Weil representation and Arithmetic Fundamental Lemma
Wei Zhang
利用整体方法证明了$\mathbb{Q}_p$上$n$变元酉群的算术基本引理猜想，当$p\geq n$ .
By a global approach, we prove the arithmetic fundamental lemma conjecture for unitary groups in $n$ variables over $\mathbb{Q}_p$ when $p\geq n$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the arithmetic Siegel--Weil formula for GSpin Shimura varieties
给出并证明了GSpinRapoport-Zink空间的局部算术Siegel-Weil公式，它是GSpinRapoport-Zink空间上特殊圈的算术相交数与二次型的局部表示密度的导数之间的精确恒等式.作为第一个应用，我们证明了Kudla提出的一个半全局算术Siegel-Weil公式，它将GSpin Shimura簇上特殊圈在好约化位置的算术相交数与非相干Siegel-Eisenstein级数的非奇异傅里叶系数的中心导数联系起来.
Arithmetic Siegel--Weil formula on the product of modular curves
该研究证明了两条模曲线乘积上带任意奇异系数的完整生成级数算术Siegel–Weil公式，对应Kudla纲领的GSpin(2,2)情形。
Co-rank $1$ Arithmetic Siegel--Weil III: Geometric local-to-global
本文作为系列论文第三篇，完成余秩1算术Siegel–Weil公式中从整体算术交数到局部几何量的约化，并提出任意余秩奇异矩阵的算术特殊循环类构造。
Co-rank $1$ Arithmetic Siegel--Weil II: Local Archimedean
本文作为系列论文第二篇，证明余秩1情形下关键阿基米德局部定理及纯阿基米德相交数下的局部算术Siegel–Weil公式，通过新极限方法将Green流与局部Whittaker函数离中心导数相联系。
Co-rank $1$ Arithmetic Siegel--Weil IV: Analytic local-to-global
本文作为系列论文的第四篇，通过确定 Siegel Eisenstein 级数归一化、建立局部 Siegel–Weil 特殊值公式并拼接局部主要定理，完成了余秩 $1$ 算术 Siegel–Weil 公式的证明。
On arithmetic in Mordell-Weil groups
本文利用约化映射研究了阿贝尔簇的Mordell-Weil群中点的线性依赖性。特别是，我们试图通过有限数量的减少，以确定检测线性相关的条件在Mordell-Weil群。
Co-rank $1$ Arithmetic Siegel--Weil I: Local non-Archimedean
本文作为系列论文首篇，提出新的局部极限方法，证明所有非阿基米德位的关键局部定理，为证明余秩1算术Siegel–Weil公式奠定基础。
A genus two arithmetic Siegel-Weil formula on X_0(N)
本文定义了模曲线X_0（N）的算术Chow群中的算术零圈族，其中N>3是奇数且无平方因子，并将这些圈的算术次数定义为亏格为2的Siegel Eisenstein级数的中心导数的q系数.这与Kudla-Rapoport-Yang对Shimura曲线的研究相似。
Arithmetic hyperbolicity and a stacky Chevalley-Weil theorem
从代数数论的角度证明了Hermite-Minkowski有限性定理在代数堆上的一个类似，并建立了堆上整点的Chevalley-Weil型定理.作为我们的结果的应用，我们证明了类似的Shafarevich猜想的一般类型的一些曲面。
The Siegel-Weil formula in geometry and arithmetic
本文从经典、几何和算术三个视角审视西格尔 - 韦伊公式，回顾正定格椭圆theta级数的公式，讨论任意符号格高亏格情形，给出几何西格尔 - 韦伊公式，还提及（部分推测性的）算术西格尔 - 韦伊公式，揭示特殊圈次数与艾森斯坦级数中心导数的联系。
More Arithmetic Fundamental Lemma conjectures: the case of Bessel subgroups
本文定义了等倾$p$ -可除群的拟同构的模空间的形式，其中的“结构群“是一个不可约群.然后，我们制定新的算术基本引理贝塞尔子群的算术Gan-格罗斯-普拉萨德定理的上下文中。一些（非常有限的）证据。
On the Weil-étale topos of regular arithmetic schemes
我们定义并研究了Weil-tale拓扑图，它适用于$\Spec(Z)$上的任何正则的、适当的方案$X$，它具有Lichtenbaum为这样的拓扑图所建议的一些性质.特别地，如果Hasse-Weil L-函数$L(h^i(X_Q),s)$具有期望的亚纯延拓和函数方程，则$R$ -系数的上同调在$s=0$处与$ζ(X,s)$具有期望的关系.如果$\X$具有特征$p$，则与$Z$ -系数的上同调也与$ζ(X,s)$具有预期的关系，并且我们的上同调群恢复了Lichtenbaum和Geisser先前研究的那些。
Trading degree for dimension in the section conjecture: The non-abelian Shapiro Lemma
本文旨在通过建立其在标量的Weil限制下的行为，为Anabel几何的截面猜想提供证据。特别地，Weil限制的标准基本群由非阿贝尔群上同调的Shapiro引理确定.
Arithmetic Siegel-Weil formula on $X_{0}(N)$
本文证明了当$N$无平方根时，模曲线$X_0(N)$上的算术Siegel-Weil公式和某些算术θ函数的模性.在此过程中，我们还构造了$Γ_0(N)$的广义Delta函数，并证明了$X_0(N)$上Eisenstein级数的显式Kronecker极限公式。
On the arithmetic of polynomials with coefficients in Mordell-Weil type groups
本文证明了数域如S-单位、具有自同态平凡环的阿贝尔簇和奇代数K理论群上系数为Mordell-Weil型群的多项式的Hasse局部-整体原理。
Fine Deligne-Lusztig varieties and Arithmetic Fundamental Lemmas
证明了一类闭优良Deligne-Lusztig簇的特征公式。我们应用它来计算不动点罚款Deligne-Lusztig品种所产生的基本位点的志村品种的Coxeter型。作为应用，我们证明了由算术Gan-Gross-Prasad拓扑所产生的酉和GSpin Rapoport-Zink空间上某些对角环的算术交公式.特别是，我们证明了算术基本引理在极小的情况下，没有假设的残留特征。
Non-reductive special cycles and Twisted Arithmetic Fundamental Lemma
本文研究相对Langlands纲领的算术类似物，引入镜像特殊闭链并构建算术归纳法，在酉Shimura簇上提出算术扭曲Gan--Gross--Prasad猜想，并证明了关键的扭曲算术基本引理。
Green forms and the arithmetic Siegel-Weil formula
我们构造自然的绿色形式的特殊循环正交和酉志村品种，在所有的余维，并为紧凑的志村品种的O（p，2）和U（p，1）型，我们表明，由此产生的本地阿基米德高度配对的Siegel Eisentein系列的衍生物的特殊价值观。Kudla提出的一个猜想将这些导数与特殊循环的算术交集联系起来，我们的结果解决了他的猜想中涉及局部阿基米德高度的部分。
From sum of two squares to arithmetic Siegel-Weil formulas
本文综述了算术Siegel-Weil公式及其应用的最新进展。我们从经典的两个平方和问题开始，并将其置于Siegel-Weil公式的背景下。然后，我们激发几何和算术Siegel-Weil公式使用的经典例子的产品的模曲线。在说明了关于任意维数Shimura簇的算术Siegel-Weil公式的最新结果后，讨论了算术Siegel-Weil公式的证明及其在算术内积公式和Beilinson-Bloch猜想中的应用.而不是打算是一个完整的调查这一广阔的领域，这篇文章更侧重于例子和背景，以提供更容易访问的几个最近的作品作者与W。Zhang [LZ22a，LZ22b]和Y. Liu [LL21，LL22].
Hasse-Weil zeta functions of SL_2-character varieties of arithmetic two bridge link complements
确定了算术二桥环群的SL_2-特征标簇的Hasse-Weil zeta函数。还研究了zeta函数在s= 0，1，2时的特殊值。
Weil-étale cohomology and Zeta-values of proper regular arithmetic schemes
本文利用Weil-平展上同调复形给出了正则算术格式$\mathcal{X}$的Zeta函数在任意整数$n$处的消失阶和前导Taylor系数的一个几何描述.这扩展了Lichtenbaum \cite{Lichtenbaum05}和Geisser \cite{Geisser04b}对$\mathcal{X}$的工作，其中$F$是一个数域，Lichtenbaum \cite{li04}对$\mathcal{X}=\mathrm{Spec}(\mathcal{O}_F)$和$n=0$，以及第二作者对任意$\mathcal{X}$和$n=0$ \cite{Morin14}的工作。证明了如果$\mathcal{X}$在$\mathrm{Spec}(\mathcal{O}_F)$上是光滑的，则我们的猜想与Bloch，Kato，Fontaine和Perrin-Riou \cite{fpr91}的Tamagawa数猜想是相容的，并且在已知Tamagawa数猜想的情况下也成立.
Weak Siegel-Weil formula for M_2(Q) and arithmetic on quaternions
本文证明了空间M_2（Q）的弱Siegel-Weil公式。研究了与Eichler序相关的Hecke对应和表示数，给出了亏格上Hecke对应度和平均表示数的显式表达式.此公式可恢复《都阳》的主要结果。我们可以通过Siegel-Weil公式（M_2（Q）的弱Siegel-Weil公式）将这些数与Eisenstein级数的傅里叶系数相联系。在本文的最后一部分中，我们利用Siegel-Weil公式和Kudla匹配对四个平方和定理进行了改进。
Archimedean arithmetic Siegel--Weil formula for general weights over Shimura curves
本文基于阿基米德算术理论，研究Shimura曲线上的特异除子权重问题，通过Whittaker函数的导数推导出平均公式，揭示了特殊除子与算术高度配对的关系。
Some arithmetic properties of Weil polynomials of the form $t^{2g}+at^g+q^g$
本文研究了Weil多项式形式为$t^{2g}+at^g+q^g$的同源类的局部循环性及有理点群的局部增长。
Descent on elliptic surfaces and arithmetic bounds for the Mordell-Weil rank
我们介绍了使用$p$下降技术的椭圆曲面上的一个完满域的特点不是$2$或$3$。在适当的假设下，得到了非常数椭圆曲面秩的一个上界。当$p=2$时，该界是从Igusa不等式推导出的秩的著名几何界的算术精化。这回答了Ulmer提出的问题。我们给出了有理数上椭圆曲面的秩界的一些应用。
On the Arithmetic Fundamental Lemma in the minuscule case
第三作者的算术基本引理猜想将对称空间上轨道积分的导数与Picard型$p$ -可除群的形式模空间上相交数联系起来。它产生于相对迹公式方法的算术甘-格罗斯-普拉萨德猜想。我们证明了这个猜想在极小的情况下。
Twisted arithmetic Siegel Weil formula on X0(N)
本文研究了N无平方的模曲线X_0（N）上的扭曲算术因子。对于每一对（Δ，r），其中Δ>0且Δ \equiv r^2 \mod 4 N，我们构造了一个扭曲算术θ函数θ_{Δ，r}（τ），它是算术扭曲Heegner因子的生成函数.我们证明了H_{Δ，r}（τ）的模性，同时也证明了算术对\langle H_{Δ，r}（τ），\widehat ω_N \rangle具有某些Eisenstein级数的特殊值，其中\widehat ω_N是一个正规化度量Hodge线丛.
Weil-étale cohomology and zeta-values of arithmetic schemes at negative integers
本文基于韦尔-étale上同调提出关于算术方案在负整数处ζ函数特例值的猜想，并证明其在特定方案上成立。
Arithmetic Siegel-Weil for the spherical Hecke algebra
本文提出并部分验证了算术Siegel-Weil公式的推广，将酉Rapoport-Zink空间上环的交点重数与局部Whittaker函数的中心导数相联系，并引入Hecke对应的作用，同时推广了表示密度理论。
Arithmetic Fundamental Lemma for the spherical Hecke algebra
本文在酉 RZ 空间上定义 Hecke 算子，提出球面 Hecke 代数的算术基本引理及轨道积分导数恒零函数的丰富性猜想，并证明 $U(1)\ imes U(2)$ 情形。
Remarks on the arithmetic fundamental lemma
W.张氏算术基本引理（AFL）是对称空间上轨道积分的导数与酉Rapoport-Zink空间上算术相交数之间的一个数学恒等式。在极小情形下，Rapoport-Terstiege-Zhang通过显式估计恒等式的两边，验证了AFL猜想。给出了算术相交数的一个简单的计算方法，从而在极小情形下给出了AFL猜想的一个新的证明。
Weil-étale cohomology and duality for arithmetic schemes in negative weights
本文研究了算术方案在负权下的 Weil-étale 上同调和对偶性，推广了 Flach 和 Morin 的构造并去除了适当的和正则的假设。
Fast Elliptic Curve Arithmetic and Improved Weil Pairing Evaluation
我们提出了一种算法，它的速度标量乘法的一般椭圆曲线上的估计3.8%至8.5%的最知名的一般方法时，使用仿射坐标。当我们从曲线上的给定点P，Q计算2P+Q时，通过消除域乘法来实现。我们给出了同时多标量乘法和椭圆曲线因式分解方法的应用。我们展示了如何与另一个想法一起，这种改进可以加快计算的韦尔和泰特配对高达7.8%。
Theta Series Associated with the Weil-Schroedinger Representation
Andre Weil发现的Weil表示在研究θ级数变换性质中起着重要作用。本文定义了Jacobi群的Weil-Schroedinger表示，并证明了与Weil-Schroedinger表示相关的θ级数是关于Jacobi模群的适当算术子群的Jacobi形式.
On the lattice model of the Weil representation and the Howe duality conjecture
剩余特征为奇数的非阿基米德局部域$F$上的Weil表示的格模型已经被人们所熟知了几十年，并且被用来证明当$F$的剩余特征为奇数时非分歧对偶对的Howe对偶猜想.在本文中，我们将修改韦伊表示的格模型，使其独立于剩余特征的定义。虽然仅仅定义格模型不足以证明偶剩余特征的Howe对偶猜想，但我们将提出几个包含偶剩余特征的非分歧对偶对的Howe对偶猜想的结构引理。我们也将给出这些引理的证明，在某些情况下，这使我们能够证明（一个版本）的豪威对偶猜想的偶剩余特征的某一类表示的对偶对$({\rm O}(2n), {\rm Sp}(2n))$，其中${\rm O}(2n)$是unramified。我们希望这篇文章可以作为证明偶剩余特征的Howe对偶猜想的第一步。
A non-flag arithmetic regularity lemma and counting lemma
本文提出了一个不依赖旗形条件的算术正则引理和计数引理，适用于所有线性形式系统，推广了Green和Tao的经典结果。
Arithmetic Aspects of Weil Bundles over $p$-Adic Manifolds
本文建立 $p$-进解析流形上 Weil 丛的系统理论，证明其继承典范解析结构，并给出提升定理、Galois 等变结构及与晶体上同调的比较同构，应用于 $p$-进模形式和椭圆曲线的无穷小形变研究。
Arithmetic Siegel-Weil formula on $\mathcal{X}_{0}(N)$
本文在任意水平 N 的模曲线 X_0(N) 上建立了算术 Siegel-Weil 公式，通过 Rapoport-Zink 空间上的局部算术相交数与二次型局部表示密度导数之间的精确恒等式完成证明，并为奇数无平方因子情形提供了新证法。
On the topological aspects of arithmetic elliptic curves
在这篇短文中，我们将构造一个包含Q上所有椭圆曲线的拓扑族，作为应用，证明这个拓扑族提供了Q上Mordell-Weil群秩为$\leq1$的椭圆曲线的Hasse-Weil L-函数的一些几何解释.
Some arithmetic properties on nonstandard rationals
对给定的数域$K$，证明了$K$上的非奇异椭圆曲线的秩是一致有界的当且仅当弱Mordell-Weil性质在$K$的所有（部分）超幂$^*K$中成立.引入了$^*Z$的非标准Mordell-Weil性质，并证明了非标准Mordell-Weil性质等价于$Z$的弱Mordell-Weil性质.在附录中，我们证明了在饱和非标准有理数域$^*Q$中，可以将可定义的阿贝尔群看作是$^*Z$ -模，使得非标准Mordell-Weil性质得到良好的定义，从而证明了非标准Mordell-Weil性质与弱Mordell-Weil性质是等价的.接下来我们讨论非标准区域数域的素理想和素。利用$^*Z$的素数导出的赋值，给出了$^*Q$上的一个无限分解定理，并利用$^*Z$的素数集上的极大滤子和由$^*Z$的极大理想导出的赋值半群的序半群对$^*Z$的极大理想和素理想进行了分类.
The arithmetic of a twist of the Fermat quartic
研究了由$X^4 + Y^4 + Z^4 = 0$定义的Fermat四次方程的扭度的算法，其中没有$\mathbb{Q}$ -有理点.我们明确地计算了雅可比簇的Mordell-Weil群.我们证明了Picard群的度$0$部分是秩为$2$的自由$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -模，而Mordell-Weil群是秩为$3$的自由$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -模.因此，相对Brauer群是非平凡的。我们还表明，这四次违反了局部-全局性质的线性行列式表示。
A computational proof of the linear Arithmetic Fundamental Lemma of GL$_4$
设$K/F$是剩余特征标不等于2的非阿基米德局部域的非分歧二次扩张.证明了球面Hecke代数中单位元为GL $_4$的线性算术基本引理.在这篇文章中，所有的措施是正规化的超特殊子群。
The abelian arithmetic regularity lemma
本文给出了$\{1,\dots,N\}$上Green和Tao在交换（$U^2$）情形下的算术正则引理的一个简单的阐述和证明.这对于那些只需要引理的$U^2$情况的人来说可能很有用，因为一般情况涉及得更多。它也可以作为一般情况的介绍。没有原创性。
A probabilistic interpretation of Weil's explicit sums and arithmetic spectral measures
本文通过引入实数域的 Bohr 紧化作为概率空间，将 Weil 显式公式表达为随机变量协方差与期望值及谱积分极限，从而给出其概率与几何解释。
Semi-Lie arithmetic fundamental lemma for the full spherical Hecke algebra
本文针对Yifeng Liu提出的半Lie算术基本引理，将其推广到全球面Hecke代数并表述相应猜想，同时给出两类猜想中加权轨道积分的显式公式，证明了第一个非平凡情形。
Quasi-canonical AFL and Arithmetic Transfer conjectures at parahoric levels
本文提出算术转移猜想，涉及分层结构中的分歧问题，并通过与准-canonical 算术基本引理相关联，证明了其图版本。同时，通过验证 Rapoport-Zink 塔的积分模型结构，验证了 Kudla 和第二作者的猜想。
The Schroedinger-Weil Representation and Jacobi Forms of Half-Integral Weight
本文利用Siegel上半平面上辛群的二重覆叠群的权为1/2的Takase自同构因子，定义了半整权的Jacobi形式的概念，并求出了Schroedinger-Weil表示的协变映射.利用这些协变映射，我们构造了关于Jacobi群的算术子群的半整权Jacobi形式。
On Mordell-Weil groups of Jacobians over function fields
研究了域$K=k(t)$上阿贝尔簇的算法，其中$k$是任意域.主要结果是将$K$上某些Jacobian的Mordell-Weil群与$k$上其它Jacobian的同态联系起来。我们的方法也产生完全显式点的椭圆曲线上的无界秩在$\Fpbar(t)$和一个新的建设的椭圆曲线适度高秩在$\C(t)$。
A linear AFL for quaternion algebras
本文针对四元数除法代数上的一般线性群证明了新的基本引理与算术基本引理恒等式，并在 Hasse 不变量为 1/2 的情形下验证了相关转移猜想与算术转移猜想。
Arithmetic Siegel-Weil formula on $\mathcal{X}_0(N)$: singular terms
本文通过将 $\mathcal{X}_0(N)$ 上特殊闭链的生成级数与亏格 2 艾森斯坦级数的导数相联系，并分别利用局部密度差分公式和尖点约化处理解析侧与几何侧的奇异项，从而在 $N$ 无平方因子时重新证明了已有主要结果。
On the Weil-étale cohomology of the ring of $S$-integers
本文首先简要介绍了算术概型的Weil-平展上同调理论的发展历史，并回顾了Lichtenbaum，Flach和Morin的一些重要结果.接下来，我们将Weil-etale上同调推广到$S$ -整数，并计算常数层$\mathbb{Z}$或$\mathbb{R}$的上同调。我们还为$Y=Spec \mathcal{O}_{F,S}$（$F$是数域）定义了一个紧支集$H_c(Y_W, -)$的Weil-平展上同调，并计算了它们.我们证明了这些上同调群满足Lichtenbaum公理。作为应用，我们从$RGamma_c(Y_W,\mathbb{Z})$导出了Tate序列的一个规范表示.受此结果的启发，在最后一部分中，我们定义了一个变元复形$RGm$，使得复形$\RG(U_{et},R\Gm),\,\mathbb{Z})[2]$的复形$\mathbb{Z}$ -对偶与$τ^{\leq 3}\RG_c(U_W,\mathbb{Z})$正则拟同构，对于$Spec \mathcal{O}_{F}$上的任意变元$U$。这种拟同构提供了一种可能的方法来定义Weil-etale上同调高维算术计划，因为Weil组不参与$R\Gm$的定义。
On the Arithmetic Fundamental Lemma conjecture over a general $p$-adic field
证明了具有奇剩余基数的一般$p$ -adic域上的算术基本引理猜想$q\geq \dim V$ .我们的策略类似于第二作者在证明$\mathbb{Q}_p$上的AFL（arXiv：1909.02697）时使用的策略，但只需要Shimura簇上除数生成序列的模块性（与其积分模型相反）。由此产生的灵活性的增加使我们能够在任意基域上工作。为了实现这一策略，我们还将Howard（arXiv：1303.0545）关于CM-圈交和Ehlen-Sankaran（arXiv：1607.06545）关于格林函数比较的结果从$\mathbb{Q}$推广到一般的全实基域.
Zeta functions of regular arithmetic schemes at s=0
Lichtenbaum证明了Weil-平展上同调的存在性，从而用Euler-Poincaré特征描述了算术格式$\mathcal{X}$在$s=0$的零阶和Zeta函数的特殊值.在假设某些代数动机上同调群的（约束）有限生成的条件下，我们构造了$\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$上正则格式的上同调理论.特别地，我们（无条件）得到了数环上几何胞腔格式的右Weil-平展上同调.本文提出了一个猜想，用阿贝尔群$RΓ_{W,c}(\mathcal{X},\mathbb{Z})$的完全复形表示Zeta函数$ζ(\mathcal{X},s)$在$s=0$上的消失阶和直到符号的特殊值.然后，我们将这个猜想与Soulé猜想和Bloch-Kato的Tamagawa数猜想联系起来，并在简单情况下推导出它的有效性。
Blueprints - towards absolute arithmetic?
发展$\F_1$ -几何的动力之一是希望将Weil对黎曼假设的证明从正特征转化到数域上，这可能导致经典黎曼假设的证明。其基本思想是$\Z$的谱应该被解释为$\F_1$上的曲线，它具有类似于有限域上的曲线的完备$\bar{\Spec\Z}$。希望是，在算术表面$\bar{\Spec\Z} \times \bar{\Spec\Z}$上的除数的相交理论将允许模仿韦尔的证明。事实证明，可以从蓝图的角度定义具有某些属性的对象$\bar{\Spec\Z}$，这些属性在积极特征上接近其类似物的属性。这将在下面的笔记中解释，这是2012年3月在马克斯普朗克研究所发表的演讲的摘要。
The Riemann Hypothesis over Finite Fields: From Weil to the Present Day
黎曼假设的陈述对所有的整体场都有意义，而不仅仅是对有理数。对于函数场，它有一个自然的重述，在相关的曲线。韦伊的工作黎曼假设曲线在有限域使他国家著名的“韦伊定理”，这推动了大部分的进展，代数和算术几何在随后的几十年。在这篇文章中，我介绍了韦伊的工作和一些随之而来的进展：韦伊上同调（etale，结晶）;格罗滕迪克的标准结构;动机;德利涅的证明;哈塞-韦伊zeta函数和朗兰兹函。
A polynomial bound for the arithmetic $k$-cycle removal lemma in vector spaces
对于每一个$k\geq 3$，Green证明了任意阿贝尔群$G$的算术$k$ -圈去除引理。一般$G$引理中参数的最佳界是塔型的。对于$k>3$，即使在$G=\mathbb{F}_2^n$的情况下，在本文之前也没有更好的界限。这种特殊情况已经受到相当大的关注，因为它与布尔函数的属性测试密切相关。对于每一个$k\geq 3$，我们证明了一个多项式界的参数$G=\mathbb{F}_p^n$，其中$p$是任何固定的素数。这推广了前两位作者对$k=3$的结果。由于大量的问题，推广$k=3$情况下的证明，一个新的策略，以证明$k>3$的结果。
Bounds on the Mordell--Weil rank of elliptic curves over imaginary quadratic number fields with class number 1
本文将Thomas Kretschmer的引理推广到任意数域，并将其与2-下降变元一起应用，得到了一类类数为1的虚二次数域上椭圆曲线族的界.一个这样的家庭发生在全等数问题。我们考虑这些二次数域上的全等数问题，并在有限性条件下证明了有无穷多个数在Q上不全等，但在$Q(ζ_3)$上全等.
Arithmetic transfer for inner forms of $GL_{2n}$
本文为 $GL_{2n}$ 的内形式提出了 Guo--Jacquet 型基本引理猜想和算术转移猜想，并证明了这些猜想对于不变量为 $1/4$ 和 $3/4$ 的除法代数成立。
On the arithmetic of twists of superelliptic curves
本文研究了整体域上超椭圆曲线的一类扭，得到了该类扭的Mordell-Weil秩分布的结果。我们的结果对有理点个数的分布也有应用。
A Note on the least squarefree number in an arithmetic progression
证明了模为无平方数的等差数列中无平方数的一个渐近公式，改进了Prachar的结果.主要的工具是一个估计数的解决方案的一个盒子内的同余超出了什么可以通过使用韦伊界。
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