关于自然数加法表示的若干注记
Remarks on additive representations of natural numbers
AI总结：
本文研究互素无平方因子整数下形如 $a p+b P_{2}$ 的自然数表示，给出表示个数的新下界，并推广和改进了短区间、算术级数及哥德巴赫型上界等特殊情形中的已有结果。
摘要：
对于两个互素的无平方因子正整数 $a$ 和 $b$，我们研究形如 $a p+b P_{2}$ 的整数，并给出此类表示个数的一个新的下界，其中 $a p$ 与 $b P_{2}$ 均为无平方因子，$p$ 表示素数，且 $P_{2}$ 至多有两个素因子。我们还考虑若干特殊情形：$p$ 较小、$p$ 与 $P_2$ 位于短区间内、$p$ 与 $P_2$ 位于算术级数中，以及一个哥德巴赫型上界结果。我们的新结果推广并改进了已有结果。
英文摘要：
For two relatively prime square-free positive integers $a$ and $b$, we study integers of the form $a p+b P_{2}$ and give a new lower bound for the number of such representations, where $a p$ and $b P_{2}$ are both square-free, $p$ denote a prime, and $P_{2}$ has at most two prime factors. We also consider some special cases where $p$ is small, $p$ and $P_2$ are within short intervals, $p$ and $P_2$ are within arithmetical progressions and a Goldbach-type upper bound result. Our new results generalize and improve previous results.
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