Hardness of Computing Clique Number and Chromatic Number For Cayley Graphs
计算一般图的团数和色数是一个NP-难问题。Codenotti等人（Bruno Codenotti，Ivan Gerace，and Pastiano Vigna.循环图上组合问题的硬度结果与谱技巧。\emph{Linear Algebra Appl.}，285（1-3）：123- 142，1998）指出，对于循环图类，计算团数和色数仍然是NP-困难问题。我们证明了对于群$G^n$的Cayley图类计算团数是NP-困难的，其中$G$是任何固定的有限群（例如，cubelike graphs）。我们还表明，计算色数不能在多项式时间内（假设$\text{P}\neq \text{NP}$下）为同一类图。我们的演示使用自由Cayley图。证明结合了自由Cayley图与商图和Goppa码。
2016-01-26 math.CO
Tight asymptotics of clique-chromatic numbers of dense random graphs
图的团色数是指图的顶点集所需的最小颜色数，使得包含的最大团都不是单色的。McDiarmid，Mitsche和Prahanat证明了二项随机图$G\left(n,\frac{1}{2}\right) $的团色数以高概率至多为$\left(\frac{1}{2}+o(1)\right)\log_2n$. Alon和Krivelevich证明了它以很高的概率大于$\frac{1}{2000}\log_2n$，并建议对数前的右常数是$\frac{1}{2}.$。我们证明了他们的猜想，并得到了一个紧浓度结果：whp $χ_c\left(G\left(n,1/2\right)\right) = \frac{1}{2}\log_2 n - Θ\left(\ln\ln n\right).$
2022-12-02 math.CO
Independent sets, cliques, and colorings in graphons
研究了图子的色数与团数、分数色数、b-色数和分数团数的对应关系。建立了图子集上独立集多面体的一些基本性质，以及分数色数与分数团数之间的对偶性质。我们提出了完美图子的概念，并根据奇圈及其补圈的诱导密度来刻画它们。
2019-06-04 math.CO
Chromatic number, Clique number, and Lovász's bound: In a comparison
在证明Kneser猜想的过程中，László Lovász给出了色数的一个新下界。他表明，如果邻域复杂$\mathcal{N}(G)$的一个图$G$是拓扑$k$连接，那么它的色数至少是$k+3$。然后，他完成了他的证明表明，这一界是紧的Kneser图。然而，有一些图，这个界限是没有用的，甚至比较明显的界限;团数。例如，如果一个图不包含完全二部图$\mathcal{K}_{l, m}$，那么它的Lovász界至多是$l+m-1$。但是，它可以有任意大的色数。在本文中，我们提出了新的图，表明色数，团数和Lovász界之间的差距可以是任意大的。更精确地说，对于给定的正整数$l, m$和$2\leq p\leq q$，我们构造了一个包含$\mathcal{K}_{l,m}$的副本的连通图，其色数、团数和Lovász界分别为$q$、$p$和$3$。
2017-09-21 math.CO
Forcing clique immersions through chromatic number
建立在最近的工作Dvoák和Yepremyan，我们表明，每一个单图的最低程度$7t+7$包含$K_t$作为一个浸入和每一个图的色数至少$3.54t + 4$包含$K_t$作为一个浸入。我们还表明，$n$顶点没有独立集的大小为3的每一个图包含$K_{2\lfloor n/5 \rfloor}$作为浸入。
2017-03-23 math.CO
Distance graphs having large chromatic numbers and not containing cliques or cycles of given size
本文研究了处于组合几何和图论边缘的经典Nelson-Hadwiger问题。它涉及$ {\mathbb R}^n $中距离图的着色，即，图，使得它们的顶点是向量，它们的边是距给定的正数集合一定距离的向量对。在团数和围长的不同限制条件下，得到了这类图的色数的一系列新的下界。
2012-02-14 math.CO
One-point concentration of the clique and chromatic numbers of the random Cayley graph on F_2^n
Green证明了存在常数$C_1,C_2>0$使得$\mathbb{F}_2^n$上的随机Cayley图的团数$ω$满足$\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(C_1n\log n < ω< C_2n\log n)=1$ .在本文中，我们找到了最好的可能的$C_1$和$C_2$。此外，我们证明了对于密度集$1$中的$n$，团数实际上集中在一个值上。作为这些结果的一个简单结果，我们还证明了色数的一点集中结果，从而证明了Bollobás著名猜想的$\mathbb{F}_2^n$类似物，并对Green的问题给出了几乎完整的答案。
2015-10-20 math.CO
Clique colourings of geometric graphs
一个图的团着色是顶点的着色，使得没有最大团是单色的（忽略孤立顶点）。在这样的着色中，最少的颜色数是团色数。给定平面中的点$n$和阈值$r>0$，对应的几何图具有顶点集$\{v_1,\ldots,v_n\}$，并且当$x_i$和$x_j$之间的欧氏距离至多为$r$时，不同的$v_i$和$v_j$相邻。我们研究了这类图的团色数。我们首先证明了平面上任意几何图的团色数至多为9，并简要地考虑了高维几何图。然后研究了平面上随机几何图$RG$的团色数的渐近性质，其中$n$随机点独立均匀分布在一个适当的正方形中.我们看到，随着$r$从0开始增加，对于非常小的$r$，团色数很可能是1，然后对于小的$r$，团色数是2，然后对于较大的$r$，团色数至少是3，最后降回2。
2018-12-02 math.CO
Chromatic symmetric functions of conjoined graphs
School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）；MIIT Key Laboratory of Mathematical Theory and Computation in Information Security, Beijing Institute of Technology（北京理工大学工业和信息化部信息安全数学理论与计算重点实验室）
本文研究了联图的色对称函数，通过组合方法得到了几种图类的色对称函数展开式，并提出了帽链的 e 正猜想。
2026-02-03 math.CO
Tight Bounds on the Clique Chromatic Number
一个图的团色数是指使图的顶点着色所需的最小颜色数，使得所有包含极大团都不是孤立点。证明了最大度$Δ$的图都有团色数$O\left(\fracΔ{\log~Δ}\right)$ .作为推论，我们得到每个$n$ -顶点图都有团色数$O\left(\sqrt{\frac{n}{\log ~n}}\right)$ .这两个结果都是紧密的。
2021-08-25 cs.DM math.CO
Packing chromatic number versus chromatic and clique number
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是最小整数$k$，使得$G$的顶点集可以被划分为集合$V_i$，$i\in [k]$，其中每个$V_i$是一个$i$ -填充.本文研究了对于给定的正整数三元组$(a,b,c)$，是否存在图$G$使得$ω(G) = a$，$χ(G) = b$，和$χ_ρ(G) = c$ .如果是这样，我们说$(a, b, c)$是可实现的。证明了$b=c\ge 3$蕴涵$a=b$，三元组$(2,k,k+1)$和$(2,k,k+2)$不能象$k\ge 4$那样立即实现.其中一些结果是从Mycielskian的填充色数的界得到的。此外，还给出了Mycielskian的独立数的计算公式.证明了$χ_ρ(G)$在$Δ(G)$和$α(G)$方面的一个下界。
2017-07-16 math.CO
Bounds for the $b$-chromatic number of some families of graphs
本文给出了无$K_{1,t}$图、具有给定最小团划分的图和二部图的$b$-色数的上界.这些界是根据图的团数或色数或二部图的偶团数得到的。我们证明了所有的边界都是紧的。
2005-06-09 math.CO
About dependence of the number of edges and vertices in hypergraph clique with chromatic number 3
1973年，P. Erdens和L. Lovász注意到，任何边是两两相交的超图都有色数2或3。在第一种情况下，这样的超图可以有任意数量的边。然而，埃尔德什和洛瓦兹证明了在第二种情况下，边的数量是有界的。例如，如果一个超图是$ n $ -均匀的，有成对相交的边，并且有色数3，那么它的边数不超过$ n^n $。最近D Cherkashin改进了这个界限（参见\cite{Ch}）。本文在$n$ -一致超图的顶点数由具有某些$ m = m(n) $的$ n^m $从上有界的情况下，进一步改进了它。
2011-10-08 math.CO
Clique and chromatic numbers of graph powers: spectral bounds and anticodes
该研究利用谱与多项式方法，得到图幂团数与色数的精确谱界，提出Wegner猜想的谱类似物并对部分情况证明，还将相关方法与编码理论中反码的Delsarte线性规划界建立联系。
2026-10-12 math.CO
Clique coloring of dense random graphs
图G=（V，E）的团色数是顶点着色中的最小颜色数，使得没有最大（关于包含）团是单色的。证明了二项随机图G=G（n，1/2）的团色数很可能为Ω（logn）.这解决了McDiarmid，Mitsche和Pralat的一个问题，他们证明了它是O（log n）的高概率。
2017-11-05 math.CO
Clique number of the square of a line graph
图$G$的\emph{edge coloring}是强的，如果每个颜色类是$G$的导出匹配。$G$的\emph{strong chromatic index}，记作$χ_{s}^{\prime }(G)$，是使$G$具有强边着色的最小颜色数。$G$的强色指数等于$G$的线图的平方的色数。$G$的线图的平方的色数大于或等于$G$的线图的平方的团数，用$ω(L)$表示。本文证明了对每个图$G$，都有$ω(L) \le 1.5 Δ_{G}^2$.我们的结果允许计算的分数强色指数的$G$，表示为$χ_{fs}^\prime(G)$的上界。我们证明了对每个图$G$，都有$χ_{fs}^{\prime}(G) \le 1.75 Δ_G^2$.
2015-04-30 math.CO
A set of chromatic roots which is dense in the complex plane and closed under multiplication by positive integers
我们研究了一个非常大的图族，其中的成员包括不相交的路径与极端集团确定的集团。这种广泛的特性自然地概括了具有众所周知的色多项式的各种较小的图形族。对于由其分支团路至少有一个平凡极值团的图组成的子族中的任意成员，我们导出了一个相对简单的公式，并利用这个公式证明了这些图的所有非整数色根的集合在乘自然数下是闭的. Sokal的一个著名结果引出了我们的主要结果，即存在一组色根，它在复平面上是稠密的，而且在正整数乘法下是封闭的。我们的研究结果提供了相当大的重量卡梅隆猜想，谁建议，这种封闭性可能是一个通用的功能的色多项式。我们也希望我们所提供的公式能对那些用色多项式计算的人有所帮助。
2013-06-11 math.CO
Chromatic number, clique subdivisions, and the conjectures of Hajós and Erdős-Fajtlowicz
对于图$G$，用$χ(G)$表示它的色数，用$σ(G)$表示$G$中最大团剖分的阶.设H（n）是$χ(G)/σ(G)$在所有$n$ -顶点图$G$上的最大值. Hajós在1961年提出了一个著名的猜想：对每个图$G$，有$σ(G) \geq χ(G)$。也就是说，$H(n) \leq 1$适用于所有正整数$n$。这个猜想在1979年被卡特林推翻。Erdenses和Fajtlowicz进一步证明了通过考虑一个随机图，对于某个绝对常数$c>0$，$H(n) \geq cn^{1/2}/\log n$。在1981年，他们证明，这一界是紧到一个常数的因素，有一些绝对常数$C$，使$χ(G)/σ(G) \leq Cn^{1/2}/\log n$的所有$n$ -顶点图$G$。本文证明了Erdens-Fajtlowicz猜想。在我们的证明，这可能是独立的利益的主要成分，是一个估计的最大集团细分的顺序，人们可以找到在每个图的$n$顶点与独立数$α$。
2012-02-14 math.CO
Clique Minors in Double-critical Graphs
一个连通$t$ -色图$G$是\dfn{double-critical}，如果$G \backslash\{u, v\}$对每条边$uv\in E(G)$都是$(t-2)$ -可着色的.一个长期存在的猜想Erdans和Lovász的完全图是唯一的双临界$t$ -色图仍然开放的所有$t\ge6$。鉴于Erdés和Lovász猜想难以解决，并受到著名的Hadwiger猜想的启发，Kawarabayashi，Pedersen和Toft提出了一个较弱的猜想，即每个双临界$t$ -色图都包含一个$K_t$子图，并验证了他们对$t\le7$的猜想。Albar和Gonçalves最近证明了每个双临界$8$ -色图都包含一个$K_8$子图，并且他们的证明是计算机辅助的。本文证明了对于所有的$t\le9$，每个双临界$t$ -色图都含有一个$K_t$子图。我们对$t\le8$的证明更短并且不需要计算机。
2017-10-16 math.CO
Cliques and High Odd Holes in Graphs with Chromatic Number Equal to Maximum Degree
本文为满足色数等于最大度且非$\overline{C_7}$的连通图提供了一个统一自包含的证明，证明了其必然包含特定团或高奇洞，避免了先前研究中依赖强完美图定理的繁琐分类。
2025-08-13 math.CO
A note on the maximum ratio between chromatic number and clique number
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；IMPA（巴西纯数学和应用数学研究所）；Emory University（埃默里大学）
本文改进了图色数与 clique 数比值的最大值渐进行为，给出了更精确的上界。
2026-02-04 math.CO
Clique colouring of binomial random graphs
图的团着色是指顶点的着色，使得没有最大团是单色的（忽略孤立顶点）。在这样的着色中，最小的颜色数是团色数。本文研究了随机图G（n，p）的团色数在较宽的边概率p=p（n）范围内的渐近性质.我们看到，典型的团色数，作为平均度的函数，形成一个有趣的阶梯函数。
2016-11-06 math.CO math.PR
Local Clique Covers and Chromatic Number
本文证明了局部团覆盖数与色数之和不超过顶点数加一的猜想，并给出了达到等号时图的结构性质及诱导匹配的改进界。
2026-09-09 math.CO
Bounding $χ$ by a fraction of $Δ$ for graphs without large cliques
贪婪着色算法表明，最大度至多为$Δ$的图的色数至多为$Δ+ 1$，这对团是紧的。许多注意力一直致力于改善这种“贪婪界”的图没有大的团。Brooks著名地证明了这个界限可以改进一个，如果$Δ\geq 3$和图包含没有大小为$Δ+ 1$的团。里德猜想指出，如果图不包含大小为$Δ+ 1 - 2k$的团，则$k$可以改进“贪婪界”。Johansson证明了对于没有三角形或没有任何固定大小的团的图，“贪婪界”可以分别提高$Ω(\ln(Δ)^{-1})$或$Ω\left(\frac{\ln(\ln(Δ))}{\ln(Δ)}\right)$的因子。值得注意的是，缺少的是一个$\textit{linear}$改进的“贪婪界”的图没有大集团。本文证明了：对于充分大的$Δ$，如果$G$是一个最大度至多为$Δ$且没有团大小为$ω$的图，则$$χ(G) \leq 72Δ\sqrt{\frac{\ln(ω)}{\ln(Δ)}}.$$.这意味着对于充分大的$Δ$，如果$ω^{(72c)^2} \leq Δ$，则$χ(G) \leq Δ/c$ .这个界限实际上对列表色数和对应色数（也称为DP色数）都成立。事实上，我们证明了我们所谓的“本地版本”，结果意味着存在的着色时，每个顶点的可用颜色的数量取决于本地参数，如度和集团数的邻居。我们的结果同时意味着“贪婪界”和Johansson的两个上述结果的线性改进。
2018-03-02 math.CO
Coloring hypergraphs that are the union of nearly disjoint cliques
本文研究由两两小交集团并集构成的超图最大色数，构造了团数量为多项式级的近似designs以证明其具有大色数，并通过随机贪婪超图过程对交集至多为1的情况给出下界，同时探讨了有限射影/仿影平面中最大caps数量的界。
2023-04-10 math.CO
Signed bipartite circular cliques and a bipartite analogue of Grötzsch's theorem
符号图的循环染色是一个新的概念，它同时推广了图的循环染色和符号图的$0$ -free染色的概念。符号图$(G, σ)$的圆形$r$ -着色是将圆周$r$的圆的点$r\geq 2$分配给$G$的顶点，使得由正边连接的顶点的圆形距离至少为$1$，并且由负边连接的顶点的圆形距离至多为$\frac{r}{2}-1$。所有$(G, σ)$容许圆$r$ -着色的$r$的下确界称为$(G, σ)$的圆色数，记为$χ_c(G, σ)$。对于任意有理数$r=\frac{p}{q}$，给出了对应于边符号保持同态和切换同态的两个循环团的概念。它还表明，限制的循环色数的研究，一类的签署二部简单的图已经捕获的循环色数的研究，通过基本的图形操作，即使每个签署二部图的循环色数是有界以上的$4$。在这项工作中，我们考虑限制的循环色数，这类签署的图和构造签署的二部循环集团就这两个概念的同态。然后，我们提出了重新制定的$4$ -颜色定理和Grötzsch定理。作为Grötzsch定理的一个二部类比，我们证明了每一个负围长至少为$6$的带符号二部平面图的圆色数至多为$3$ .
2021-09-26 math.CO
Chromatic number and complete graph substructures for degree sequences
给定一个图的度序列$D$，令$χ(D)$（分别为$ω(D)$、$h(D)$和$H(D)$）表示度序列为$D$的所有简单图的色数（分别为最大团、最大团细分和最大团子图的大小）的最大值。证明了$χ(D)\le h(D)$ .此外，它示出了一个细分的集团的顺序$χ(D)$存在的每个边缘被细分最多一次，所有细分的边缘的集合形成一个不相交的明星。这个界是度序列的Hajos猜想的类似物，特别是解决了Neil Robertson的猜想，即度序列满足界$χ(D)\le H(D)$（这与Hadwiger猜想有关）。本文还证明了$χ(D)\le {6/5}ω(D)+{3/5}$和$χ(D) \le {4/5}ω(D) + {1/5}Δ(D) + 1$的存在性，其中$Δ(D)$表示$D$的最大度.后一个不等式是布鲁斯·里德猜想的加强版。所有导出的不等式都是最好的。
2009-07-09 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. II. Three steps towards Gyarfas' conjectures
Gyarfas在1985年证明了：对所有的$k$，$l$，任何没有团的大小大于$k$，也没有奇洞的长度大于$l$的图，其色数都是以$k$和$l$为界的.我们证明了三个较弱的命题：（1）每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度不等于5的奇洞：（2）对所有的$l$，每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度大于$l$的奇洞或一个长度大于5的奇洞;（3）对所有的$k$，$l$，每个不存在团大小大于$k$且色数足够大的图都含有5-洞或长度大于$l$的洞.
2015-08-28 math.CO
$H$-free subgraphs of dense graphs maximizing the number of cliques and their blow-ups
本文研究了最小度高的图的无$H$子图的结构。我们证明了对于每个$k>m$都存在一个$ε:=ε(k,m)>0$，使得下列成立。对于每个具有色数$k$的图$H$，从图$H$中可以删除边并减少色数，并且对于每个在$n>n_0(H)$顶点上的图$G$，其中所有度至少为$(1-ε)n$，$G$的任何子图是$H$ -free的，并且包含完全图$K_m$的最大拷贝数是$(k-1)$ -可着色的.我们还考虑了几个扩展的情况下，一个一般的禁止图$H$的一个给定的色数，并为子图最大化的副本数量的平衡爆破的完全图。
2017-06-18 math.CO
An Upper bound on the chromatic number of circle graphs without $K_4$
设$G$是一个四顶点无团的圆图.证明了$G$的色数不超过30.
2012-12-17 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. VIII. Long odd holes
证明了Andras Gyarfas的一个猜想：对任意的k，t，任何团数不超过k且色数足够大的图都有一个长度不小于t的奇洞.
2019-04-28 math.CO
About maximal number of edges in hypergraph-clique with chromatic number 3
设$ H = (V,E) $是一个超图。超图$ H = (V,E) $的色数是指在$ V $中画出所有顶点所需的最小颜色数$χ(H)$，使得任意边$ e \in E $至少包含两个不同颜色的顶点.最后，如果一个超图的边是两两相交的，则称它构成一个团。1973年Erdés和Lovász注意到如果一个$n$ -一致超图$ H = (V,E) $形成一个团，那么$ χ(H) \in \{2,3\} $。他们生产了下列数量。$$ M(n) = \max \{|E|: \exists {\rm an} n-{\rm uniform} {\rm clique} H = (V,E) {\rm with} χ(H) = 3\}. $$显然，这样的定义在$ χ(H) = 2 $的情况下没有意义。定理1（P. Erdos，L. Lovasz}不平等持有$$ n!(e-1) \le M(n) \le n^n. $$在过去的35年里，几乎没有什么比这更好的了。同时，Lovasz引入了另一个量$ r(n) $，r（n）= \max \{ |E|：~ \exists { \rm an} ~ n-{ \rm uniform} ~ { \rm clique} ~ H =（V，E）~ { \rm s. t.} ~ τ（H）= n\}，$$ where $ τ(H) $ is the {\it covering nu…
2011-07-10 math.CO
The jump of the clique chromatic number of random graphs
本文解决了随机图 G_{n,p} 在边概率 p≈n^{-1/2} 附近团色数发生多项式级跳跃的公开问题，并利用近似与集中性方法确定了任意边概率下团色数至多相差对数因子。
2021-05-25 cs.DM math.CO math.PR
Squared chromatic number without claws or large cliques
设$G$是$n$个顶点上的无爪图，团数为$ω$，并考虑$G$的平方$G^2$的色数$χ(G^2)$.对于最大度至多为$d$的简单图的线图$L$上的$χ'_s(d)$的上确界，我们证明了$χ(G^2)\le χ'_s(ω)$对于$ω\in \{3,4\}$ .对于$ω=3$，这意味着尖锐的界限$χ(G^2) \leq 10$。对于$ω=4$，这意味着$χ(G^2)\leq 22$，它在所确定的最佳界限的$2$内。这项工作的动机是一个加强形式的猜想的Erdens和Nešetziil。
2018-05-17 cs.DM math.CO
Large chromatic number and Ramsey graphs
设Q（n，c）表示n-顶点图的色数为c时所能拥有的最小团大小。使用Ramsey图，我们给出了一个精确的，虽然隐含的，公式的情况下c至少是（n+3）/2。
2012-04-10 math.CO
Exact Homomorphism Thresholds Beyond Cliques
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；USTC（中国科学技术大学）；Shandong University（山东大学）
该研究针对单个非完全禁图精确同态阈值未知的问题，将团情形扩展至更大禁图族，确定了该族中每一个图的精确同态阈值。
2026-07-31 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number VII. Disjoint holes
图$G$中的洞是长度至少为4的诱导圈，并且$G$中的$k$-多孔是成对不相交且不相邻的洞的集合。众所周知，如果$G$不包含任何洞，那么它的色数等于它的团数。本文证明了，对任何$k$，如果$k$不含$k$-多孔，则它的色数至多是它的团数的多项式函数.我们证明，如果我们要求所有的洞都是奇数或长度为4，以及如果我们要求洞比任何固定常数长或长度为4，同样的结果也成立。这是多项式$χ$ -有界的图类的更广泛研究的一部分。
2022-02-18 math.CO
The clique chromatic number of sparse random graphs
本文针对稀疏随机图 G_{n,p}，在 n^{-2/5} ≪ p ≪ 1 的大部分边概率范围内确定了团色数的数量级，通过结合概率方法与新的度数计数论证克服高度顶点带来的困难，并发现了与先前预测相矛盾的新现象。
2025-06-02 cs.DM math.CO math.PR
$(2,2)$-colourings and clique-free $σ$-hypergraphs
我们考虑$r$ -经典意义下的一致超图$H$的顶点着色，即没有一条边的所有顶点都被赋予相同的颜色，以及$(2,2)$ -$H$的着色，其中任何边的顶点都被赋予两种颜色.这是一个特殊情况下的约束着色介绍了Bujtas和Tuza，反过来，是一个概括的Voloshin的着色混合超图。我们研究了$χ(H)$，经典色数，和$H$的$(2,2)$ -谱，即$H$具有$(2,2)$ -着色的整数$k$的集合，其中$H$恰好使用$k$颜色。我们提出了超图的扩展，保持色数和$(2,2)$ -谱，但经常重复，不增加集团数的$H$超过一个固定的数字。特别地，我们提出了稀疏的$(2,2)$ -无色数的$σ$ -超图具有任意大的色数-这些$r$ -一致超图的作者在早期的论文中进行了研究。利用这些思想，我们推广了一些已知的$3$ -一致超图，这些超图具有带隙的$(2,2)$ -谱.我们相信，这项工作是第一次提出的超图，同时保持$χ(H)$和$(2,2)$ -谱的$H$。
2014-02-13 math.CO
On the Tight Chromatic Bounds for a Class of Graphs without Three Induced Subgraphs
本文证明了一个没有三个诱导子图的图的色数至多等于它的最大团数加1。进一步我们证明了该界是紧的，并举例说明了这三个禁止子图中的每一个在假设中都是必要的。
2016-07-28 math.CO
Tight Chromatic Number for a class of Graphs with two forbidden subgraphs
虽然一般来说图的色数是未知的，但人们一直在努力寻找这个数的好的界。本文证明了：对于最大度小于或等于2ω - 3的有两个禁止子图的图G，χ等于它的最大团大小.并举例说明该条件的必要性。
2016-05-10 math.CO
The chromatic gap and its extremes
{ \em色间隙}是图的色数与团数之差。在这里，我们研究$\gap(n)$，最大色间隙的图上的$n$顶点。极值图能被探索吗？虽然与色隙有关的计算问题是无望的，但拉姆齐理论和匹配理论之间的相互作用导致了一个简单且（几乎）精确的$\gap(n)$公式。
2011-08-17 math.CO
Tight Chromatic Upper Bound for {3K1, C5}-free Graphs
寻找3 K1-free图的色数的最优上界的问题仍然是一个开放的、相当困难的问题。本文给出了无{3 K1，C5}图的紧色上界.证明了若G是{3 K1，C5}-free的，则G的色数<=（3ω-1）/2，其中ω是G中最大团的大小，并举例说明了其上界是紧的.
2013-10-01 math.CO
Odd clique minors and chromatic bounds of {3$K_1$, paraglider}-free graphs
本文研究独立数为 2 的图的奇团 minor 猜想，并针对不含 {3$K_1$, paraglider} 的图给出改进的最优线性色数界。
2025-08-31 math.CO
Clique spectral extremal problem on disjoint color-critical graphs
Harbin Engineering University（哈尔滨工程大学）
研究在\(n\)顶点的\(\bigcup_{i = 1}^t F_i -\)自由图中，对于\(2\leq s\leq r\)和足够大的\(n\)，确定具有最大\(s -\)团谱半径的唯一极值图这一问题，核心方法未提及，主要贡献是得出上述结论。
2026-07-16 math.CO
The chromatic number of comparability 3-hypergraphs
从3-超图的定向性和定向3-超图的传递性的概念出发，研究可比较3-超图类（可传递定向的图）是很自然的。本文给出了可比较3-超图的色数与团数之间关系的三种不同性质，这与可比较单图是完美图的事实相反.
2014-02-24 math.CO
Analogous to cliques for (m,n)-colored mixed graphs
图$G$的顶点着色可以等价地认为是$G$到$n$阶的完全图$K_n$的图同态（边保持顶点映射）。因此，在这种意义下，$G$的色数$χ(G)$将是$G$允许同态的最小完全图的阶。由于每一个非完全图都可以同态到一个更小的完全图，我们可以定义$G$的色数$χ(G)$为$G$可以同态到的最小图的阶.当然，这样的最小图必须是完全图，因为它们是唯一的色数等于其阶的图。顶点着色的概念可以推广到其他类型的图。自然地，色数被定义为允许一个图与之同态的最小图的阶。团的类似概念原来是图的阶等于他们（如此定义）的“色数“。这些“集团”比它们的无方向对应物要复杂得多，是有趣的研究对象。在这篇文章中，我们主要研究了不同方面的“团”的签署（图的负号分配给每一个边缘）和可切换的签署图（等价类的签署图关于切换符号的边入射到同一个顶点）。
2015-08-26 cs.DM math.CO
Tight Chromatic Upper Bound for {3K1, K1+C4}-free Graphs
寻找3 K1-free图的色数的最优上界问题仍然是一个开放的、相当困难的问题。Choudum等人证明了{3 K1，K1+C4}-free图的色数的一个上界是2ω。我们改进了这一点，证明了如果G是{3 K1，K1+C4}-free的，则它的色数小于或等于3ω除以2，其中ω是G中最大团的大小.并举例说明该界是紧的.
2015-05-15 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number. V. Excluding a tree of radius two and a complete multipartite graph
Gyárfás-Sumner猜想说，对于每一个森林$H$和每一个整数$k$，如果$G$是$H$ -free的，并且在$k$顶点上不包含团，那么它有界色数。（如果图不包含$H$的诱导拷贝，则该图不含$H$。）Kierstead和Penrice证明了半径最多为2的树的猜想，但除此之外，这个猜想只适用于少数简单类型的森林。如果我们排除一个完全的二部子图而不是一个团，我们知道的更多：Rödl证明，对于每一个森林$H$，如果$G$是$H$ -free的，并且不包含$K_{t,t}$作为子图，那么它有界色数。在与Sophie Spirkl的早期论文中，我们加强了Rödl的结果，表明对于每个森林$H$，色数的界可以在$t$中取为多项式。本文证明了Kierstead-Penrice定理的一个相关的加强，证明了对于半径为2的树$H$和整数$d\ge 2$，如果$G$是$H$ -free的，且不包含部分基数为$t$的完全$d$ -部图作为子图，则它的色数至多是$t$中的多项式.
2023-01-10 math.CO
Strong chromatic index and Hadwiger number
研究了多重图和单图中固定的禁止团子图对强色指数的影响。对每一个$k\ge 4$，我们猜想任何最大度$Δ$的$K_k$ -minor free重图的强色指数至多为$\frac32(k-2)Δ$ .我们提出了一个结构证明，如果真的猜想是渐近尖锐的$Δ\to\infty$。为了支持这一猜想，我们在$k=4$的情形下证明了这一猜想，并证明了用强团数代替强色指数的说法。与此相反，我们做了一个基本的观察，对于$K_k$ -minor-free单图，强边着色问题是“之间”Hadwiger猜想和它的分数松弛。对于$k\geq5$，我们还证明了边直径至多为$2$的$K_k$ -minor free重图的强团数至多为$(k-\frac{1}{2})Δ$ .
2021-08-19 cs.DM math.CO
Polynomial bounds for chromatic number. III. Excluding a double star
双星是一棵树有两个内部顶点。已知Gyárfás-Sumner猜想对双星成立，即对每一双星$H$，存在一个函数$f$使得如果$G$不包含$H$作为诱导子图，则$χ(G)\le f(ω(G))$（其中$χ, ω$是$G$的色数和团数）。在这里，我们证明了$f$可以被选择为多项式。
2021-08-16 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. V. Chandeliers and strings
已知每一个具有足够大的色数和有界团数的图都包含作为诱导子图的任何固定森林的一个剖分和任何固定圈的一个剖分。等价图、森林图和三角形图都是普适图，其中H是普适图（在某类图中），如果对所有s>0，一类图中的每一个有界团数和足够大的色数的图都包含H的一个诱导剖分，且每条边至少被剖分s次。哪些其他图表很普遍？Chalopin，Esperet，Li和Ossona de Mendez证明了每个这样的图都是灯笼森林：粗略地说，块是灯笼（通过添加一个额外的顶点从树中获得的图），并且有关于块如何组合在一起的规则。目前还不知道是否每一个森林的灯笼是普遍的，但在另一篇论文中，我们两个证明香蕉树（多重图从森林中获得添加平行边）是普遍的，从而推广了上述两个结果。本文包含了证明的前半部分，它适用于任何灯笼森林，而不仅仅是香蕉树。一类图是r-控制的，如果对这类图中的每一个图，它的色数至多是这类图中r-球的最大色数的某个函数（由这类图决定）.在本文中，我们证明了，对于所有r>1，每一个森林的灯笼是普遍存在于每一个r-控制类这些结果变成特别好，当应用到字符串图（交图集的曲线在平面上）。枝形吊灯是从树中通过添加与其叶子相邻的顶点而获得的图。我们证明了类的字符串图是2-控制，因此森林的灯笼是普遍存在于这个类。此外，具有足够大的色数和有界团数的弦图包含任何固定枝形图作为诱导子图。
2021-05-21 math.CO
Frozen colourings in $2K_2$-free graphs
本文研究$2K_2$-自由图中的冻结染色，通过构造操作生成无限类，并证明所有3-色$2K_2$-自由图可重染。
2024-09-20 math.CO
Induced subgraphs of induced subgraphs of large chromatic number
本文证明对于任意有边的图$F$，存在色数任意大且团数相同的图，其$F$-free导出子图色数有界，推广了多项近期定理及Folkman结果，并扩展至竞赛图、超图等结构。
2023-09-18 math.CO
