Counting substructures I: color critical graphs
设$F$是一个含有边的图，边的删除减少了它的色数。我们证明了严格的界限上的副本的数量$F$在一个图的规定数量的顶点和边。我们的结果扩展了Simonovits的结果，他们证明了$F$有一个拷贝，以及Rademacher，Erd \H os和Lovász-Simonovits的结果，当$F$是完全图时，他们证明了类似的计数结果。我们定理的一个最简单的例子是下面的新结果。存在一个绝对正常数$c$，使得如果$n$足够大且$1 \le q < cn$，则每个具有$n$偶数边和$n^2/4 +q$边的$n$顶点图至少包含五个循环的$q(n/2)(n/2-1)(n/2-2)$拷贝。类似的陈述适用于任何奇数循环，并且界限是最佳可能的。
2009-05-19 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number VIII. Excluding a path and a complete multipartite graph
本文证明了对任意的路H和任意的整数d，存在多项式f使得任意的色数大于f（t）的图G或者包含H作为诱导子图，或者包含部分基数为t的完全d-部图作为子图.对于t = 1和一般d这是一个经典的定理Gyárfás，并为d = 2和一般t这是一个定理Bonamy等人。
2023-03-21 math.CO
A Note on the DP-Chromatic Number of Complete Bipartite Graphs
DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvotelák和Postle引入的列表着色的推广。图$G$的列表色数$χ_\ell(G)$的几个已知界也适用于$G$的DP-色数$χ_{DP}(G)$ .另一方面，DP-色数有几个性质表明它与列表色数不同。在本文中，我们展示了一个这样的性质。众所周知，$χ_\ell (K_{k,t}) = k+1$当且仅当$t \geq k^k$。我们证明$χ_{DP} (K_{k,t}) = k+1$如果$t \geq 1 + (k^k/k!)(\log(k!)+1)$，我们证明$χ_{DP} (K_{k,t}) < k+1$如果$t < k^k/k!$。
2018-03-24 math.CO
A complete multipartite basis for the chromatic symmetric function
在对称函数的向量空间中，初等对称函数的基的元素是（直到一个因子）团的不相交并的色对称函数。我们考虑它们的图补，函数$\{r_λ: λ\text{ an integer partition}\}$定义为完全多部图的色对称函数。这一基础首先由Penaguiao提出[21]。我们提供了一个组合的解释系数的变化之间的基础公式的$r_λ$和单项对称函数，我们表明，系数的色和Tutte对称函数的图形$G$扩展时，在$r$ -基础枚举某些交叉点的分区的$V(G)$到稳定的集合。
2021-11-15 math.CO
On the b-chromatic number of the Cartesian product of two complete graphs
图$G$的b-染色是其顶点的染色，使得每个颜色类包含一个顶点，该顶点在所有其他类中具有邻居。$G$的b-色数是使得$G$具有$k$颜色的b-着色的最大整数。Javadi和Omoomi（“On b-colouring of carcardiac product of graphs”，Ars Combinatoria 107（2012）521-536）证明了$K_n \times K_n$（两个完全图在$n$顶点上的笛卡儿积）的b-色数在集合$\{2n-3, 2n-2\}$中，并且证明了对于所有$n \ge 5$，精确值是$2n-3$。我们对$n=5$，$n=6$和$n=7$给出了这个猜想的反例.
2015-04-08 math.CO
The chromatic number of random lifts of complete graphs
图$G$的一个$n$ -提升是一个图，从该图有一个到$G$的$n$ -到- $1$覆盖映射. Amit，Linial，and Matou \v sek（2002）提出了一个问题，即$K_5$的随机$n$ -提升的色数是否集中在一个值上.我们考虑这个问题的$G=K_{d+1}$，并表明，对于固定的$d\ge 3$的随机提升$K_d$的色数是（渐近几乎肯定）$k$或$k+1$，其中$k$是满足$d < 2k \log k$的最小整数。此外，我们表明，大约一半的$d$值，色数集中在$k$。对色数上界的论证使用了小子图条件化方法，并且可以推广到$G$的随机$n$ -提升，对于任何固定的$d$ -正则图$G$。
2021-09-27 math.CO
Complete characterization of s-bridge graphs with local antimagic chromatic number 2
一个连通图$G = (V, E)$的边标号称为局部反幻的，如果它是一个双射$f:E \to\{1,\ldots ,|E|\}$，使得对于任意一对相邻顶点$x$和$y$，$f^+(x)\not= f^+(y)$，其中导出顶点标号$f^+(x)= \sum f(e)$，$e$在所有与$x$关联的边上变化. $G$的局部反魔色数，记作$χ_{la}(G)$，是在$G$的所有局部反魔标号上的不同诱导顶点标号的最小数目。本文刻画了局部反幻色数为2的$s$ -桥图.
2022-10-10 math.CO
The Kneser chromatic function distinguishes trees
本文证明 Kneser 色函数 $X_{K_{\mathbb{N},2}}$ 是树的完全不变量，从而推进了 Stanley 关于色对称函数完全区分树的猜想。
2024-10-01 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number. V. Excluding a tree of radius two and a complete multipartite graph
Gyárfás-Sumner猜想说，对于每一个森林$H$和每一个整数$k$，如果$G$是$H$ -free的，并且在$k$顶点上不包含团，那么它有界色数。（如果图不包含$H$的诱导拷贝，则该图不含$H$。）Kierstead和Penrice证明了半径最多为2的树的猜想，但除此之外，这个猜想只适用于少数简单类型的森林。如果我们排除一个完全的二部子图而不是一个团，我们知道的更多：Rödl证明，对于每一个森林$H$，如果$G$是$H$ -free的，并且不包含$K_{t,t}$作为子图，那么它有界色数。在与Sophie Spirkl的早期论文中，我们加强了Rödl的结果，表明对于每个森林$H$，色数的界可以在$t$中取为多项式。本文证明了Kierstead-Penrice定理的一个相关的加强，证明了对于半径为2的树$H$和整数$d\ge 2$，如果$G$是$H$ -free的，且不包含部分基数为$t$的完全$d$ -部图作为子图，则它的色数至多是$t$中的多项式.
2023-01-10 math.CO
Deciding the On-line Chromatic Number of a Graph with Pre-Coloring is PSPACE-Complete
在给定预着色的情况下，确定图的在线色数是否小于或等于k的问题被证明是PSPACE-完全的。
2014-06-06 cs.CC math.CO
Packing chromatic numbers of finite super subdivisions of graphs
图$G$的\textit{packing chromatic number}，记为$% χ_ρ(G)$，是最小整数$k$，使得$G$的顶点集可以被划分为集合$V_i$，$i\in \{1,\ldots,k\}$，其中每个$V_i$是$i$ -packing。本文给出了图的\textit{finite super subdivisions}的填充色数的一些一般性质。本文确定了完全图的有限超剖分的填充色数，以及完全图的圈和路的圈和路的有限超剖分的填充\textit{neighborhood corona graphs}.
2020-01-02 math.CO
The Beraha number $B_{10}$ is a chromatic root
本文给出了以Beraha数$B_{10} = (5 + \sqrt{5})/2$为根的色多项式的图。以前已知没有其他非整数的Beraha数是色根，因此这些例子完成了精确确定哪些Beraha数可以是色根。
2016-11-07 math.CO
Chromatic Index of Signed Generalized Book Graphs and Signed Complete Graphs
Pandit Neki Ram Sharma Government College Rohtak（潘迪特·内基·拉姆·夏尔马政府学院）；Maharshi Dayanand University Rohtak（玛哈希·达扬南德大学）
本文研究了符号广义书图和阶数不超过六的符号完全图的色数问题，通过分析符号图的边着色规则，确定了这两种图类的色数。
2026-02-20 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. III. Long holes
本文证明了Gyárfás在1985年提出的一个猜想：对所有的$k,\ell$，每个具有足够大的色数的图，要么包含一个具有$k$顶点的完全子图，要么包含一个长度至少为$\ell$的诱导圈.
2016-03-12 math.CO
A sub-exponential transition of the chromatic generalized Ramsey numbers
一个简单的图积型构造表明，对于所有自然数$r \ge q$，存在完全图在$2^r$顶点上的$r$颜色的边染色，其中由任意$q$颜色类的并集组成的图具有色数$2^q$ .本文证明了对于每个固定的自然数$q$，如果存在完全图在$n$顶点上的边染色，且由任意$q$色类的并集组成的图的色数至多为$2^q -1 $，则$n$在$r$中一定是次指数的.这回答了康伦、福克斯、李和苏达科夫的一个问题。
2015-07-16 math.CO
Double-critical graphs and complete minors
一个连通$k$ -色图$G$是双临界的，如果对$G$的所有边$uv$，图$G - u - v$是$(k-2)$ -色图.唯一已知的双临界$k$ -色图是完全$k$ -图$K_k$ .猜想，没有其他双重临界图是一个特殊的情况下，猜想从1966年，由于埃尔德什和Lovász。这一猜想在$k \leq 5$中得到了验证。我们证明了对于$k=6$和$k=7$，任何非完全双临界$k$ -色图都是6-连通的，并且有$K_k$作为子图.
2008-10-17 math.CO
The Game Chromatic Number of Complete Multipartite Graphs
Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Gdansk University of Technology（格但斯克理工大学）
该研究针对无单点集的完全多部图的游戏色数问题，为博弈双方Alice和Bob设计了最优策略，证明策略可在线性时间内计算，且色数仅由图划分的集合数量与大小决定。
2026-10-12 cs.DM math.CO
A note on cycle lengths in graphs of chromatic number five and six
本文证明了每一个非完全$(k+1)$ -临界图都含有模$k$的所有长度的圈，其中$k=4,5$ .
2021-04-03 math.CO
Online Chromatic Number is PSPACE-Complete
在在线图着色问题中，来自图G的顶点（预先已知）以在线方式到达，并且算法必须立即为每个进入的顶点v分配颜色，使得所揭示的图被正确地着色。图G中v的确切位置对于算法来说是未知的。G的在线色数是最小的颜色数，使得某些在线算法能够为任何传入的命令正确地着色G。证明了图的在线色数的计算是PSPACE-完全的。
2017-06-26 cs.CC math.CO
Universal graph series and vertex-weighted version of chromatic symmetric function
本文统一了色对称函数的通用图与顶点加权推广，证明新不变量继承完全性，并为DAG和偏序集构造完全不变量，进而区分超平面排列。
2025-03-31 math.CO
A topological lower bound for the chromatic number of a special family of graphs
为了研究图着色的拓扑障碍，Lovász引入了Hom-复形。一个图$T$称为测试图，如果对每个图$H$，$|Hom(T, H)|$的$k$ -连通性蕴涵$χ(H)\geq k + 1 + χ(T)$ .著名的Kneser猜想的证明是基于$\mathcal{K}_2$，即$2$顶点上的完全图，是一个测试图。Babson和Kozlov把这个结果推广到所有的完全图。他们的证明是基于广义神经引理和离散Morse理论。本文提出了一类特殊图族的色数的一个新的拓扑下界。作为这个界的一个应用，我们给出了完全图和偶圈是测试图这一著名事实的一个新证明。
2017-06-28 math.CO
Critical subgraphs of Schrijver graphs for the fractional chromatic number
Schrijver图是具有相同色数的Kneser图的顶点色临界子图。它们也共享分数色数的值，但Schrijver图对此并不重要。在这里，我们提出了一个诱导子图的每一个Schrijver图是顶点临界的分数色数。这些子图与某些圆完全图同构。我们还刻画了这个子图中的临界边。
2022-12-19 math.CO
Characterization of forbidden subgraphs for bounded star chromatic number
图的色数是使图具有正常$k$ -染色的最小$k$.在文献中有许多着色参数是正确的着色，也禁止双色子图。一些例子是$2$ -距离着色、无环着色和星着色，它们分别禁止三个顶点上的双色路、双色圈和四个顶点上的双色路。这个概念最早由Grünbaum在1973年提出，但没有给出具体的名称。通过定义一个$H$ -避免$k$ -染色为一个禁止双色子图$H$的真$k$ -染色，我们恢复了这个概念.当把不含$F$的图类$\mathcal C$作为诱导子图时，不难看出$\mathcal C$中的每个图都有界色数当且仅当$F$是大小不超过2的完全图.我们研究了一类没有$F$作为$H$ -避免着色的子图的图的这种现象。我们完全刻画了所有的图$F$，其中没有$F$作为子图的图类对于一大类图$H$具有有界$H$ -避免色数.作为推论，我们的主要结果暗示了图$F$的一个特征，其中没有$F$作为子图的图类具有有界星色数。我们还得到了无循环色数的完整刻画。
2018-12-04 math.CO
On the Ohba Number and Generalized Ohba Numbers of Complete Bipartite Graphs
College of Lake County（莱克县学院）；University of South Alabama（南阿拉巴马大学）
本文研究了完全二分图的Ohba数和广义Ohba数，改进了现有结果并提出了新的研究方向。
2026-02-23 math.CO
An upper bound for the list-distinguishing chromatic number of $K_{r,r+1}$-free graphs
University, Budapest, Hungary
本文受Catlin组合技术启发，为仅含小完全二部图导出子图的连通图类建立了可区别色数与列表可区别色数的改进上界，并应用Menger定理展示了结果在基于Paley图、Dihedral群Cayley图等构造的图中的应用。
2026-10-30 math.CO math.GR
Fractional chromatic number of a random subgraph
众所周知，完全图$K_n$的随机子图具有色数$Θ(n/\log n)$ w. h. p. Boris Bukh询问是否同样适用于任何$n$ -色图的随机子图，至少在预期中。本文证明了：对于分数色数至少为$n$的图，其随机子图的分数色数至少为$n/(8\log_2(4n))$且概率大于$1-\frac{1}{2n}$ .这给出了肯定的答案加强布赫的问题的分数色数。
2018-07-17 math.CO
Chromatic number, Clique number, and Lovász's bound: In a comparison
在证明Kneser猜想的过程中，László Lovász给出了色数的一个新下界。他表明，如果邻域复杂$\mathcal{N}(G)$的一个图$G$是拓扑$k$连接，那么它的色数至少是$k+3$。然后，他完成了他的证明表明，这一界是紧的Kneser图。然而，有一些图，这个界限是没有用的，甚至比较明显的界限;团数。例如，如果一个图不包含完全二部图$\mathcal{K}_{l, m}$，那么它的Lovász界至多是$l+m-1$。但是，它可以有任意大的色数。在本文中，我们提出了新的图，表明色数，团数和Lovász界之间的差距可以是任意大的。更精确地说，对于给定的正整数$l, m$和$2\leq p\leq q$，我们构造了一个包含$\mathcal{K}_{l,m}$的副本的连通图，其色数、团数和Lovász界分别为$q$、$p$和$3$。
2017-09-21 math.CO
Graph-Chromatic Implicit Relations
提出了图着色的蕴涵结构理论。发现隐藏的关系是每一门科学学科的重要活动。发展数学模型来研究和发现这种隐藏的关系是最令人感兴趣的。本文的主要贡献是在图着色问题中提出了一个隐关系模型，该模型将隐关系具体化为隐边和隐恒等式，这些关系在物理和化学模型中可以解释为隐力、隐相互作用、隐反应或隐变量。该理论也可以推广到NP完全问题的完全类。
2009-01-09 math.CO
On list chromatic numbers of 2-colorable hypergraphs
给出了2-可着色超图的列表色数的一个上界，它推广了Schauz关于$k$ -部$k$ -一致超图的上界.这对于稀疏超图是有意义的：特别地，我们证明了一个$k$ -均匀$k$ -正则超图对于$k \geq 4$具有列表色数2。利用Erd{ \H o} s-Rubin-Taylor定理得到了完全$s$ -均匀2-可着色超图的列表色数的上、下界.
2021-02-04 math.CO
Closed formulas for fractional chromatic polynomials of some common classes of graphs
色多项式已被广泛研究，给我们的结果，如基本约化定理和闭公式的色多项式的常见类的图。然而，这些都没有延伸到分数着色的上下文中。因此，我们提出了闭公式的“分数”色多项式-一个功能，计数的数量不同的$b$倍$λ$ -着色在一个给定的图-的完全图，树和森林，以及一个广义形式的基本减少定理。
2016-10-18 math.CO
Equality cases for a bound on the chromatic number
已知不等式$$ \frac{χ(G)(χ(G)-1)}{2} + |V| - χ(G) \leq |E|$$对所有连通图成立，其中$χ(G)$表示$G$的色数.证明了当图是由一个完全图或一个奇圈组成，且其顶点上有2000棵树时，等式成立。
2019-03-09 math.CO
$λ$-Chromatic Polynomials and Polytope Geometry
National Institute of Technology, Srinagar（斯利那加国家技术学院）
本文研究图的$λ$-色多项式，该多项式计数使用给定有限颜色集的不同$L(2,1)$-着色数量，通过内部-外部多面体框架下的格点枚举给出组合解释，并利用格路枚举和块-间隙技术计算完全图、完全二部图及多部图的$λ$-色多项式。
2026-05-29 math.CO
A splitting property of the chromatic homology of the complete graph
本文引入增强态的组合描述以显式分析色同调，证明了一类图的色同调分裂性质，并计算了完全图的色同调。
2023-07-30 math.AT math.CO math.GT
On the b-chromatic number of star graph operators
本文研究星形图笛卡尔积的幂图、全图和线图的 b-色数，推广已有结果，并给出完全图特定笛卡尔积的精确值及广义情形的界。
2025-10-21 math.CO
Proving a conjecture concerning chromatic number, size and least eigenvalue
School of Computer Science, South China Normal University（华南师范大学计算机学院）
该研究证明了Tang与Elphick提出的关于简单非空图色数、边数与最小特征值的不等式猜想，明确等号成立的图类条件，完善了图论中色数与谱参数关系的理论。
2026-08-05 math.CO
Chromatic Constraints on Quantum Observables: Gaps, Contextuality, and Separability
Institute for Theoretical Physics, TU Wien（维也纳工业大学理论物理研究所）
研究正交超图中色完备性与几何可坐标化性两种现象，通过对比相同强色数的三维例子，明确强色数大于希尔伯特空间维数仅阻碍色完备性，不阻碍忠实正交表示。
2026-10-30 math.CO quant-ph
Coloring tournaments with forbidden substructures
着色图是组合数学中的一个重要算法问题，在计算机科学中有着广泛的应用。本文研究着色竞赛图。随机竞赛图的色数为$Ω(\frac{n}{\log(n)})$阶。问题出现了色数是否可以被证明是更小的结构化的非平凡类的比赛。我们分析了一类由禁止子竞赛图$H$定义的竞赛图。本文给出了第一个在时间上运行的准多项式算法$e^{O(\log(n)^{2})}$，它只使用$O(n^{1-ε(H)}\log(n))$颜色构造$H$ -free竞赛图的着色，其中$ε(H) \geq 2^{-2^{50|H|^{2}+1}}$用于许多禁止竞赛图$H$ .据我们所知，所有以前已知的相关结果至少需要次指数时间，并依赖于正则性引理。由于我们不使用正则性引理，我们获得了第一个已知的下限$ε(H)$，可以给出一个封闭形式的表达式。作为一个推论，我们给出了一个建设性的证明著名的开放Erdens-Hajnal猜想明确给出了下界的EH系数的所有类的总理比赛，该猜想是已知的。这样一个有力的证据以前是不为人知的。因此，我们显着减少的差距最好的下限和上限之间的EH系数从猜想为所有已知的总理比赛，满足it. We还简要地解释了我们的方法可以用于着色$H$ -免费比赛在以下条件下：$H$是任何比赛与$\leq 5$顶点或：$H$是任何，但一个比赛的六个顶点。
2015-04-05 cs.DM math.CO
Chromatic polynomials of signed graphs and dominating-vertex deletion formulae
本文通过构造共享底层图和色多项式的非切换同构符号图回答了 Zaslavsky 的问题，推导了符号完全图连接的色多项式闭式表达，并引入双变量色多项式及其支配顶点删除递归公式，证明其在特定符号阈值图族中可刻画同构。
2024-07-01 math.CO
On the chromatic number of almost s-stable Kneser graphs
在2011年，Meunier证明了对于具有$ k\geq 2$，$r\geq 2$和$n\geq \max (\{r,s\})k$的正整数$n,k,r,s$，$s$ -稳定的$r$ -均匀Kneser超图的色数等于$\left\lceil \frac{n-\max (\{r,s\})(k-1)}{r-1}\right\rceil $。它是Ziegler（2002）和Alon，Drewnowski and Schluczak（2009）提出的猜想的加强版本。Meunier（2011）也引入了几乎$s$ -稳定的$r$ -一致Kneser超图的色数问题.对于Meunier猜想的$r=2$情形，Jonsson（2012）提供了一个纯粹的组合证明，以证实$s\geq 4$和$n$足够大的猜想，Chen（2015）甚至证明了$s$和任何$n$。$ s=3$的情况是完全开放的，即使是通常的几乎$s$ -稳定的Kneser图的色数.本文用不同的方法得到了几乎$s$ -稳定的$r$ -一致Kneser超图的色数的一个拓扑下界。对于$r=2$情形，我们得到几乎$s$ -稳定Kneser图的色数对所有的$s\geq 2$都等于$n-s(k-1)$.设置$t=n-s(k-1)$。证明了几乎$s$稳定Kneser图的任意真染色必含有完全多色完全二部子图$K_{\left\lceil \frac{t}{2}…
2017-11-17 math.CO
Recursion relations for chromatic coefficients for graphs and hypergraphs
我们建立了图或超图的色多项式中系数的一组递归关系。作为应用，我们推广了Whitney的超图破环定理，并给出了$r$ -完全超图的色多项式的线性系数关于指数函数的Taylor多项式的根的显式表达式.
2020-06-06 math.CO
On the Locating Chromatic Number of the Cartesian Product of Graphs
设$c$是连通图$G$的一个真$k$ -着色，$Π=(C_1,C_2,...,C_k)$是$V(G)$到结果色类的有序划分.对于$G$的顶点$v$，$v$相对于$Π$的颜色代码被定义为有序$k$ -元组$c_{{}_Π}(v):=(d(v,C_1),d(v,C_2),...,d(v,C_k)),$，其中$d(v,C_i)=\min\{d(v,x) | x\in C_i\}, 1\leq i\leq k$。如果不同的顶点具有不同的颜色代码，则$c$称为定位着色。$G$的定位着色中所需的最小颜色数是$G$的定位色数，用$\Cchi_{{}_L}(G)$表示。本文研究了格的定位色数、路与完全图的笛卡儿积以及两个完全图的笛卡儿积。
2012-12-09 math.CO
Unavoidable chromatic patterns in 2-colorings of the complete graph
本文研究了完全图边的$2$染色中不可避免的色模式.几个这样的问题进行了探讨是一个连接点之间的拉姆齐理论，极值图论（图兰型问题），零和拉姆齐理论，插值定理在图论。这些问题的一个角色模型如下：设$G$是一个有$e(G)$边的图。如果存在函数${\rm ot}(n,G)$，使得对于足够大的$n$，以下成立，则我们说$G$是全项的：对于任何$2$ -着色$f: E(K_n) \to \{red, blue \}$，使得每种颜色都有多于${\rm ot}(n,G)$的边，并且对于任何一对非负整数$r$和$b$与$r+b = e(G)$，在$K_n$中有一个$G$的拷贝，正好具有$r$的红边和$b$的蓝边.本文给出了全向图的一个结构特征，由此我们推出全向图是二部图，并进一步证明了对全向图$G$，有${\rm ot}(n,G) = \mathcal{O}(n^{2 - \frac{1}{m}})$，其中$m = m(G)$只依赖于$G$ .我们还提出了一类图，其中${\rm ot}(n,G) = ex(n,G)$，著名的图兰数。并给出了更多类似的结果和问题。
2019-04-08 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. X. Holes of specific residue
图论中的大量研究涉及到大色数图的诱导子图，特别是哪些诱导圈必出现。在本文中，我们统一和大量推广的结果，从以前的一些文件，表明，对每一个正整数k，每个图具有大的色数包含一个大的完全子图或诱导圈的所有长度模k。作为应用，我们证明了Kalai和Meshulam在20世纪90年代提出的将图的色数与其独立复形的同调联系起来的两个定理.
2018-12-04 math.CO
An f-chromatic spanning forest of edge-colored complete bipartite graphs
2001年，Brualdi和Hollingsworth证明了一个边着色平衡完全二部图Kn，n，其色集C = {1，2，3，. 2n-1}有异色生成树，如果对任意非空子集R \subseteq C，R中着色边的个数大于|R| ^2/4，其中异色生成树是边具有不同颜色的生成树，即任何颜色最多出现一次.在2010年，Suzuki将异色图推广到f-色图，其中任何颜色c至多出现f（c）。此外，他提出了一个充要条件，图有一个f-色生成森林，恰好w个分量。本文利用这个充要条件推广了Brualdi-Hollingsworth定理。
2011-06-13 cs.DM math.CO
On the additive chromatic number of several families of graphs
加性着色问题是着色问题的一个变种，其中将$\{1,\ldots,k\}$的标签分配给图$G$的顶点，使得每个顶点的邻域上的标签之和是$G$的真着色。$G$允许这种标记的最小值$k$被称为$G$的\emph{additive chromatic number}。这个问题最早由Czerwienski，Grytczuk和Oedelazny提出，他们还提出了一个猜想，即对于每个图$G$，其加色数永远不会超过经典色数。迄今为止，该猜想已被证明是完全图、树、围长至少为13的非3-可着色平面图和围长至少为26的非二部平面图。在这项工作中，我们表明，猜想持有分裂图。我们还提出了精确的公式计算的一些子类的分裂图（完全分裂，无头蜘蛛和完全太阳），定期二部，完全多部，风扇，风车，电路，车轮，循环太阳和车轮太阳的加色数。
2020-02-12 cs.DM math.CO
Bad list assignments for non-$k$-choosable $k$-chromatic graphs with $2k+2$-vertices
由Ohba提出，Noel，Reed和Wu证明了具有$|V(G)| \le 2k+1$的$k$ -色图$G$是色可选的. $|V(G)|$的上界是紧的：如果$k$是偶数，则$K_{3 \star (k/2+1), 1 \star (k/2-1)}$和$K_{4, 2 \star (k-1)}$是具有不可色选的$2 k+2$顶点的$k$ -色图。在[arXiv：2201.02060]中证明了这些图是唯一的具有$2k+2$顶点的非$k$ -可选完全$k$ -部图.对于$G =K_{3 \star (k/2+1), 1 \star (k/2-1)}$或$K_{4, 2 \star (k-1)}$，$G$的坏列表分配是$G$的$k$ -列表分配$L$，使得$G$不是$L$ -列分配。$G=K_{4, 2 \star (k-1)}$的不良列表分配在[Discrete Mathematics 244（2002），55-66]中表征。本文首先给出了这个结果的一个简单证明，然后刻画了$G=K_{3 \star (k/2+1), 1 \star (k/2-1)}$的坏表分配。利用这些结果，我们刻画了所有具有$2k+2$顶点的非$k$ -可选（非完全）$k$ -部图。
2022-02-20 math.CO
H-chromatic symmetric functions
我们引入$H$ -色对称函数，$X_{G}^{H}$，它使用图$G$的$H$ -着色来定义Stanley色对称函数的推广。我们称两个图$G_1$和$G_2$是$H$ -色等价的，如果$X_{G_1}^{H} = X_{G_2}^{H}$，并利用这一思想研究了$H$ -色对称函数的唯一性结果，特别强调了$H$是完全二部图的情况.我们还证明了对称函数空间的几个经典基，即单项式对称函数、幂和对称函数和初等对称函数，都可以实现为$H$ -色对称函数.最后，我们将讨论一些问题和未决问题。
2021-06-30 math.CO
Chromatic classical symmetric functions
本文对斜Schur函数是幂和对称函数的正线性组合的情形进行了分类。然后，我们使用这一点，以确定精确时，任何标量倍的斜舒尔函数是一些图的色对称函数。从这里，我们能够证明的经典基地的对称功能，只有某些标量倍的基本对称功能可以实现为色对称功能的一些图，即一个特定的联盟的完全图。
2017-05-26 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number. I. Excluding a biclique and an induced tree
H是一棵树。Rodl证明了不包含H作为诱导子图，也不包含完全二部图$K_{t,t}$作为子图的图有界色数. Kierstead和Penrice加强了这一点，表明这样的图有界退化。这里我们给出了进一步的加强，证明了对于每一棵树H，退化度至多是关于t的多项式。这就回答了Bonamy、Pilipczuk、Rzazewski、Rzarasse和Walczak的一个问题。
2021-07-25 math.CO
Chromatic roots at 2 and at the Beraha number $B_{10}$
通过构造适当的图并确定其色多项式，解决了实色根的两个公开问题。首先，我们展示了图的Beraha数$B_{10} = (5 + \sqrt{5})/2$是一个色根。由于之前已知没有其他非整数Beraha数是色根，这就完成了精确确定哪些Beraha数可以是色根的工作。其次，我们构造了一类$3$ -连通图的无限族，使得对于任何$k \geqslant 1$，都有一个以$q=2$为重数的色根的图族成员至少为$k$ .前者解决了萨拉斯和索卡尔的问题[J。派104（2001）pp. 609- 699]，后者是Dong和Koh的问题[J.图论70（2012）pp. 262- 283]。
2018-07-23 math.CO
The Chromatic Polynomials of Signed Petersen Graphs
Zaslavsky在2012年证明，直到切换同构，有六个不同的符号彼得森图，它们可以通过它们的色多项式区分开来，通过显示后者在3时给出不同的结果。他指出，六个不同的带符号彼得森图也有不同的无零色多项式，并且两种类型的色多项式在\emph{any}正整数上有不同的求值。我们开发并执行了一个计算机程序（运行在{ \tt SAGE}），有效地确定适当的$k$着色的数量为一个给定的签名图，我们的计算签名彼得森图证实Zaslavsky的猜想。我们还计算了所有最多五个顶点的符号完全图的色多项式。
2014-12-18 math.CO
Coloring decompositions of complete geometric graphs
非空简单图$G$的分解是一对$[G,P]$，使得$P$是$G$的一组非空诱导子图，且$G$的每条边恰好属于$P$中的一个子图.分解$[G,P]$的色指数$χ'([G,P])$是最小的数$k$，对于该数，存在$P$的元素的$k$ -着色，使得：对于$P$的每个元素，其所有边具有相同的颜色，并且如果$P$的两个成员共享至少一个顶点，则它们具有不同的颜色。Erdens-Faber-Lovász的一个长期存在的猜想指出，完全图$K_n$的每个分解$[K_n,P]$满足$χ'([K_n,P])\leq n$。在本文中，我们的工作与几何图，并受到这个公式的猜想的启发，我们引入的概念，色指数的分解的完全几何图。当图的顶点处于一般位置时，我们给出了几种分解的色指数的界。我们还考虑了特殊的情况下，其中的顶点是在凸的位置和目前的几种类型的分解的色指数的界限。
2019-03-21 math.CO
The optimal chromatic bound for even-hole-free graphs without induced seven-vertex paths
School of Mathematical Sciences and LPMC, Nankai University（南开大学数学科学学院和LPMC）；College of Computer Science, Nankai University（南开大学计算机学院）；Department of Mathematics, Hanyang University（汉阳大学数学系）
本文证明了不含诱导七顶点路径的偶孔图的色数与clique数之间的最优界，并扩展了前人结果，同时验证了Reed猜想。
2026-02-04 math.CO
Common graphs with arbitrary connectivity and chromatic number
本研究证明对任意正整数k、r，存在色数不小于r的k-连通通用图，基于Kráľ等人的相关突破，解答了他们提出的问题，拓展了通用图的性质研究边界。
2023-06-13 math.CO
