On quasi $κ$-metrizable spaces
Vesko Valov
本文研究拟$κ$ -度量化空间类.这个类对于任意乘积是不变的，并且包含Shchepin的$κ$ -度量化空间作为一个真子类。
The aim of this paper is to investigate the class of quasi $κ$-metrizable spaces. This class is invariant with respect to arbitrary products and contains Shchepin's $κ$-metrizable spaces as a proper subclass.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Cuf products and cuf sums of (quasi)-metrizable spaces in $\mathbf{ZF}$
一个cuf空间（设置，分别）是一个空格（set，resp.）它是有限子空间（子集）的可数并集。在$\mathbf{ZF}$中（在没有选择公理的情况下）证明了cuf（分别为可数的）的所有可数并集合是cuf集合当且仅当上有限cuf的所有可数乘积（分别为可数的）空间是拟度量化的当且仅当无限cuf（分别为可数的）的单点Hausdorff紧化的可数积空间是拟度量化的。可数离散空间的一点Hausdorff紧化的可数积是第一可数的当且仅当它是拟度量化的。本文给出了$\mathbf{ZF}$的一个模型，其中可数离散空间的可数乘积两点Hausdorff紧化是第一可数的而不是拟度量化的.其他相关的独立性结果也得到了证明。
A class of metrizable locally quasi-convex groups which are not Mackey
一个来自MAP拓扑阿贝尔群的类$\mathcal G$的拓扑群$(G,μ)$在$\mathcal G$中称为{ \it Mackey群}，如果它具有以下性质：如果$ν$是$G$中的群拓扑，使得$(G,ν)\in \mathcal G$和$(G,ν)$具有相同的连续特征标，比如说$(G,ν)^{\wedge}=(G,μ)^{\wedge}$，那么$ν\le μ$。如果$\rm{LCS}$是Hausdorff拓扑阿贝尔群的一个类，且该类允许$\mathbb R$上的局部凸拓扑向量空间的结构，则每个可度量化的$(G,μ) \in \rm{LCS}$都是$\rm{LCS}$中的Mackey群.对于局部拟凸Hausdorff拓扑交换群类$\rm{LQC}$，1999年证明了每个{ \bf complete}可度量化$(G,μ)\in \rm{LQC}$是$\rm{LQC}$（\cite{CMPT}）中的Mackey群。正如我们在本文中证明的那样，完整性不能在类$\rm{LQC}$中被\NB丢弃。事实上，我们提供了一个大的可度量化的预紧\NB（非紧）群，{ \bf不是} Mackey群在\rm{LQC}（定理\ref{basth}）。这些例子是从$c_0(X)$形式的群构造的，其元素是拓扑阿贝尔群$X$的空序列，其拓扑是一致拓扑。首先证明了对于紧可度量化群$X\ne\{0\}$，拓扑群$c_0…
The quasi-metrizability of hyperspaces
本文研究了赋予不同拓扑的超空间的拟可度量性，分别给出了 Vietoris、局部有限和 Fell 拓扑下超空间拟可度量或可对称化的充要条件，并据此对相关猜想给出了否定回答。
On the characterization of $M$-metrizable spaces
我们在早期的论文\cite{GM}中引入了度量值集（MVS）的概念，并在\cite{AS}中进一步发展了这一思想。本文研究了局部$M$ -可度量化空间以及$M$ -可度量化空间的积。最后利用拟一致基证明了可交换度量拓扑空间的一个特征。
A generalization of $\varkappa$-metrizable spaces
引入一类新的$\varkappa$ -度量化空间，即可数$\varkappa$ -度量化空间.证明了所有$\varkappa$ -度量化空间的类是可数$\varkappa$ -度量化空间的真子类.另一方面，对于伪紧空间，新的类与$\varkappa$ -可度量化空间一致。证明了Chigogidze结果的一个推广：伪紧可数$\varkappa$ -度量化空间的Čech-Stone紧化是$\varkappa$ -度量化的.
$π$-metrizable spaces and strongly $π$-metrizable spaces
一个空间$X$称为$π$ -可度量化的，如果它有一个$σ$ -离散$π$ -基.本文主要对关于$π$ -度量化空间的两个问题给出了肯定的回答。主要结果如下：（1）空间$X$是$π$ -可度量化的当且仅当$X$有$σ$ -可度量化的@ arily闭合保留$π$ -基;（2）$X$是$π$ -可度量的当且仅当$X$ THABMM几乎是$σ$ -仿紧的，并且是局部$π$-可度量化的;（3）开映射和闭映射保持$π$ -度量化;（4）$π$ -度量化满足遗传闭包保持正则闭和定理。此外，我们还定义了二次可数$π$ -度量化空间和强$π$ -度量化空间，并研究了一些相关问题.提出了强$π$ -度量化的若干问题。
On subcompactness and countable subcompactness of metrizable spaces in ZF
在ZF中我们证明了：（i）每个次紧度量化空间是完全度量化的，每个完全度量化空间是可数次紧的。(ii)可度量化空间X=（X，T）是可数紧的当且仅当它相对于T是可数次紧的. (iii)对每个度量空间X=（X，d），X是紧的当且仅当它相对于T是次紧的.我们还显示：（iv）每个陈述的否定，（a）每一个可数次紧可度量空间是完全可度量的，（b）每一个可数次紧可度量空间是次紧的，（c）每一个完全可度量空间是次紧的与ZF相对一致。
Strongly $σ$-metrizable spaces are super $σ$-metrizable
一个拓扑空间$X$称为强$σ$ -可度量化的，如果对于可度量化闭子空间的增序列$(X_n)_{n\inω}$有$X=\bigcup_{n\inω}X_n$，使得$X$中的每个收敛序列都包含在某个$X_n$中.此外，如果$X$的每个紧子集都包含在某个$X_n$，$n\inω$中，则$X$称为超$σ$ -可度量化的。本文讨论了V. K. Maslyuchenko和O. I. Filipchuk的一个问题，证明了拓扑空间是强$σ$ -度量化的当且仅当它是超$σ$ -度量化的.
A characterization of free locally convex spaces over metrizable spaces which have countable tightness
证明了可度量化空间$X$上的自由局部凸空间$L(X)$具有可数紧性当且仅当$X$是可分的.
On piecewise continuous mappings of metrizable spaces
设$f \colon X \rightarrow Y$是可度量化空间$X$到正则空间$Y$的可分解可测映射。则$f$是分段连续的。另外，对于可度量化的完全Baire空间$X$，证明了$f$是可分解可测的当且仅当它是分段连续的.
Extension of Borel maps with values in non-metrizable spaces
研究了$F_σ$ -可测映射和Baire-one映射在拓扑空间的子空间上扩张的可能性，当这些映射取值于被一列具有特殊性质的可度量化空间所覆盖的空间时
Coset spaces of metrizable groups
刻画了拓扑群的陪集空间，它们是（可分）度量化群和完全度量化（波兰）群的陪集空间.此外，还证明了对于具有$d$ -开作用的$G$ -空间$X$，存在一个权和基数小于或等于$X$权的拓扑群$H$，使得$H$允许在$X$上有$d$ -开作用.进一步证明了如果$X$是一个可分的可度量化陪集空间，则$X$有一个波兰扩张，它是一个波兰群的陪集空间.
Every $T_1$ connected first-countable space is a continuous open image of a connected metrizable space
本文回答了 Tkachuk 的问题，证明任意 $T_1$ 连通第一可数空间都可表示为某个连通可度量化空间在连续开映射下的像。
There is no compact metrizable space containing all continua as unique components
我们回答了Piotr Minc的一个问题，证明了不存在紧致可度量化空间，其组件集包含一个唯一的拓扑副本的每一个度量化紧化的射线（即半开区间）与弧（即封闭有界区间）作为其余部分。为此，我们使用来自不变描述集合论的Borel约化的概念。由此推论，不存在紧可度量化空间使得每个连续统都同胚于该空间的一个分支。
Classification of separately continuous functions with values in $σ$-metrizable spaces
证明了定义在强PP-空间和拓扑空间的乘积上，且值在具有特殊分层的强$σ$ -可度量化空间中的每个垂直几乎分离连续函数，都是连续函数的逐点极限.
Countable products and countable sums of compact metrizable spaces in the absence of the Axiom of Choice
本文的主要目的是显示，在没有选择公理的情况下，独立于$\mathbf{ZF}$，以下陈述之间的关系：“紧度量化空间的每一个可数乘积是可分的（分别是紧的）”和“紧度量化空间的每一个可数乘积是可度量化的”。还研究了与上述问题有关的声明。置换模型（其中新的）示出，其中可数和（也是可数产品）的可度量空间不需要可度量，可数集的可数工会是可数的，并有一个可数家庭的非空集的大小最多$2^{\aleph_0}$没有选择函数。构造了一个新的置换模型，其中每个不可数紧致可度量化空间的大小至少为$2^{\aleph_0}$，但可数集合族不需要有多重选择函数.
The Niemytzki plane is kappa-metrizable
我们试图解释层空间和$\varkappa$ -度量化空间概念之间的区别。特别地，我们给出了$\varkappa$ -可度量化空间的一个刻画，它是仿照Chigogidze的刻画。此外，我们提出了一个$\varkappa$ -度量的Niemytzki平面，利用欧几里德度量的性质。
Separately continuous functions of many variables on product of spaces which are products of metrizable multipliers
给出了多元函数依赖于$\aleph$坐标的充要条件，其中每一个多元函数都是可度量化因子的乘积。当每个变量是可分度量化空间的乘积时，刻画了这类函数的间断点集。
$k^*$-Metrizable Spaces and their Applications
本文引入并研究了所谓的$k^*$ -可度量化空间，形成了一类新的广义度量空间，并展示了这类空间在拓扑代数、泛函分析和测度论中的各种应用.根据定义，Hausdorff拓扑空间$X$是$k^*$ -可度量化的，如果$X$是可度量化空间$M$在连续映射$f:M\to X$下的像，连续映射$f:M\to X$具有保持预紧集的截面$s:X\to M$，在这个意义上，任何紧集$K\subset X$的像$s(K)$在$X$中具有紧闭包。
A not metrizable space filled with any n mutually disjoint self-similar spaces
{0，1}的Lambda（Card Lambda> aleph）-积空间具有分区{X1，.，Xn}对于任何n，其中每个Xi的分解空间是自相似的。（2015年2月16日）
Metrizable DH-spaces with a dense complete subset
证明了对h-齐性空间X，下列条件等价：1）X是具有稠密完备子空间的稠密齐性空间; 2）X是$σ$ -离散控制的.
Every Separable Metrizable Space has a Proper Dyadic Subbase
真并矢子基和独立子基的概念是由H. Tsuiki等人研究了拓扑空间的{0，1，bot}-序列编码.我们证明了每个可分度量化空间都有一个真并矢子基，它对Cantor-Bendixson定理定义的完满集的限制形成了这个限制空间的一个独立子基.
On generalization of the Freudental's theorem for compact irreducible standard polyhedric representation for superparacompact complete metrizable spaces
本文在超仿紧完备度量化空间中推广了紧致不可约标准多面体表示的Freudenthal定理。进一步，对于超仿紧度量空间，我们加强了：1）关于Hilbert立方体$Q^\infty$的积$Q^\infty\times B(τ)$到权为$τ$的广义Baire空间$B(τ)$的普适性的Morita定理在所有权为$\le τ$的强可度量化空间的空间中; 2）关于泛$n$的积$Φ^n\times B(τ)$的泛的Nagata定理-在强可度量化空间$\leτ$和维数$dimX\le n.$的空间中的维紧$Φ^n$到$B(τ)$
A characterization of sets of discontinuity points of separately continuous functions of many variables on products of metrizable spaces
证明了$n$可度量化空间的乘积中的一个集合是某个分离连续函数的间断点集当且仅当该集合可表示为局部射影稀疏的$F_σ$ -集序列的并.
$P$-Paracompact and $P$-Metrizable Spaces
设$P$是一个有向集，$X$是一个空间。$X$的子集的集合$\mathcal{C}$是\emph{$P$-locally finite}，如果$\mathcal{C}=\bigcup \{ \mathcal{C}_p : p \in P\}$，其中（i）如果$p \le p'$，则$\mathcal{C}_p \subseteq \mathcal{C}_{p'}$和（ii）每个$\mathcal{C}_p$是局部有限的。则$X$是\emph{$P$-paracompact}，如果每个开覆盖都有一个$P$ -局部有限开加细.此外，如果$X$具有$(P \times \mathbb{N})$ -局部有限基，则它是\emph{$P$-metrizable}。这项工作提供了第一个详细的研究$P$ -仿紧和$P$ -度量化空间，特别是在这种情况下，当$P$是一个$\mathcal{K}(M)$，一个可分的度量化空间$M$的所有紧凑子集的集合有序的集合包含。
Topological structures of hyperspaces of finite sets in non-separable metrizable spaces
设${\rm Fin}(X)$是具有Vietoris拓扑的空间$X$的非空有限子集组成的超空间。本文刻画了可度量化空间$X$，它的超空间${\rm Fin}(X)$与不可分希尔伯特空间的标准规范正交基所张成的线性子空间同胚.
Characterization of a metrizable space $X$ such that $F_4(X)$ is Fréchet-Urysohn
设$F(X)$是吉洪诺夫空间$X$上的自由拓扑群.对于所有自然数$n$，我们用$F_n(X)$表示$F(X)$的子集，该子集由所有缩减长度的字组成$\leq n$。在\cite{Y3}中，作者在可度量化空间$X$上找到了$F_3(X)$为Fréchet-Urysohn，$F_n(X)$为$n\geq5$为Fréchet-Urysohn的等价条件。然而，关于$X$对于$n=4$的等价条件还没有找到，本文给出了这一等价条件.事实上，我们证明了对于可度量化空间$X$，如果$X$的所有非孤立点的集合是紧的，则$F_4(X)$是Fréchet-Urysohn.因此，对于可度量化空间$X$ $F_3(X)$是Fréchet-Urysohn当且仅当$F_4(X)$是Fréchet-Urysohn。
A Hausdorff compact space is metrizable if and only if it is a continuous open image of the Sorgenfrey line
本文证明了具有不可数权的Sorgenfrey线的正则连续开象有一个同胚于Sorgenfrey线的闭子空间。作为推论，我们推出了标题中的定理。
On the $C_k$-stable closure of the class of (separable) metrizable spaces
用$\mathbf C_k[\mathfrak M]$表示所有可度量化空间的类$\mathfrak M$的$C_k$稳定闭包，即，$\mathbf C_k[\mathfrak M]$是包含$\mathfrak M$且在取子空间、同胚像、可数拓扑和、可数Tychonoff积和Lindelöf整环的函数空间$C_k(X,Y)$下闭的最小拓扑空间类。我们证明了类$\mathbf C_k[\mathfrak M]$与所有同胚于函数空间$C_k(X,Y)$的子空间的拓扑空间的类一致，其中函数空间具有可分的可度量化空间$X$和可度量化空间$Y$。我们说一个拓扑空间$Z$是阿斯科利，如果$C_k(Z)$的每个紧子集是均匀连续的;根据阿斯科利定理，每个$k$ -空间是阿斯科利。我们证明了类$\mathbf C_k[\mathfrak M]$适当地包含所有Ascoli $\aleph_0$ -空间的类，并适当地包含在最近由Gabriyelyan和Kampikol引入的$\mathfrak P$ -空间的类中。因此，阿斯科利空间$Z$嵌入到函数空间$C_k(X,Y)$中，以得到合适的可分可度量化空间$X$和$Y$，当且仅当$Z$是$\aleph_0$ -空间。
Several amazing discoveries about compact metrizable spaces in ZF
在没有选择公理的情况下，研究了关于可度量化紧空间的许多自然陈述的集合论地位。有些陈述在$\mathbf{ZF}$中是可证明的，有些则独立于$\mathbf{ZF}$。对于独立性结果，$\mathbf{ZF}$的不同模型和$\mathbf{ZFA}$的置换模型与Pincus的转移定理被应用。构造了新的对称模型，其中$\mathbb{R}$的幂集是良序的，连续统假设满足，但可数非空有限集族不能有选择函数，紧度量化空间不需要嵌入到Tychonoff立方体$[0, 1]^{\mathbb{R}}$中.
On one-point metrizable extensions of locally compact metrizable spaces
对于非紧可度量空间$X$，令${\mathcal E}(X)$是$X$的所有单点可度量扩张的集合，并且当$X$是局部紧的时，令${\mathcal E}_K(X)$表示${\mathcal E}(X)$的所有局部紧元素的集合，并且$λ: {\mathcal E}(X)\rightarrow{\mathcal Z}(βX\backslash X)$是在[HJW] M中定义的序反同构（到其像上）。亨里克森湖亚诺什和RG Woods，非紧度量化空间的一点完备化的性质，注释。Math.Univ.Mathinae 46（2005），105 - 123.根据定义$λ(Y)= \bigcap_{n<ω}cl_{βX}(U_n\cap X)\backslash X$，其中$Y=X\cup\{p\}\in{\mathcal E}(X)$和$\{U_n\}_{n<ω}$是$Y$中$p$的开放碱基。在[HJW]问题的基础上，我们将$λ$的象的元素刻画为$βX$的那些不含$X$的非空零集，将$λ$下的${\mathcal E}_K(X)$的象的元素刻画为$βX\backslash X$中的闭集.研究了${\mathcal E}(X)$与${\mathcal E}_K(X)$之间的关系及其序结构，并引入了${\mathcal E}(X)$的子集${\mathcal E}_S(X)$.最后给出了关于集合${\…
Zero-dimensional metrizable CDH space $X$ such that $X^2$ is not CDH
本文利用$λ$-集概念构造出平方空间$X^2$恰有$\frak{c}$个可数稠密子集的零维可度量化CDH空间$X$，且该空间可一致为余解析空间，回答了Medini的开放问题。
On the infinite powers of large zero-dimensional metrizable spaces
本文证明不可分零维可度量化空间的无限幂是强齐次的，部分回答了 Terada 的问题，并改进了关于非紧权齐次空间闭开集划分的 van Engelen 结果。
Metrizable DH-spaces of the first category
证明了若可分空间X有包含康托尔集2^ω的一个拷贝的稀疏开子集，则X有$\frak{c}$型的可数稠密子集.本文给出了非可分空间λ-集的一个推广。设X是h-齐次Λ-集。则X是稠密齐次的且对每个σ-离散的A \subset X，（X \setminus A）同胚于X.
Metrizable images of the Sorgenfrey line
我们给出了可度量的拓扑空间的描述，这些空间是Sorgenfrey线在不同类型（开、闭、商等）的连续映射下的图像。为了得到这种描述，我们引入了Lusin pi-基的概念，Sorgenfrey线和Baire空间都有Lusin pi-基，如果空间X有Lusin pi-基，则对于每个非空的Polish空间Y，存在从X到Y的连续开映射。
Generalized Hyperspaces and Non-Metrizable Fractals
度量空间中允许创建分形的许多结构存在于更广义的不可度量化空间中。特别是关于紧集的行为的相同定理可以在更一般的$β$ -空间的框架中得到证明。然而，在大多数$β$ -空间中，一个集合是紧的（更一般地说是完全有界的）是如此的严格，以至于使得所有的分形例子都完全无趣。在本文中，我们提供了一个推广的紧集，连续函数，和所有相关的机械必要的分形被定义为唯一的固定集的IFS。最后，我们讨论了一些有趣的例子，不可度量化的分形。
Weak Selections and Suborderable Metrizable Spaces
空间$X$的每个连续弱选择定义了$X$上的一个较粗糙的拓扑，称为选择拓扑。拓扑由这样的选择拓扑的集合所决定的空间称为连续弱选择空间。对于这类空间，Garc 'ıa-Ferreira，Miyazaki，Nogura和Tomita考虑了生成$X$的原始拓扑的选择拓扑的最小个数$\text{cws}(X)$，并称之为$X$的cws-数.本文证明了半可序空间$X$有$\text{cws}(X)\leq 2$，当半可序空间$X$有两个分支且不可序时，有$\text{cws}(X)=2$.作为对这一结果的补充，我们还证明了对于每个至少有3个分支的次序可度量化空间$X$，都有$\text{cws}(X)=1$.
The $C_p$-stable closure of the class of separable metrizable spaces
用$\mathbf C_p[\mathfrak M_0]$表示所有可分度量化空间的类$\mathfrak M_0$的$C_p$稳定闭包，即，$\mathbf C_p[\mathfrak M_0]$是包含$\mathfrak M_0$的最小拓扑空间类，并且在取子空间、同胚像、可数拓扑和、可数吉洪诺夫积和函数空间$C_p(X,Y)$下是闭的。利用Chernikov和Shelah（2014）最近的一个深入结果，我们证明了$\mathbf C_p[\mathfrak M_0]$与基数严格小于$\beth_{ω_1}$的所有吉洪诺夫空间的类重合。受广义度量空间理论的启发，我们还刻画了$\mathfrak M_0$类的其它自然$C_p$型稳定闭包。
Characterizations of compactly almost periodic homeomorphisms of metrizable spaces
对于可度量化空间，我们用一个类似的概念代替概周期同胚的概念，并证明了紧度量空间的概周期同胚的通常刻画对所有可度量化空间都是有效的。
Metrizable compacta in the space of continuous functions with the topology of pointwise convergence
证明了拓扑空间$X$中的点有限非空函数开集族的基数至多为无穷基数$κ$当且仅当对每个Valdivia紧空间$Y\subseteq C_p(X)$都有$w(X)\leqκ$.相应地，Valdivia紧空间$Y$的权至多为无限基数$κ$当且仅当$C_p(Y)$中的每个点有限非空开集族的基数至多为$κ$，即$p(C_p(Y))\leq κ$。此外，还证明了对每个线性序紧$Y$，都有$w(Y)=p(C_p(Y))$.特别地，Valdivia紧空间或线性序紧空间$Y$是可度量化的当且仅当$p(C_p(Y))=\aleph_0$。这就回答了O.~ Okunev和V.~ Tkachuk。
$k$-spaces, sequential spaces and related topics in the absence of the axiom of choice
在没有选择公理的情况下，给出了关于序列空间、Fréchet-Urysohn空间、$k$-空间、非常$k$ -空间、Loeb空间和Cantor空间的新结果.提出了新的选择原则。在许多其他定理中，在$\mathbf{ZF}$中证明了每个基可表示为有限集的可数并的Loeb，$T_3$ -空间是可度量化的第二可数空间，其每个$F_σ$ -子空间是可分的;而且，第二可数Cantor完全度量化空间的每个$G_δ$ -子空间是Cantor完全可度量化的，Loeb和可分的。我们还注意到，Arkhangel'skii关于每一个非常$k$ -空间都是Fréchet-Urysohn的陈述在$\mathbf{ZF}$中是不可证明的，但它在$\mathbf{ZF}$中成立，即每一个第一可数的正则非常$k$ -空间，其所有非空紧集的族都有一个选择函数是Fréchet-Urysohn。每个第二可数可度量化空间都是一个非常$k$ -空间等价于$\mathbb{R}$的可数选择公理。
On complete metrizability of the Hausdorff metric topology
存在一个完全可度量化的有界可度量化空间$X$，它具有相容度量$d,d'$，使得$X$的非空闭子集的超空间$CL(X)$分别具有Hausdorff度量$H_d$，$H_{d'}$.分别为$α$ -有利、$β$ -有利。在强大的Choquet游戏中。特别地，存在完全可度量化的有界度量空间$(X,d)$，使得$(CL(X),H_d)$不是完全可度量化的。
The topological type of spaces consisting of certain metrics on locally compact metrizable spaces with the compact-open topology
对于可分的局部紧但非紧的可度量化空间$X$，设$αX = X \cup \{x_\infty\}$是以无穷远点$x_\infty$为点的一点紧化。我们用$EM(X)$表示$X$上的容许度量空间，它可以推广到$αX$上的容许度量，并赋予其紧开拓扑。令$ \mathbf{c}_0 \subset (0,1)^\mathbb{N}$是收敛到$0$的序列的空间。本文证明了：若$X$是可分的，局部连通的，局部紧的，但不是紧的，且$X$中存在一个连通集序列$\{C_i\}$，使得对所有的正整数$i, j \in \mathbb{N}$和$|i - j| \leq 1$，$C_i \cap C_j \neq \emptyset$，且对每个紧集$K \subset X$，存在一个正整数$i(K) \in \mathbb{N}$，使得对任何$i \geq i(K)$，$C_i \subset X \setminus K$，则$EM(X)$同胚于$ \mathbf{c}_0$ .
Uniform Eberlein compactifications of metrizable spaces
我们证明了每个度量化空间（基数小于或等于连续）有一个（第一可数）一致Eberlein紧化和每个分散度量化空间有一个分散遗传仿紧紧化。每个紧离散遗传仿紧空间都是一致Eberlein的，并且属于最小的紧空间类，它包含空集，单点集，并且在产生来自该类的一个簇的拓扑和的Aleksandrov紧化下是闭的。
Equivariant embedding of metrizable $G$-spaces in linear $G$-spaces
给定一个李群$G$，我们研究了具有可度量化轨道空间的真可度量化$G$ -空间的类$\M$，证明了任何$G$ -空间$X \in \M$允许一个闭$G$ -嵌入到某个局部凸线性$G$ -空间的凸$G$ -子集$C$中，使得$X$在$C$中有某个属于类$\M$的$G$ -邻域.作为推论，我们看到任何$\M$的$G$-ANE都具有某些$G$-CW复合物的$G$ -同伦类型，并且任何$\M$的$G$-ANR都是$\M$的$G$-ANE.
Iterates of dynamical systems on compact metrizable countable spaces
给定一个动力系统$(X,f)$，用$E(X,f)$表示它的Ellis半群，用$E(X,f)^* = E(X,f) \setminus \{f^n : n \in \mathbb{N}\}$表示它的Ellis半群.我们分析了以紧度量可数空间为相空间的动力系统的Ellis半群。我们证明了如果$(X,f)$是一个动力系统，使得$X$是一个紧度量可数空间，并且每个聚点$X'$是周期的，那么$E(X,f)^*$的每个函数是连续的或者$E(X,f)^*$的每个函数是不连续的.我们描述了一个例子的动力系统$(X,f)$，其中$X$是一个紧凑的度量可数空间，每个聚点的轨道是有限的和$E(X,f)^*$包含连续和不连续的功能。
Mahavier Products, Idempotent Relations, and Condition $Γ$
显然，由$\mathbb N$索引的可度量化空间的广义逆极限是可度量化的，因为它是可度量化空间的可数乘积的子空间。作者之前证明了$[0,1]$上的所有幂等、上半连续、满射、连续值键函数（除了恒等式）都满足一定的条件$Γ$ ;因此，只有在平凡的情况下，由不可数序数索引的（[0，1]）的副本的广义逆极限才是可度量化的。作者表明，条件$Γ$实际上是由弱得多的标准，证明了一个更一般的度量定理，某些马氏产品。
Locally $n$-connected compacta and $UV^n$-maps
我们提供了一种将可度量化$ANR$ -空间的某些性质转化为可度量化$LC^n$ -空间的机制。结果表明，对于完备度量化空间，性质$ALC^n$，$LC^n$和$WLC^n$是一致的.我们还给出了$ALC^n$和胞状映射的谱刻画：紧$X$是$ALC^n$当且仅当$X$是由紧可度量化$LC^n$ -空间$X_α$组成的$σ$ -完备逆系统$S=\{X_α, p^β_α, α<β<τ\}$的极限空间，使得所有的键投影$p^β_α$，以及所有的极限投影$p_α$都是$UV^n$ -映射.一个紧凑的$X$是一个细胞样的（分别，$UV^n$）空间当且仅当$X$是$σ$ -完全逆系统的极限空间，$UV^n$）公制单位。
Pairwise $k$-Semi-Stratifiable Bispaces and Topological Ordered Spaces
本文继续研究两两（$k$ -半）可层双拓扑空间。给出了成对$k$ -半层双拓扑空间的一些新的刻画。进一步研究了两两可层和两两$k$ -半层双拓扑空间之间的关系，解决了Li和Lin最近在\cite{LL}中提出的一个公开问题.我们还研究了拓扑序空间$(X, τ, \preccurlyeq)$的拟伪度量性。证明了若$(X, τ, \preccurlyeq)$是球传递拓扑序$C$ -和$I$ -空间，使得$τ$是可度量化的，则它的双拓扑空间$(X,τ^{\flat},τ^{\natural})$是拟伪可度量化的.该结果为\cite{KM}中的一个问题提供了部分肯定的答案。
Nonequality of Dimensions for Metric Groups
给出了零维可度量拓扑空间在零维可度量拓扑群中的可嵌入性准则。构造了一个可以嵌入零维可度量化群的闭子空间但不是强零维的空间，从而得到了维数ind和dim不重合的可度量化群的一个例子.证明了Kulesza的一个零维可度量化空间不能嵌入到一个可度量化的零维群中。
On the definability of Menger spaces which are not /sigma-compact
Hurewicz证明了完全度量化的Menger空间是/σ-紧的。我们将其推广到Cech-完备的Menger空间，并一致地推广到投射Menger度量化空间。另一方面，有一个协解析Menger空间不是/sigma-紧的，这是一致的。
Extensional dimension and completion of maps
证明了可度量化空间之间的闭映射可以扩张为具有相同扩张维数的完全可度量化空间之间的闭映射。
A characterisation of probabilistic metrizability for approach spaces
本文研究了趋近空间的概率可度量性特征化，并提出了基于混合三角条件的同构描述方法。
The $k$-spaces property of free Abelian topological groups over non-metrizable Lašnev spaces
给定一个Tychonoff空间$X$，设$A(X)$是$X$上在Markov意义下的自由阿贝尔拓扑群.对于每一个$n\in\mathbb{N}$，令$A_n(X)$表示$A(X)$的子空间，该子空间由相对于自由基$X$最多为$n$的缩减长度的字组成。本文证明了对于不可度量化的Lašnev空间$X$，$A_4(X)$是$k$ -空间当且仅当$A(X)$是$k$ -空间，这是对K的一个结果的补充.山田的。此外，我们还证明了在$\flat=ω_1$的假设下，对于不可度量化的Lašnev空间$X$，子空间$A_3(X)$是$k$ -空间当且仅当$A(X)$是$k$ -空间.然而，在$\flat>ω_1$的假设下，我们提供了一个不可度量化的Lašnev空间$X$，使得$A_3(X)$是$k$ -空间，但$A(X)$不是$k$ -空间。
On uniformly continuous surjections between $C_p$-spaces over metrizable spaces
本文研究了度量空间上 $C_p$-空间之间的一致连续满射，证明了若映射逆有界且定义域具有类维度性质（如零维性等），则值域也具有该性质，从而强化并扩展了已有结论。
Universal metric spaces and extension dimension
对于任何可数$CW$ -复$K$和基数$τ\geqω$，我们构造一个具有以下性质的权$τ$的完全可度量化空间$X(K,τ)$：$\e X(K,τ)\leq K$，$X(K,τ)$是所有正规空间$Y$与$\e Y\leq K$的绝对扩张子，并且对于任何权为$\leqτ$和$\e Z\leq K$的完全可度量化空间$Z$，闭嵌入集$Z\to X(K,τ)$在所有连续空间$C(Z,X(K,τ))$中是稠密的。从$Z$映射到被赋予限制拓扑的$X(K,τ)$。这个结果被应用于证明所有给定权和给定上同调维数的可度量化空间的泛空间的存在性。
On $\mathfrak{P}$-spaces and related concepts
Tsaban和Zdomskyy最近在[32]中引入的强Pytkeev性质的概念被成功地应用于研究某些拓扑空间类$X$（包括Čech-完备Lindelöf空间）上具有紧开拓扑的所有连续实值函数的空间$C_c(X)$。被激励也由几个结果提供了各种概念的网络，我们引入类的$\mathfrak{P}$ -空间严格包括在类的$\aleph$ -空间。这类广义度量空间在取子空间、拓扑和及可数积下是闭的，且任何这类空间都具有可数紧性。每个$\mathfrak{P}$ -空间$X$都有强Pytkeev性质.本文的主要结果是：若$X$是$\aleph_0$ -空间，$Y$是$\mathfrak{P}$ -空间，则函数空间$C_c(X,Y)$具有强Pytkeev性质.这意味着对于可分度量化空间$X$和可度量化拓扑群$G$，空间$C_c(X,G)$是可度量化的当且仅当它是Fréchet-Urysohn。本文证明了局部预紧群$G$是$\mathfrak{P}$ -空间当且仅当$G$是可度量化的.
On the Borel complexity and the complete metrizability of spaces of metrics
本文研究赋予 sup-度量的容许有界连续度量空间 $AM(X)$，刻画其 Borel 复杂度与完全可度量化，并证明可分可度量化空间 $X$ 为 $\sigma$-紧当且仅当 $AM(X)$ 完全可度量化。
Reconstructing Compact Metrizable Spaces
拓扑空间$X$的甲板$\mathcal{D}(X)$是集合$\mathcal{D}(X)=\{[X \setminus \{x\}]\colon x \in X\}$，其中$[Y]$表示$Y$的同胚类。空间$X$是（拓扑）可重构的，如果只要$\mathcal{D}(Z)=\mathcal{D}(X)$，则$Z$同胚于$X$。众所周知，每个（可度量化的）连续统都是可重构的，而康托集是不可重构的。本文的主要结果刻画了不可重构紧致可度量化空间为这样的空间：对于每个点$x$，存在一个两两不相交闭子集序列$\langle B_n^x \colon n \in \mathbb{N}\rangle$收敛到$x$，使得对于每个$x$，以及所有的$x$和$y$，$B_n^x$和$B_n^y$是同胚的.在不可重构的紧致可度量化空间中，$1$ -点分支的集合构成稠密的$G_δ$ .对于$h$ -齐性空间，这个条件是不可重构的充分条件。各种各样的空间与一个密集的$G_δ$集$1$点组件，一些重建和其他不可重建。
Metrizable quotients of $C_p$-spaces
著名的Rosenthal-Lacey定理断言，对于每一个无限紧集$K$，Banach空间$C(K)$允许一个商是$c$或$\ell_{2}$的拷贝。当$C(K)$的一致拓扑被逐点拓扑所取代时，情况如何？$C_p(X)$是否总是具有无限维可分（或更好的可度量化）商？本文证明了对一个吉洪诺夫空间$X$，函数空间$C_p(X)$有一个无穷维可度量化商，如果$X$包含一个无限离散的$C^*$ -嵌入子空间，或者$X$有一个紧子集序列$(K_n)_{n\in\mathbb N}$，使得对于每个$n$，空间$K_n$包含$K_{n+1}$的两个不相交的拓扑拷贝.应用后一个结果，我们证明了在$\lozenge$下存在一个零维Efimov空间$K$，它的函数空间$C_{p}(K)$有一个无穷维可度量化商.这两个定理实质上改进了Kakkol和Kakliwa关于$C_p$ -空间的无穷维可分子的早期结果。
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