Quadrature by Matched Asymptotic Expansion (QBMAX): Accelerating Evaluation of Layer Potentials with Boundary Layers
Siebel School of Computing and Data Science, University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校赛尔计算与数据科学学院）
QBMAX通过将核的渐近衰减行为纳入泰勒展开，扩展QBX框架，在二维和三维大参数情形下精度提升达四位数字，且计算成本相当。
2026-09-15 cs.NA math.NA
A Fast Algorithm with Error Bounds for Quadrature by Expansion
展开求积法（QBX）是一种求积方法，用于近似计算层势中遇到的奇异积分值。它利用层势的光滑性，通过形成局部有效的展开，然后计算积分的近表面值。最近将快速多极子方法（FMM）与QBX结合的工作，为快速评估此类积分（以及相关积分方程的解）迈出了第一步，尽管仅凭经验理解错误行为。在本文中，我们改进了这种方法与修改后的算法，我们给出了一个全面的误差和成本的情况下，拉普拉斯方程的二维分析。对于相同级别的（用户指定的）准确性，新算法经验上具有与先前方法相当的每准确性成本。我们提供实验结果来证明可扩展性和数值精度。
2020-03-04 cs.NA math.NA
Arbitrary-order asymptotic expansions of Gaussian quadrature rules with classical and generalised weight functions
高斯求积法则是一个经典的工具，用于数值逼近具有光滑被积函数和正权函数的积分。我们推导并expenditurally列出了三个一般类的正权函数的高斯求积规则的点和权的渐近表达式：在端点具有代数奇点的有界区间上的解析函数，在无穷远处具有指数衰减且在有限端点具有代数奇点的半直线上的解析权函数，以及实直线上的解析函数，在无穷远处的两个方向上呈指数衰减。结果包括经典正交多项式（Legendre，Jacobi，Laguerre和Hermite）的Gauss定则作为特例。我们目前的实验表明，在这些表达式达到高精度的点的数量的范围。我们提供了一个算法，可以计算任意多项在这些扩展的经典情况下，和许多，但不是所有的广义情况下。
2022-08-24 cs.NA math.NA
Ubiquitous evaluation of layer potentials using Quadrature by Kernel-Independent Expansion
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）；Dartmouth College（达特茅斯学院）
本文提出一种高阶准确计算一般椭圆PDE相关层势的四阶方法，通过点核评估实现PDE无关性，适用于各种奇异核的边界积分。
2016-12-03 cs.NA math.NA
Quadrature by Two Expansions: Evaluating Laplace Layer Potentials using Complex Polynomial and Plane Wave Expansions
本文提出一种新的二次展开法（QB2X），通过复多项式和平面波展开准确评估拉普拉斯层势，改进了传统QBX方法，提高了边界附近计算的精度和效率。
2019-06-28 cs.NA math.NA
Adaptive quadrature by expansion for layer potential evaluation in two dimensions
KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）
本文提出了一种自适应扩展求积法（AQBX），用于提高边界积分方程方法中层势奇异和近奇异积分的计算精度，通过结合自动参数选择算法和误差估计，实现了对任意形状边界的有效处理。
2018-01-17 cs.NA math.NA
Optimization of Fast Algorithms for Global Quadrature by Expansion Using Target-Specific Expansions
我们开发了一种算法的渐近快速评估层潜力接近和源的几何形状，结合几何全局加速QBX（`GIGAQBX '）和目标特定的扩展。GIGAQBX是一种快速高阶方案，用于基于展开求积（“QBX”）使用通过快速多极方法（FMM）形成的局部展开来评估层势。目标特异性展开用于降低QBX局部展开的形成和评估的成本，在三维中将相关的计算工作量从$O((p+1)^{2})$减少到$O(p+1)$，与常规展开相比没有任何精度损失，但是在展开系数中损失了源/目标分离。GIGAQBX是一个“全局”QBX方案，这意味着潜力完全通过边界附近或边界上的点的扩展来调节。在我们的计划中，这个单一的全球扩张被分解成两个部分，分别评估：一部分采用目标特定的扩展，并使用传统的球谐展开的远场贡献的近场贡献，注意到收敛保证只存在于两个子扩展的总和。相比之下，目标特定的扩展最初被引入作为“本地”QBX计划的加速机制，其中远场对QBX扩展没有贡献。与未修改的GIGAQBX算法相比，我们通过一个可重复的，时间校准的成本模型，组合方案产生了相当大的成本降低的近场评估部分的计算。我们支持我们的计划的有效性，通过数值计算结果表明拉普拉斯和亥姆霍兹内核的性能改善。
2019-11-15 cs.NA math.NA
Quadrature by Expansion: A New Method for the Evaluation of Layer Potentials
Courant Institute of Mathematical Sciences（库朗数学科学研究所）；Department of Mathematics, Dartmouth College（达特茅斯学院数学系）
提出基于局部展开的高阶求积方法QBX，用于精确计算奇异、弱奇异和近奇异核的边界积分，兼容快速多极子算法。
2013-03-17 cs.NA math.NA
A Fast Direct Solver for Boundary Integral Equations Using Quadrature By Expansion
West University of Timişoara（蒂米什瓦拉西大学）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文提出一种基于扩展求积法的快速直接求解器，通过改进的层次半分离矩阵运算和插值分解技术，实现对二维和三维问题的高效求解，具有最优渐进行为。
2025-11-12 cs.NA math.NA
Quadrature by Parity Asymptotic eXpansions (QPAX) for scattering by high aspect ratio particles
利用边界积分方程方法研究了高纵横比粒子的散射问题。这个问题在纳米光子学问题中有重要的应用，包括传感和等离子体成像。为了说明奇偶校验的效果和需要适应的方法在存在高纵横比的颗粒，我们认为在两个维度的散射声硬，高纵横比椭圆。这个基本问题突出了主要的挑战，并提供了有价值的见解，以解决等离子体问题和一般的高纵横比粒子。对于这个问题，我们发现边界积分算子是近似奇异的，这是由于从椭圆到线段的几何塌陷。我们发现，这种几乎奇异的行为导致定性不同的渐近行为的解决方案与不同的奇偶校验。如果不明确考虑这种近乎奇异的行为和这种奇偶性，计算的解决方案会产生很大的误差。为了解决这些挑战，我们引入了一种新的方法，称为正交奇偶渐近展开（QPAX），有效地和高效地解决这些问题。我们首先发展QPAX来解决拉普拉斯方程在高深宽比椭圆中的狄利克雷问题。然后，我们扩展QPAX散射的声音硬，高纵横比椭圆。我们通过几个数值例子证明了QPAX的有效性。
2021-09-07 cs.NA math.NA
Gaussian quadrature for splines via homotopy continuation: rules for $C^2$ cubic splines
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文提出通过同伦持续法生成样条最优求积规则的新方法，通过构建源空间和目标空间，保持求积点数量和最优性，验证了算法的鲁棒性。
2015-05-17 cs.NA math.NA
A fast integral equation method for solid particles in viscous flow using quadrature by expansion
KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）
本文提出了一种快速准确的框架，用于模拟周期性斯托克斯流中的椭球体，采用完成的双层边界积分公式，并结合扩展求积法和谱埃瓦尔德方法，实现高精度计算。
2016-04-25 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
On the convergence of local expansions of layer potentials
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；New York University（纽约大学）
本文推导了层势局部展开的收敛速率估计，为QBX方法提供分析基础，并可能对位势理论中的微局域或渐近分析有数学意义。
2013-04-22 cs.NA math.NA
Optimal quadrature rules for isogeometric analysis
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文提出用于等几何分析中常用样条空间的最优求积规则，通过同伦连续性概念推导出有限域上样条的最优规则，展示了如何处理源空间与目标空间求积点数不同的情况，并讨论了规则收敛性。
2015-11-12 cs.NA math.NA
High order corrected trapezoidal rules for a class of singular integrals
本文提出一类高阶修正梯形求积公式，通过泰勒展开和节点权重修正处理点奇异积分，并应用于拉普拉斯层核的隐式边界积分，实现高阶精度。
2023-07-26 cs.NA math.NA
Adaptive singularity swap quadrature for near-singular layer potentials on axisymmetric surfaces
KTH Royal Institute of Technology（瑞典皇家理工学院）
针对目标点靠近边界时层势数值求积精度下降问题，提出一种自适应求积方法，结合方位角方向的奇点交换求积与极角方向的自适应细化，通过误差预测自动控制激活与细化，适用于多体轴对称曲面配置。
2026-07-01 cs.NA math.NA
On the Equivalence between Kernel Quadrature Rules and Random Feature Expansions
INRIA（法国国家信息与自动化研究所）
研究揭示核积分规则是随机特征展开的特例，通过理论分析得出样本数与积分算子特征值的关系，扩展至函数逼近问题并改进随机特征学习的泛化保证。
2015-11-09 cs.LG cs.NA math.NA
Singularity swap quadrature for nearly singular line integrals on closed curves in two dimensions
针对二维周期边界附近近奇异层势积分，本文扩展奇点交换求积法，利用复指数基插值求积和 FFT 实现高效、良态且指数收敛的计算。
2023-04-24 cs.NA math.NA
Beyond Taylor: Divergence-Based Functional Expansions and Their Application to Numerical Integration
U.S. National Science Foundation（美国国家科学基金会）
本文提出了一种基于发散的功能展开方法，用于构建高阶数值求积公式，通过复数位移技术提高精度，适用于多维领域积分。
2026-02-01 cs.NA math.NA
Accurate quadrature of nearly singular line integrals in two and three dimensions by singularity swapping
Helsing及其同事的方法评估拉普拉斯和相关层的潜力所产生的面板（复合）正交曲线，有效地和高阶精度任意接近的目标。由于它利用了复分析，因此其使用仅限于二维（2D）。我们首先解释其损失的准确性，面板变得弯曲，使用经典的复杂的近似结果沃尔什，可以被解释为“静电屏蔽”的施瓦茨奇点。然后，我们引入了一个变种，交换目标奇点在其复杂的参数原像;在后者的空间面板是平坦的，因此收敛速度可以高得多。通过牛顿迭代法鲁棒地找到原像。这个想法也使，第一次，近奇异积分的潜力产生的平滑曲线在3D中，建立在递归的Tornberg-Gustavsson。我们应用这个精确的评估斯托克斯流附近的弯曲细丝在细长体近似。我们的3D方法比现有的唯一替代方案，即自适应集成，效率高出数倍（无论是在内核评估方面，还是在C实现中的速度方面）。
2019-10-22 cs.NA math.NA
A Unified Trapezoidal Quadrature Method for Singular and Hypersingular Boundary Integral Operators on Curved Surfaces
本文描述了一种梯形求积法，用于离散奇异和超奇异边界积分算子（BIO），这些算子是在求解椭圆型偏微分方程边值问题中出现的。积分是基于一个统一的网格在参数空间与标准的打孔梯形法则。一个关键的观察是，在内核中的奇异性所产生的误差可以精确地表示使用广义欧拉-麦克劳林公式，涉及的黎曼ζ函数在2D和Epstein zeta函数在3D。利用这些展开式，通过局部扩张在奇点处使用一种新的系统矩拟合方法来校正误差。这种新方法提供了所有常见BIO（拉普拉斯，亥姆霍兹，斯托克斯等）的统一处理。我们提出的数值例子，显示收敛到32阶的二维和9阶的三维相对于网格步长。
2022-09-05 cs.NA math.NA
Tolerance-driven close evaluation of the Stokes double layer potential on axisymmetric surfaces
KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）；Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进会数学研究所）
针对轴对称粒子Stokes问题，提出容差驱动的双层势离面评估工作流，通过快速分类器选择最优求积方案，实现高效高精度计算，实验验证了其准确性和广泛适用性。
2026-09-11 cs.NA math.NA
Unified Compact Numerical Quadrature Formulas for Hadamard Finite Parts of Singular Integrals of Periodic Functions
本文考虑Hadamard有限部分意义下的有限范围奇异积分$$I[f]=\intBar^b_a f(x)\,dx,\quad f(x)=\frac{g(x)}{(x-t)^m},\quad m=1,2,\ldots,\quad a<t<b,$$的数值计算，假定$g\in C^\infty[a,b]$和$f(x)\in C^\infty(\mathbb{R}_t)$是$T$ -周期的，其中有$\mathbb{R}_t=\mathbb{R}\setminus\{t+ kT\}^\infty_{k=-\infty}$，$T=b-a$ .利用[A. Sidi，具有任意代数端点奇点的积分的{Euler--Maclaurin}展开式。{ \em Math. Comp.}，81：2159- 2173，2012]，我们统一了这些积分的处理。对于每个$m$，我们开发了一些数值求积公式$\widehat{T}^{(s)}_{m,n}[f]$的梯形$I[f]$。例如，对于$m=3$情况，从这种方法得到三个梯形类型的数值求积公式，它们是\begin{align*} \widehat{T}^{(0)}_{3,n}[f]&=h\sum^{n-1}_{j=1}f(t+jh)-\frac{π^2}{3}\,g'(t)\,h^{-1} +\frac{1}{6}\,g'''(t)\,h, \quad h=\frac{T…
2021-02-12 cs.NA math.NA
Composite Quadrature Methods for Weakly Singular Convolution Integrals
众所周知的Caputo分数阶导数和相应的Caputo分数阶积分自然地出现在许多非均匀介质下模拟物理现象的方程中。两个分数项之间的关系可以通过对给定方程应用拉普拉斯变换来容易地获得。我们试图用卷积积分的泰勒级数展开来数值近似卡普托分数次积分。这自然地扩展到能够近似更广泛类别的卷积积分核$K(t-s)$的卷积积分。这种方法的主要优点之一是能够数值逼近弱奇异核，这在传统的求积方法下无法收敛。我们提供这些复合求积的稳定性和收敛性分析，它提供了最佳的$C^γ[0,T]$，其中$α\leq γ\leq 5$和$0<α< 1$逼近函数的收敛性。对于阶$γ= 1,2,3,4,5$方案，所得到的近似是$O(τ^γ)$精确的，其中$τ$是时域分区的大小。相反，通过利用分数泰勒级数展开，我们能够获得对于$γ\in (0,5)-\{1,2,3,4\}$阶的方案，其产生具有依赖于核函数的常数的$O(τ^γ)$的近似，这提高了收敛阶。这允许更广泛的函数类被近似，并且通过加强正则性假设，我们能够获得更准确的结果。一般的卷积积分在不假设$K$减小的情况下，直到$γ= 2$都表现出这些结果。最后给出了一些数值例子，验证了我们的研究结果.
2020-01-22 cs.NA math.NA
An adaptive kernel-split quadrature method for parameter-dependent layer potentials
基于面板的核分裂求积是目前最有效的方法之一，可用于精确评估奇异和近奇异层潜力在二维。但对于修正的Helmholtz方程、双调和方程和斯托克斯方程中的层势，它可能完全失效。这些方程取决于一个参数，表示为$α$，当这个参数增长超过某个阈值时，核分裂正交快速失去其精度。本文介绍了一种算法，解决这个问题，使用每目标自适应采样的源几何形状。细化是通过递归二分法，精心挑选的规则集。这以作为$\logα$缩放的增加的成本来维持参数$α$的宽范围的准确性。使用这种算法允许核分裂正交是准确和有效的更广泛的问题比以前可能的。
2022-01-19 cs.NA math.NA
Efficient Fast Multipole Accelerated Boundary Elements via Recursive Computation of Multipole Expansions of Integrals
提出求积到展开（Q2X）方法，通过每个矩成本为O(1)的递归计算解析生成多极展开系数，将边界元方法与快速多极方法高效集成，实现可控误差下的矩阵向量乘积加速。
2023-04-05 cs.NA math.NA
Stabilizing the singularity swap quadrature for near-singular line integrals
KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）；Flatiron Institute（平顿研究所）
针对三维曲线密度势的近目标评估，提出目标特定平移基函数以消除奇点交换求积法中的灾难性抵消，实现接近机器精度的误差。
2026-06-08 cs.NA math.NA
Fast multipole methods for evaluation of layer potentials with locally-corrected quadratures
虽然快速多极子方法（Fast Multipole Method，FMF）广泛用于快速计算由拉普拉斯、亥姆霍兹、麦克斯韦或斯托克斯方程控制的势场，但它们与高阶求积法的耦合用于计算层势仍然是一个活跃的研究领域。在三维空间中，一些问题需要解决，包括规范的表面作为工会的高阶补丁，纳入准确的积分规则整合奇异或弱奇异格林函数的补丁，和他们的耦合到八叉树数据结构上的FMM分离近场和远场相互作用。虽然后者对于点分布是直接的，但是贴片的准域由其物理尺寸确定，而不是表面上离散点的分布。在这里，我们提出了一个一般的框架，有效地耦合局部校正的求积与FFT，主要依赖于所谓的广义高斯求积规则，辅之以自适应积分。然而，该方法是相当普遍的，很容易适用于其他计划，如正交扩展（QBX）。我们还引入了一些加速度，以减少正交生成本身的成本，并提出了几个数值例子的声散射，证明该计划的准确性，鲁棒性和计算效率。在Intel i5 2.3GHz处理器的单核上，该方案的Fortran实现可以产生每秒1000到10，000点的准域正交校正，这取决于精度的量级和所需的精度。在这项工作中描述的算法的Fortran实现可在https://gitlab.com/fastalgorithms/fmm3dbie上获得。
2021-04-23 cs.NA math.NA
An adaptive kernel-split quadrature method for parameter-dependent layer potentials
基于面板的核分裂求积是目前最有效的方法之一，可用于精确评估奇异和近奇异层潜力在二维。但对于修正的Helmholtz方程、修正的双调和方程和修正的斯托克斯方程的层势，它可能完全失效。这些方程取决于一个参数，表示为$α$，当这个参数增长超过某个阈值时，核分裂正交快速失去其精度。本文介绍了一种算法，解决这个问题，使用每目标自适应采样的源几何形状。细化是通过递归二分法，精心挑选的规则集。这以作为$\log α$缩放的增加的成本来维持参数$α$的宽范围的准确性。使用这种算法允许核分裂正交是准确和有效的更广泛的问题比以前可能的。
2021-08-03 cs.NA math.NA
Highly accurate special quadrature methods for Stokesian particle suspensions in confined geometries
边界积分法非常适用于复杂几何形状的问题，但需要特殊的求积方法来精确计算出现在其中的奇异和近似奇异层势。本文提出了一种边界积分法，可用于研究有围壁的三维周期Stokes流中刚性颗粒的运动。我们的方法的一个核心是高精度的特殊求积方法，它是基于上采样的正交和正交扩展（QBX）的组合，使用预计算方案加速。该方法被证明为棒状和球状颗粒，与限制的几何形状由一个管道或一对平面壁。提出了一种特殊的求积方法的参数选择策略，并进行了测试。周期性的相互作用计算使用频谱埃瓦尔德（SE）快速求和方法，这使得我们的方法运行在O（n log n）的时间为n个网格点，假设几何对象的数量增长，而网格点浓度保持固定。
2020-05-26 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Richardson extrapolation for the discrete iterated modified projection solution
使用投影方法的Urysohn积分方程的近似解涉及需要使用数值求积公式来评估的积分。它产生了离散版本的投影方法。对于$r \geq 1,$，选择关于均匀划分的次数为$\leq r - 1$的分段多项式的空间作为近似空间，并且选择投影作为在$r$高斯点处的插值投影。迭代修正投影解的渐近展开可在文献中得到。本文给出了离散迭代修正投影解的一个渐近展开，并利用Richardson外推法提高了收敛阶。我们的研究结果表明，选择一个数值求积保持连续情况下的收敛顺序。
2019-07-17 cs.NA math.NA
Computation of Higher-Order Moments of Generalized Polynomial Chaos Expansions
Onera–The French Aerospace Lab（法国航空航天实验室）；INSA-Lyon（里昂国立应用科学学院）
本文提出通过分析Askey方案连续多项式高阶矩的解析公式，实现无需积分的高阶矩计算，通过Matlab代码验证与高斯积分的对比。
2016-12-15 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Consistency of Learned Sparse Grid Quadrature Rules using NeuralODEs
Technische Universität Berlin（柏林技术大学）；Ludwig-Maximilians-Universität München（慕尼黑路德维希-马克西米利安大学）；Munich Center for Machine Learning（慕尼黑机器学习中心）
本文研究了利用神经ODEs学习的稀疏网格求积规则的一致性问题，通过分析运输映射与Clenshaw-Curtis稀疏网格求积的组合，证明了在一般目标和产品目标下的求积速率，并展示了在两种不同情况下得到的PAC一致性结果。
2026-05-18 cs.LG cs.NA math.NA
Corrected Trapezoidal Rules for Near-Singular Surface Integrals Applied to 3D Ellipsoids in Stokes Flow
University of New Mexico（新墨西哥大学）；University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛厄尔分校）；North Carolina A & T State University（北卡罗来纳农业与技术州立大学）
本文提出一种基于局部级数逼近的修正梯形法则，用于精确计算3D界面Stokes流中目标点靠近界面时产生的近奇异面积分，有效解决了标准求积失去精度的问题。
2026-09-30 cs.NA math.NA
Quadrature by fundamental solutions: kernel-independent layer potential evaluation for large collections of simple objects
求解椭圆型边值问题的适定性边界积分法是静态和动态物理模拟的有力工具。当有许多接近接触的边界时（例如，在复杂流体中），或者当需要整体解时，必须在许多目标处计算近奇异积分。我们表明，预先计算从表面密度的线性映射到一个有效的源表示，使这项任务非常有效，在常见的情况下，每个对象是“简单的”，即，其平滑的边界只需要适度多的节点。我们提出了一个核独立的方法，只需要一个上采样的光滑表面求积，和一个密集的因式分解，为每个不同的形状。不需要（近）奇异求积规则。由此产生的有效源与快速算法兼容，没有本地校正也没有簿记。我们广泛的数值测试包括2D基于FMM的Helmholtz和Stokes BVP，最多有1000个对象（281000个未知数），以及3D Laplace BVP，10个椭圆体由直径的$1/30$分隔。我们包括对2D和3D分析数据的严格分析。
2021-09-18 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A Kernel-Independent Sum-of-Exponentials Method
提出了一种新的指数和（SOE）核函数近似的精确算法，并基于SOE提出了一种卷积求积的快速算法，该算法允许对连续时间卷积积分进行$N$时间步长的阶数$N$计算. SOE方法是由一般核的半解析指数展开的de la Vallée-Poussin和和在给定误差容限下最小化指数数量的模型降阶技术的组合构造的。我们采用SOE展开的分裂卷积核的有限部分，使卷积积分可以解决作为一个系统的常微分方程，由于指数内核。我们的算法的显着特点是，SOE方法是有效的和准确的，并适用于一般的核与可控的正指数上界。我们提供了数值分析的新的SOE方法和基于SOE的卷积求积。在不同核函数、卷积积分和积分方程上的数值结果表明，该方法具有良好的精度和效率。
2021-10-22 cs.NA math.NA
Efficient high-order accurate Fresnel diffraction via areal quadrature and the nonuniform FFT
我们提出了一个快速算法计算衍射场从任意二元（锐边）平面孔径和掩模标量菲涅耳近似，高达适度高菲涅耳数（$\lesssim 10^3$）。它使用高阶面积正交的孔径，然后利用一个单一的二维非均匀快速傅立叶变换（NUFFT），以评估迅速在目标点（顺序$10^7$这样的点每秒，独立于孔径的复杂性）。因此，它结合了边缘积分方法的高精度和傅立叶方法的高速度。它的代价是${\mathcal O}(n^2 \log n)$，其中$n$是源平面和目标平面中所需的线性分辨率，用于与边缘积分方法的${\mathcal O}(n^3)$进行比较。在几种孔径形状的测试中，这转化为2到5个数量级的加速度。在系外行星天文学的星罩建模中，我们发现它在精确计算望远镜瞳孔波前集方面比现有技术快大约$10^4 \times$。我们提供了一个文档化的、经过测试的MATLAB/Octave实现。附录显示了边界衍射波，角积分，线积分公式的数学等价性，然后分析了一个新的非奇异的重新制定，消除了他们的共同困难的几何阴影边缘附近。这提供了一个强大的边缘积分参考，以验证主要建议。
2020-12-16 astro-ph.IM cs.NA math.NA
Stochastic Dimension Implicit Functional Projections for Global Integral Conservation in High-Dimensional PINNs
National Center for Applied Mathematics, Tianjin University, China（应用数学国家中心，天津大学，中国）；School of Mechanical and Aerospace Engineering, Jilin University, China（机械与 aerospace 工程学院，吉林大学，中国）
本文提出SDIFP方法，通过全局线性修正神经网络输出，实现高维PINNs中的一阶和二阶空间矩约束，避免了张量积求积的高维扩展问题，提高了计算效率。
2026-10-30 cs.LG cs.NA math.NA
Adaptive Time Discretization for Retarded Potentials
Institut für Mathematik, Universität Zürich（苏黎世大学数学研究所）；Department of Computer Science, University of Chicago（芝加哥大学计算机科学系）
本文提出基于C^∞分拆统一方法的时间离散化与边界元法空间离散化，结合快速四阶方法和Chebyshev展开，实现滞后势积分方程的高效求解，并通过数值实验验证了方法的快速收敛性和自适应求解效率。
2014-04-08 cs.NA math.NA
Pointwise error estimates and local superconvergence of Jacobi expansions
作为多项式插值和求积的一个神话，Trefethen [30]揭示了$|x-a|$的Chebyshev插值（使用$|a|<1 $）在Clenshaw-Curtis点处的误差比最佳多项式逼近小得多（在最大范数下）在$[-1,1]$的大约$95\%$范围内，除了奇点$x=a.$附近的小邻域之外。在本文中，我们严格地证明了一类更一般的$Φ$ -函数的Jacobi展开也具有这样的局部收敛性。利用雅可比多项式的再生核和贝塞尔变换的渐近性的Hilbert型公式，我们的结论得到了点态误差估计.我们还研究了局部超收敛，并显示了增益的顺序和它发生的子区域。作为这个新论点的副产品，Babuuska和Hakula [5]中最近提出的Legendre展开的逐点误差估计中不希望的$\log n$因子可以被去除。最后，将这些估计推广到具有边界奇异性的函数。我们提供了大量的数值证据来证明估计的最优性和尖锐性。
2023-02-12 cs.NA math.NA
Asymptotic analysis for close evaluation of layer potentials
University of California, Merced（加州大学默塞德分校）
本文研究了领域边界附近层势的精确评估方法，通过渐近展开去除边界层误差，应用于二维拉普拉斯方程的内外问题。
2017-11-17 cs.NA math.NA
A fast, high-order scheme for evaluating volume potentials on complex 2D geometries via area-to-line integral conversion and domain mappings
本文提出了一种新的高精度算法，通过体积源函数与格林函数的卷积，求出线性常系数偏微分方程（PDE）的特解。利用体积区域分解，积分计算在一个联盟的规则框（贷款计划与自适应盒码的兼容性）和三角形区域（这可能是潜在的弯曲附近的边界）。奇异和近奇异求积是通过使用单元映射和庞加莱引理的元素将体积区域上的积分转换为约束参考体积单元的线积分来处理的，然后利用现有的一维近奇异和奇异求积适合于核的奇异性质。该方案实现了与快速多极子方法（FIGH）的兼容性，从而通过耦合全局规则的目标独立的正交光滑函数的局部目标相关的奇异正交校正的最佳渐近复杂性，它依赖于正交多项式系统的每个单元格的条件良好，高阶和有效的（相对于所需的体积函数的数量评估）近似的任意体积源。我们的域离散化方案是自然兼容的标准网格软件，如Gmsh，这是用来离散一个狭窄的区域周围的域边界。我们提出了8阶精度的结果，证明了成功的方法与示例显示高达12位数的精度复杂的几何形状，和静态的几何形状，我们的数值例子显示远远超过$99\%$的评估时间的特解花在FMM步骤。
2022-03-11 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A numerical method for oscillatory integrals with coalescing saddle points
高度振荡积分的值通常由被积函数在少数临界点附近的行为渐近确定。这些端点包括积分域的端点和所谓的驻点或鞍点--被积函数相位导数的根--其中被积函数是局部非振荡的。当两个这样的鞍点合并时，高振荡求积的现代方法表现出数值问题。另一方面，具有合并鞍点的积分是渐近分析中的经典课题，其中它们引起关于Airy函数的一致渐近展开。在本文中，我们构造高斯求积规则，保持一致准确时，两个鞍点合并。这些规则基于复平面中的正交多项式。我们分析这些多项式，证明他们的存在性，甚至度，并描述了一个准确和有效的数值计划的评估与合并鞍点的振荡积分。
2019-06-24 cs.NA math.NA
On the Approximation of Local Expansions of Laplace Potentials by the Fast Multipole Method
在本文中，我们提出了一个推广的经典误差界的Greengard-Rokhlin的快速多极子方法（FMM）的Laplace势在三维中，扩展到本地扩展（而不是点）的情况下的目标。我们还提出了一个通过逼近论证明的补充的、不太尖锐的误差界，其适用性不限于拉普拉斯势。我们的研究是出于GIGAQBX FMM，一种算法的快速，高阶准确的评价层电位附近和源层。GIGAQBX基于FMM，但与传统的FMM不同，FMM旨在评估点状目标的电位，GIGAQBX评估球形目标的电位局部扩展。虽然精度（或加速度误差，即，由于快速算法对势的近似而引起的误差）是很好理解的，但是应用于局部展开的评估的基于FMM的算法的加速误差还没有得到很好的研究。本文的主要贡献是证明了一组假设，首先证明了数值的文件中“一个快速算法的正交扩展在三维空间，”这涉及到的精度FMM近似的局部扩展的拉普拉斯潜力在三维空间。这些假设也是必不可少的三维误差界GIGAQBX，这是以前有条件地说，他们的真理，现在可以无条件地说。
2020-08-03 cs.NA math.NA
Singularity swapping method for nearly singular integrals based on trapezoidal rule
本文提出一种基于梯形法则和三角插值的奇点交换方法，用于精确计算任意接近目标的近奇异积分，实现谱精度，并扩展到分段解析曲线，数值算例验证了高阶精度。
2023-05-10 cs.NA math.NA
Nystrom discretizations of boundary integral equations for the solution of 2D elastic scattering problems
我们提出了三种高阶Nystrom离散策略的各种边界积分方程制定的不可穿透的二维时间调和Navier方程。一类这样的配方是基于四个经典的边界积分算子（BIO）与格林函数的Navier算子。我们考虑两种类型的Nystrom离散这些运营商，一个依赖于Kussmaul-Martensen对数分裂和其他阿尔珀特求积。此外，我们考虑了另一种制定的Navier散射问题的基础上Helmholtz分解的弹性场，这可以通过一个系统的边界积分方程，功能与Helmholtz方程的积分算子。由于这些公式中的一些BIO是非标准的，我们使用扩展正交（QBX）方法对其进行高阶Nystrom离散化。或者，我们使用Maue的分部积分法技术来重铸那些非标准的运营商在单层和双层亥姆霍兹生物组织的Nystrom离散是服从Kussmaul-Martensen方法。我们提出了各种数值结果的高阶精度，我们的Nystrom离散弹性散射求解器实现光滑和Lipschitz边界。我们还提出了广泛的比较迭代行为的求解器的基础上不同的积分方程在高频政权。最后，我们说明了我们考虑的一些Nystrom离散化可以无缝地纳入卷积求积（CQ）方法，以提供高阶解的时域弹性散射问题。
2022-06-23 cs.NA math.NA
Polynomial operators and local smoothness classes on the unit interval, II
Department of Mathematics, California State University（加利福尼亚州立大学数学系）
本文证明了基于单位区间上散乱数据的Jacobi权函数下高次多项式积分的精确求积公式的存在性，并利用紧框架展开系数刻画了局部Besov空间。
2008-11-16 cs.NA math.CA math.NA
Fast, high-order numerical evaluation of volume potentials via polynomial density interpolation
针对二维Poisson和Helmholtz方程相关奇异体积积分算子求值问题，提出基于多项式密度插值的高阶数值方法，将体积势转化为层势与正则化体积积分之和，减少专用求积量，兼容快速算法，精度和效率经数值验证，可用于非均匀散射。
2024-05-23 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Closed-form evaluation of potential integrals in the Boundary Element Method
University of Bath（巴斯大学）
本文提出了一种分析求解边界元法中亥姆霍兹方程所出现的奇异和近奇异积分的方法，并通过误差分析发展出选择求积规则的准则，结果展示了与机器精度相当的准确性。
2019-02-14 cs.NA math.NA
Integral Representations for Computing Real Parabolic Cylinder Functions
本文为抛物柱面函数及其导数推导了新的积分表示，基于鞍点法和最速下降法，适用于大参数情形，为数值求积算法提供稳定起点，并与一致渐近展开建立联系。
2004-01-13 cs.NA math.CA math.NA
Magnus-Lanczos methods with simplified commutators for the Schrödinger equation with a time-dependent potential
University of Cambridge（剑桥大学）；Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences（波兰科学院数学研究所）；University of Oxford（牛津大学）；Trinity College, University of Oxford（牛津大学三一学院）
本文提出简化交换子的Magnus展开方法，用于求解时间依赖势的薛定谔方程，通过Lanczos迭代降低计算成本，同时灵活处理多种势场，尤其在高振荡势场中提升时间步长效率。
2018-01-21 cs.NA math.NA physics.chem-ph
