发表机构
Institute of Mathematical Sciences, ShanghaiTech University（上海科技大学数学科学研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文确定了环形网格 $C_s \square C_t$ 的外多重维数（$s,t\geq 3$），其值在 3 到 8 之间，通过半旋转下界、显式构造和有限枚举证明了该结果，并回答了 Klavžar 等人的问题。
AI 中文摘要
设 $S$ 为连通图 $G$ 中的一个顶点集。$S$ 外的一个顶点由它到 $S$ 中各顶点的距离多重集表示。外多重维数 $\operatorname{odim}(G)$ 是使得这些表示能区分 $S$ 外所有顶点的 $S$ 的最小基数。我们确定了所有 $s,t\geq 3$ 时 $\operatorname{odim}(C_s \square C_t)$ 的值，回答了 Klavžar、Kuziak 和 Yero 提出的一个问题。这些值在 $3$ 到 $8$ 之间。证明结合了半旋转论证（当两个因子长度至少为 4 时，给出一个通用的四地标下界）、针对无限族的显式三地标和四地标构造，以及对剩余条带的精确有限枚举。无限四地标构造背后的碰撞分类通过线性整数算术中的精确量词消去得到验证；源代码和所有有限上界证书随论文一同提供。
英文摘要
Let $S$ be a set of vertices in a connected graph $G$. A vertex outside $S$ is represented by the multiset of its distances to the vertices of $S$. The outer multiset dimension $\operatorname{odim}(G)$ is the minimum cardinality of an $S$ for which these representations distinguish all vertices outside $S$. We determine $\operatorname{odim}(C_s \square C_t)$ for all $s,t\geq 3$, answering a problem of Klavžar, Kuziak, and Yero. The values range from $3$ to $8$. The proof combines a half-turn argument giving a universal four-landmark lower bound when both factors have length at least four, explicit three- and four-landmark constructions for the infinite families, and exact finite enumeration on the remaining strip. The collision classification behind the infinite four-landmark construction is certified by exact quantifier elimination in linear integer arithmetic; source code and all finite upper certificates accompany the paper.
Comments10 pages; ancillary files include verification code and finite upper-bound certificates
