Toat Dominator Chromatic number of a Graph
给定一个图$G$，全支配者着色问题寻求图$G$的一个适当的着色，并附加一个性质，即图中的每个顶点都与一个色类的所有顶点相邻.我们寻求最小化颜色类别的数量。我们研究这个问题的几类图，以及寻找一般的界限和特征。并给出了全控制色数和色数与全控制数的关系。
2013-07-29 math.CO
Total dominator chromatic number of $k$-subdivision of graphs
设$G$是一个单图. $G$的全控制染色是指图$G$的顶点与某个色类的顶点相邻的全控制染色。$G$的全支配色数（TDC）$χ_d^t(G)$，是$G$的所有全支配色中的最小颜色数.对于任何$k \in \mathbb{N}$，$G$的$k$ -细分是一个单图$G^{\frac{1}{k}}$，它是通过用长度为$k$的路替换$G$的每条边而构造的。本文研究了$k$的全控制色数--$G$的细分.
2018-01-19 math.CO
Compelling Colorings: A generalization of the dominator chromatic number
我们定义了一个$P$ -强制着色为图的顶点的真着色，使得每一个由每种颜色的一个顶点组成的子集都具有性质$P$ . $P$ -令人信服的色数是在这样的着色中颜色的最小数目。我们证明了这一概念推广了控制子和全控制子色数，并给出了一些一般的界和算法结果。我们还研究了$P$是子集至少包含一条边或子集是连通的具体情况。
2021-05-08 math.CO
Total dominator chromatic number of some operations on a graph
设$G$是一个单图. $G$的全控制染色是指图$G$的每个顶点与某个色类的每个顶点相邻的图的正常染色。$G$的全支配色数色数$χ_d^t(G)$是指$G$的全支配色中颜色数最少的一个.本文研究了对$G$的顶点和边进行操作修改$G$时对$χ_d^t(G)$的影响。
2016-06-02 math.CO
More on the total dominator chromatic number of a graph
设$G$是一个单图. $G$的全控制染色是指图$G$的顶点与某个色类的顶点相邻的全控制染色。$G$的全支配色数（TDC）$χ_d^t(G)$，是$G$的所有全支配色中的最小颜色数.用$G_1 \star G_2$表示两个图$G_1$和$G_2$的邻域冠，它是通过取$G_1$的一个拷贝和$G_2$的$|V(G_1)|$拷贝，并将$G_1$的$i$第n个顶点的邻域连接到$G_2$的$i$第n个拷贝中的每个顶点而得到的图。本文研究了两个图的邻域的全控制色数以及两个图的$r$ -胶合的全控制色数。$G$的全支配色数的稳定性（束缚数）是指除去$G$后改变其TDC数的$G$的顶点（边）的最小数目.研究了某些图的稳定性和束缚数。
2017-05-29 math.CO
Introduction to total dominator edge chromatic number
引入了图$G$的全控制边色数. $G$的全支配边染色（简称TDE-染色）是$G$的一种正常边染色，其中图的每条边与某个色类的每条边相邻。$G$的总支配边色数（简称TDEC数）$χ'^t_d(G)$是$G$的TDE染色中颜色类的最小数量。我们得到了$χ'^t_d(G)$的一些性质，并计算了特定图的这个参数。我们研究了对$G$的顶点和边进行操作修改$G$时对$χ'^t_d(G)$的影响。最后，我们考虑了$G$的$k$-子图，并研究了这类图的TDEC-数。
2018-01-25 math.CO
Majority dominator colorings of graphs
设$G$是阶为$n$的简单图.图$G$的多数支配着色是指图的每个顶点至少支配一个色类的一半的真着色。多数支配色数$χ_{md}(G)$是$G$的多数支配着色中颜色类的最小数目。本文研究了图的多数支配染色的性质。利用色数、控制色数、最大度、控制数和独立数得到了紧的上、下界。我们还研究了所选图族的多数支配染色数。
2022-12-28 math.CO
Total dominator coloring of central graphs
图$G$的全控制染色是图$G$的正常染色，其中图的每个顶点都与某个色类的每个顶点相邻.图的全控制色数是指图的全控制染色所包含的最小色类数.本文通过给出图的中心、图的联和Nordhaus-Gaddum关系的全控制色数的一些紧界，研究了中心图的全控制染色.并计算了路、圈、轮、完全图和完全多部图的中心的全色数色数。
2018-05-08 math.CO
Dominated and dominator colorings over (edge) corona and hierarchical products
图的控制染色是指图的一种正常（顶点）染色，其特征是图的每个顶点要么在其色类中是单独的，要么与至少一个色类的所有顶点相邻。图的控制染色是指每一个色类都被至少一个顶点控制的真染色。确定了电晕产物和边电晕产物的主色数色数。给出了边电晕积的支配色数的上、上界。给出了层次积的控制色数的上有界性，并确定了两因子层次积的控制色数。最后给出了控制着色在遗传网络中的一个应用。
2020-02-18 math.CO
On graphs whose domination number is equal to chromatic and dominator chromatic numbers
对于图$G = (V(G), E(G))$，控制集$D$是$V(G)$的顶点子集，其中$V(G) \setminus D$的每个顶点都与$D$中的一个顶点相邻。$G$的控制数是$G$的控制集的最小基数，用$γ(G)$表示。$G$的着色是划分$C = (V_{1}, ... ,V_{k})$，使得每个$V_{i}$在独立的集合中。色数是$G$的所有着色$C = (V_{1}, ... ,V_{k})$中最小的$k$，记为$χ(G)$。一个着色$C = (V_{1}, ... ,V_{k})$被称为支配者，如果对于所有的$V_{i}$，每个顶点$v \in V_{i}$在$V_{i}$中是单例的或与$V_{j}$的每个顶点相邻。$G$的支配色数是$G$的所有支配色中的最小$k$，记为$χ_{d}(G)$。此外，如果$γ(G) = χ(G) = χ_{d}(G) = k$，则图$G$是$D(k)$。本文证明了对于$n \geq 4k - 3$，总存在$n$阶的$D(k)$图.进一步证明了当$k \in \{3, 4\}$.也就是说，我们证明了，对于一个非平凡的平面图$G$，图$G$是$D(k)$当且仅当$G$是$K_{2, q}$，其中$q \geq 2$。
2022-08-15 math.CO
Total dominator coloring number of middle graphs
图G的全控制染色是指图G的每一个顶点都与某个色类的每一个顶点相邻的真染色。图的全控制色数是指图的全控制着色中所包含的最小色类数。本文研究了中间图的全控制染色，给出了一般图和树的全控制染色的几个界。此外，我们还计算了几类已知图的中间图的全控制色数。
2021-04-26 math.CO
A Linear Algorithm for Minimum Dominator Colorings of Orientations of Paths
本文给出了一个求路的方向的最小支配染色的算法。迄今为止，这是第一个算法的支配着色的有向图在任何容量。我们证明了该算法总是提供一个最小的支配着色的有向路径，并表明它运行在$\mathcal{O}(n)$时间。该算法可在https://github.com/cat-astrophic/MDC-orientations_of_paths/上获得。
2019-07-24 cs.DM cs.DS math.CO
Equitable Dominator Coloring of Graphs
CHRIST University（CHRIST大学）
提出公平支配着色新概念，结合支配着色与公平着色，研究基本图类的公平支配色数及其界。
2026-06-23 math.CO
On Domination Coloring in Graphs
图$G$的控制染色是指图$G$的一个真点染色，使得图$G$的每个顶点控制至少一个色类，并且每个色类被至少一个顶点控制.所有控制着色中的最小颜色数称为控制色数，记为$χ_{dd}(G)$。本文通过对任意图证明该问题的NP-完全性，研究了该问题的复杂性，并给出了几类图的一般界和特征。并给出了控制色数$χ_{d}(G)$、控制色数$χ_{dom}(G)$、色数$χ(G)$和控制数$γ(G)$之间的关系.我们给出了几个关于图的$χ_{dd}(G)=χ(G)$的结果。
2019-09-09 cs.DM math.CO
Complexity of total dominator coloring in graphs
设$G=(V,E)$是一个没有孤立点的图。如果$v$与$w$相邻，则顶点$v$完全支配顶点$w$（$w \ne v$）。一个集合$D \subseteq V$称为$G$的全控制集，如果每个顶点$v\in V$都被$D$中的某个顶点全控制.全控制集的最小基数是$G$的全控制数，记为$γ_t(G)$。图$G$的全控制染色是图$G$的顶点的真染色，使得每个顶点完全控制某个色类。$G$的全支配色数$χ_{td}(G)$是$G$的全支配着色所需的最少颜色数。全支配着色问题是用最少的颜色数来找到$G$的全支配着色。对于一般的图，这个问题的判定是NP-完全的。我们表明，它仍然是NP-完全的，即使限制到二分，平面和分裂图。我们进一步研究了各种图类，包括树，余图和链图的全支配者着色问题。首先，我们刻画了具有$χ_{td}(T)=γ_t(T)+1$的树，从而完成了实现$χ_{td}(T)$的所有可能值的树的刻画。此外，我们表明，对于一个cograph $G$，$χ_{td}(G)$可以计算在线性时间。此外，我们证明了链图$G$的$2 \le χ_{td}(G) \le 4$，并给出了线性时间内$χ_{td}(G)$的每一个可能值的链图的特征。
2023-03-03 cs.CC cs.DM math.CO
A Note on Colourings of Connected Oriented Cubic Graphs
本文证明了连通三次图的每一个定向都允许定向8-着色。这降低了最著名的上界的连通三次图的方向的家庭的色数。我们进一步证明了，每个这样的定向图允许2-路7-染色。这些结果意味着，要么是有向连通三次图族的色数等于2-路色数，要么是Sopena [Journal of Graph Theory 25：191-205 1997]关于连通三次图的方向色数的长期猜想是错误的。
2020-05-29 cs.DM math.CO
Acyclic orientation polynomials and the sink theorem for chromatic symmetric functions
定义图的无圈方向多项式为无圈方向汇的生成函数。斯坦利证明了非循环方向的数量等于色多项式评价在$-1$的签署。出于这种联系之间的非循环方向和色多项式，我们开发“非循环方向”类似定理有关的色多项式的伯克霍夫，惠特尼，和绿色Zaslavsky。作为应用，我们给出了色对称函数$X_G$的Stanley下沉定理的一个新证明.这个定理给出了具有固定汇数的非循环定向数与$X_G$关于初等对称函数的展开式中的系数之间的关系。
2020-08-22 math.CO
Oriented chromatic number of Halin graphs
定向图的定向色数$G$是定向图$H$使得$G$允许与$H$同态的最小阶.无定向图$G$的定向色数是指在$G$的所有可能定向上的最大色数。本文证明了每个Halin图的定向色数至多为8，改进了Hosseini Dolama和Sopena的一个界，证实了Vignal的猜想.
2013-07-18 cs.DM math.CO
Acyclic Orientations and the Chromatic Polynomial of Signed Graphs
给出了符号图（对称图）的无圈定向与染色之间的一个新的对应关系。Goodall等人引入了一个二元色多项式$χ_G(k,l)$，它使用颜色$0,\pm1,\dots,\pm k$以及$l-1$对称颜色$0_1,\dots,0_{l-1}$来计算有符号着色的数量。我们证明了二元色多项式$|χ_G(-1,2)|$的评价等于符号图的非循环方向数模交换源和汇产生的等价关系。我们提出了三个证明这一事实，证明使用环面超平面安排，证明使用删除压缩，和直接证明。
2022-09-03 math.CO
Proper orientations and proper chromatic number
图$G$的真色数$\Vecχ(G)$是最小$k$，使得存在$G$的边的定向，使得所有顶点的出度至多为$k$，并且对于任何邻顶点，出度是不同的。解决了关于真色数的两个主要问题。首先证明了任何可平面图$G$的$\Vecχ(G)$是有界的（实际上至多为14）。其次，证明了对任何图，$\Vecχ(G)$至多是$O(\frac{r\log r}{\log\log r})+\tfrac{1}{2}\MAD(G)$，其中$r=χ(G)$是图的通常色数，$\MAD(G)$是$G$的所有子图的最大平均度.其他几个相关的结果。我们的证明是基于一个新的概念分数方向。
2022-12-08 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. XI. Orientations
固定一个定向图H，设G是一个团数有界且色数很大的图。如果我们以某种方式定向它的边，那么一定存在同构于H的诱导子图吗？Kierstead和Rodl对两种特殊的有向图H提出了这个问题：三边路径，第一条和最后一条边都指向内部;和星（有许多边指向外部，许多边指向内部）。Aboulker等人随后证实，这两种情况的答案都是肯定的。我们对这两个问题都给予肯定的回答。
2018-09-05 math.CO
Orientations of cycles in digraphs of high chromatic number and high minimum out-degree
本文刻画了在色数足够大且最小出度与顶点数成比例的有向图中，哪些圈的定向必然作为子有向图出现，推广了 Thomassen 的已知结果。
2025-03-25 math.CO
Orientations of graphs with uncountable chromatic number
受P. Erdenses和V. Neumann-Lara的一个猜想的启发，我们的目的是研究具有不可数色数的有向图和具有不可数色数的无向图的定向.如果一个图的顶点不能被可数多个独立集覆盖，则该图具有不可数色数;如果一个有向图的顶点不能被可数多个非循环集覆盖，则该图具有不可数二色数。我们证明了一致存在有向图与不可数的二色数和任意大的digirth，这是在令人惊讶的对比与无向的情况下：任何图与不可数的色数包含一个4-圈。其次，我们证明了几个著名的图（不可数完全图，某些可比图，移位图）承认ZFC中的方向具有不可数的二色数。然而，我们证明了“每一个具有大小和色数的图$G$ $ω_1$有一个具有不可数色数的定向$D$”与ZFC无关.
2017-11-09 math.CO math.LO
Orientations, lattice polytopes, and group arrangements I: Chromatic and tension polynomials of graphs
这是第一个一系列的文件协会的方向，格多面体，和阿贝尔群安排图。目的是解释图在零和负整数上的整张力多项式和模张力多项式。整个论述是在子群排列和Ehrhart多项式的应用的框架下进行的。这种观点导致以下主要结果的文件：（i）的互易性法律的整体张力多项式;（ii）的互易性法律的模张力多项式;和（iii）的Tutte多项式$T(G;x,y)$的值的一个新的解释图$G$在$(1,0)$的非循环方向的切割等价类的数量$G$。
2007-06-22 math.CO
Proving a conjecture on chromatic polynomials by counting the number of acyclic orientations
阶为$n$的图$G$的色多项式$P(G,x)$可以表示为$\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{n-i}a_{i}x^i$，其中$a_i$被解释为$G$的具有恰好$i$分量的无破圈生成子图的个数.参数$ε(G)=\sum\limits_{i=1}^n (n-i)a_i/\sum\limits_{i=1}^n a_i$是$G$的无断圈生成子图的平均大小。在这篇文章中，我们证实并加强了Lundow和Markström在2006年提出的一个猜想，即对于任何一个既不是完全图$K_n$也不是$n$的树$T_n$的$G$，$ε(T_n)< ε(G)<ε(K_n)$成立.我们证明的最关键的一步是通过$G$的非循环定向的数目来获得所有$a_i$的解释。
2020-07-16 math.CO
Chromatic Polynomial and Heaps of Pieces
斯坦利在他的论文[斯坦利，理查德P：图的非循环定向在：离散数学5（1973），Nr. 2，S. 171-178.]提供了当用负整数代替色多项式时的解释。格林和Zaslavsky解释系数的色多项式在[格林，柯蒂斯; Zaslavsky，托马斯：关于解释惠特尼数通过安排超平面，zonotopes，非氡分区，和方向的图形。见：美国数学学会学报280（1983），1月，Nr。1，S. 97-97.]我们将开发一个对合的factorisations堆件和使用这种对合，我们将提供双射证明结果从这两个文件。
2019-03-16 math.CO
Diameter of the inversion graph
本文研究标号图反演图的直径，揭示其与星色数、无环色数和有向色数的有界性等价，并给出多类图的上界及 NP 难性。
2024-05-08 cs.DM math.CO
Generalized chromatic polynomials of graphs from Heaps of pieces
设$G$是一个单图，$\mathcal{L}(G)$是与$G$相关联的自由部分交换李代数.本文利用块堆证明了$G$的广义$\textbf k$ -色多项式关于$\mathcal{L}(G)$的级空间维数的一个表达式。这将给我们一个新的解释的色多项式的多线性堆和林登长度。Stanley，Greene和Zaslavsky关于$G$的无环取向的经典结果作为推论得到.一个堆有唯一的最小块被称为金字塔和我们的主要定理证明使用金字塔的性质。为此，我们证明了金字塔的两个重要性质，即金字塔比例引理，以及金字塔和林登堆引理。在最后一节中，我们将介绍$(m,λ)$ -标记的非循环方向，这是类似于斯坦利的$λ$ -兼容对。作为我们主要定理的应用，利用这个$(m,λ)$标记的非循环定向，我们将证明色多项式的导数的互易定理。
2019-07-20 math.CO
Orientations of 1-Factorizations and the List Chromatic Index of Small Graphs
作为出发点，我们制定了一个推论的定量组合零点。这个推论不需要考虑多项式的任何系数，只需要计算多项式函数。在某些情况下，我们的推论比组合零点定理本身更直接适用，也更容易实现。从数字的角度来看，这也是令人感兴趣的。我们用它来解释1-因子分解的符号（边着色）和列表边着色猜想之间的一个众所周知的联系。为了更有效的计算和更好地理解符号，我们引入并描述了单1-因子的符号。我们证明了在1-因子分解中所有1-因子的所有符号上的乘积是该1-因子分解的符号。在算法中使用这个结果，我们试图证明所有顶点不超过10个的图的列表边着色猜想。这给我们留下了一些需要用其他方法来解决的例外情况。
2017-05-01 math.CO
Dichromatic number and fractional chromatic number
图$G$的二色数是最大整数$k$，使得存在$G$的边的定向，使得对于顶点的每个划分为少于$k$的部分，至少一个部分必须包含在该定向下的有向圈。1979年，Erdens和Neumann-Lara证明了如果图的色数有界，那么它的色数也有界.通过证明该猜想的一个分数版本，我们在这个猜想上取得了第一个重大进展。虽然我们的结果使用了更强的分数色数假设，但它也给出了一个更强的结论：如果图的分数色数至少为$t$，则图的分数色数至少为$\tfrac{1}{4}t/\log_2(2et^2)$ .这个界限在一个很小的常数因子下是最好的。给出了几个相关的独立结果。
2015-10-20 math.CO
On the Oriented Chromatic Number of Dense Graphs
设$G$是一个图，它有$n$顶点、$m$边、平均度$δ$和最大度$Δ$。$G$的“定向色数“是在$G$的所有方向上取的最大值，在适当的顶点着色中的最小颜色数，使得每对颜色类之间的所有边都具有相同的方向。本文研究了图的定向色数，如超立方体，对它的$δ\geq\log n$。我们证明了每一个这样的图的定向色数至少为$Ω(\sqrt{n})$。在$δ\geq(2+ε)\log n$的情况下，该下限被改进为$Ω(\sqrt{m})$。通过与调和着色的简单联系，我们证明了$O(Δ\sqrt{n})$在定向色数上的一个一般上界。此外，这个界限对某些图是最好的。当$G$对于某个常数$c>2$是（$c\log n$）正则的时，这些上下界特别接近，在这种情况下，定向色数介于$Ω(\sqrt{n\log n})$和$O(\sqrt{n}\log n)$之间。
2006-12-18 math.CO
Alternating odd cycles and orientations of Kneser-like graphs
本文研究特定图的定向问题，聚焦拓扑χ-染色图，探讨其是否存在避免交错奇环的定向或使所有最短奇环为交错奇环的定向，并针对Kneser图等多个图族给出结果。
2025-08-25 math.CO
Orientation-based edge-colorings and linear arboricity of multigraphs
关于$f$ -着色的Goldberg-Seymour猜想指出无环重图的$f$ -色指数本质上由最大度或最大密度参数决定。我们引入了一个定向版本的$f$ -着色，现在每个颜色类的边着色被要求是定向在这样一种方式，每个顶点$v$有入度和出度在最多一些指定的值$g(v)$和$h(v)$。我们证明了相关的面向$(g,h)$的色指数满足Goldberg-Seymour公式。然后，我们提出了简单的应用程序，这一结果的变化$f$着色。特别是，我们发现，线性荫度猜想持有$k$退化无环多重图时，最大程度至少是$4k-2$，改善了界最近宣布陈，郝，于单图。最后，我们证明了面向$(g,h)$的色指数总是等于它的列表着色模拟。
2021-08-26 math.CO
The chromatic number of comparability 3-hypergraphs
从3-超图的定向性和定向3-超图的传递性的概念出发，研究可比较3-超图类（可传递定向的图）是很自然的。本文给出了可比较3-超图的色数与团数之间关系的三种不同性质，这与可比较单图是完美图的事实相反.
2014-02-24 math.CO
Linear relations on star coefficients of the chromatic symmetric function
Dartmouth College（达特茅斯学院）
本文研究了色对称函数中星系数的线性关系，揭示了其与图连通性及无环定向的联系。
2026-09-03 math.CO
Subdivisions of oriented cycles in digraphs with large chromatic number
定向循环是无向循环的定向。我们首先证明了，对于任何定向圈$C$，有没有细分$C$（作为一个子有向图）和任意大的色数的有向图。与此相反，我们证明了，对于任何$C$一个圈与两个块，每个强连通有向图具有足够大的色数包含一个细分的$C$。我们证明了一个类似的结果，四个顶点上的反向圈（其中两个顶点有出度$2$和两个顶点有入度$2$）。
2016-05-25 math.CO
Shift Graphs, Chromatic Number and Acyclic One-Path Orientations
本文利用移位图及其诱导子图，改进了完全二分图情形下无F诱导子图的色数上界，并证明移位图无AOP性质，同时构造了高奇围长但无AOP性质的图。
2024-12-17 math.CO
Chromatic polynomials of complementary (n,k)-clique pairs
我们引入了一类由任意数量的边连接的两个团组成的图对。一个图对的成员具有这样的性质：一个图的连通桥边集是另一个图的连通桥边集的补。我们证明了这样一对图的色多项式之间的精确关系，表明它们具有相同的分裂域，并且每个图的非循环方向的数量由另一个图的正确顶点着色的数量决定。
2011-06-07 math.CO
Sinks in Acyclic Orientations of Graphs
Greene和Zaslavsky证明了具有唯一sink的图的无圈定向数等于其色多项式的线性系数。我们给出了三个新的证明，这一结果使用纯感应，非交换对称函数，和算法双射。
1999-07-12 math.CO
Dichromatic Number and Cycle Inversions
本文用Farkas引理简洁证明了有向图无环色数的循环排序刻画，并表明通过逐次反转一族有向循环可将其降至至多2。
2024-01-26 cs.DM math.CO
The Oriented Chromatic Number of the Hexagonal Grid is 6
本文证明了六边形网格的有向色数下界为6，从而填补了Bielak（2006）留下的上下界差距，确定其有向色数确切为6。
2023-07-28 math.CO
e-basis Coefficients of Chromatic Symmetric Functions
本文推广 Stanley 关于色对称函数 e-基系数与无环定向汇点序列的结果，证明顶点加权版本，并提出可解释更多 e-系数和的更强猜想。
2025-05-15 math.CO
The list chromatic index of simple graphs whose odd cycles intersect in at most one edge
本文研究了一类单图$\mathcal{G}^*$，其中每对不同的奇圈至多相交于一条边。给出了$\mathcal{G}^*$中图的结构特征，证明了每个$G \in \mathcal{G}^*$满足列表边着色猜想.当$Δ(G) \geq 4$时，我们证明了一个关于$L(G)$中的核完美定向的更强的结果，这意味着对于每个$m \geq 1$，$G$是$(mΔ(G):m)$ -边可选择的和$Δ(G)$ -边可涂的.
2017-11-18 math.CO
Acyclic subgraphs with high chromatic number
对于有向图$G$，用$f(G)$表示$G$的无圈子图的最大色数.设$f(n)$是最小整数，使得每个色数大于$f(n)$的有向图$G$都有$f(G) > n$ .令$g(n)$为最小整数，使得具有多于$g(n)$顶点的每个竞赛图$G$具有$f(G) > n$。$Ω(n) \le g(n) \le f(n) \le n^2$。本文给出了$g(n)$的第一个非平凡上下界。特别证明了$\frac{1}{4}n^{8/7} \le g(n) \le n^2-(2-\frac{1}{\sqrt{2}})n+2$ .还证明了$f(2)=3$，即$4$ -色图的每个定向都有一个$3$ -色无圈子图.最后证明了顶点为$n$的随机竞赛图$G$具有$f(G) = Θ(\frac{n}{\log n})$ whp.
2018-11-14 math.CO
Relations between the local chromatic number and its directed version
局部色数是一个着色参数，定义为在图的任意适当着色下，顶点的最彩色闭邻域中应该出现的颜色的最小数目。当我们只考虑有向图中的外邻域时，它的有向版本是相同的。对于所有弧都在两个方向上的有向图，这两个值显然相等。这里我们考虑定向图。我们证明了一个图的存在性，其中该图的所有有向版本的有向局部色数严格小于底层无向图的局部色数。我们表明，对于分数版本的类似问题有一个不同的答案：总是存在一个方向的定向和无向值一致。我们还确定了这些分数参数的可能比率的上确界，其结果是e，即自然对数的基础。
2013-05-31 math.CO
Degrees in oriented hypergraphs and Ramsey p-chromatic number
由于$D(k,m)$在估计有向图的最大有向割和有向图的最小有向割覆盖中所起的作用，最近几篇论文研究了一类有向图族$D(k,m)$，使得对于每个顶点$v \in V(G)$，要么（出度）$°^+(v) \le k$，要么（入度）$°^-(v) \le m$.利用图的$d$ -退化度的概念，得到了图族$D(k,m)$中图的色数的一些结果.在本文中，我们考虑了一个深远的推广家庭$D(k,m)$，在一个补充的形式，到$r$-一致超图的背景下，使用Hakimi的定理推广到$r$ -一致超图，并显示出一些紧密的联系与著名的Ramsey数超图。
2011-12-14 math.CO
A note on the orientation covering number
给定一个图$G$，它的方向覆盖数$σ(G)$是最小的非负整数$k$，具有这样的性质，即我们可以选择$G$的$k$方向，使得每当$x, y, z$是具有$xy,xz\in E(G)$的$G$的顶点时，则存在一个选择的方向，其中$xy$和$xz$都远离$x$。Esperet，Gimbel和King证明了$σ(G)\leq σ\left(K_{χ(G)}\right)$，其中$χ(G)$是$G$的色数，并问我们是否总是有平等。本文证明了$σ(G)=σ(K_{χ(G)})$确实总是这种情况。我们还明确地为$n$的“大多数”值确定了$σ(K_n)$的精确值。
2020-10-09 math.CO
MAD Phase Transitions in the Oriented Chromatic Number
研究有向图的有向色数，通过证明对于足够大阶数的\(d -\)退化图，给出其有向色数的上界，得出对于固定\(r\geq 4\)，最大平均度小于\(r\)的图的有向色数最优界为\(\Theta(\sqrt{n})\)，补充了相关研究。
2026-07-28 math.CO
Partial Graph Orientations and the Tutte Polynomial
Gessel和Sagan使用深度优先搜索研究了Tutte多项式$T(x,y)$，并应用他们的技术证明了图的非循环部分方向的数量是$2^gT(3,1/2)$。我们提供了一个简短的删除压缩证明这个结果，并证明对偶，强连接的部分方向的数量是$2^{n-1}T(1/2,3)$。证明了部分方向模循环反转的个数为$2^gT(3,1)$，部分方向模割反转的个数为$2^{n-1}T(1,3)$ .为了证明这些结果，我们引入切割和循环最小的部分方向，提供了杰出的代表部分方向模切割和循环反转。这些扩展类的总方向介绍了Gioan，格林和Zaslavksy，我们强调了密切的联系与图形和cographic劳伦斯理想。我们的结论与边色概括的数量，这使得一个新的解释的可靠性多项式的所有概率，$p$与$0 < p <1/2$。
2015-03-19 math.CO
On the list version of a conjecture of Erdős and Neumann-Lara
LAMSADE, Université Paris Dauphine - PSL（巴黎第九大学-巴黎文理研究大学 LAMSADE）；National Institute of Informatics（信息学国立研究所）
研究提出列表版本的埃尔多斯-内曼-拉拉猜想，证明当图有大列表色数时，存在一种定向使其列表二染色数也较大。
2026-04-14 math.CO
On the Alon-Tarsi Number and Chromatic-choosability of Cartesian Products of Graphs
利用Jensen和Toft（1995）在他们关于图着色问题的著作中定义的Alon-Tarsi数，研究了图的笛卡儿积的列表色数. $G$的Alon-Tarsi数$AT(G)$是最小的$k$，对于该最小的$k$，存在具有最大深度$k\!-\!1$的$G$的取向$D$，使得包含在$D$中的偶数和奇数循环的数目不同。已知$χ(G) \leq χ_\ell(G) \leq χ_p(G) \leq AT(G)$，其中$χ(G)$是色数，$χ_\ell(G)$是列表色数，并且$χ_p(G)$是$G$的着色数。在本文中，我们发现家庭的图$G$和$H$，使$χ(G \square H) = AT(G \square H)$，减少这一系列的不平等平等。证明了奇圈与路的笛卡尔积的Alon-Tarsi数总是等于3。然后将这一结果推广到表明，如果$G$是一个奇圈或完全图，$H$是一个至少有两个顶点的图，其中包含Hamilton路$w_1, w_2, \ldots, w_n$，使得对于每个$i$，$w_i$在$w_1, w_2, \ldots, w_{i-1}$中有一个最多的$k$邻居，则有$AT(G \square H) \leq Δ(G)+k$，其中$Δ(G)$是$G$的最大度.本文讨论了$G \square H$的其它推广，其中$G$是$V(G)$可划分为奇圈和完全图的图，$H$是含有Hamilton路…
2018-03-20 math.CO
Enumeration of Golomb Rulers and Acyclic Orientations of Mixed Graphs
\emph{Golomb ruler}是不同整数的序列（统治者的\emph{markings}），其成对差异是不同的。Golomb规则可以追溯到20世纪30年代的加法数论，并吸引了最近对存在问题的研究活动，例如寻找\emph{optimal} Golomb规则（给定固定数量的标记的最小长度）。我们的目标是以系统的方式枚举Golomb规则：我们研究[g_m（t）：= # { \x \in \Z^{m+1}：\，0 = x_0 < x_1 <. < x_{m-1} < x_m = t，\text{all} x_j - x_k \text{distinct} }，]具有$m+1$标记和长度$t$的哥伦布标尺的数量。我们的主要结果是，$g_m(t)$是一个准多项式在$t$满足组合互易定理：$(-1)^{m-1} g_m(-t)$等于统治者的数量$\x$的长度$t$与$m+1$标记，每个计数与其\emph{Golomb multiplicity}，这措施有多少组合不同的哥伦布统治者是在一个小邻域的$\x$。我们的互易定理可以用与Golomb规则相关的某些混合图来解释;在这种语言中，它让人想起Stanley的色多项式互易定理。因此，在本文的第二部分中，我们开发了一个类似的斯坦利定理的混合图，连接他们的色多项式的非循环方向。
2011-10-27 math.CO math.NT
Enumeration of paths and cycles and e-coefficients of incomparability graphs
证明了无圈有向图的补图上的Hamilton路数等于圈覆盖数。作为应用，我们得到了不可比图的色对称函数用初等对称函数的一个新的展开式。分析一些组合的影响，这种扩张导致三个双射涉及非循环方向。
2007-09-04 math.CO
An Extension of Stanley's Symmetric Acyclicity Theorem to Signed Graphs
1995年，Richard Stanley引入了图$G$的色对称函数$X_G$，并证明了，当用初等对称函数表示时，它揭示了具有给定汇数的$G$的非循环定向数。本文将这一结果推广到符号图，即边被标记为$+$或$-$，并且着色和方向可以与它们的符号相互作用的图。此外，我们引入了一个非齐次的基础上，检测的数量的水槽，不仅给出了斯坦利型的结果，签署的图形，但给出了类似的结果，这种形式的无符号图以及。
2023-02-12 math.CO
