The additive problem for the number of representations as a sum of two squares
Fernando Chamizo
我们改进了以前的一个无条件的结果，当$m$随$x$变化时，$\sum_{n\le x} r(n)r(n+m)$的渐近行为与$r(n)$的表示数$n$作为两个平方和。
We improve a previous unconditional result about the asymptotic behavior of $\sum_{n\le x} r(n)r(n+m)$ with $r(n)$ the number of representations of $n$ as a sum of two squares when $m$ may vary with $x$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Additive twists of Fourier coefficients of symmetric-square lifts
研究了满模群下Maass型不变量的平方提升的加扭傅里叶系数和.我们的界限是统一的谱参数的马斯形式，以及在添加剂扭曲。
$k$-additive uniqueness of the set of squares for multiplicative functions
P. V. Chung证明了有许多乘性函数$f$对所有正整数$m$和$n$满足$f(m^2+n^2) = f(m^2)+f(n^2)$.在这篇文章中，我们表明，如果超过$2$平方在添加剂的条件涉及，那么这样的$f$是唯一确定的。也就是说，如果乘法函数$f$对于任意正整数$a_i$满足\[ f(a_1^2 + a_2^2 + \dotsb + a_k^2) = f(a_1^2) + f(a_2^2) + \dotsb + f(a_k^2) \]，则$f$是恒等函数。在这个意义上，我们把所有正平方的集合称为乘性函数的\emph{$k$-additive uniqueness set}。
Multiplicative functions which are additive on sums of two nonzero squares
设$f$是一个乘法函数，它对正整数$a$、$b$、$c$和$d$满足\[ f(a^2+b^2+c^2+d^2) = f(a^2+b^2)+f(c^2+d^2) \]。我们证明了$f$是恒等函数，条件是$f(3)\,f(11) \ne 0$。否则，对除$n=3,9,11$以外的所有$n \ge 2$执行$f(n)=0$。
A Cesàro average for an additive problem with an arbitrary number of prime powers and squares
该研究针对整数表示为素数幂与平方数之和的加性问题，拓展改进了带Cesàro权加权平均的现有结果，覆盖所有已研究情形并借助所选技术得到最优结论。
A binary additive equation with prime and square-free number
本文证明了在 $1<c<\frac{82}{79}$ 条件下，每个充分大的正整数可表示为素数幂与无平方数幂的取整和。
Additive problems with almost prime squares
我们证明了每一个充分大的整数是一个素数和两个几乎素数平方的和，也是一个光滑数和两个几乎素数平方的和。这种表示的数量是预期的数量级。我们同样把移位素数p-1的表示看作两个几乎素数平方的和。该方法涉及分析，自守和代数参数的组合，以处理表示的限制二进制二次型具有高度的一致性。
Additive Representations of Natural Numbers
任何大于2的自然数都可以写成一个素数和一个无平方数之和。我们建立了几个概括这一点，通过放置整除条件的平方自由数。
On Additive Divisor Sums and minorants of divisor functions
我们建立了各种相关性的渐近公式，涉及一般除数函数$d_k(n)$和部分除数函数$d_l(n,A)=\sum_{q|n:q\leq n^A}d_{l-1}(q)$，其中$A\in[0,1]$是一个参数和$k,l\in\mathbb{N}$是固定的。我们的结果与参数$A$的等差数列，其中$d_k(n)$是均匀分布的长度。作为对可加除子和的应用，我们建立了新的渐近解的下界和一个新的等价条件。我们还证明了一般加法因子和的Tauberian定理。
The large sieve inequality and additive decompositions of sums of squares
该研究基于大筛法证明了针对缺失素数模平方剩余类集合的新筛法估计，将其应用于Ostmann问题，得出平方和的非平凡和集分解需由大小相近的两个集合构成的结论。
On sums of Fourier coefficients of cusp forms twisted with additive characters
本文针对全纯尖形式傅里叶系数与加性特征相扭的指数和，证明了多种 Omega 结果，并将其应用于 Ramanujan τ 函数及算术级数上的系数求和问题。
Triangular and tetrahedral number differences of sumset sizes in additive number theory
本文研究有限整数集合sumset大小的完整范围，发现在大小为4的集合流行sumset大小分布中存在与三角数和四面体数相关的意外模式。
Intersections of sumsets in additive number theory
研究了在加法数论中，当给定一个严格递减的集合序列时，求和集的交集性质及条件。
The additive structure of the squares inside rings
当定义集合上的加法结构的数量时，考虑某些和集通常是方便的;计算这些和集的基数可以阐明集合的底层结构。我们开始调查有限集的完满平方和相关的和集。我们揭示了等差数列如何有效地减少和集的基数，并提供估计的最小尺寸，利用添加剂的结构，等差数列提供。然后，我们将问题推广到任意环，并取得满意的估计的情况下，在有限域的素数阶广场。最后，对于足够小的有限域，我们计算所有素数阶的最小值。
Explicit sumset sizes in additive number theory
本文研究有限整数集的和集大小，构造了无限族的有限集并计算了其h重和集大小。
On additive convolution sum of arithmetic functions and related questions
本文扩展Ingham的结果，推导出加法卷积和的渐近公式，并研究了具有绝对收敛拉马努金展开的算术函数的卷积和。
On the Sum of Additive Characters and its Applications over Finite Fields
该研究建立了有限域上指定\bF_q阶加性特征和的通用公式，推导了多项式莫比乌斯函数与k-正规元特征函数，并推广了若干经典恒等式，揭示了整数与多项式域的结构相似性。
On the distribution of additive twists of the divisor function and Hecke eigenvalues
我们获得了渐近与$\int_0^1|\sum_{n\le X} d(n)e(nα)|^sdα$的$s < 2$，其中$d(n) = \sum_{d | n} 1$是除数函数的节能误差项。我们也得到这样的渐近$\int_0^1|\sum_{n\le X}λ_f(n)e(nα)|^sdα$的所有$s > 0$。我们证明了一种重复应用Jutila变式圆法和Voronoi求和的迭代法.
On Artin's Conjecture: Pairs of Additive Forms
本文证明了对于每对次数为$k$的$f=\sum_{i=1}^s a_i x_i^k, g=\sum_{i=1}^s b_i x_i^k$，对于$s>2k^2$变量，方程$f=g=0$对所有奇素数$p$都有非平凡的$p$ -adic解.
Asymptotic identities for additive convolutions of sums of divisors
在1916年的一篇论文中，Ramanujan研究了因子和函数$σ_a(n)$和$σ_b(n)$的加法卷积$S_{a, b}(n)$，并证明了当$a$和$b$是正奇数时的渐近公式。他还强调，他的渐近公式应持有所有积极的真正的$a$和$b$。Ramanujan猜想随后被Ingham证明，然后由Halberlane用省电误差项证明。本文给出了Ramanujan猜想的一个新的证明，得到了在大多数参数范围内渐近性的低阶项。我们还描述了一个连接到一个计数问题的几何拓扑，在第二作者的论文中进行了研究，并作为我们最初的动机在研究这个总和。
On certain large additive functions
设P（n）表示$n \ge 2, P(1) = 1$的最大素因子，$$ β(n) = \sum_{p|n}p, \Beta(n) = \sum_{p^α||n}αp, \Beta_1(n) = \sum_{\p^α||n}p^α$$表示“大”可加函数.综述了函数$P(n), β(n), \Beta(n)$和$\Beta_1(n)$的结果，以及一些新的结果和未解决的问题.
Prime Solutions to a Binary Additive Equation and Mixed Moments of Character Sums
本文通过泊松求和与Kloosterman分数和均值估计，得到二元加法方程素数解的渐近公式，并应用于特征和混合四阶矩，获得非平凡界。
On the Structure of Additive Systems of Integers
和距系统是有限整数集合的集合，从每个集合中取一个元素形成的和与差生成规定的等差数列。这样的系统，有两个组件集，自然出现在研究矩阵的对称性和连续的整数项目。和系统是一个类似的概念，其中只考虑元素的和。我们建立了和系统与相应大小的和-距离系统之间的双射，并证明了和系统等价于主可逆长方体，主可逆长方体是具有整数元的张量，具有“可逆正方形”型对称性.我们证明了一个结构定理的主要可逆长方体，从而产生一个明确的建设公式的所有和系统的联合有序因式分解的组成部分集基数。
On summatory functions of additive functions and regular variation
综述了关于一类可加函数的和函数的渐近性的结果和问题。这类函数的问题涉及卡拉马塔的定期变化。给出了$F(n) = \sum_{p^α||n}αh(p)$型可加函数的Abel和Tauberian的一些新结果.
Additive representation functions and discrete convolutions
对于非负整数集合$A$，令$R_A(n)$表示方程$n=a+a'$的解的个数，其中$a$，$a'\in A$ .用$χ_A(n)$表示$A$的特征函数。令$b_n>0$是满足$\limsup_{n\to \infty}b_n<1$的序列。本文证明了关于主项分别为$\sum_{k=0}^nb_kb_{n-k}$和$\sum_{n=0}^N\sum_{k=0}^nb_kb_{n-k}$的$R_A(n)=\sum_{k=0}^nχ_A(k)χ_A(n-k)$和$\sum_{n=0}^NR_A(n)$的逼近公式中误差项的Erd \H os-Fuchs型定理。
On a problem of Perron
它表明，一个分区$\mathfrak A\cup \mathfrak B$的集合$\mathbb F_{p^m}^*=\mathbb F_{p^m}-\{0 \}$，与$|\mathfrak A|=|\mathfrak B|$，是分离成正方形和非正方形，当且仅当$\mathfrak A$和$\mathfrak B$的元素满足一定的添加剂性质，从而提供了一个纯粹的添加剂特性的集合中的正方形$\mathbb F_{p^m}$。
Additive representation in short intervals, II: sums of two like powers
本文证明几乎所有自然数附近存在两个正整数的立方和，并将结果推广到更高次幂，改进了短区间中的加法表示。
Additive Sums of Generalized Shifted Ternary Divisor Functions
本文针对特定参数范围的广义移位三元加性除数和，在假设相关函数算术级数分布水平的条件下，证明了带显式主项和幂节省误差项的渐近公式。
Problems in additive number theory, VI: Sizes of sumsets
本文探讨整数及有序阿贝尔群有限子集的和集与受限和集的基数可能取值问题。
Additive twists of Fourier coefficients of GL(3) Maass forms
本文证明了GL（3）形式$F$的傅立叶系数之和被加性特征扭曲后的消去，其形式一致为$F$ .
Additive bases with coefficients of newforms
令$f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a(n) e^{2πi nz}$是具有整数傅里叶系数的$S_{2k}^{\text{new}}(Γ_0(N))$中的归一化Hecke本征形。证明了存在一个常数$C(f)>0$使得任意整数至多是$C(f)$系数$a(n) $的和.它装有$C(f)\ll_{\varepsilon,k}N^{\frac{6k-3}{16}+\varepsilon}$。
Exponential sums weighted by additive functions
本文研究了由加性函数加权的指数和，证明了其紧界，并应用Hardy-Littlewood圆法解决了与总素因子个数相关的Goldbach-Vinogradov三元问题的渐进行为。
Additive number theory and the Dyson transform
本文梳理Dyson变换的理论背景，重现其秩r和集Shnirel'man密度下界定理的证明，并展示包括Kneser不等式在内的应用。
On function $SX$ of additive complements
两个非负整数集合$A,B$称为\emph{additive complements}，如果所有足够大的整数都可以表示为$A$和$B$中两个元素的和。如果每个非负整数都可以唯一地表示为来自$A$和$B$的两个元素之和，则我们进一步称之为$A,B$ \emph{perfect additive complements}。令$A(x)$为$A$的计数函数。在本文中，我们专注于功能$SX$，其中$SX=\limsup_{x\rightarrow\infty}\frac{\max\{A(x),B(x)\}}{\sqrt{x}}$是由埃尔德斯和弗洛伊德在1984年提出的。作为主要结果，我们确定了完全可加补的$SX$的值，并进一步确定了下确界。我们也给出了加法补数的$SX$的绝对下界。
On additive complement of a finite set
我们说非负整数A和B的集合是加法补的，如果它们的和包含所有足够大的整数。本文证明了Chen和Fang关于有限集的可加补的一个猜想。
The sixth moment of the Riemann zeta function and ternary additive divisor sums
Hardy和Littlewood开创了黎曼ζ函数在临界线上的$2k$阶矩的研究。在1918年哈代和Littlewood建立了一个渐近公式的第二个时刻，并于1926年英厄姆建立了一个渐近公式的第四个时刻。从那时起，没有其他时刻已渐近评估。本文研究zeta函数在临界线上的六阶矩。证明了一类三元可加因子和的渐近公式蕴含了临界线上的黎曼ζ函数的六阶矩的一个渐近公式，该渐近公式具有节能误差项.这为Conrey和Gonek的一个启发式论证提供了严格的证明。此外，这给了一些证据对猜想的康利，基廷，农民，鲁宾斯坦，和Snaith转移时刻的黎曼ζ函数。此外，这改进了Ivic的一个定理，Ivic基于三重除数函数的相关和的代数公式的假设，得到了zeta函数的六阶矩的上界.
Finite Representability of Integers as $2$-Sums
如果$\{0,1,\ldots,hn\}$中的每个元素都可以写为$\mathcal{A}$的元素在{ \it至少}单向的$h$-和，则集合$\mathcal{A}$被称为是加性$h$ -基。我们寻求多种表示$h$ -总和，在本文中，我们开始限制自己$h=2$。如果每个$j\in[αn, (2-α)n]$可以至少以$g$方式表示为$\mathcal{A}$的元素的$2$ -和，则我们说$\mathcal{A}$是截断的$(α,2,g)$加性基。在本文中，我们提供了尖锐的渐近事件，随机选择的集合是一个截断$(α,2,g)$加性基具有高或低的概率。
An additive problem in the Fourier coefficients of cusp forms
本文研究了任意级和特征的尖点形式傅里叶系数平移乘积之和的估计，并作为应用推广了前人工作，导出了其特征扭曲关联L函数在临界线上的次凸估计。
Additive sumset sizes with tetrahedral differences
本文研究整数四元集合的 h 重和集大小，证明其集中在 h 个四面体数之差上，并为每个常见大小构造了显式的 h 进定义集合。
Additive Correlation and the Inverse Problem for the Large Sieve
设$A\subset [1,N]$是一个正整数集合，其值为$|A|\gg \sqrt N$。我们表明，如果避免约$p/2$剩余类模$p$为每个总理$p$，$A$必须与平方$S=\{n^2:1\leq n\leq \sqrt N\}$，在这个意义上，我们有加性能量估计$E(A,S)\gg N\log N$。从某种意义上说，这是最佳的。
Bounds and Conjectures for additive divisor sums
加法因子和在黎曼ζ函数的矩理论中起着重要的作用。确定常因子函数的移位卷积和的精确渐近公式由来已久。近年来，人们发现三重因子函数的移位卷积和的一个精确的渐近公式在计算黎曼ζ函数的六阶矩时是有用的。本文研究了$D_{k,\ell}(x) = \sum_{n \le x} τ_k(n) τ_{\ell}(n+h)$，其中$τ_k$和$τ_{\ell}$分别是$k$次和$\ell$次除数函数.主要结果是$D_{k,\ell}(x,h)$的正确数量级的下界，在$h$中是一致的。此外，还研究了$D_{k,\ell}(x,h)$的渐近公式.利用Ivić和Conrey-Gonek的一个论证，简化了渐近公式中的首项.此外，给出了一种概率方法，它给出了相同的领先项。最后，我们表明，这两种方法给出了相同的答案，在最近的概率论的特里陶。
Multiplicative functions additive on partitions of $2k$ nonzero squares
研究满足特定加法条件的积性函数，证明对于 $k=3,4$ 且 $f(2)\neq 0$ 时函数为恒等函数，对于 $k\ge 5$ 则要么是恒等函数要么在大于 $2k+21$ 时为零。
An additive property of almost periodic sets
我们证明了一个集合是概周期的当且仅当相关的指数和集中在次弧中。因此，涉及概周期集的二元可加性问题可以使用圆方法来解决。
Additive bases and Niven numbers
在胡利黎曼假设下，证明基$g$的Niven数集是加性基，即每个自然数可表示为至多$C_g$个此类数之和。
A note on additive complements of the squares
本文改进了平方数加性补集表示函数求和的下界，并以此在 Ben Green 提出的关于补集序列渐近性质的问题上取得进展。
On the general additive divisor problem
我们得到了一个新的上界$\sum_{h\le H}Δ_k(N,h)$为$1\le H\le N$，$k\in \N$，$k\ge3$，其中$Δ_k(N,h)$是（预期）的误差项的渐近公式$\sum_{N < n\le2N}d_k(n)d_k(n+h)$，和$d_k(n)$是除数函数产生的$ζ(s)^k$。当$k=3$的结果改善，为$H\ge N^{1/2}$，界在最近的工作\cite{[1]}拜尔，布朗宁，Marasingha和赵，谁处理的情况下$k=3$。
Remarks on additive representations of natural numbers
本文研究互素无平方因子整数下形如 $a p+b P_{2}$ 的自然数表示，给出表示个数的新下界，并推广和改进了短区间、算术级数及哥德巴赫型上界等特殊情形中的已有结果。
A problem on sumset sizes of sets of lattice points
研究加法阿贝尔半群有限子集\(h\)重和集大小问题，证明整数有限集与\(n\)维格点有限集的“和集大小范围”相同，并探讨用格点计算和集大小集合是否比整数更高效。
Sums of Squares Bijective Parameter Representation
我们给出了一个双射参数表示的平方和的数字等于另一个平方和的数字。
On certain bilinear sums with modular square roots and applications
扩展了Dunn等人关于模平方根加法能量的界，并将结果应用于带模平方根的双线性指数和，在平方模大筛法上取得部分进展。
The trigonometric polynomial on sums of two squares, an additive problem and generalisation
本文研究两互素平方和奇数集合上的三角多项式，证明其在有理点附近的强估计，并结合受转移原理启发的圆法解决三类正密度子集元素相加的三表示问题。
On an additive prime divisor function of Alladi and Erdos
本文讨论了Alladi和Erd \H os于1977年提出的可加性素除子函数$A(n) := \sum\limits_{p^α|| n} α\, p$.证明了对于任意固定整数$q > 1.$，$A(n)$是均匀分布的（mod $q$
Additive decompositions of sets with restricted prime factors
我们研究了具有限制素因子的相当一般的集合的和集分解。我们设法处理某些集合，如光滑数，即使它们几乎没有筛顺从性，并得出结论，这些集合不能被写为一个三元和集。这证明了萨尔科齐的一个猜想。我们还清理和锐化现有的结果的和集分解的素数。
Recursive formulas for sums of squares and sums of triangular numbers
我们证明了递归公式平方和和三角数的总和的总和的约数函数，我们给这些公式的各种后果。中间应用包括一些无穷乘积的系数的正性的陈述。
Some Additive Combinatorics Problems in Matrix Rings
研究了有限域上矩阵环中奇异和幺模矩阵在和集中的分布。应用这些结果，我们估计了整数上矩阵环和集中行列式的最大素除子。
Additive arithmetic functions meet the inclusion-exclusion principle: Asymptotic formulas concerning the GCD and LCM of several integers
我们得到了包含整数$n_1,\ldots,n_k$的gcd和lcm的和$\sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f((n_1,\ldots,n_k))$和$ \sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f([n_1,\ldots,n_k])$的渐近公式，其中$f$属于某些加性算术函数类.特别地，我们考虑了由Duncan（1962）和Hassani（2018）研究的广义Ω函数$Ω_{\ell}(n)= \sum_{p^ν\mid\mid n} ν^{\ell}$，以及由Alladi和Erds（1977）研究的函数$A(n)=\sum_{p^ν\mid\mid n} νp$、$A^*(n)= \sum_{p \mid n} p$、$B(n)=A(n)-A^*(n)$。作为一个关键的辅助结果，我们使用一个包含-排除型恒等式。
Additive properties of even perfect numbers
一个正整数n被称为完美的，如果sigma（n）=2n，其中sigma表示n的约数之和。本文证明了：如果n是偶完满数，则任意整数m<=n都表示为n的若干因子之和。
Compression and complexity for sumset sizes in additive number theory
本文研究了加法数论中和集大小的压缩与复杂性，探讨了h-fold和集的几何与计算复杂性，提出了一种构造直径小的和集A'的方法。
Diversity, equity, and inclusion for problems in additive number theory
本文探讨加法数论中较少关注的问题，强调其在加法经典成果中的重要性，尤其关注有限整数集的和集大小及和集交集的算术结构问题。
Additive Properties of the Evil and Odious Numbers and Similar Sequences
首先，我们重新证明了两个结果在加性数论由于Dombi和陈和王，分别表示数n作为两个可憎的或邪恶的数字，使用技术从自动机理论和逻辑。我们还利用这种技巧证明了关于五个被加数表示的数的一个新结果。进一步，我们利用解析数论中涉及与这些整数的（+-1）-特征序列相关的三角和的技巧，证明了关于恶数和恶数的10倍和以及相似整数序列的k倍和的一些新结果.
Additive Bases in Abelian Groups
设$G$是一个指数为$m$的有限非平凡阿贝尔群，并假设$B_1, ..., B_k$是$G$的生成子集。我们证明了，如果$k>2m \ln \log_2 |G|$，则多集并$B_1\cup...\cup B_k$形成$G$的加性基;即，对于每个$g\in G$存在$A_1\subset B_1, ..., A_k\subset B_k$，使得$g=\sum_{i=1}^k\sum_{a\in A_i} a$。这推广了Alon，Linial和Meshulam关于加法基猜想的一个结果.作为证明猜想的另一个步骤，在$B_1, ..., B_k$是向量空间的有限子集的情况下，我们获得不同值的数量的下界估计，通过$\sum_{i=1}^k \sum_{a\in A_i} a$的形式的总和获得，其中$A_i$在每个$i=1, >..., k$的$B_i$的所有子集上变化。最后，我们建立了一个令人惊讶的加性基猜想和单位立方体的顶点覆盖问题之间的关系，通过平移的格，并提出了一个（强形式）的猜想在覆盖方面的重新制定。
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