Wiener randomization on unbounded domains and an application to almost sure well-posedness of NLS
我们考虑一个随机化的功能$\mathbb R^d$，自然与维纳分解，本质上，调制空间。这样的随机化函数享有更好的可积性，从而使我们能够改善薛定谔方程的薛定谔估计。作为一个例子，我们还证明了$\mathbb R^4$上的能量临界立方非线性薛定谔方程对于能量空间以下的随机初始数据几乎必然是局部适定的。
2014-06-07 math.AP
Coherent states for systems of $L^2-$supercritical nonlinear Schrödinger equations
本文研究具有矩阵势的非线性薛定谔方程在半经典极限下的波包传播。对于一个矩阵值的潜力，Escherichartz估计可在长期的假设。在这些假设下，对于沿本征矢量极化的初始相干态，我们证明了波函数保持在相同的本征空间中，在标度，使非线性效应不能被忽略。我们还证明了这些非线性波包的非线性叠加原理。
2012-03-19 math.AP
Almost sure existence of global weak solutions for supercritical electron MHD
本文研究了超临界区电子磁流体力学模型的柯西问题。对于$\mathcal H^{-s}(\mathbb T^n)$与$s>0$的粗糙初始数据，通过对初始数据进行适当的随机化，我们几乎必然获得了时间上的整体弱解。
2022-01-20 math.AP
Global well-posedness for the logarithmically energy-supercritical Nonlinear Wave Equation with partial symmetry
本文研究部分对称初值下对数能量超临界非线性波动方程，利用适配对称的加权Morawetz与Strichartz估计，建立全局适定性与散射结果，推广了Tao的径向对称情形工作，并给出能量临界问题的定量结果。
2018-07-17 math.AP
Almost sure well-posedness for Hall MHD
本文研究了超临界索伯列夫空间中具有霍尔效应的磁流体动力学系统。通过对超临界初值的适当随机化，在临界索伯列夫空间中几乎必然地获得了系统的局部和小数据全局适定性.
2022-02-09 math.AP
On the effect of randomization on supercritical heat equations
该文研究不同随机化方式对超临界聚焦幂次非线性热方程适定性的影响，证明加性时空噪声无法消除解的非唯一性，还探讨了初始条件随机化的作用。
2025-10-28 math.AP math.PR
Scattering for the $L^2$ supercritical point NLS
考虑了具有聚焦点非线性的一维非线性薛定谔方程。“点”意味着纯功率非线性具有非齐次势，并且该势是在原点处支持的δ函数。该方程用于模拟光纤中具有窄带的克尔型介质。关于这类方程的一些数学研究，研究了解的局部/整体存在性、爆破发生和爆破剖面。在本文中，我们专注于整体解的渐近行为，即，我们表明，整体解的分散，因为t趋于负/正无穷$L^2$超临界情况下。我们使用的主要论点是由于Kenig-Merle，但它需要利用一个适当的函数空间（而不是Eschhartz空间）根据相关的积分方程的光滑性质。
2019-04-19 math.AP
Random data Cauchy theory for supercritical wave equations I: Local theory
研究了三次非线性波动方程强解的局部存在性，其中$M$是三维紧致黎曼流形，数据在$H^s(M)$，$s<1/2$中.这个问题是超临界的，可以证明是强不适定的（在阿达玛意义上）。然而，经过一个适当的随机化，我们能够构建局部强解的$H^s(M)$，其中$s\geq 1/4$的情况下，无边界流形和$s\geq 8/21$的情况下，带边流形的初始数据的大集合。
2007-07-10 math.AP
Bilinear Strichartz estimates and almost sure global solutions for the nonlinear Schr{ö}dinger equation
本文通过谐振子的 Bourgain 型双线性估计、lens 变换及 Kato 型光滑估计，构造超临界非线性 Schrödinger 方程在随机初值下的几乎必然全局解。
2023-04-21 math.AP math.PR
Almost sure local well-posedness for the supercritical quintic NLS
研究了$\mathbb{R}^d$上的五次非线性薛定谔方程，其初始数据在临界正则性$H^{\frac{d-1}{2}}$以下随机化.主要结果是证明了几乎必然的局部适定性给出了Wiener随机化的数据在$H^s$为$s \in (\frac{d-2}{2}, \frac{d-1}{2})$。这一论点进一步发展了在《自然》一书中介绍的技术。Bényi，T.哦，O。Pocovnicu关于立方问题。最后给出了几乎必然全局适定性的一个条件。
2016-12-16 math.AP
Global regularity for the supercritical dissipative quasi-geostrophic equation with large dispersive forcing
本文研究了具有超临界耗散和全空间色散强迫的二维准地转方程。当色散振幅参数足够大时，我们证明了具有大初值的方程的强解的整体适定性。当振幅参数趋于$\infty$时，我们还证明了强收敛性.这两个结果依赖于相应的线性方程的Escherichartz型估计。
2011-08-29 math-ph math.AP math.MP
On the almost sure scattering for the energy-critical cubic wave equation with supercritical data
本文利用尺度超临界数据研究了$\mathbb{R}^4$上的散焦能量临界非线性波动方程。本文用$\frac{5}{6} < s < 1$证明了随机初始数据在$H^s(\mathbb{R}^4) \times H^{s-1}(\mathbb{R}^4)$中的几乎必然散射。证明依赖于新的概率估计的线性流的波动方程的随机数据，其中的随机化是基于频率空间中的单位尺度分解，分解的角度变量，和单位尺度分解的物理空间。特别地，我们证明了随机数据线性波动方程的解几乎必然属于$L^1_t L^\infty_x$。
2022-02-10 math.AP
Almost sure local wellposedness and scattering for the energy-critical cubic nonlinear Schrödinger equation with supercritical data
在$\mathbb{R}^4$上研究了具有超临界初值的立方散焦非线性薛定谔方程.对于$H^s(\mathbb{R}^4)$中的随机初始数据，我们证明了$\frac{1}{7} < s < 1$的几乎必然局部适定性和$\frac{5}{7} < s < 1$的几乎必然散射.随机化基于频率空间中的单位尺度分解、角度变量中的分解，以及--对于几乎必然的散射结果--物理空间中的附加单位尺度分解。我们采用新的随机数据的线性薛定谔流的概率估计，我们有效地结合了不同的分解的优点。
2021-11-03 math.AP
The Quintic Wave Equation with Kelvin-Voigt Damping: Strichartz estimates, Well-posedness and Global Stabilization
State University of Maringá（马里加纳州立大学）
本文研究了五次波方程在凯尔文-沃伊格阻尼下的适定性与稳定性，通过斯特里茨茨估计和唯一连续性性质证明了能量的全局稳定性。
2026-07-28 math.AP
Global Existence Of Smooth Solutions Of A 3D Loglog Energy-Supercritical Wave Equation
利用$0 < c < {8/225}$和光滑初值$(u(0)=u_{0}, \partial_{t} u(0)=u_{1})$证明了三维重对数能量-超临界波动方程$\partial_{tt} u - \triangle u = -u^{5} \log^{c} (log(10+u^{2})) $整体光滑解的存在性.首先，我们控制的$L_{t}^{4} L_{x}^{12}$范数的解决方案在一个任意大小的时间间隔的能量和\textit{a priori}上界的$L_{t}^{\infty} \tilde{H}^{2}(\mathbb{R}^{3})$范数依赖于一个表达式，与$\tilde{H}^{2}(\mathbb{R}^{3}):=\dot{H}^{2}(\mathbb{R}^{3}) \cap \dot{H}^{1}(\mathbb{R}^{3})$。这个长时间估计的证明依赖于使用一些潜在的衰减估计\cite{bahger, shatstruwe}和\cite{taolog}中的一个参数的修改。然后，我们找到了一个\textit{a posteriori}上界的$L_{t}^{\infty} \tilde{H}^{2}(\mathbb{R}^{3})$范数的解决方案相结合的长时间估计和归纳的时间上的Eschenhartz估计。
2009-09-04 math.AP
Random data Cauchy problem for a generalized KdV equation in the supercritical case
本文考虑一类广义KdV方程\begin{eqnarray*} u_{t}+\partial_{x}^{3}u+u^{7}u_{x}=0, \end{eqnarray*}的Cauchy问题，其随机数据在\R上. Kenig，Ponce，Vega（Comm. Pure Appl. Math.46（1993），527-620）证明了该问题在H^{s}（\R）$中是全局适定的，其中s> s_{crit} = \frac{3}{14}，这是标度临界正则性指标. Birnir，Kenig，Ponce，Svanstedt，Vega（J. London Math.Soc.53（1996），551-559.）证明了该问题是不适定的，在这个意义上，存在的时间T和连续依赖不能表示在H^{ \frac{3}{14} }-范数的数据的大小。本文证明了H^{s}（\R）中的几乎必然局部时间适定性成立，其中s> \frac{17}{112}，其下界小于\frac{3}{14} .关键的成分是维纳随机化的初始数据和概率Eschhartz估计连同一些重要的嵌入定理。
2017-09-04 math.AP
Almost sure scattering for the radial energy critical nonlinear wave equation in three dimensions
本文研究三维径向能量临界非线性波动方程的Cauchy问题。我们的主要结果证明了径向初始数据在能量空间以下的几乎必然散射。为了保持初始数据的球对称性，我们构造了一个基于环形傅立叶乘子的径向随机化。然后，我们使用一个改进的径向Eschhartz估计证明随机线性演化的概率Eschhartz估计。非线性演化分析中的主要新成分是解的线性和非线性分量之间的相互作用通量估计。然后，我们控制的非线性组件的能量由一个三重引导参数涉及的能量，Morawetz项，和相互作用通量估计。
2018-04-24 math.AP
On restricted-type Strichartz estimates and the applications
我们建立了一个严格的框架Zakharov系统波导流形$\mathbb{R}^m \times \mathbb{T}^n$（$m,n\geq 1$），该模型的光学和声学模式之间的非线性耦合在有限的几何形状，如光纤。我们的分析表明，尖锐的\textit{shell-type Strichartz estimate}的$\mathbb{R}^2 \times \mathbb{T}$是全球有效的时间，并通过半代数集的测量估计，不像周期的情况下，研究\cite{MR4665720}没有表现出任何衍生损失。此外，我们证明了这样的估计失败的产品空间$\mathbb{R} \times \mathbb{T}^2$通过构建一个反例。此外，我们推导出类似的这些壳型估计在其他方面，无论是在波导和欧几里得设置。作为直接应用，我们首次建立了部分周期Zakharov系统的局部适定性理论。总而言之，我们比较了不同设置（欧几里德，周期和波导）中的壳型哈茨估计。$\mathbb{R}^2\times\mathbb{T}$的数值验证揭示了一个统一的$L^4$时空约束，而$\mathbb{R}\times\mathbb{T}^2$表现出次线性增长，定量证实了理论上的二分法几何与不同的尺寸限制。这些发现推进了对混合几何结构中色散效应的理解，并为有效的波导设计和信号传输提供了数学基础。最后，对于欧氏情形，我们建立了具有\t…
2025-08-26 math.AP
Asymptotic stability of small solitons to 1D NLS with potential
研究了能量类中超临界一维非线性薛定谔方程$$ iu_t+u_{xx}=Vu\pm |u|^{p-1}u \quad\text{for $(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}$,}$$的小孤波解的渐近稳定性. Gustafson-Nakanishi-Tsai \cite{GNT}在3维情况下使用端点Eschhartz估计研究了这个问题。为了证明孤立波的渐近稳定性，我们需要证明解的色散部分$v(t,x)$对于某些空间$X$属于$L^2_t(0,\infty;X)$。在1维情况下，这一性质并不仅仅来自于Eschenhartz估计。本文证明了Kato型的局部光滑效应在时间上是全局的，并将这个估计与Eschhartz估计相结合，得到了$\|(1+x^2)^{-3/4}v\|_{L^\infty_xL^2_t}<\infty$，它意味着孤立波的渐近稳定性.
2008-05-10 math.AP
The radial defocusing nonlinear Schrödinger equation in three space dimensions
研究三维空间中的散焦非线性薛定谔方程。我们证明了在临界索伯列夫空间中保持有界的任何径向解必是整体的和分散的。在能量超临界设置，我们采用了空间局部化的林-Strauss Morawetz不等式的Bourgain。在临界区间，我们证明了长时间的Lohartz估计和频率局部化的林-Strauss Morawetz不等式。
2014-01-20 math.AP
Global well-posedness and scattering for nonlinear Schr{ö}dinger equations with algebraic nonlinearity when $d = 2, 3$, $u_{0}$ radial
本文讨论了具有径向数据的$L^{2}$超临界和$\dot{H}^{1}$亚临界初值问题的整体适定性和散射性。我们证明了$H^{s}$，$s > s_{c}$中径向数据的整体适定性和分散性，其中问题是$\dot{H}^{s_{c}}$ -临界的.我们利用\cite{D2}的长时间Escherhartz估计来做到这一点。
2019-06-15 math.AP
The defocusing energy-supercritical inhomogeneous NLS in four space dimension
本文研究四维空间中散焦能量超临界非齐次非线性薛定谔方程的全局适定性与散射，利用集中紧性/刚性框架及多种估计证明临界 Sobolev 空间中的先验界可推出解的全局性与散射。
2025-05-09 math.AP
Tensor products and Correlation Estimates with applications to Nonlinear Schrödinger equations
我们证明新的相互作用Morawetz型（相关性）估计在一个和两个维度。在第二个维度的估计对应于非线性对角模拟布尔增益的双线性细化的Eschenhartz。对于二维情形，我们用两种不同的方法给出一个证明。首先，我们按照原来的方法林和施特劳斯，但适用于张量积的解决方案。然后，我们证明证明使用换向器向量算子作用于方程的守恒律。这种方法可以推广到所有维度的相关估计。在一维中，我们使用高斯-维尔斯特拉斯求和方法作用于守恒律。然后，我们将二维估计应用到非线性薛定谔方程，并导出了Nakanishi的$H^1$散射结果的直接证明，对于每一个$L^{2}$ -超临界非线性。我们还证明了散射的能量空间以下的某一类$L^{2}$ -超临界方程。
2008-07-08 math.AP
On the inhomogeneous biharmonic nonlinear Schrödinger equation: local, global and stability results
考虑非齐次双调和非线性薛定谔方程（IBNLS）$$ i u_t +Δ^2 u+λ|x|^{-b}|u|^αu = 0, $$，其中$λ=\pm 1$和$α$，$b>0$.我们在$H^s(\mathbb{R}^N)$的$H^s$-亚临界的情况下，与$s=0,2$显示本地和全球的适定性。此外，我们证明了在$H^2(\mathbb{R}^N)$的稳定性结果，在质量超临界和能量亚临界的情况下。证明这些结果的基本工具是与线性问题相关的标准的Eschenhartz估计。
2019-10-09 math.AP
Stability of global self-similar solutions to the cubic wave equation and the wave maps equation
Universität Innsbruck（因斯布鲁克大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）
研究能量超临界非线性波动方程（六维三次波动方程和四维共转波映射方程）整体自相似解在临界Sobolev空间小扰动下的长时间稳定性，基于相似变量中带势波动方程的Strichartz估计。
2026-07-03 math.AP
Stochastic Perturbations in the Fractional Nonlinear Schrödinger Equation: Well-posedness and Blow-up
本研究利用径向Strichartz估计建立了乘性噪声驱动的分数阶非线性薛定谔方程的局部适定性与全局存在性，并通过局部virial不等式导出爆破准则，揭示了乘性噪声对爆破的抑制作用。
2025-05-31 math.AP
Strichartz estimates for orthonormal functions and convergence problem of density functions of Boussinesq operator on manifolds
本文研究了流形上正交函数的Strichartz估计及Boussinesq算子密度函数的收敛问题，借助时间极大估计和非交换-交换插值定理证明了逐点与概率收敛性，并给出了发散集的Hausdorff维数界。
2024-11-10 math.AP
Scattering results for Dirac Hartree-type equations with small initial data
本文研究了由Dirac-Klein-Gordon方程组解耦得到的具有三次Hartree型非线性项的Dirac方程。我们证明了小数据散射结果在整个亚临界范围。证明的主要内容是局部化的Eschhartz估计，改进的双线性估计由于零结构隐藏在Dirac算子和$Up,Vp$函数空间。我们应用投影算子得到了一个线性部分为Klein-Gordon型的系统。它使我们能够利用零结构方程。通过表明基于Duhamel公式的迭代法在超临界范围内失败，表明该结果几乎是最优的。
2018-06-19 math.AP
Probabilistic global well-posedness for the supercritical nonlinear harmonic oscillator
由于从Burq-Lebeau \cite{bule}的启发的方法，我们证明了随机版本的薛定谔的调和潜力的Schrodinger估计。结果表明，对于任意$d\geq 2$，具有二次势和任意多项式非线性项的非线性薛定谔方程在$L^{2}(\R^{d})$中几乎必然是局部适定的.然后，我们表明，我们可以结合这个结果与高，低频率分解方法的Bourgain证明a.s.三次方程的全局适定性结果：当$d=2$时，我们证明了任何$s>0$在$\H^{s}(\R^{2})$中的全局适定性，当$d=3$时，我们证明了任何$s>1/6$在$\H^{s}(\R^{3})$中的全局适定性，这是一个超临界状态。此外，我们还得到了几乎肯定的整体适定性结果与散射$\R^{d}$上没有潜在的NLS。我们证明了$L^2-$超临界方程和$L^2-$亚临界方程在$L^2$中的初始条件的散射结果，没有额外的衰减或正则性假设。
2014-05-08 math-ph math.AP math.CA
Scattering and blowup for $L^{2}$-supercritical and $\dot{H}^{2}$-subcritical biharmonic NLS with potentials
我们主要考虑具有大径向排斥势$V(x)$的聚焦双调和薛定谔方程：\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} iu_{t}+(Δ^2+V)u-|u|^{p-1}u=0,\;\;(t,x) \in {\bf{R}\times{\bf{R}}^{N}}, u(0, x)=u_{0}(x)\in H^{2}({\bf{R}}^{N}), \end{aligned}\right. \end{equation*}如果是$N>8$，\$1+\frac{8}{N}<p<1+\frac{8}{N-4}$（即$L^{2}$-超临界和$\dot{H}^{2}$-亚临界情况），以及某些$β>N+4$的$\langle x\rangle^β\big(|V(x)|+|\nabla V(x)|\big)\in L^\infty$，然后我们首先证明了径向数据$u_0\in H^2({\bf R}^N)$的一个全局适定性和散射结果，它满足$$ M(u_0)^{\frac{2-s_c}{s_c}}E(u_0)<M(Q)^{\frac{2-s_c}{s_c}}E_{0}(Q) \ \ {\rm{and}}\ \ \|u_{0}\|^{\frac{2-s_c}{s_c}}_{L^{2}}\|H^{\frac{1}{2}} u_{0}\|_{L^{2}}<\|Q\|^{\frac{2…
2018-10-16 math.AP
The probabilistic convergence problem of density functions related to $\partial_{x}^{3}+\partial_{x}^{-1}$
South China University of Technology（华南理工大学）；Henan Normal University（河南师范大学）
本文利用完全随机化、高低频技术及\(\mathfrak{S}^{2}\)性质，建立了实数域上与∂ₓ³ + ∂ₓ⁻¹相关密度函数的概率收敛性，扩展了闫等人的定理1.3。
2026-07-15 math.AP
Asymptotic stability of small ground states for NLS under random perturbations
本文研究了短程势$V$扰动下欧几里得空间中的三次薛定谔方程. $-Δ+V$的一个负的简单本征值的存在下，产生了一个小的和本地化的非线性基态，产生一些已知是渐近稳定的能量空间中的时间周期的解决方案的曲线。我们研究了这些相干态在粗糙微扰下的持续性。我们将在能量空间以下构造一个大的小尺度超临界解的测度集，这些解显示出某些渐近稳定性行为。主要的困难是需要处理的调制方程中的本地化和色散项的相互作用。为此，我们使用一个临界加权的策略，结合概率非线性估计在临界空间的基础上$U^p, V^q$（控制高阶项）与一些本地的能量衰减估计（控制低阶项）。我们还回顾了在扰动设置的分析Bényi，哦和Pocovnicu的概率全局适定性和散射小超临界初始数据。我们使用一个扭曲的傅里叶变换和半经典的谓词演算推广概率和双线性的Eschhartz估计。
2021-09-10 math.AP
On the inhomogeneous NLS with inverse-square potential
本文考虑$\mathbb{R}^N$ $$ i u_t + \mathcal{L}_a u+λ|x|^{-b}|u|^αu = 0,\;\;\mathcal{L}_a=Δ-\frac{a}{|x|^2}, $$中具有平方反比势的非齐次非线性薛定谔方程，其中$λ=\pm1$，$α,b>0$和$a>-\frac{(N-2)^2}{4}$ .我们首先建立了$λ=1$在$H^1_a(\mathbb{R}^N)$中整体存在和爆破的充分条件，使用Gagliardo-Nirenberg型估计。在续集中，我们研究了局部和全球的适定性在$H^1_a(\mathbb{R}^N)$在$H^1$ -亚临界的情况下，应用标准的Eschenhartz估计结合不动点参数。做到这一点的关键是建立良好的非线性估计。利用这些估计，我们还显示了一个散射准则，并在$H^1_a(\mathbb{R}^N)$中构建了一个波算子，质量超临界和能量亚临界的情况下。
2021-01-21 math.AP
Strichartz estimates for orthonormal functions and probabilistic convergence of density functions of compact operators on manifolds
本文在流形上建立了正交函数的Strichartz估计，并证明了紧算子密度函数在完全随机化下的概率收敛性，推广了多个已知结果。
2024-11-11 math.AP math.PR
Critical local well-posedness of the nonlinear Schrödinger equation on the torus
本文针对环面$\mathbb{T}^{d}$上非线性薛定谔方程，在临界正则性下聚焦小$a>0$的非代数非线性项$|u|^{a}u$，通过改进双线性估计并设计适配的函数空间，证明了含质量超临界区域的局部适定性，还研究了解映射的正则性。
2024-11-26 math.AP
Global well-posedness of cubic fractional Schrödinger equation with rough data
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）
本文应用I-方法建立分数阶非线性薛定谔方程在能量阈值以下初值空间中的整体适定性，并通过修正Morawetz估计与I-方法结合改进径向初值结果，同时利用“倒置”I-方法推导高阶Sobolev范数的多项式时间增长界。
2026-06-11 math.AP
Critical scattering for the nonlinear Schrödinger equation on waveguide manifolds
该研究针对波导流形上非线性薛定谔方程（NLS）在临界空间中的小数据散射问题，通过改进框架、利用各向异性估计及不动点论证，解决了高维波导适配性等障碍，完成了任意质量超临界非线性情形的小数据散射证明。
2025-08-21 math.AP math.CA
Concentration et randomisation universelle de sous-espaces propres
利用Kahane-Khintchine-Marcus-Pisier不等式，建立了Lebesgue空间$L^p$中的多维随机化理论.更确切地说，我们得到了一个涉及随机矩阵的Maurey-Pisier定理的结果，并证明了多维随机化在$L^p$中是普适的。然后，我们研究了紧黎曼流形上本征函数的随机线性组合在$L^p$中几乎处处收敛的充要条件（著名的Paley-Zygmund定理给出了环面的答案）.我们介绍了一种新的方法，解决了这个问题，如果考虑的本征函数有一些浓度性质。给出了紧流形、球谐函数和谐振子的几乎几乎必然$L^p$收敛性的几个应用。我们也得到了概率Sobolev嵌入的Burq和Lebeau的意义下，我们得到的整体解的超临界立方波方程的无边界紧$3$ -流形。
2015-01-29 math.AP math.SP
The Cauchy problem for the generalized KdV equation with rough data and random data
本文考虑了具有粗糙数据和随机数据的广义KdV方程的Cauchy问题。首先，我们证明了对于a.e.其次，我们证明了对于a.e.，$u(x,t)\longrightarrow e^{-t\partial_{x}^{3}}u(x,0)$是$t\longrightarrow0$。第三，我们证明了$\lim\limits_{t\longrightarrow 0}\left\|u(x,t)-e^{-t\partial_{x}^{3}}u(x,0)\right\|_{L_{x}^{\infty}}=0$与$u(x,0)\in H^{s}(\mathbb{R})(s>\frac{1}{2}-\frac{2}{k+1},k\geq5)$。第四，通过Strichartz估计、概率Strichartz估计，我们用随机数据建立了$H^{s}(\mathbb{R})\left(s>{\rm max} \left\{\frac{1}{k+1}\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{k}\right), \frac{1}{6}-\frac{2}{k}\right\}\right)$中的概率适定性。我们的结果改进了Hwang，Kwak的结果（Proc. Amer. Math. Soc. 146（2018），267-280.）。第五，我们证明了$\forall ε>0,$、$\forall ω\in …
2021-08-30 math.AP
Deterministic ill-posedness and probabilistic well-posedness of the viscous nonlinear wave equation describing fluid-structure interaction
研究了Dirichlet-Neumann算子描述的粘性耗散效应下$\mathbb{R}^2$中非线性波动方程的低正则性。这种类型的问题出现在流体-结构相互作用中，其中Dirichlet-Neumann算子模拟粘性不可压缩流体和弹性结构之间的耦合。我们发现，尽管粘性正则化，柯西问题与初始数据$(u,u_t)$在$H^s(\mathbb{R}^2)\times H^{s-1}(\mathbb{R}^2)$，是不适定的，每当${0 < s < s_{cr}}$，其中的临界指数$s_{cr}$取决于非线性的程度。特别地，对于五次非线性$u^5$，$\mathbb{R}^2$中的临界指数是$s_{cr} = 1/2$，其与不含粘性项的相关非线性波动方程的临界指数相同。然后，我们表明，如果初始数据扰动使用维纳随机化，扰动初始数据在频率空间中，然后柯西问题的五次非线性粘性波动方程是适定的几乎肯定的超临界指数$s$，使$-1/6 < s \le s_{cr} = 1/2$。据我们所知，这是第一个结果表明不适定性和概率适定性的非线性粘性波动方程的流固耦合。
2021-04-07 math.AP
Probabilistic well-posedness of generalized cubic nonlinear Schrödinger equations with strong dispersion using higher order expansions
本文研究广义三次非线性薛定谔方程的局部适定性，通过维纳随机化初始数据与高阶展开构造解，利用方向时空范数框架，证明负阶索伯列夫空间初始数据下解几乎必然存在，并获改进双线性估计。
2024-11-27 math.AP math.PR
A Critical Centre-Stable Manifold for the Cubic Focusing Schroedinger Equation in Three Dimensions
考虑在R^3中具有立方非线性项的H^{1/2}-临界Schroedinger方程，i \partial_t <$+ Δ <$+| ψ| ^2 = 0。它存在一个称为孤子e^{i（Γ+ |v| ^2 + α^2 t）}<$（x-2 tv-D，α）的八维周期解流形，其中<$（x，α）是半线性椭圆型方程-Δ <$+ α^2 <$=<$^3的正基态解。我们证明了在孤子流形的邻域内，存在一个H^{1/2}实解析流形N，它是Schroedinger方程的渐近稳定解，也就是说它们是一个运动孤子和一个色散项之和.此外，从N开始的解对所有正时间和某个有限负时间保持在N上，并且N可以被识别为该方程的中心稳定流形。这个证明是基于调制方法，该方法由索弗和温斯坦提出，施拉格将其应用于L^2超临界情形。新的元素包括一个不同的线性化和新的Schroedinger方程的Schroedinger型估计。主要结果取决于一个频谱假设有关的情况下，嵌入的特征值。我们还建立了与时间相关和与时间无关的线性薛定谔方程解的几个新估计，这些估计在比以前已知的更尖锐或更一般的条件下成立。其中一些估计是基于一种新的方法，利用维纳定理的上下文中的函数空间。
2009-08-17 math-ph math.AP math.MP
Higher order expansion for the probabilistic local well-posedness theory for a cubic nonlinear Schrödinger equation
本文针对随机初值三次 NLS，利用高阶多重线性展开、光滑余项与方向时空范数，降低局部适定性正则性阈值并证明小初值全局散射。
2024-04-09 math.AP math.PR
