Set avoiding squares in $\mathbb{Z}_m$
Mikhail Gabdullin
我们证明了对所有无平方$m$和任何集合$A\subset\mathbb{Z}_m$，使得$A-A$不包含非零平方的界$|A|\leq m^{1/2}(3n)^{1.5n}$成立，其中$n$表示$m$的奇素除子的数目。
We prove that for all squarefree $m$ and any set $A\subset\mathbb{Z}_m$ such that $A-A$ does not contain non-zero squares the bound $|A|\leq m^{1/2}(3n)^{1.5n}$ holds, where $n$ denotes the number of odd prime divisors of $m$.
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Sumsets avoiding squarefree integers
我们描述了正密度$δ$的整数集合$A$的结构，使得$A+A$不包含无平方整数。结果表明，行为在值$δ_0=1/4-\frac{2}{π^2}=0.0473...$和$δ_1=1/18$处突然改变。
Two dimensional arithmetic progressions avoiding squares
研究了二维算术进展中避免非零平方数的结构，证明其元素数量上限，并讨论了相关下界及与素数二次非剩余下界的关系。
On primitive elements of finite fields avoiding affine hyperplanes
设$n\ge 2$为整数，$\mathbb F_q$为含有$q$元素的有限域，其中$q$为素数幂.给定$\mathbb F_{q^n}$的$\mathbb F_q$ -仿射超平面$\mathcal A_1, \ldots, \mathcal A_n$在一般位置，我们研究了$\mathbb F_{q^n}$的本原元的存在性和分布，避开了每个$\mathcal A_i$ .我们得到的渐近和具体的结果，涉及到过去的工作数字在有限域。
Sets avoiding six-term arithmetic progressions in $\mathbb{Z}_6^n$ are exponentially small
我们证明了在$\mathbb{Z}_6^n$中避免6项等差数列的集合的大小至多为$5.709^n$ .特别地，我们证明了对于小维的极值尺寸，我们有$r_6(\mathbb{Z}_6)=5$，$r_6(\mathbb{Z}_6^2)=25$和$ 116\leq r_6(\mathbb{Z}_6^3)\leq 124$ .
A lattice point counting approach for the study of the number of self-avoiding walks on $\mathbb{Z}^{d}$
该研究通过将正方形格自回避行走计数简化为多维域整点计数，得到其长度为$n$的渐近估计，并为任意$d\geq 2$维$\mathbb{Z}^{d}$格自回避行走数量性质研究提供统一框架。
Multiplicative groups avoiding a fixed group
该研究针对有限阿贝尔群$G$（平凡群除外），给出了乘法群$\boldsymbol{\rm Z}_n^\times$不含$G$作为子群的整数$n$的计数函数的渐近公式，补充了$G$可出现在几乎所有$\boldsymbol{\rm Z}_n^\times$中的相关数论认知。
On an effective variation of Kronecker's approximation theorem avoiding algebraic sets
设$Λ\subset \mathbb R^n$是数域$K$的整数环上的投射模的代数格。令$\mathcal Z \subset \mathbb R^n$是多项式的有限集合的零轨迹，使得$Λ\nsubseteq \mathcal Z$或$Λ$的真满秩子格的有限并。令$K_1$是由$Λ$中向量的坐标在$K$上生成的数域，并且令$L_1,\dots,L_t$是$n$变量的线性形式，其代数系数满足$K_1$上适当的线性独立条件。对于每个$\varepsilon > 0$和$\boldsymbol a \in \mathbb R^n$，我们证明了存在一个向量$\boldsymbol x \in Λ\setminus \mathcal Z$的显式有界的超范数，使$$\| L_i(\boldsymbol x) - a_i \| < \varepsilon$$为每个$1 \leq i \leq t$，其中$\|\ \|$代表的距离最近的整数。$\boldsymbol x$的上范数的界依赖于$\varepsilon$，以及$Λ$，$K$，$\mathcal Z$和线性形式的高度。本文给出了Kronecker逼近定理的推广，建立了$t$ -torus~ $\mathbb R^t/\mathbb Z^t$中$Λ\setminus \mathcal Z$在线性形式$L_1,\dots,L_t$下象的密度的…
Density bounds for permutations avoiding monotone arithmetic progressions
该研究针对自然数集与整数集上避免单调算术级数的排列，强化了三项上密度参数的下界，还构造子集证明整数集的四项下密度为1，完善了相关密度界结论。
Sets avoiding $p$-term arithmetic progressions in ${\mathbb Z}_{q}^n$ are exponentially small
Pach和Palincza证明了Ellenberg和Gijswijt关于$k$ -项算术级数-自由子集的大小的界的以下推广，其中$k\in \{4,5,6\}$：令$m>0$是整数，使得$6$整除$m$，令$k\in \{4,5,6\}$ .如果$n$足够大，则为$$ r_k({\mathbb Z}_{m}^n)\leq (0.948m)^n $$。基于Pach和Palincza上界的证明技术，我们将Ellenberg和Gijswijt的上界推广为以下方式：让$p>2$是任何整数，让$q>2$是素数。假设$p\leq q$ .则存在一个$n_0\in \mathbb N$整数和一个$0<δ(p,q)<1$实数，使得对于每个$n>n_0$都有$$ r_p({\mathbb Z}_{q}^n)\leq (δ(p,q)q)^n $$。
Erdős-Ginzburg-Ziv constants by avoiding three-term arithmetic progressions
对于有限阿贝尔群$G$，Erdens-Ginzburg-Ziv常数$\mathfrak{s}(G)$是最小的$s$，使得$G$的每个$s$（不一定是不同的）元素序列都有长度为$\operatorname{exp}(G)$的零和子序列。对于素数$p$，令$r(\mathbb{F}_p^n)$表示没有三项算术级数的$\mathbb{F}_p^n$的最大子集的大小。虽然类似的方法已被用于研究$\mathfrak{s}(G)$和$r(\mathbb{F}_p^n)$，但这些量之间没有直接联系。对于$\operatorname{exp}(G)$的素因子$p$，我们用$r(\mathbb{F}_p^n)$给出了$\mathfrak{s}(G)$的一个上界.对于特殊情形$G=\mathbb{F}_p^n$，我们证明了$\mathfrak{s}(\mathbb{F}_p^n)\leq 2p\cdot r(\mathbb{F}_p^n)$ .利用Ellenberg和Gijswijt的$r(\mathbb{F}_p^n)$的上界，该结果改进了Naslund给出的$\mathfrak{s}(\mathbb{F}_p^n)$的先前最好的已知上界。
The Sum of Squares function in the ring $\mathbb{Z}_{n}$
考虑环$\mathbb{Z}_{n}$上的平方和函数.我们确定的公式在一些情况下，当$n$是一个素数的权力。
Representing numbers as the sum of squares and powers in the ring $\mathbb{Z}_n$
对于一般正整数$n$，我们研究了在$\mathbb{Z}_n$中将数字表示为两个平方和。利用这些信息，我们作出了一些正整数密度，可以表示为两个平方和的$2$在$\mathbb{N}$的权力。
The Distance to a Squarefree Polynomial Over $\mathbb{F}_2[x]$
在本文中，我们研究多远的多项式在$\mathbb{F}_2[x]$可以从一个平方自由多项式。对于任何$ε>0$，我们证明了对于任何次数为$n$的多项式$f(x)\in\mathbb{F}_2[x]$，存在一个无平方多项式$g(x)\in\mathbb{F}_2[x]$使得$\mathrm{deg} (g) \le n$和$L_{2}(f-g)<(\ln n)^{2\ln(2)+ε}$（其中$L_{2}$是一个待定义的范数）.因此，类似的结果对于$\mathbb{Z}[x]$中的多项式$f(x)$和$g(x)$成立。
The Sum of Four Squares Over Real Quadratic Number Fields
Lagrange和Jacobi的著名结果证明了每一个$m \in \mathbb N$都可以表示为四个整数的平方和，并且这种表示的个数$r(m)$可以由$m$中的一个显式公式给出.本文证明了唯一四个平方和是万有的实二次数域是$\mathbb Q(\sqrt{5})$。我们为$K= \mathbb Q (\sqrt{2})$和$K= \mathbb Q(\sqrt{5})$提供了$r(m)$的显式公式。然后，我们考虑在任何实二次数域的四个平方和的θ级数，提供明确的爱森斯坦系数的上界和下界。最后，我们包括的例子，四个平方和$\mathbb Q (\sqrt{3})$，$\mathbb Q (\sqrt{13})$和$\mathbb Q (\sqrt{17})$的完整的θ级数分解。
Avoiding right angles and certain Hamming distances
在本文中，我们表明，避免直角的$\mathbb{F}_q^n$的子集，即不同的矢量$x,y,z$，使$x-z$和$y-z$相互垂直的最大可能的大小是最多$O(n^{q-2})$。这改进了以前最有名的界限，由于Naslund \cite{Naslund}和驳斥了一个猜想葛和上官\cite{Ge}。给出了$n^{q/3}$的下界。它还表明，$\mathbb{F}_q^n$避免三角形与所有直角的子集可以有大小最多$O(n^{2q-2})$。此外，渐近紧界给出的最大可能的大小的子集$A\subseteq \mathbb{F}_q^n$的$x-y$是不自正交的任何不同的$x,y\in A$。确定了$q=3$和$n\equiv 2\pmod {3}$的确切答案。我们的方法也可以用来限制一个二进制码的最大可能的大小，其中没有两个码字的汉明距离可以被一个固定的素数$q$整除。我们的下限和上限是渐近紧的，在无限多的情况下都是尖锐的。
On sequences of consecutive squares on elliptic curves
令$C$是由方程$y^2=x^3+Ax+B$在$\mathbb Q$上定义的椭圆曲线，其中$A,B\in\mathbb Q$。一个有理点序列$(x_i,y_i)\in C(\mathbb Q),\,i=1,2,\ldots,$被称为在$C$上形成一个连续的正方形序列，如果$x$ -坐标序列$x_i,i=1,2,\ldots$由连续的正方形组成。我们产生了一个无限族的椭圆曲线$C$与$5$ -项序列的连续平方。此外，该序列由$C(\mathbb Q)$中的五个独立有理点组成。具体地，$C(\mathbb Q)$的秩$r$满足$r\ge 5$。
Symmetric Square Large Sieve for $\mathrm{PSL}_2 (\mathbb{Z} {[i]}) \backslash \mathrm{PSL}_2 (\mathbb{C}) $ and Prime Geodesic Theorem for $ \mathrm{PSL}_2 (\mathbb{Z} {[i]}) \backslash \mathbb{H}^3 $
本文针对PSL₂(Z[i])\H³的素测地线定理误差项，通过建立PSL₂(Z[i])\PSL₂(C)上对称平方的谱大筛不等式，将对称平方L-函数二阶矩的界从O(T^{3+2/3+ε})改进为O(T^{3+1/2+ε})。
Sums of four rational squares with certain restrictions
本文主要研究四个有理平方在一定限制条件下的和问题。令$\mathbb Q_{\ge0}$是非负有理数的集合。我们建立了以下有理数的四平方定理：对于任何$a,b,c,d\in\mathbb Q_{\ge0}$，每个$r\in\mathbb Q_{\ge0}$都可以写为$x^2+y^2+z^2+w^2$，其中$x,y,z,w\in\mathbb Q_{\ge0}$使得$ax+by+cz+dw$是有理数平方（或有理数立方）。本文还包含了许多推论，例如，对于任何正整数$a$和$b$ with $\gcd(a,b)=1$，我们猜想每个$r\in\mathbb Q_{\ge0}$都可以写成$aw^4+bx^4+y^2+z^2$ with $w,x,y,z\in\mathbb Q$ .
Perfect squares representing the number of rational points on elliptic curves over finite field extensions
设$q$是素数$p$的完全幂，$E({\mathbb F}_q)$是由方程$y^2=x^3+Ax+B$给出的${\mathbb F}_q$上的椭圆曲线。对于一个正整数$n$，我们用$ \# E({\mathbb F}_{q^n})$表示在扩张${\mathbb F}_{q^n}$上$E$（包括无穷大）上的有理点的数目。在较温和的技术条件下，我们证明了序列$\lbrace \# E({\mathbb F}_{q^n}) \rbrace_{n>0}$至多包含$10^{200}$完满平方。如果不满足温和条件，则$\#E({\mathbb F}_{q^n})$是无限多个$n$（包括所有$24$的倍数）的完全平方。我们的证明使用了子空间定理的定量版本。我们还找到了$q < 50$和$n\leq 1000$范围内所有这些序列的所有完满平方。
Avoiding short progressions in Euclidean Ramsey theory
本文提出构造欧几里得空间双色及三色着色的通用框架，显著改进避免单色共线等距点构型的界限，并肯定回答 Führer 与 Tóth 的问题。
Certain Diagonal Equations and Conflict-Avoiding Codes of Prime Lengths
本文从数论角度研究最优冲突避免码的构造，将素数长度且权重为3的码大小问题转化为有限域上扭曲Fermat方程的可解性问题，并证明在扩域上方程可解，从而为码构造提供了新结论。
Square-root cancellation for sums of factorization functions over squarefree progressions in $\mathbb F_q[t]$
我们证明了估计的莫比乌斯函数，冯Mangoldt函数，和除数函数在平方无级数的多项式环在有限域的分布水平。当$q$变为$\infty$时，每个分布级别收敛到$1$，并且当$q$变为$\infty$时，功率节省收敛到平方根消除。这些结果实际上适用于更一般的一类函数，即因子分解函数，它包括这三个。除数估计可应用于$L$-函数的矩，而von Mangoldt估计可应用于单能级密度。
On $L^{12}$ square root cancellation for exponential sums associated with nondegenerate curves in ${\mathbb R}^4$
我们证明了尖锐的$L^{12}$估计与非退化曲线在${\mathbb R}^4$的指数和。我们把布尔甘在林德尔假说上的进展放在一个更大的框架中，这个框架包含了一系列不同风格的估计。我们扩大频谱的方法相结合的解耦与二次Weyl和估计，以解决新的情况下的利益。所有结果都在实解析曲线的一般框架下得到了证明。
Extremal set theory, cubic forms on $\mathbb{F}_2^n$ and Hurwitz square identities
我们考虑一个家庭，$\mathcal{F}$，一个$n$集的子集，使任何两个元素的对称差的基数$F,F'\in\mathcal{F}$是不是4的倍数。我们证明了$\mathcal{F}$的最大尺寸是有界的$2n$，除非$n\equiv{}3\mod4$时，它是有界的$2n+2$。我们的方法使用$\mathbb{F}_2^n$上的三次型和Hurwitz-Radon平方恒等式理论。我们也应用这个理论来获得一些关于布尔三次型和所谓的加法四元组的信息。
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