The multiset dimension of graphs
我们引入度量维数的一种变体，称为多集维数。顶点$v$相对于$W$（它是图$G$的顶点集的子集）的表示多集，$r_m (v|W)$，被定义为$v$与$W$中的顶点之间的距离的多集。如果对每对不同的顶点$u$和$v$都有$r_m (u |W) \neq r_m(v|W)$，则$W$称为$G$的m-分解集。如果$G$有一个m-分解集，那么最小的m-分解集的基数称为$G$的多集维数，记为$md(G)$。如果$G$不包含m-分解集，我们写为$md(G) = \infty$。在本文中，我们提出的基本结果的多集维数。我们得到了任意图的多集维数的度量维数、阶数或直径的一些（精确）界。我们提供了图具有有限多集维度的一些必要条件，并以无限图族为例，其中这些必要条件也是充分的。我们还表明，任何图以外的路径的多集维数至少是$3$，最后，我们提供了两个家庭的图具有多集维数$3$。
2019-09-11 math.CO
Multiset Partition Dimension of Graphs
The University of Newcastle（纽卡斯尔大学）；University of Hafr Al Batin（哈夫阿尔巴廷大学）；University of Indonesia（印度尼西亚大学）
研究图的多重集划分维度，通过考虑顶点到划分部分的多重集距离扩展经典划分维度，建立其基本性质并确定几类重要图的精确值。
2026-07-30 math.CO
A Survey on Multiset Dimension and Its Variations
The University of Newcastle（纽卡斯尔大学）；University of Hafr Al Batin（哈夫阿尔巴廷大学）；University of Indonesia（印度尼西亚大学）
本文对多重集维度及其变体进行综述，源于度量维度经典概念的扩展问题，通过整合文献结果，确定未来工作方向，推动多重集框架下相关维度研究。
2026-07-10 math.CO
On homometric sets in graphs
对于图$G$中的顶点集$S\subseteq V(G)$，{ \em距离多重集}，$D(S)$，是$G$中$S$的顶点之间的成对距离的多重集。两个顶点集称为{ \em homometric}，如果它们的距离多重集相同。对于图$G$，最大整数$h$，使得在$G$中存在两个不相交的阶同度量集$h$，记为$h(G)$。我们稍微改进了Albertson，Pach和Young（2010）引入的这个参数的一般界，并对有界直径的树和图进行了更详细的研究。特别是，我们表明，对于任何树$T$的$n$顶点$h(T) \geq \sqrt[3]{n}$和任何图$G$的固定直径$d$，$h(G) \geq cn^{1/ (2d-2)}$。
2012-03-06 math.CO
Multiset resolvability parameters in graphs: A survey with new results and open problems
UCA（西班牙阿尔卡拉大学）
综述图中多重集可解性参数，涵盖多重集维数等概念，证明直径为二的图等的外部多重集维数下界及局部多重集维数相关新结果，解决文献中两个开放问题，还列出开放问题清单供未来研究。
2026-07-14 math.CO
Distance-based vertex identification in graphs: the outer multiset dimension
给定一个图$G$和一个顶点子集$S = \{w_1, \ldots, w_t\} \subseteq V(G)$，一个顶点$u\in V(G)$相对于$S$的多集表示是多集$m(u|S) = \{| d_G(u, w_1), \ldots, d_G(u, w_t) |\}$。顶点$S$的一个子集，使得对每个$u, v \in V(G) \setminus S$都有$m(u|S) = m(v|S) \iff u = v$，称为多集分解集，最小集的基数是外多集维数。我们研究了外部多重集维数的一般性质，并确定了几个图族的外部多重集维数的精确值。我们还表明，计算任意图的外部多集维数是NP-困难的，并提供有效地处理特定情况下的方法。
2019-02-08 math.CO
Reconstruction of caterpillar tanglegrams
本文研究tanglegram的重构问题，证明当两棵有根二叉树中至少有一棵为caterpillar tree时，大小为$n$的tanglegram可由删除一对匹配叶子导出的大小为$(n-1)$的tanglegram多重集唯一编码。
2025-08-15 math.CO
On Certain Bounds for Multiset Dimensions of Zero-Divisor Graphs Associated with Rings
该研究针对环相关零因子图的多重集维数展开，建立了通用界，考察多类交换环及代数运算下的维数性质，还讨论了基于直径和最大度的界，深化了对代数结构图形表示的认知。
2024-06-21 math.CO
Further contributions on the outer multiset dimension of graphs
图$G$的外部多集维数${\rm dim}_{\rm ms}(G)$是最小顶点集的基数，该顶点集通过使用到该集合的距离的多集来唯一地识别该集合之外的所有顶点。证明了${\rm dim}_{\rm ms}(G) = n(G) - 1$当且仅当$G$是直径至多为$2$的正则图.图$G$与${\rm dim}_{\rm ms}(G)=2$的描述和识别在多项式时间。证明了当$H$是完全图或无边图时，$G$与$H$的字典积的一个下界，并确定了极图.证明了${\rm dim}_{\rm ms}(P_s\,\square\, P_t) = 3$为$s\ge t\ge 2$。
2022-07-14 math.CO
The Dimension of Divisibility Orders and Multiset Posets
本文研究偏序集的Dushnik-Miller维数，改进了整数区间上可除性序的维数上界至O((log κ)^3/(log log κ)^2)，并推广到多重集偏序及多项式可除性序。
2023-11-14 math.CO
Labeling and folding multi-labeled trees
本文推广Erdős和Székely的标记算法至多标记树，利用多重集排序刻画其划分，并证明可标记系统发育网络等价于折叠过程稳定的网络，且给出相应双射。
2025-10-27 cs.DM math.CO
Complexity and equivalency of multiset dimension and ID-colorings
Université Clermont-Auvergne（克莱蒙奥弗涅大学）；Department of Mathematics and Statistics, University of Turku（图尔库大学数学与统计系）；CNRS Mines de Saint-Étienne Clermont-Auvergne-INP LIMOS（法国国家科学研究中心圣艾蒂安矿业学院克莱蒙奥弗涅国立理工学院LIMOS）；Department of Mathematics Universidad de Cádiz（加的斯大学数学系）
研究证明图的多重集分辨集与ID着色等同，证明多重集维度判定问题为NP完全，并确定国王网格的多重集维度上界为4。
2024-07-10 cs.DM math.CO
Multiset and Mixed Metric Dimension for Starphene and Zigzag-Edge Coronoid
设$Γ=(V,E)$是简单连通图。如果$d(a, b_{1})\neq d(a, b_{2}\}$，则顶点$a$被称为从$V(Γ)\cup E(Γ)$识别（解析）两个不同的元素$b_{1}$和$b_{2}$。如果来自$V\cup E$的每对不同元素被$U_{M}$的某个元素识别，则不同有序顶点的子集$U_{M}\subseteq V(Γ)$被称为$Γ$的混合度量生成器。具有最少元素数的混合度量生成元称为$Γ$的混合度量基。然后，$Γ$的这个混合度量基的基数被称为$Γ$的混合度量维数，用$mdim(Γ)$表示。使用图论术语研究化学结构的概念既吸引人又实用。它使研究人员能够更精确，更容易地检查各种化学拓扑结构和网络。本文考虑了两种著名的化学结构：星烯$SP_{a,b,c}$和六边空心冠状体$HC_{a,b,c}$，分别计算了它们的多集维数和混合度量维数.
2021-10-24 math.CO
The Outer Multiset Dimension of Toroidal Grids
Institute of Mathematical Sciences, ShanghaiTech University（上海科技大学数学科学研究所）
本文确定了环形网格 $C_s \square C_t$ 的外多重维数（$s,t\geq 3$），其值在 3 到 8 之间，通过半旋转下界、显式构造和有限枚举证明了该结果，并回答了 Klavžar 等人的问题。
2026-09-18 math.CO
The edge multiset dimension of hypercubes
该研究解决超立方体边多重集维数的有限性问题，确定其无穷性对应d=2至5，给出Q_6至Q_10的分辨集，对d≥11用概率方法证明存在性并覆盖d=11至50及d≥51，还证得Q_6的下界。
2026-08-12 math.CO
Trees with at least $6\ell+11$ vertices are $\ell$-reconstructible
该研究围绕图的$\ell$-重构问题，证明顶点数至少为$6\ell+11$的树可由其删除$\ell$个顶点得到的无标号子图多重集唯一确定，推进了树的重构猜想相关研究。
2023-07-19 math.CO
Homometric sets in trees
令$G = (V,E)$表示具有顶点集$V$和边集$E$的简单图。顶点集$V'\subseteq V$的轮廓表示$V'$的顶点之间的成对距离的多集。如果$V$的两个不相交子集的轮廓相同，则它们是\emph{homometric}。若$G$是$n$顶点上的树，则证明其顶点集包含一对大小至少为$\sqrt{n/2} - 1$的不相交的同度量子集.先前已知存在这样一对大小至少大致为$n^{1/3}$的粒子。我们得到了一个更好的结果，在头发梳树的情况下，我们能够找到一对不相交的homometric集的大小至少为$cn^{2/3}$的常数$c > 0$。
2013-11-06 math.CO
Multiset Metric Dimension of Binomial Random Graphs
Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学）
本文研究二项随机图$G(n,p)$的多集度量维数，针对固定$x \in (0,1)$的$d=(n-1)p=\Theta(n^x)$ regime，证明了其多集度量维数以高概率成立的界。
2026-09-03 cs.DM math.CO
Rooted quasi-Stirling permutations of general multisets
给定一个一般的多重集$\mathcal{M}=\{1^{m_1},2^{m_2},\ldots,n^{m_n}\}$，其中$i$出现$m_i$次，$\mathcal{M}$的多重置换$π$称为{ \em quasi-Stirling}，如果它不包含形式为$abab$ with $a\neq b$的子字。我们指定$π$的一个条目，比如说$k\in \mathcal{M}$，它不是所有具有相同值的条目中最左边的条目，通过在$π$中给它加下划线，我们将$(π,k)$对称为以$k$为根的$\mathcal{M}$的准斯特林多重置换。通过引入某些顶点和边的标号树，给出了Yan，Yang，Huang和Zhu等人的一个恒等式的一个新的双射证明，该恒等式将根拟Stirling重置换的计数器与{ \em二元欧拉多项式}的指数母函数联系起来，并给出了根拟Stirling重置换的上升、下降和下降数.这个恒等式可以看作是Elizalde关于$k$ -拟Stirling置换的结果的自然推广，我们的双射证明方法使我们能够：（1）双射证明了由Yan和Zhu首先得到的关于多集上的拟Stirling多项式的Carlitz型恒等式;（2）证实了Lin，Ma和Zhang最近提出的部分$γ$ -正性猜想，并找到一个组合解释的$γ$系数的两个新的统计定义的准斯特林多重排列称为兄弟下降和双兄弟下降。
2021-11-10 cs.DM math.CO
Exploring Ring Structures: Multiset Dimension Analysis in Compressed Zero-Divisor Graphs
本文研究环的压缩零因子图的多重集维数，依据该维数对环分类、给出维数界，并分析其与围长和直径的关系。
2024-05-10 math.CO
Optimally reconstructing caterpillars
对于图$G$，$G$的$\ell$ -deck是$G$上具有$\ell$顶点的诱导子图的多重集。最近，Groenland等人证明了任何树都可以从它的$(8/9+o(1))n$ -deck重建。对于特定的情况下，卡特彼勒图，我们表明，$(1/2+o(1))n$甲板足够，这是渐近紧。
2021-12-06 math.CO
The Multiset Dimension of Graphs: Extremal Values and King Grids
该研究解决了图的多重集维数领域的一个猜想和两个开放问题，确定了达到多重集维数平凡上界的最小图阶数，证明了正方形国王网格的多重集维数为4，还得出了国王带多重集维数的线性增长规律。
2026-08-03 math.CO
Caterpillars with $n$ vertices are reconstructible from subgraphs with at most $n/2+1$ vertices
该研究证明了对于n≥48，任何n个顶点的毛虫可以由其m-图重建，且结果对Nýdl关于树的猜想提供了特例证明。
2025-11-28 math.CO
A cardinal trichotomy for topological equivalence classes of countable trees
Jiangsu Normal University（江苏师范大学）
针对可数树，研究其拓扑等价类基数，证明基数三分法：每个可数树的拓扑等价类基数要么可数、要么为连续统，并给出基于Schmidt秩的良基递归描述。
2026-09-24 math.CO math.LO
Reconstruction from smaller cards
本文研究图的重构问题，证明树可从更小的$(n-r)$-牌组重构，其中$r\le n/9+o(n)$，并改进连通性识别与度序列重构的界限，显著推进Nýdl猜想。
2023-11-13 math.CO
Recognizing trees from incomplete decks
本文对充分大的n证明了树与非连通图公共牌上界的猜想，得到识别树、森林、图围长及二分性所需的最少牌数，推进了图重构相关研究。
2023-12-18 math.CO
The lattice dimension of a tree
图G的格维数是G可以等距嵌入的立方格的最小维数。证明了n叶树的格维数为$\lceil n/2 \rceil$。
2004-02-15 math.CO
Tree Dimension and the Sauer-Shelah Dichotomy
为了度量二叉树叶集的复杂性，我们引入了树维及其层次化变量。然后，我们提供了一个严格的上界的大小，这样的集使用水平树尺寸。这反过来又意味着著名的绍尔-谢拉引理的VC维和Bhaskar的版本的Littlestone维，让更清楚地了解为什么这些结果放置完全相同的上界对各自的破碎功能。我们还根据树的维数对极大叶集的同构类型进行了分类。最后，我们将这一分析推广到高元树。
2022-05-21 math.CO math.LO
The metric dimension of critical Galton-Watson trees and linear preferential attachment trees
图$G$的度量维度是$G$的顶点的子集$R$的最小大小，其在报告它们与可区分（源）顶点$v^\star$的图距离时，使得能够在$G$的所有可能顶点中唯一标识源顶点$v^\star$。在本文中，我们展示了一个大数定律（LLN）的度量维数的一些类别的树：临界Galton-Watson树的条件有大小$n$，和增长的一般线性优先连接树。前一类包括均匀随机树，后一类包括Yule树（也称为随机递归树），$m$ -元递增树，二叉搜索树和正线性优先连接树。在所有这些情况下，我们能够明确地识别LLN中的极限常数。我们的结果依赖于洞察力，度量维度可以与子树属性，因此，我们可以利用强大的流苏树文献开发的Aldous和Janson等人。
2021-01-15 math.CO math.PR
Tree-width and dimension
在过去的30年里，研究人员研究了偏序集的维数和图的平面性之间的联系。在这里，我们延伸这条线的研究结构图论参数树宽度证明了有限偏序集的尺寸是有界的高度和树宽度的覆盖图。
2015-02-25 cs.DM math.CO
The diameter of uniform spanning trees in high dimensions
我们证明了$n$顶点上的连通图的均匀生成树的直径满足一定的高维条件，通常像$Θ(\sqrt{n})$一样增长。特别是这个结果适用于扩展，有限环面$\mathbb{Z}_m^d$的尺寸$d \geq 5$，超立方体$\{0,1\}^m$，和小扰动。
2019-11-27 math.CO math.PR
The GHP scaling limit of uniform spanning trees in high dimensions
我们证明了布朗连续随机树是高维图上的均匀生成树的Gromov-Hausdorff-Prohorov标度极限，这些高维图包括具有$d>4$的$d$维环面$\mathbb{Z}_n^d$、超立方体$\{0,1\}^n$和传递扩展图。然后推导出几个相关量的推论：这些均匀生成树上的重新标度的直径、高度和简单随机游动的分布依分布收敛到它们在连续随机树上的连续类似物。
2022-04-12 math.CO math.PR
Exponents and bounds for uniform spanning trees in d dimensions
均匀生成树是一种统计模型，它是通过在给定的图（例如d维立方晶格的一部分）上取所有生成树的集合而获得的，每个不同的树具有相等的概率。这类树的一些性质可以通过图上的拉普拉斯矩阵，利用格拉斯曼积分得到。我们用它来获得精确的指数，这些指数的幂律衰减的概率，树的k个不同的分支通过接近每两个不同的点，作为网格的大小趋于无穷大。
2004-05-16 cond-mat.stat-mech math.CO
