Comment on "On the squarefree density of polynomials"
本文阐述了作者与 R.C. Vaughan 关于整多项式无平方因子值出现频率的研究结果，并探讨了其与 B. Poonen 相关结果之间的相互关系。
2024-10-12 math.NT
Squarefree values of polynomial discriminants I
我们确定的一元整数多项式的密度给定的程度$n>1$，有squarefree判别，特别是，我们证明了第一次，这种多项式的密度较低是积极的。同样地，我们证明了一元整数多项式$f(x)$的密度是正的，并且实际上是由$ζ(2)^{-1}$给出的，其中$f(x)$是不可约的，$\mathbb Z[x]/(f(x))$是其分数域上的整数环。从我们的方法还可以得出，有$\gg X^{1/2+1/n}$单演数域的程度$n$有相关的伽罗瓦群$S_n$和绝对判别小于$X$，我们推测，在这个下界的指数是最佳的。
2021-12-31 math.NT
On the distribution of squarefree integers in arithmetic progressions
本文研究了无平方数整数个数的渐近公式的误差项，该公式在一定范围内，且位于某个等差数列a（mod q）中。特别是，我们证明了它的方差的上界作为一个变化超过$(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times}$，大大提高了早期的工作Blomer。
2014-11-10 math.NT
Squarefree values of multivariable polynomials
给定Z[x_1，...，x_n]，我们计算x在Z^n中的密度，使得f（x）是无平方的，假设abc猜想。给定Z[x_1，...，x_n]，我们无条件地计算x在Z^n中的密度，使得gcd（f（x），g（x））=1。无条件地证明了这两个结果的函数域类似物。最后，假设abc猜想，给定f在Z[x]中，我们估计f（{1，2，. n}）在（Q^*/Q^*2）联合{0}中。
2002-09-16 math.NT
On the Squarefree Values of Degree-$2q$ Polynomials
Youngstown State University（杨斯敦州立大学）；University of Calgary（卡尔加里大学）
本研究证明满足特定伽罗瓦条件的2q次首一不可约整系数多项式有无穷多整数n使其值为无平方因子数，并据此构造了单位形状收敛到六边形格的非伽罗瓦全实三次域无穷子族。
2026-10-19 math.NT
A construction of polynomials with squarefree discriminants
对任意整数n >= 2和任意非负整数r，s（其中r+2s = n），给出了无穷多个整数系数具有无平方判别式且恰有r个实根的一元n次不可约多项式的无条件构造.这就产生了n次数域、签名（r，s）、伽罗瓦群S_n和无平方判别式;我们也可以强制判别式与任何给定的整数互质。在[-N，N]范围内用判别式产生的场的数目至少为c N^（1/（n-1））。一个推论是，对于每个n \geq 3，无穷多个二次数域处处容许其正规闭包具有伽罗瓦群A_n的非分歧n次扩张.这推广了Yamamura的结果，他处理了n = 5的情况，以及Uchida和Yamamoto的结果，他们允许一般的n，但不控制真实的地方。
2011-05-04 math.NT
Squarefree parts of polynomial values
给定一个可分的整数系数非常数多项式$f(x)$，我们考虑由$f(x)$的所有有理值的无平方部分组成的集合$S$，并研究它的模素数行为.在给定一个素数$p$的情况下，我们确定了$S$含有可被$p$整除的元素的充要条件.进一步，我们猜想如果$p$足够大，则$S$包含无穷多个来自模$p$的每个非零剩余类的代表.假设$f(x)$的度为1或2，用初等方法证明了该猜想.如果$f(x)$的次数为3，或如果它的次数为4，并有一个有理根，该猜想被证明遵循的奇偶猜想椭圆曲线。对于任意次数的多项式，利用类域理论的标准结果证明了该猜想的一个局部模拟，并给出了支持该猜想的整体版本的经验证据.
2014-07-18 math.NT
A geometric approach to the sup-norm problem for automorphic forms: the case of newforms on $GL_2(\mathbb F_q(T))$ with squarefree level
解析数论中的超范数问题要求给定的自守形式所取的最大值。我们观察到，这个问题的功能域版本可以减少到几何问题，找到最大的尺寸的$i$第茎上同调群的一个给定的Hecke本征层在任何点。这个问题，反过来，可以减少到相交理论的问题，界定的“极多重性”的特征周期的赫克本征层，这在已知的情况下是幂零锥的模空间的希格斯包。我们针对无平方级的$GL_2 (\mathbb A_{\mathbb F_q(t)})$上的新形式解决了这个问题，从而得到了比$GL_2(\mathbb A_{\mathbb Q})$上的新形式（即经典全纯模形式和Maass模形式）的类似问题中已知的更强的上范数界。
2020-10-04 math.NT
Modular units and cuspidal divisor classes on $X_0(n^2M)$ with $n|24$ and $M$ squarefree
对于正整数$N$，设$\mathscr C(N)$是$J_0(N)$的由次数$0$的尖形因子的等价类生成的子群，$\mathscr C(N)(\mathbb Q):=\mathscr C(N)\cap J_0(N)(\mathbb Q)$是它的$\mathbb Q$ -有理子群.还令$\mathscr C_{\mathbb Q}(N)$是由$\mathbb Q$ -有理尖因子生成的$\mathscr C(N)(\mathbb Q)$的子群。证明了当$N=n^2M$为某个整除$24$的整数$n$和某个无平方因子的整数$M$时，两个群$\mathscr C(N)(\mathbb Q)$和$\mathscr C_{\mathbb Q}(N)$相等.为了实现这一目标，我们表明，所有模块化单位$X_0(N)$上这样的$N$产品的功能的形式$η(mτ+k/h)$，$mh^2|N$和$k\in\mathbb Z$，并确定产品的必要和充分条件，这些功能是模块化单位$X_0(N)$。
2020-07-14 math.NT
Squarefree polynomials and Mobius values in short intervals and arithmetic progressions
我们计算的平均值和方差的默比乌斯函数和指示函数的平方自由，在短时间间隔和等差数列，在环的多项式在一个有限域的$q$元素，在限制$q\to \infty$。我们这样做的问题有关的总和，某些矩阵积分的酉群，使用最近的等分布的结果，由于N。Katz，然后通过计算这些积分。在许多情况下，我们的结果反映了已知的或为相应的问题，涉及在整数上的总和，这有很长的历史。在某些情况下，存在微妙和令人惊讶的差异。我们的结果的范围是显着大于那些建立相应的问题，在数域设置。
2015-10-09 math.NT
Squarefree polynomials with missing digits
Technion（以色列理工学院）
该研究针对系数取自{0,1}的有限域上的多项式，建立其为无平方因子的渐近公式，解决了相关猜想的函数域类似问题，并估计了特定随机多项式为无平方因子的概率。
2026-11-13 math.NT math.PR
Weighted enumeration of number-fields and counting points that take bounded squarefree values along certain polynomials using Pseudo and Sudo maximal orders
LMSI（拉格朗日数学与信息科学实验室）
利用Ekedhal筛法计数与判别式多项式密切相关的多项式的有界无平方因子值，并得到判别式有界数域数量的加权下界，其limsup远大于当前已知界。
2026-06-09 math.NT math.RA
Squarefree polynomials with prescribed coefficients
对于（足够大的）有限域$\mathbb{F}$的非空子集$S_0, \dots, S_{n-1}$满足$$|S_1|, \dots, |S_{n-1}| > 2 \quad \mathrm{or} \quad |S_1|,|S_{n-1}| > n - 1,$$，我们证明了存在$a_0 \in S_0, \dots, a_{n-1} \in S_{n-1}$使得$$ T^n + a_{n-1}T^{n-1} + \dots + a_1T + a_0 \in \mathbb{F}[T] $$是无平方多项式.
2017-07-20 math.CO math.NT
Determination of Hilbert modular forms using squarefree coefficients
IISc, Bangalore（印度科学学院）；Beijing Institute of Mathemtical Sciences and Applications (BIMSA)（北京国际数学研究中心）
该研究针对窄类数为1的全实数域，推广了Kohnen关于半整权模形式由无平方因子代数整数支撑的傅里叶系数确定的结果，还给出了此类无穷多傅里叶系数非零的软证明。
2024-11-23 math.NT
On the squarefree values of $a^4+b^3$
本文证明了使$a^4+b^3$无平方的整数$a, b$按$\max\{|a|^{1/3},|b|^{1/4}\}$排序时的密度等于局部密度的乘积.我们证明了对于任何固定整数$α$和$β$，形式为$βa^4 + αb^3$的多项式也是如此。我们给出了一个精确的计数对$(a,b)$的整数与$\max\{|a|^{1/3},|b|^{1/4}\}<X$，使$βa^4 + αb^3$是squarefree，与节能的误差项。
2021-07-21 math.NT
Square-root cancellation for sums of factorization functions over squarefree progressions in $\mathbb F_q[t]$
我们证明了估计的莫比乌斯函数，冯Mangoldt函数，和除数函数在平方无级数的多项式环在有限域的分布水平。当$q$变为$\infty$时，每个分布级别收敛到$1$，并且当$q$变为$\infty$时，功率节省收敛到平方根消除。这些结果实际上适用于更一般的一类函数，即因子分解函数，它包括这三个。除数估计可应用于$L$-函数的矩，而von Mangoldt估计可应用于单能级密度。
2022-07-11 math.AG math.NT
Squarefree values of polynomial discriminants II
本文确定具有无平方因子判别式及截出极大序的整系数二元型密度，证明算术 Bertini 猜想，并改进 $S_n$ 数域计数下界、修复 Nakagawa 的相关结果。
2022-07-12 math.NT
The Erdős discrepancy problem over the squarefree and cubefree integers
设$g:\mathbb{N}\to\{-1,1\}$是完全乘性函数，$μ$是默比乌斯函数，$μ_2^2(n)$是$n$是无立方的指示器.我们证明了$f=μ^2g$和$f=μ_2^2g$有无界的部分和。我们的证明是建立在Klurman和Mangerel的证明Chudakov的猜想，Klurman的工作相关的乘性函数和陶的决议Erdkov的差异问题。
2021-09-13 math.NT
Distribution of squarefree values of sequences associated with elliptic curves
设E是定义在Q上的非CM椭圆曲线。对于每个好约化的素数p，E约化为有限域F_p上的曲线E_p.对于给定的无平方多项式f（x，y），我们研究序列f_p（E）：= f（a_p（E），p），它们的值与E在F_p上的约化有关.我们特别感兴趣的是两个序列：f_p（E）=p + 1 - a_p（E）和f_p（E）= a_p（E）^2 - 4p.我们提出了两个结果，以确定如何经常在一个给定的序列中的值是squarefree的目标。首先，对任意固定曲线E，给出了f_p（E）无平方因子的素数p到X的个数的上界.此外，我们证明了素数计数函数π_{E，f}^{SF}（X）：= #{p \leq X：f_p（E）is squarefree}的渐近性与曲线E上的平均值在适当盒中的渐近性是一致的.
2013-05-02 math.NT
The $4$-rank of class groups of $K(\sqrt{n})$
设$K/\mathbb{Q}$是二次扩张。本文研究了类群$\text{Cl}(K(\sqrt{n}))$的$4$ -秩，其中$n$随无平方有理数而变化。我们证明了对于无平方$n$的$100\%$，$4$ -秩由一个包含$\text{Cl}(K)$的$2$ -秩和$n$在$K/\mathbb{Q}$中惰性的素因子个数的显式公式给出.
2021-01-09 math.NT
Set avoiding squares in $\mathbb{Z}_m$
我们证明了对所有无平方$m$和任何集合$A\subset\mathbb{Z}_m$，使得$A-A$不包含非零平方的界$|A|\leq m^{1/2}(3n)^{1.5n}$成立，其中$n$表示$m$的奇素除子的数目。
2016-10-16 math.NT
Power-Sum Denominators
幂和$1^n + 2^n + \cdots + x^n$从古典时代起就引起了数学家们的兴趣。Johann Faulhaber、Jacob Bernoulli和其他人随后将幂和表示为具有有理系数的次数为$n+1$的$x$中的多项式。在这里，我们考虑这些多项式的分解子，并证明它们的一些性质。一个值得注意的是，这样的分母等于$n+1$乘以某些素数$p$的无平方积，满足$n+1$的基$p$数字之和至少为$p$的条件。作为应用，我们导出了伯努利多项式的乘子的无平方积公式.
2017-05-10 math.NT
The rational cuspidal subgroup of $J_0(p^2M)$ with $M$ squarefree
对于正整数$N$，设$\mathscr{C}_N(\mathbb{Q})$是$J_0(N)$的有理尖点子群，$\mathscr{C}(N)$是$X_0(N)$的有理尖点除子群，它们都是$J_0(N)$的有理扭子群的子群.证明了当$N=p^2M$对任意素数$p$和任意无平方整数$M$都成立时，两个群$\mathscr{C}_N(\mathbb{Q})$和$\mathscr{C}(N)$相等.为了实现这一点，我们表明，$X_0(N)$上的所有模块化单元可以写为产品的某些功能$F_{m, h}$，这是从广义Dedekind eta功能。在较弱的假设下，给出了这类积是$X_0(N)$上模单元的充要条件.
2022-12-02 math.AG math.NT
Factorizations of certain bivariate polynomials
对K [X]中的所有无平方可加多项式f，g和所有奇特征域K，确定了X*f（X）-Y*g（Y）在K [X，Y]上的因式分解.这回答了一个问题的Kaloyan Slavov，谁需要这些因式分解与代数几何模拟的Kakeya问题。
2014-07-17 math.NT
On integral basis of pure number fields
设$K=\mathbb{Q}(\sqrt[n]{a})$是有理数域$\Q$的次数$n$的扩张，其中整数$a$使得对于每个素数$p$除以$n$，要么$p\nmid a$，要么$p$除以$a$的最高幂与$p$互质;当$a, n$互质或$a$无平方时，这个条件显然满足。本文给出了$K$的一个整基的显式构造及其应用。$K$的整基的这种构造扩展了在[J. Number Theory，{173}（2017），129-146]中证明的关于当$a$是无平方时$\mathbb{Q}(\sqrt[n]{a})$的整基的周期性的结果。
2020-05-05 math.NT
Fermat's Last Theorem and modular curves over real quadratic fields
本文研究了二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$上的Fermat方程$x^n+y^n=z^n$，其中$d$是无平方的，有$26 \leq d \leq 97$ .通过研究二次点上的模曲线$X_0(N)$，$d$ -正则素数，并与Hecke运营商的空间的希尔伯特新形式，我们扩展工作的Freitas和Siksek表明，大多数squarefree $d$在这个范围内有没有非平凡的解决方案，这个方程的$n \geq 4$。
2022-10-17 math.NT
Exponential sums, twisted multiplicativity and moments
我们研究了多项式相位指数和的无平方模上的平均值。我们证明了上界的各种时刻，这样的总和，并获得证据的不相关的指数和不同的适当无关和通用多项式。证明结合分析参数与代数解释的指数和他们的monodromy群。
2021-07-14 math.NT
Factoring Numbers with elliptic curves
在本文中，我们提供了一个概率多项式时间算法，减少了任何平方自由整数$n$的完全因式分解，以计数点的椭圆曲线模$n$，成功的概率$1-\varepsilon$，对于任何$\varepsilon<0$。
2022-10-14 math.NT
A counterexample to the Pellian equation conjecture of Mordell
本文通过扩展研究满足 Pell 基本单位系数 $y$ 被 $d$ 整除的无平方因子整数列表，给出了 Mordell 相关 Pell 方程猜想的一个反例。
2024-06-11 math.NT
Higher Rédei reciprocity and integral points on conics
该研究推广Rédei经典互反律，结合Alexander Smith的工作，给出特定二元二次型方程整数可解性的渐近公式，推导相关域Hasse单位指数的渐近结果，并改进负Pell方程可解性的已有结论。
2024-05-14 math.NT
Abelian varieties over finite fields and their groups of rational points
本文研究有限域上自同态环交换的阿贝尔簇的有理点群，证明其结构由自同态环决定，并刻画无平方同源类及对偶性质。
2022-11-28 math.NT
Lehmer's conjecture for matrices over the ring of integers of some imaginary quadratic fields
设$R=\mathcal{O}_{\Q(\sqrt{d})}$为$d<0$，无平方，$d\neq -1,-3$。证明了关于$R$ -矩阵的相关互反多项式的Lehmer猜想，即任何非分圆$R$ -矩阵至少有$λ_0=1.176...$的Mahler测度.
2011-03-23 math.NT
An asymptotic formula for Goldbach's conjecture with monic polynomials in $\mathbb{Z}[θ][x]$
本文考虑$D=\mathbb{Z}[θ]$，其中$$θ= \sqrt{-k} \,\,\,\, \mbox{if}\;\;\;-k\not\equiv 1 \;(\mbox{mod}\;4)\,\,\,\,\mbox{or}\,\,\,\, θ=\frac{\sqrt{-k}+1}{2} \,\,\,\, \mbox{if}\;\;\;-k\equiv 1 \;(\mbox{mod}\;4),$$ $k\geq 2$是无平方整数，证明了一个阶为$d\geq 1$的一元多项式$f(x)\in \mathbb{Z}[θ][x]$的表示数$R(y)$渐近于$(4y)^{2d-2}$，它是两个一元不可约多项式$g(x)$和$h(x)$在$\mathbb{Z}[θ][x]$中的和，且$g(x)$和$h(x)$的系数以$y$为界.
2015-05-13 math.NT
On the Birch and Swinnerton-Dyer formula modulo squares for certain quadratic twists of elliptic curves
本文研究椭圆曲线二次扭曲下Birch和Swinnerton-Dyer公式模平方的有效性，通过局部Tamagawa数的分类结果，证明了满足修正Heegner假设的二次扭曲下该公式模平方的等价性，并得到半稳定椭圆曲线的相关推论。
2025-10-01 math.NT
Factorization statistics and the twisted Grothendieck-Lefschetz formula
我们宣布最近的结果之间的连接有限域上的多项式的分解统计和结构的上同调的配置在$\mathbb{R}^3$作为一个代表的对称群。这种连接并行的结果教会，Ellenberg和Farb有关factorization统计squarefree多项式和上同调的配置$\mathbb{R}^2$。
2018-03-29 math.NT
On a Restriction Problem of Hickman and Wright for the Parabola over $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ for Squarefree $N$
将 Mockenhaupt-Tao 关于素数 $N$ 的抛物线 $L^2$ 限制估计推广到无平方因子 $N$，证明了一个更强的界，并讨论了在不确定性原理和信号恢复中的应用。
2026-07-02 math.CA math.CO math.NT
Counting points on hyperelliptic curves in average polynomial time
设g >= 1，Q是Z[x]中一元的2g + 1次无平方多项式.对于不整除Q的判别式的奇素数p，设Z_p（T）表示有限域F_p上亏格为g的超椭圆曲线的zeta函数，通过对方程y^2 = Q（x）模p的系数进行降阶得到.本文给出了一个显式确定性算法，以Q和一个正整数N为输入，对所有p < N的素数同时计算Z_p（T），其每个素数的平均复杂度是g的多项式，log N，以及表示Q所需的位数。
2013-09-26 math.NT
On the $4$-rank of class groups of Dirichlet biquadratic fields
我们发现，对于$100\%$的奇数，无平方整数$n > 0$的$4$秩的$\text{Cl}(\mathbb{Q}(i, \sqrt{n}))$是等于$ω_3(n) - 1$，其中$ω_3$是$3$模$4$的$n$素除子的数量。
2020-03-25 math.NT
Index, Prime Ideal Factorization in simplest Quartic Fields and counting their discriminants
考虑由不可约四次多项式$$x^4-mx^3-6x^2+mx+1,$$定义的最简单四次数域$\mathbb{K}_m$，其中$m$遍历正有理整数，使得$m^2+16$的奇数部分是无平方的.本文研究了最简四次数域$\mathbb{K}_m$中的公共指标因子$I(\mathbb K_m)$，并明确地确定了任意素数的素理想分解.另一方面，我们建立了具有判别式$\leq x$和给定指标的最简四次域个数的渐近公式。
2018-01-12 math.NT
A conjecture of Watkins for quadratic twists
Watkins证明了对于Mordell-Weil秩为$r$的$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线$E$，$E$的模次数可被$2^r$整除.若$E$具有非平凡有理$2$ -扭，则证明了关于$E$的所有二次扭都由具有足够多素因子的无平方整数生成的猜想.
2021-02-08 math.NT
On the exponential sum over squarefree integers
RAND Corporation（兰德公司）；University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Lancaster University（兰卡斯特大学）
该研究证明了无平方因子整数上指数和的新上界估计，改进了此前带$N^ε$因子的结果，采用带素数区间限制的平方筛法等技术，推导了Hardy-Littlewood剖分劣弧上的对应估计。
2026-09-04 math.NT
On the number of distinct quadratic fields generated by the Shanks sequence
设$g>1$为整数，$f(X)\in{\mathbb Z}[X]$为无重根的正次多项式，并将$u(n)=f(g^n)$。本文研究了二次域序列${\mathbb Q}(\sqrt{u(n)}\,)$，当$n$在连续整数$M+1,\ldots,M+N$上变化时.这种类型的字段包括Shanks字段及其泛化。利用平方筛法和特征和的新界，改进了Luca和Shparlinski（2009）关于给定无平方整数$s$的具有${\mathbb Q}(\sqrt{u(n)}\,) = {\mathbb Q}(\sqrt{s}\,)$的$n \in \{M+1,\ldots,M+N\}$个数的上界.
2016-02-20 math.NT
Non-vanishing for quartic Hecke $L$-functions and ranks of elliptic curves
University of Illinois（伊利诺伊大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
研究四次残差符号海克勒L函数在中心点非消失的比例，以及与椭圆曲线秩的关系。
2026-07-15 math.AG math.NT
Polynomial factorization statistics and point configurations in $\mathbb{R}^3$
我们使用生成函数的多项式因式分解统计的期望值在$\mathbb{F}_q$的有序配置的上同调$\mathbb{R}^3$作为对称群的表示。我们的方法导致一个新的证明扭曲Grothendieck-Lefschetz公式squarefree多项式分解统计的教堂，Ellenberg和Farb。
2018-01-30 math.CO math.NT math.RT
On the Distribution of Discriminants over a Finite Field
对于素数幂$q$，我们证明了当$q$为奇数时，若$\gcd(q-1,m(m-1))=2$为奇数，若$q$为偶数，则若$\gcd(q-1,m(m-1))=1$为偶数，则固定次数$q$的$\mathbb{F}_q[x]$中的首一多项式的判别式是均匀分布的.当$q-1$是无平方数时，证明了一个反向定理.
2018-12-15 math.NT
On some general solutions of the simple Pell equation
本文证明了两个定理，给出了Pell方程$X^{2}-DY^{2}=1$基本解的解析表达式，这两个定理是用连分式方法求出了形式为$D=\left(f\left(u\right)\right)^{2}\pm2^αn$的Richaud-Degert型$D$的两个无平方根多项式表达式，其中$D$，$n>0$，$α\geq0,\in\mathbb{Z}$和$f\left(u\right)>0,\in\mathbb{Z}$是$u\in\mathbb{Z}$的任意多项式函数，使得$f\left(u\right)\equiv0\left(mod\,\left(2^{α-1}n\right)\right)$或$f\left(u\right)\equiv\left(2^{α-2}n\right)\left(mod\,\left(2^{α-1}n\right)\right)$ .
2015-01-24 math.NT
Group Structure of Abelian Varieties
设$A$是$\mathbb{F}_q$上的阿贝尔簇.设$h_A(t)$是$A$的特征多项式。Rybakov证明了，如果$h_A(t)$是无平方的，且$G$是具有$|G| = h_A(1)$的任意有限群，则对于某些$A'$，$G = A'(\mathbb{F}_q)$与$A$同构当且仅当对于所有素数$\ell$，$G$的$\ell^{th}$ Hodge多边形在$h_A(1-t)$的$\ell^{th}$牛顿多边形之下.本文推广了这一结果，得到了所有阿贝尔簇的群结构的一个分类定理。
2016-12-11 math.NT
Short Interval Results For Powerfree Polynomials Over Finite Fields
该研究将有限域上无平方因子多项式分布的相关定理推广到所有k≥2的无k次幂情形，发展了对应经典数论技巧的多项式版本，得到若干经典定理的多项式域类似结果，补充了中等次数下的分布结论。
2023-10-03 math.NT
Generalized Fermat equation over number fields
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）
在两个标准数论猜想假设下，利用模方法研究数域上广义费马方程的渐近行为，建立基于$S_K'$-单位方程解的渐近判别准则，针对一类虚二次域证明方程无渐近解，且该类无平方因子整数相对密度为5/6。
2026-10-30 math.NT
Deciding existence of rational points on curves: an experiment
我们考虑Q上所有亏格为2的曲线，它们由方程y ^2 = f（x）给出，其中f是5次或6次的无平方多项式，其绝对值的积分系数至多为3。对于这大约200000同构类的曲线，我们决定是否有一个有理点的曲线或没有，通过技术的组合。对于少数曲线，我们的结果是有条件的BSD猜想或GRH。
2006-04-25 math.NT
Monogenic trinomials and class numbers of related quadratic fields
Shippensburg University（希平斯堡大学）
本文研究形如 $x^N+Ax+B$ 的单基因三项式，通过其判别式的无平方因子约数 $δ$ 考察相关二次域 ${\mathbb Q}(\sqrtδ)$ 的类数可除性。
2025-11-07 math.NT
Square-free values of multivariate polynomials over function fields in linear sparse sets
设f是Fq[t][x]中的无平方多项式，其中Fq是q个元素的域。我们将f视为变量x的多项式，其系数在环Fq[t]中。本文研究了由线性条件给出的Fq[t]的稀疏子集中f的无平方值。我们研究的动机是一个用整数多项式表示无平方数整数的类似问题，其中证明了，抛开一些简单的例外情况，Z[x]中的无平方数多项式f取无穷多个无平方数值。设c（t）是Fq[t]中次数小于m的多项式，且k我们的主要结果的一个后果，是，如果q是足够大的关于m和度的f在t和x，则存在$β_1,β_2$在Fq，使$f(t,c(t)+β_1t^k+β_2)$是平方自由。此外，当q趋于无穷大时，最后一个对于Fq中几乎所有的$β_1$和$β_2$都成立。主要结果表明，类似的结果也适用于其他情况。然后将结果推广到多元多项式。
2015-03-03 math.NT
For which real quadratic fields is Kim's octonary form universal?
Harvard Business School（哈佛商学院）；Department of Economics and Center of Mathematical Sciences and Applications, Harvard University（哈佛大学经济与数学科学及应用中心）；a16z crypto（a16z加密）
研究实二次域上 Kim 八元对角形式万有性的充要条件，通过 Blomer-Kala 不变量和连分数方法，给出两类平方自由判别式的完整分类。
2026-06-28 math.NT
Diophantine approximation of polynomials over $\mathbb{F}_q[t]$ satisfying a divisibility condition
令$\mathbb{F}_q[t]$表示$\mathbb{F}_q$上的多项式环，即$q$元素的有限域。证明了$\mathbb{F}_q[t]$上多项式的分数部分的一个估计，该估计满足某种整除性条件，类似于整数情况下交多项式的整除性条件。然后，我们扩展我们的结果，考虑这样的多项式的线性组合。
2015-09-04 math.NT
