Stability on the Inverse Random Source Scattering Problem for the One-Dimensional Helmholtz Equation
考虑一维随机Helmholtz方程，其中假定源由白噪声驱动。本文研究了随机源逆问题的稳定性分析，即重建源的统计特性，如均值和方差。我们的结果表明，增加稳定性的反问题，可以通过使用合适的边界数据与多频率。
2016-07-22 math.AP
Explicit Robin Green's Functions and Resonance Spectra for the Helmholtz Equation on Balls in All Dimensions
School of Mathematics, Southeast University（东南大学数学学院）
本文通过分解-展开方法，为所有维度球上Robin边界条件的亥姆霍兹方程构造了显式闭式格林函数，完整刻画了共振谱，并提供了精确基准解以验证数值算法。
2026-09-30 math.AP math.SP
Scattering by finely-layered obstacles: frequency-explicit bounds and homogenization
我们考虑标量亥姆霍兹方程的变量，不连续系数，建模声波通过各向异性可穿透障碍物的传输。我们首先证明了一个适定性结果和一个频率显式的边界上的解决方案的运营商，与有效的非常大的频率和一类系数，满足一定的单调性条件，在一个空间方向上，只假设是有界的（即，$L^\infty$）。因此，这类系数包括通过具有（可能很大的）数量的层（在2-d中）或纤维（在3-d中）的可穿透障碍物对传输进行建模的系数。重要的是，频率显式的界限保持一致的所有系数在这个类中，这种一致性使我们能够考虑高振荡系数和研究的限制行为时，振荡周期为零。特别是，我们绑定的$H^1$错误所犯的一阶批量校正的均匀化传输问题，与此绑定明确的周期振荡的系数和频率的亥姆霍兹方程;据我们所知，这是第一个均匀化结果的亥姆霍兹方程，这是明确的这两个数量和有效的假设，频率是小的。
2022-09-17 math.AP
Wavelet based solutions to the Poisson and the Helmholtz equations on the $n$-dimensional unit sphere
本文利用基于近似恒等的连续小波变换方法，在n维单位球面上求解泊松方程和亥姆霍兹方程，并给出显式解析解及广义格林函数的闭式公式。
2025-07-04 math.AP
Optimal lower bound of the resonance widths for the Helmholtz Resonator
在颈部附近区域的几何假设下，我们证明了一般二维亥姆霍兹共振器共振宽度的一个最佳指数下界。将所得结果推广到n小于12的n维情形。
2015-02-09 math.AP
On solutions of the modified Helmholtz equation in a planar domain
PDMI RAS（圣彼得堡数学研究所）；St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）
本文通过修正亥姆霍兹方程边值问题的解，给出了二维域凸性的判定准则。
2026-09-09 math.AP
Resonance widths for general Helmholtz Resonators with straight neck
我们证明了一个最佳的指数下界的宽度相关的谐振腔的第一个本征值的一般亥姆霍兹共振器直颈，在任何尺寸。
2015-04-21 math.AP
On relations between harmonic functions and solutions of the modified Helmholtz equation
研究$m$维修正Helmholtz方程，建立了它在有界区域上的解与调和函数之间的两个关系。这两种关系本质上都依赖于牛顿位势的性质。还得到了这些解的其它一些性质。
2022-07-24 math.AP
$L^p$-$L^q$ estimates for Electromagnetic Helmholtz equation
在空间维$n\geq3$中，我们考虑电磁薛定谔哈密顿量$H=(\nabla-iA(x))^2-V$和相应的Helmholtz方程$(\nabla-iA(x))^2u+u-V(x)u=f \in \mathbb{R}^n$ .将自由Helmholtz方程解的$L^p$ - $L^q$估计推广到考虑电磁哈密顿量$H$的情形.
2010-11-03 math.AP
Regularized Transformation-Optics Cloaking for the Helmholtz Equation: From Partial Cloak to Full Cloak
本文利用变换光学方法，对任意空间维下由Helmholtz方程控制的波散射问题，建立了正则化近似隐身理论。
2013-01-29 math.AP
Monotonicity and 1-dimensional symmetry for solutions of an elliptic system arising in Bose-Einstein condensation
研究了下列椭圆型方程组：\[ \begin{cases} -Δu = -u v^2 & \text{in $\R^N$}\\ -Δv= -u^2 v & \text{in $\R^N$}, \end{cases} \]对每一维$N \ge 2$的正解的单调性和一维对称性.特别地，我们证明了H.贝雷斯蒂茨基，T. C. Lin，J. Wei和C.赵
2013-03-06 math.AP
The analysis of resonant frequencies and blow-up estimates of close-to-touching subwavelength resonators in the two-dimensional Helmholtz system
Brown University（布朗大学）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；Academy for Multidisciplinary Studies, Capital Normal University（首都师范大学多学科研究院）
本文研究了二维亥姆霍兹系统中接近接触的亚波长谐振器的谐振频率及波场梯度爆炸速率的分析。
2025-11-20 math-ph math.AP math.MP
Scale invariant bounds for the Kelvin-Helmholtz instability
本文研究二维无限带中Navier-Stokes方程的长时间行为，通过关于Reynolds数一致的先验估计，为Kelvin-Helmholtz不稳定性混合层尺度给出新的尺度不变上界。
2025-07-28 math.AP
Symmetry analysis of cylindrical Helmholtz equation
本文给出了三维齐次Helmholtz方程在柱坐标系下的点对称群。在延续中，我们提出了一套完整的功能独立的不变量的方程，以及由这些不变量提供的一般解决方案的形式。最后，我们找到了全对称群的一维李群的最优系统。
2009-08-25 math.AP math.DG
Mean value properties of solutions to the Helmholtz and modified Helmholtz equations
考虑了$m$维Helmholtz方程和修正Helmholtz方程解的平均值性质。这些属性的初等推导给出，它涉及到欧拉-泊松-达布方程。尽管这两个方程的这些性质形式相似，但它们的结果本质上是不同的。对调和函数的限制均值性质进行了修正，使得在一类特殊的有界区域内满足该性质的函数，可以在该区域内求解修正的Helmholtz方程.
2021-05-20 math-ph math.AP math.MP
Inverse problems for $p$-Laplace type equations under monotonicity assumptions
在单调性假设下考虑了$p$ -Laplace型方程的反问题.在二维情况下，我们证明了满足$σ_1 \geq σ_2$且具有相同非线性Dirichlet-to-Neumann映射的任意两个电导率必相等.证明是基于$p$ -Laplace型方程的单调性不等式和唯一连续原理。在更高的维度，唯一的延续是未知的，我们得到了类似的结果，电导率接近常数。
2016-03-14 math.AP
Stability Analysis for the Helmholtz Equation with Many Frequencies
本文研究一维区域上时谐波动方程的源反问题。目标是从边界测量确定源函数。由于亥姆霍兹方程的格林函数的复杂性，这个问题具有挑战性。我们的主要结果是对数估计由两部分组成：数据差异和高频尾部。
2020-04-04 math.AP
Effect of weak elasticity on Kelvin-Helmholtz instability
本文研究了二维理想可压缩弹性流中的Kelvin-Helmholtz不稳定性，严格证实弱弹性具有失稳效应，并在特定临界速度范围内一致建立了该问题的线性和非线性不适定性。
2024-09-27 math.AP
Nonlinear Helmholtz equations with sign-changing diffusion coefficient
本文研究了有界区域上具有变号扩散系数的非线性Helmholtz方程。利用弱T-正则性理论证明了本征函数的规范正交基的存在性。证明了所有特征值都是歧点，并从理论和数值上研究了分歧分支。在一个一维模型的例子中，我们得到了存在无限多个分叉分支，这些分支是相互不相交的，无界的，并且由具有固定节点模式的解组成。
2021-12-21 math.AP
Stable determination of the potential for the Helmholtz equation in the high frequency limit from boundary measurements
Université de Lorraine（洛林大学）；Kyushu University（九州大学）
本文在高频极限下通过边界测量稳定确定Helmholtz方程的势，并展示了内部阻抗问题的三对数稳定性。
2026-01-20 math.AP
Some New Monotonicity Formulas and the Singular Set in the Lower Dimensional Obstacle Problem
本文构造了两个新的单参数单调性公式族来研究低维障碍问题中的自由边界点。第一个是一个家庭的Weiss型公式适合于任何给定的齐次点，第二个是一个家庭的Monneau型公式适合于研究的奇点。我们证明了在给定齐次性的奇点处爆破的唯一性和连续依赖性。这允许证明奇异集的结构定理。我们的方法适用于零和光滑的非零低维障碍。在后一种情况下的研究是基于一个推广的Almgren的频率公式，首先建立了Caffarelli，萨尔萨，和西尔维斯特。
2009-01-21 math.AP
Derivation of a boundary monotonicity inequality for variationally biharmonic maps
对一类具有Dirichlet边界条件的双调和映射，给出了其边界单调性公式.在超临界维数的部分正则性理论中，单调性公式至关重要。由于这样的边界单调性公式，人们能够显示变分双调和映射的部分正则性和最小化双调和映射的完全边界正则性。
2017-11-09 math.AP
Monotonicity-based inversion of the fractional Schrödinger equation II. General potentials and stability
在这篇工作中，我们使用单调性为基础的方法的分数薛定谔方程的一般势$q\in L^\infty(Ω)$在Lipschitz有界开集$Ω\subset \mathbb R^n$在任何尺寸$n\in \mathbb N$。证明了在有限维子空间中，势函数与Dirichlet-to-Neumann映射之间的单调性关系成立。基于这些单调性关系，我们得到了分数阶Calderón问题及其线性化形式的构造性全局唯一性结果。我们还得到了一个重建方法的未知障碍物在一个给定的区域，只需要背景的分数薛定谔方程的解决方案，我们证明了唯一性和Lipschitz稳定性从许多测量的潜力躺在一个先验已知的有界集在有限维子集的$L^\infty(Ω)$。
2020-02-05 math.AP
$L^p$-$L^q$ estimates for Electromagnetic Helmholtz equation. Singular potentials
在空间维$n\geq3$中，我们考虑电磁薛定谔哈密顿量$H=(\nabla-iA(x))^2+V$和相应的亥姆霍兹方程（\nabla -iA（x））^2u +u+V（x）u=f \quad \text{in} \quad \mathbb{R}^n，其中磁势和电势允许在原点有奇点，在无穷远处衰减.我们将自由Helmholtz方程解的著名的$L^p$ - $L^q$估计推广到电磁哈密顿量$H$的情形。这项工作扩展了出现在\cite{G}中的结果。
2013-10-09 math.AP
A holographic uniqueness theorem for the two-dimensional Helmholtz equation
该研究针对二维外区域的Helmholtz方程，证明外区域的辐射解可由不平行于平面波传播方向的直线区间上总解的强度唯一确定，解决了二维全息学的经典数学问题，也丰富了二维辐射解的Karp展开理论。
2024-08-09 math-ph math.AP math.MP
Separable functions: symmetry, monotonicity, and applications
In this paper, we introduce concepts of separable functions in balls and in the whole space, and develop a new method to investigate the qualitative properties of separable functions. We first study the axial symmetry and monotonicity of separable functions in unit circles by geometry analysis, and we prove the uniqueness of the symmetry axis for nontrivial separable functions. Then by using reduction dimension and convex analysis , we get the axial symmetry and monotonicity of separable functions in high dimensional spheres. Based on the above results on unit circles and spheres, we deduce th…
2018-09-15 math.AP
The Helmholtz decomposition of a $BMO$ type vector field in general unbounded domains
该研究针对边界法向分量受控的BMO型L²向量场空间，在n≥3维时建立了Rⁿ中任意一致C³无界区域上的亥姆霍兹分解，拓展了相关分解理论的适用范围。
2023-07-19 math.AP math.FA
Generalized Helmholtz-Kirchhoff model for two dimensional distributed vortex motion
将二维斯托克斯方程改写为一个耦合的非线性常微分方程组。这些方程描述了涡量膨胀矩相对于厄米函数和涡量集中中心的演化。我们证明了这种扩展的收敛性，并表明，在零粘度和零核心尺寸的限制，我们正式恢复亥姆霍兹基尔霍夫模型的点涡的演变。本展开式系统地考虑了粘性和有限涡核尺寸的影响。我们还表明，我们的展开的低阶截断导致将流动表示为相互作用的高斯（即Oseen）涡系，先前的实验工作已证明这是对许多重要物理流动的精确近似[9]。
2008-02-04 math.AP math.CA math.DS
Infinite-dimensional Bayesian approach for inverse scattering problems of a fractional Helmholtz equation
本文研究了一种新的描述波在衰减介质中传播的波动方程。本文第一部分从时域空间分数阶波动方程出发，推导出频域分数阶Helmholtz方程。根据物理解释，该模型可以分为两个独立的模型：损耗主导模型和色散主导模型。对于损耗主导模型（整数阶和分数阶混合椭圆型方程），建立了适定性理论，并建立了散射场相对于散射体的Lipschitz连续性。由于色散主导模型（整数阶和分数阶混合椭圆型方程组）的复杂性，我们只提供了足够小波数的适定性结果。在本文的第二部分中，我们推广了无限维的贝叶斯逆理论，允许一部分噪声依赖于目标函数（需要估计的函数）。证明了当模型降阶误差和白噪声均为零时，估计函数趋于真函数。最后，将我们的理论应用于具有吸收边界条件的损失控制模型。
2016-11-30 math.AP
Helmholtz decomposition and potential functions for n-dimensional analytic vector fields
亥姆霍兹分解将一个足够光滑的矢量场分解为梯度场和无发散的旋转场。现有的分解方法对向量场在无穷远处的行为施加了约束，并且需要在整个坐标空间上求解卷积积分。为了允许在$\mathbb{R}^n$中进行亥姆霍兹分解，我们将$\mathbb{R}^3$中的矢量势替换为旋转势，旋转势是描述$n(n-1)/2$在坐标平面内旋转的n维反对称矩阵值映射。给出了Helmholtz分解的三种推导方法：（1）利用$n$维卷积积分求解无穷远衰减场的数值方法;（2）利用线积分求解包括周期函数、指数函数、多元多项式及其线性组合在内的无界增长场的封闭解;（3）所有解析向量场的存在性证明.例子包括Lorenz和Rössler吸引子和具有$n$物种的竞争Lotka-Volterra方程。
2023-02-23 math-ph math.AP math.DS
Connections between nonlocal operators: from vector calculus identities to a fractional Helmholtz decomposition
非局部向量演算是基于多维梯度、散度和拉普拉斯算子的非局部形式，在水文、力学和图像处理等领域有着广阔的应用前景。在这项工作中，我们研究这些运营商的分析基础。我们严格对待非局部算子的组合，证明非局部向量微积分身份，并连接加权和不加权变分框架。我们结合这些结果，得到一个加权分数Helmholtz分解，这是有效的充分光滑向量场。我们的方法确定的函数空间中所述的身份和分解举行，提供了一个严格的基础，非局部向量演算身份，可以作为工具，在更高的维度非局部建模。
2021-12-10 math.AP math.FA
Monotonicity-based inversion of the fractional Schrödinger equation I. Positive potentials
利用单调性公式研究了分数阶薛定谔方程的反问题.给出了正有界势函数与其非局部Dirichlet-to-Neumann映射之间的单调性关系。基于单调性关系，我们可以构造性地证明非局部Calderón问题的唯一性。其次，我们提供了一种重建方法，在一个给定的领域内的未知障碍。我们的方法与$n\geq 2$维数无关，只需要分数阶薛定谔方程的背景解。
2019-08-01 math.AP
Increasing stability in the n-dimensional inverse source problem with multi-frequencies
本文首次证明了n维Helmholtz方程多波数逆源问题的递增稳定性，并提出基于Fourier变换与解析延拓显式界的统一方法，适用于任意维度。
2024-02-25 math.AP
On the propagation of mountain waves: linear theory
Faculty of Mathematics, University of Vienna（维也纳大学数学学院）
本文基于线性理论推导了山波问题的解法，通过线性化方程和变量变换，将问题转化为上半平面中关于垂直风廓线的Helmholtz方程的Dirichlet边界值问题，并引入非经典辐射条件以确定正确解。
2026-03-22 math-ph math.AP math.MP
Inverse boundary value problem for the Helmholtz equation: quantitative conditional Lipschitz stability estimates
本文研究了Helmholtz方程的逆边值问题，并以特定频率下的Dirichlet-to-Neumann映射为例进行了讨论.反问题的条件Lipschitz稳定性估计的情况下，波的速度是一个线性组合的分段常数函数（以下域分区），并给出了一个框架中，该计划收敛。稳定常数随着区域划分中子域数的增加而呈指数增长。我们建立了稳定常数的阶最优上界。我们最终实现了计算实验，以证明稳定常数的演变三维波速重建。
2016-09-16 math.AP
Helmholtz Decomposition and Rotation Potentials in n-dimensional Cartesian Coordinates
本文介绍了一种新的方法，扩展亥姆霍兹分解的n维足够光滑和快速衰减的向量场。旋转由坐标平面内的n（n-1）/2次旋转的叠加来描述。源势和旋转势是通过将源和旋转密度与拉普拉斯方程的基本解卷积而获得的。源势的无旋转梯度和旋转势的无发散旋转之和为原始向量场。该方法依赖于偏导数和牛顿积分，并允许将这种标准方法简单地应用于高维向量场，而不使用微分几何和张量微积分的概念。
2021-07-16 math-ph math.AP math.DS
Inverse scattering for the one-dimensional Helmholtz equation with piecewise constant wave speed
本文分析了波速为分段常数时一维亥姆霍兹方程的逆散射问题。记录的散射数据的任意小的频率间隔示出，以确定唯一的波速，并提出了一种直接重建算法。该算法是精确的，提供的数据是记录在一个足够宽的频率范围内，并且波速的跳跃点相对于传播时间是等距的。数值算例表明，该算法在一般情况下也适用于任意波速（有跳跃或连续变化等）。随着记录频率范围的增加，给出逐渐更精确的近似值。一个关键的基本理论的见解是关联的散射数据的组成的自同构的单位盘，这反过来又涉及到单位圆上的正交多项式。该算法利用正交多项式的三项递推关系，减少了计算量。
2019-12-11 math-ph math.AP math.MP
A priori estimates for the Helmholtz equation with electromagnetic potentials in exterior domains
研究了$n\geq3$维区域外的电磁型扰动Helmholtz方程.我们证明，乘子技术的意义上的Morawetz，一个家庭的先验估计从限制吸收原则如下。此外，我们给出了一些标准的应用程序的嵌入本征值和零共振的情况下，明确的条件下的潜力。
2011-05-15 math-ph math.AP math.MP
Two dimensional invisibility cloaking for Helmholtz equation and non-local boundary conditions
变换光学结构允许设计隐形装置，使电磁波、声波和量子波在一个区域周围转向而不穿透它，这样这个区域就被隐藏起来，不让外部观察到。用于描述这些设备的材料参数是各向异性的，并且在隐形区域和非隐形区域之间的界面处是奇异的，这使得物理实现成为一个挑战。这些奇异材料参数对应于对这些结构进行建模的偏微分方程中的奇异系数函数，并且这些奇异性的存在导致界面表面上的各种数学问题和物理效应。本文分析了Helmholtz方程在隐身区域内存在源或汇时的二维隐身问题。特别是，我们考虑非奇异近似隐形斗篷的基础上截断的奇异变换。利用这种截断，我们分析了近似隐身接近理想隐身时的极限。我们发现，令人惊讶的是，一个非局部边界条件出现在内部斗篷接口。二维（或圆柱形）隐形衣中的这种效应似乎是由隐形区域和非隐形区域之间界面附近的无限相速度引起的，这与早期研究的三维隐形衣中解的行为有很大不同。
2011-01-03 math-ph math.AP math.MP
Limiting absorption principle of Helmholtz equation with sign changing coefficients under periodic structure
本文通过补余边界条件建立亥姆霍兹方程的严格先验估计，解析推导极限吸收原理，并证明二维周期结构中常规与负折射率材料界面电磁传输问题的适定性。
2025-05-27 math-ph math.AP math.MP
Dirichlet-to-Neumann operator for the Helmholtz problem with general wavenumbers on the $n$-sphere
Institut für Mathematik, Universität Zürich（苏黎世大学数学研究所）
研究外部球域上带Dirichlet边界条件和辐射条件的亥姆霍兹问题，证明DtN算子的波数显式连续性估计，并导出波数无关的迹和Friedrichs型不等式。
2026-06-23 cs.NA math.AP math.NA
A Monotonicity Formula and a Liouville-type Theorem for a Fourth Order Supercritical Problem
我们考虑非线性四阶问题$$ Δ^2 u=|u|^{p-1}u\ \{in} \ \R^n,$$的Liouville型和部分正则性结果，其中$ p>1$和$n\ge1$ .我们给出了一个完整的分类的稳定和有限的莫尔斯指数的解决方案（无论是积极的或符号变化），在整个指数范围。我们还计算了奇异极值解集的豪斯多夫维数的上界。我们的方法是由Fleming的切锥分析技术的极小曲面和Federer的降维原理的部分正则性理论。其中一个重要工具是双调和方程的单调性公式。
2013-03-25 math.AP math.DG
Stable skeleton integral equations for general coefficient Helmholtz transmission problems
提出层位势与边界积分算子的新型变分公式，解决了变系数Helmholtz透射问题中Green函数不可用的问题，并基于底层透射问题的稳定性直接推导出积分方程的适定性。
2025-07-01 cs.NA math.AP math.NA
Exact solution of Helmholtz equation for the case of non-paraxial Gaussian beams
本文给出了非傍轴高斯光束情形下全三维空间亥姆霍兹方程的一种新的精确解。我们考虑了高斯光束在球坐标系中的解的适当表示，把它代入全三维空间亥姆霍兹方程。通过对最终方程结构的分析，我们得到解的各分量的控制方程是由复值的真Riccati方程表示的，在一般情况下它没有解析解.但我们找到了一个可能的精确解，证明它满足高斯光束的方程。所提出的解的振幅A减小到零（在角度参数的适当含义下）可能与在该点处的光学涡旋的存在相关联。光学涡旋（也称为“波列中的位错”）是光场的零点，即强度为零的点。
2015-06-05 math.AP math.CA physics.optics
Analysis and numerical analysis of the Helmholtz-Korteweg equation
University of Oxford（牛津大学）；Charles University（查理大学）；University of Göttingen（哥廷根大学）
本文分析并向列型Helmholtz-Korteweg方程，证明在二维和三维中对于非共振波数解的存在唯一性，并提出一种基于高阶协调有限元和Nitsche方法的高阶收敛离散化方案。
2026-05-26 cs.NA math.AP math.NA
Shape monotonicity of the first Steklov-Dirichlet eigenvalue on eccentric annuli
本文研究了偏心圆环上第一Steklov-Dirichlet特征值关于圆环内、外边界中心间距离$t$的单调性.我们首先证明了$t$中特征值的可微性，并得到了二维及更高维中导数值的整式表达式。然后，我们推导出一个上界的特征值为每个$t$，在二维，由变分制剂。我们还得到了一个下界的特征值，给定的限制，两个边界的环是足够接近的。下界证明的关键是分析第一本征函数在双极坐标下的无穷级数展开式的极限性态。我们还进行了数值实验，表现出单调性的两个维度。
2020-09-15 math-ph math.AP math.DG
Helmholtz boundary integral methods and the pollution effect
University College London（伦敦大学学院）；Indian Institute of Technology Bombay（孟买印度理工学院）；University of Bath（巴斯大学）
本文研究了使用标准二阶边界积分方程求解大波数k下的亥姆霍兹外部狄利克雷和新顿问题，分析了不同方法的度数自由度增长规律及污染效应。
2026-09-29 cs.NA math.AP math.NA
