The Sum of Squares function in the ring $\mathbb{Z}_{n}$
Rob Burns
考虑环$\mathbb{Z}_{n}$上的平方和函数.我们确定的公式在一些情况下，当$n$是一个素数的权力。
We consider the sum of squares function in the ring $\mathbb{Z}_{n}$. We determine formulae in a number of cases when $n$ is a power of a prime.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Sums of squares in Quaternion rings
拉格朗日四平方定理指出，任何正整数都可以表示为四个整数的平方和。我们研究了四元数环上的类似问题，重点是整数系数四元数环元素的平方。确定了无穷多个四元数环的最小必要平方数，并给出了其整体上界和下界。
Representing numbers as the sum of squares and powers in the ring $\mathbb{Z}_n$
对于一般正整数$n$，我们研究了在$\mathbb{Z}_n$中将数字表示为两个平方和。利用这些信息，我们作出了一些正整数密度，可以表示为两个平方和的$2$在$\mathbb{N}$的权力。
Representing Integers as the Sum of Two Squares in the Ring $\Z_n$
欧拉在数论中的一个经典定理指出，一个正整数$z$可以写成两个平方的和，当且仅当$z$的所有素因子$q$，与$q\equiv 3 \pmod{4}$，在$z$的素因子分解中有偶数指数。人们可以考虑这个定理的一个微小的变化，不允许使用零作为在$z$表示为两个平方和的被加数。查看这些问题中的每一个$\Z_n$，整数模$n$的环，我们给出了所有整数$n\ge 2$的一个特征，使得每一个$z\in \Z_n$可以被写为$\Z_n$中的两个平方和。
Gaussian Integers, Rings, Finite Fields, and the Magic Square of Squares
我们证明了3乘3的幻方的平方问题等价于解决四次多项式与某些因式分解的限制在一个阿贝尔扩展的有理数。我们分析了一个特殊的情况下，其中所述扩展被假定为高斯整数，从而产生一个新的搜索法。此外，本文还分析了有限域和Z/nZ形式的环上的幻方，给出了能构造幻方的幻方的环和有限域的枚举图。代码可用。
Sums of Quaternion Squares and a Theorem of Watson
利用G. L.沃森检查平方和四元数环的整数系数。这使我们能够确定一个大的家庭这样的环，其中每个元素表示为平方和可以写为3平方和。
Generalisations of Ramanujan sums for Polynomial rings over finite fields
本文考虑了有限域上多项式环上Ramanujan和的模拟的一般形式。我们首先证明这类函数的一些乘法性质，然后考虑它们的有限傅里叶级数和一些具体的例子。最后，我们还证明了关于这类函数的狄利克雷级数的一个结果。
On the sums of squares of exceptional units in residue class rings
令$n\ge 1, e\ge 1, k\ge 2$和$c$为整数。整数$u$称为剩余类模$n$环$\mathbb{Z}_n$中的单元，如果$\gcd(u, n)=1$。如果$\gcd(1-u,n)=1$，则单元$u$称为环$\mathbb{Z}_n$中的例外单元。我们用$\mathcal{N}_{k,c,e}(n)$表示同余$x_1^e+...+x_k^e\equiv c \pmod n$的解$(x_1,...,x_k)$的个数，其中所有$x_i$都是环$\mathbb{Z}_n$中的例外单位。在2017年，Mollahajiaghaei提出了一个关于同余式$x_1^2+...+x_k^2\equiv c\pmod n$的解$(x_1,...,x_k)$的个数的公式，其中所有$x_i$都是环$\mathbb{Z}_n$中的单元。同时，Yang和Zhao给出了$\mathcal{N}_{k,c,1}(n)$的精确公式。本文利用Hensel引理、指数和及二次Gauss和，给出了数$\mathcal{N}_{k,c,2}(n)$的一个显式公式.我们的结果推广了Mollahajiaghaei定理以及Yang和Zhao定理。
Sums of Squares Bijective Parameter Representation
我们给出了一个双射参数表示的平方和的数字等于另一个平方和的数字。
Square-free discriminants of Frobenius rings
设$E$是$\Q$上的椭圆曲线。众所周知，$E_p$的自同态环，$E$模普通约化的素数$p$的约化，是由Frobenius元素$π_p$生成的二次虚域$Q(π_p)$的阶。当曲线有复数乘法（CM）时，这总是一个固定的字段，因为素数变化。然而，当曲线没有CM时，我们所知甚少，不仅关于阶，而且关于可能出现为改变素数的自同态代数的域。自同态环与Frobenius元的特征多项式的判别式$a_p^2-4p$的运算密切相关。在本文中，我们感兴趣的功能$π_{E,r,h}(x)$计数的素数$p$的数量$x$，使$a_p^2-4p$是无平方和在同余类$r$模$h$。本文给出了在有理数上定义的椭圆曲线上求平均时$π_{E,r,h}(x)$的精确渐近性，并讨论了这个结果与Lang-Trotter猜想以及与曲线模$p$有关的其它问题的关系.
Perfect powers that are sums of consecutive squares
我们确定所有可以写成最多10个连续平方和的完美幂。
Dynamics of the square mapping on the ring of $p$-adic integers
对每个素数$p$，研究了$p$ -adic整数环$\mathbb{Z}_p$上平方映射的动力学行为.对于$p=2$，只有吸引不动点和吸引盆。对于$p\geq 3$，存在一个不动点$0$及其吸引盆，有无数个周期点，在这些周期点周围有无数个极小分支，一些半径为$1/p$的球是吸引盆.所有这些最小分量对于不同的素数$p$都精确地表现出来。
The additive structure of the squares inside rings
当定义集合上的加法结构的数量时，考虑某些和集通常是方便的;计算这些和集的基数可以阐明集合的底层结构。我们开始调查有限集的完满平方和相关的和集。我们揭示了等差数列如何有效地减少和集的基数，并提供估计的最小尺寸，利用添加剂的结构，等差数列提供。然后，我们将问题推广到任意环，并取得满意的估计的情况下，在有限域的素数阶广场。最后，对于足够小的有限域，我们计算所有素数阶的最小值。
A sum of three nonunit squares of integers
我们说一个正整数是三个非单位平方的和，如果它是三个非1整数的平方和。本文在广义黎曼假设（GRH）成立的条件下，求出了所有三个非单位平方和的整数。作为应用，我们在GRH下求出了$k=3$为唯一时的所有整数，它们分别是对任意整数$k\ge 3$的$k$非零三角数之和，$k$非零广义五边形数之和，$k$非零广义八边形数之和.
The square root law and structure of finite rings
设$R$是有限环，定义双曲线$H=\{(x,y) \in R \times R: xy=1 \}$ .假设对于一个大小趋于无穷大的有限奇阶环序列，对于$R^2$上的所有非平凡特征符$χ$，下面的“平方根定律”界成立，其中$C>0$为常数：\[ \left| \sum_{(x,y)\in H}χ(x,y)\right|\leq C\sqrt{|H|}. \]然后，除了有限个例外，这些环是域。对于环的偶数阶，我们表明，有其他的无限族给出的布尔环和布尔扭曲满足这种平方根定律的行为。我们对极值环进行分类，即上面表达式的左边满足最差可能估计的环。我们还描述了应用我们的结果的问题，在图论和几何组合。这些结果提供了数论中的平方根定律、Salem集、Kloosterman和、几何组合学以及基础环的算术结构之间的定量联系。
On the Sum of a Prime and a Square-free Number
证明了任何大于2的整数都可以写成一个素数和一个无平方数之和。
On squares of sums of three cubes
我们证明，几乎每个正整数都可以表示为四个整数的平方和，这些整数表示为三个正立方体的和。
The mean square of real character sums
在本文中，我们评估的形式$\displaystyle \sideset{}{^*}\sum_{d \leq X}\left(\sum_{n \leq Y} \left(\frac{8d}{n} \right ) \right)^2$，其中$\left ( \frac{8d}{\cdot} \right )$是克罗内克符号和$\sideset{}{^*}\sum$表示正奇平方的和。
When is $a^{n} + 1$ the sum of two squares?
利用费马的两个平方定理和分圆多项式的性质，我们证明了断言的形式$a^{n}+1$的数字时，可以表示为两个整数平方和。我们证明了$a^n + 1$是所有$n \in \mathbb{N}$的两个平方和当且仅当$a$是一个完美的平方。我们还证明，对于$a\equiv 0,1,2\pmod{4},$，如果$a^{n} + 1$是两个平方之和，则$a^δ + 1$是所有$δ| n, \ δ>1$的两个平方之和。利用Aurifeuillian分解，我们证明了，如果$a$是一个素数和$a\equiv 1 \pmod{4}$，那么有零或无穷多个奇数$n$，使$a^n+1$是两个平方和。当$a\equiv 3\pmod{4},$，我们定义$m$是最小的正整数，使$\frac{a+1}{m}$是两个平方和，并证明，如果$a^n+1$是两个平方和的任何奇数$n,$，然后$m | n$，$a^m+1$和$\frac{n}{m}$是两个平方和。
Divisor sums representable as the sum of two squares
令$s(n)$表示自然数$n$的真约数之和。证明了使$s(n)$是两个平方和的$n \leq x$的个数具有数量级$x/\sqrt{\log x}$，这与两个平方和的$n \leq x$的个数一致.我们的结果证实了Erd{ \H o}s，Granville，Pomerance和Spiro猜想的一个特例，他们在1990年的一篇论文中断言，如果$\mathcal{A} \subset \mathbb{N}$具有渐近密度零（例如，如果$\mathcal{A}$是两个平方和的$n \leq x$的集合），则$s^{-1}(\mathcal{A})$也具有渐近密度零。
The additive problem for the number of representations as a sum of two squares
我们改进了以前的一个无条件的结果，当$m$随$x$变化时，$\sum_{n\le x} r(n)r(n+m)$的渐近行为与$r(n)$的表示数$n$作为两个平方和。
On the sum of two integral squares in quadratic fields $\Q(\sqrt{\pm p})
我们提出了一种方法来确定哪些整数可以写为二次域$\Q(\sqrt{\pm p})$的两个整数平方和，其中$p$是一个素数。
Waring's Problem for Polynomial Rings and the Digit Sum of Exponents
设$F$是特征$p>0$的代数闭域.在本文中，我们开发的方法来表示$F[t]$的任意元素作为完美的$k$次幂的总和，任何$k\in\mathbb{N}$相对于$p$素。使用这些方法，我们根据$k$在其基础- $p$扩展中的位数之和来建立所需的$k$次幂数的界限。作为一个特殊的应用程序，我们证明了任何固定的素数$p>2$和任何$ε>0$的$(p^r-1)$次幂所需的数量是$\mathcal{O}\left(r^{(2+ε)\ln(p)}\right)$作为$r$的函数。
Sum of Cubes is Square of Sum
受第一个$n$自然数的立方之和等于其和的平方这一事实的启发，我们探索，对于每个$n$，丢番图方程表示所有非平凡的$n$整数集与此属性。我们找到明确的答案，以及其他几个令人惊讶的结果的无限的解决方案的标准问题。
Square-Root Cancellation, Averages over Hyperplanes, and the Structure of Finite Rings
研究了在有限环上旋转超平面求和运算的平方根抵消现象，证明在有限域上具有均匀抵消性，但非有限域的有限环家族中无法实现均匀抵消。
On sums of three squares
本文利用Kane和Sun关于混合平方和和三角数的一些结果，证明了一个非形式为4^{k}（8 m +7）的正整数可以表示为三个或更少平方和.
Squares in sumsets
一个整数的有限集$A$是无平方和的，如果没有子集的$A$和为平方。1986年，Erd \H os提出了确定$\{1, ..., n \}$的无平方和子集的最大基数的问题。讨论了这个问题，我们证明了这个最大基数是$n^{1/3+o(1)}$阶的。
Solving sums of squares in global fields
将一个完全正的元素写成平方和的问题在数学中有着悠久的历史，可以追溯到Bachet和Lagrange。虽然对于某些特定的环（如整数或有理数上的多项式），有已知的方法可以将元素分解为平方和，但对于许多其他重要的环和域，这个问题仍然是广泛开放的。本文给出了一个将任意整体域（数域或整体函数域）的元素分解为最小长度平方和的显式算法。
A solution to a problem of Fermat, on two numbers of which the sum is a square and the sum of their squares is a biquadrate, inspired by the Illustrious La Grange
欧拉想找到有理数（整数）x和y，使得x+y是平方，x^2+y^2是四次方。他用另外两个满足特定方程的变量来参数化这些。
Sum-product phenomenon in quotients of rings of algebraic integers
该研究在数域整数环对一般理想的商环上建立了有界生成定理，解决了Salehi-Golsefidy的相关猜想，并借助和积估计得到了素理想幂次商环上加法特征和的非平凡界。
Poisson summation formulas involving the sum-of-squares function
我们得到了新的泊松型求和公式与节点$\pm \sqrt{n}$和权重涉及的功能$r_k(n)$，给出了一个正整数$n$作为$k$平方和的表示数。我们的结果扩展了Guinand和Meyer的求和公式，其中涉及三平方和函数$r_3(n)$。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。