AI 中文总结
该研究针对自然数集与整数集上避免单调算术级数的排列，强化了三项上密度参数的下界，还构造子集证明整数集的四项下密度为1，完善了相关密度界结论。
AI 中文摘要
对于$X\in\{\mathbb{N},\mathbb{Z}\}$，设$\alpha_X(\ell)$和$\beta_X(\ell)$为$X$的子集的上、下确界密度，这类子集允许不含单调$\ell$项算术级数的$\omega$-排列。我们通过证明$\alpha_{\mathbb{N}}(3)\geq\frac23$、$\alpha_{\mathbb{Z}}(3)\geq\frac23$，强化了已发表的三项上密度参数的下界；还通过构造整数的四可排列子集（其下对称密度趋近于1），证明了$\beta_{\mathbb{Z}}(4)=1$。
英文摘要
For $X\in\{\mathbb{N},\mathbb{Z}\}$, let $α_X(\ell)$ and $β_X(\ell)$ denote the supremal upper and lower densities of subsets of $X$ admitting $ω$-permutations without monotone $\ell$-term arithmetic progressions. We strengthen the published lower bounds for the three-term upper-density parameters by proving \[ α_{\mathbb{N}}(3)\geq\frac23,\qquad α_{\mathbb{Z}}(3)\geq\frac23. \] We also prove $β_{\mathbb{Z}}(4)=1$ by constructing four-permutable subsets of the integers whose lower symmetric densities approach one.
