泛化保证。
2015-11-09 cs.LG cs.NA math.NA
Deep Ritz Method with Adaptive Quadrature for Linear Elasticity
本文研究求解线性弹性方程的深度Ritz方法，引入基于$H^{1/2}(Γ_D)$范数的修正变分形式处理Dirichlet边界条件，证明其能量范数下的最佳逼近性，并提出基于自适应求积的数值积分技术以控制积分误差，有效提升了方法求解各类弹性问题的精度与效率。
2023-05-24 cs.NA math-ph math.MP
Strong convergence rates of stochastic theta methods for index 1 stochastic differential algebraic equations under non-globally Lipschitz conditions
本文研究了非全局Lipschitz条件下指标1随机微分代数方程的数值逼近，提出在全局单调性条件下建立均方收敛速率的方法，并证明$θ\in [\frac{1}{2},1]$的随机theta方法达到$\frac{1}{2}$阶收敛速率。
2025-09-15 cs.NA math.NA
Efficient high-order accurate Fresnel diffraction via areal quadrature and the nonuniform FFT
我们提出了一个快速算法计算衍射场从任意二元（锐边）平面孔径和掩模标量菲涅耳近似，高达适度高菲涅耳数（$\lesssim 10^3$）。它使用高阶面积正交的孔径，然后利用一个单一的二维非均匀快速傅立叶变换（NUFFT），以评估迅速在目标点（顺序$10^7$这样的点每秒，独立于孔径的复杂性）。因此，它结合了边缘积分方法的高精度和傅立叶方法的高速度。它的代价是${\mathcal O}(n^2 \log n)$，其中$n$是源平面和目标平面中所需的线性分辨率，用于与边缘积分方法的${\mathcal O}(n^3)$进行比较。在几种孔径形状的测试中，这转化为2到5个数量级的加速度。在系外行星天文学的星罩建模中，我们发现它在精确计算望远镜瞳孔波前集方面比现有技术快大约$10^4 \times$。我们提供了一个文档化的、经过测试的MATLAB/Octave实现。附录显示了边界衍射波，角积分，线积分公式的数学等价性，然后分析了一个新的非奇异的重新制定，消除了他们的共同困难的几何阴影边缘附近。这提供了一个强大的边缘积分参考，以验证主要建议。
2020-12-16 astro-ph.IM cs.NA math.NA
A projected Euler Method for Random Periodic Solutions of Semi-linear SDEs with non-globally Lipschitz coefficients
本文提出投影Euler方法，用于在非全局Lipschitz条件下逼近半线性SDE的随机周期解，并证明乘性噪声下均方收敛阶为0.5、加性噪声下为1。
2024-11-23 cs.NA math.NA math.PR
Numerical simulation of spray coalescence in an eulerian framework : direct quadrature method of moments and multi-fluid method
Iowa State University（爱荷华州立大学）；Ecole Centrale Paris（巴黎中央理工学院）；Laboratoire d’Énergétique Moléculaire et Macroscopique, Combustion, UPR CNRS 288（分子与宏观能量实验室，燃烧，UPR CNRS 288）
针对多分散液滴喷雾的聚结与蒸发问题，采用直接矩量法（DQMOM）和多流体法两种欧拉模型进行数值模拟，并通过与随机拉格朗日求解器的参考解对比验证其准确性。
2007-06-26 cs.NA math.NA physics.class-ph
Fast Cross-validation in Harmonic Approximation
为Tikhonov正则化问题找到一个好的正则化参数是一个经常被问到的问题。一种方法是使用留一交叉验证得分来指示拟合的拟合优度。这只利用了噪声函数值，但缺点是计算成本很高。在本文中，我们提出了一种通用的方法来转移的主要计算问题的函数的节点分布，利用FFT和FFT类算法，甚至减少这种成本大大降低的吉洪诺夫正则化问题本身的成本。我们应用这种技术在不同的设置上的环面，单位间隔，和二维球。假设采样点满足求积规则，我们的算法以浮点精度计算交叉验证分数。在任意分散的节点的情况下，我们提出了一个近似算法具有相同的复杂性。数值实验表明了算法的适用性。
2020-05-07 cs.NA math.NA
Stability analysis of Runge-Kutta methods for nonlinear delay-integro-differential-algebraic equations
本文针对带常延迟的非线性Volterra延迟积分微分代数方程，分析了Runge-Kutta方法与复合求积公式相结合的混合数值格式，建立了全局稳定性和渐近稳定性判据，并通过数值算例验证了理论结果。
2025-06-04 cs.NA math.NA
