Power sum identities with generalized Stirling numbers
给出了几个组合恒等式，包括含复变数的第二类Stirling函数。这些恒等式还包括第一类Stirling数、二项式系数和调和数。
2009-09-10 math.CA math.CO
Associated Lah numbers and r-Stirling numbers
我们引入相关的Lah数。建立了一些递推关系和卷积恒等式。给出了相应的Stirling数和Lah数到r-Stirling数和r-Lah数的推广。对于所有这些序列，我们给出了组合解释，生成函数，递归关系，卷积恒等式。在第二章中，我们发展了一节与二项式系数有关的套和。
2014-05-12 math.CO
$q$-Stirling numbers revisited
我们使用限制增长词给出了$q$ -Stirling等式的组合证明。这包括一个偏序集理论证明Carlitz的身份，一个新的证明的$q$ -Frobenius身份的Garsia和Remmel和Ebergborg的汉克尔$q$ -斯特林行列式的身份。我们还开发了一个两个参数的推广统一身份的Mercier，包括一个对称函数版本。
2017-06-20 math.CO
Eulerian polynomials, perfect matchings and Stirling permutations of the second kind
本文首先给出A型和B型欧拉多项式的一类展开式的组合证明，然后引入第二类Stirling置换。特别地，我们利用第二类Stirling置换的循环上升平台、不动点和循环来计数它们。
2016-07-06 math.CO
Rook theoretic proofs of some identities related to Spivey's Bell number formula
利用车的位置证明了Spivey的Bell数公式及与之相关的一些恒等式，特别是涉及Stirling数的卷积恒等式和Bell数的关系式.为了涵盖尽可能多的特殊情况下，我们工作的广义斯特林数所产生的车模型的高盛和Haglund。另一种组合解释的第二型广义$q$ -Stirling数的Remmel和Wachs也介绍了该方法用于获得早期的身份可以很容易地适应。
2016-01-11 math.CO
A family of symmetric functions associated with Stirling permutations
给出了与两个经典恒等式类似的指数母函数，它涉及完全齐次对称函数的普通母函数。经过适当的专业化，新的身份减少到身份涉及的第一和第二阶欧拉多项式。这些身份的研究使我们考虑一个家庭的对称功能与一类置换介绍的Gessel和斯坦利，在文献中称为斯特林置换。特别是，我们定义了某些类型的统计斯特林排列，完善的下降，上升和高原的统计数据，我们表明，他们的改进版本是equidistributed，概括博纳的结果。这个对称函数族的定义扩展到$r$ -Stirling置换的一般性。我们讨论了这些对称函数在$r=1$和$r=2$情形下的某些出现。
2017-11-29 math.CO
Colorful Proofs of the Generating Formulas for Signed and Unsigned Stirling Numbers of the First Kind
我们描述的标准生成公式的无符号和有符号的斯特林数的第一类，从一个自然的组合解释的基础上循环着色排列的证明。
2009-07-17 math.CO
Multiple Bracket Function, Stirling Number, and Lah Number Identities
作者在最近的一篇文章中构造了几个组合数族的多个类似物，包括括号符号，以及第一类和第二类斯特林数。本文提出了另一个序列--Lah数的多重模拟，并构造了所有这些序列的某些相关恒等式和重要性质。
2015-06-17 math.CO math.NT
The ordered Bell numbers as weighted sums of odd or even Stirling numbers of the second kind
对于第二类Stirling数$S(n,k)$和有序Bell数$B(n)$，证明了$\sum_{k=1}^{n/2} S(n,2k)(2k-1)! = B(n-1)$的恒等式.一个类似的恒等式适用于奇数$k$的和.
2021-09-26 math.CO
Moment Generating Stirling Numbers of the first kind and Applications
本文引入第一类矩生成Stirling数MSN1，作为MSN2的逆元使统计分布的矩可用闭式公式表示，并证明其与r-Stirling数的关系及在任意实数参数下的转换性质。
2023-10-19 math.CO
On certain combinatorial expansions of the Legendre-Stirling numbers
第二类Legendre-Stirling数是由Everitt等人在Legendre微分式幂的谱理论中引入的。本文给出了Legendre-Stirling集划分的一种组合编码。作为应用，我们得到了这两类Legendre-Stirling数的组合展开式。此外，我们提出了这两种Jacobi-Stirling数的语法描述。
2018-05-28 math.CO
q-Stirling numbers: A new view
我们证明了经典的第二类$q$ -Stirling数可以紧表示为一对关于限制增长词子集的统计量。得到的表达式是$q$和$1+q$中的多项式。我们通过分解一个新的偏序集$Π(n,k)$，我们称之为第二类的斯特林偏序集，扩展了这个计数结果。它的秩生成函数是$q$数$S_q[n,k]$ .第二类Stirling偏序集支持一个代数复形，并确定了整数同调的一个基。对第一类$q$ -Stirling数进行了并行的计数、偏序集理论和同调研究.设$t = 1+q$，我们给出一个双射论证，证明第一类和第二类的$(q,t)$ -Stirling数是正交的.
2016-11-12 math.CO
Stirling Numbers in Braid Matroid Kazhdan-Lusztig Polynomials
第一类限制Whitney数出现在拟阵Kazhdan-Lusztig多项式的组合递归中。在辫状拟阵（与分划格、完全图、A型Coxeter排列和对称群相关联的拟阵）的特殊情况下，这些受限的Whitney数是第一类Stirling数。我们利用这一观察获得的Kazhdan-Lusztig多项式的系数辫子拟阵的第一类斯特林数的产品的总和的公式。这导致了第一类Stirling数和第二类Stirling数之间的新恒等式，以及辫子拟阵Kazhdan-Lusztig多项式的非递归公式。
2018-02-02 math.CO
Convolutions for Stirling numbers, Lah numbers, and binomial coefficients
我们提出了各种身份的卷积涉及斯特林数的两种，拉数，和二项式系数的形式。还讨论了某些卷积多项式。证明是基于几个级数变换公式。
2021-03-25 math.CO
Some identities on degenerate r-stirling numbers via boson operators
布罗德介绍了r-斯特林数的第一种和第二种列举限制排列和分别限制分区，限制是，第一个r元素必须在不同的周期和分别在不同的子集。Kim-Kim-Lee-Park构造了这两类退化的r-Stirling数作为它们的退化版本。本文的目的是通过玻色子算子得到第一类和第二类退化r-Stirling数的恒等式和递推关系。特别是，我们得到的正规有序的退化的整数幂的数量运营商乘以积分幂的创造玻色子运营商的玻色子运营商的退化的第二类的r-Stirling数出现的系数。
2022-07-20 math.CO math.NT
On Non-central Stirling Numbers of the First Kind
本文证明了第一类非中心Stirling数s（n，k，a）自然地出现在幂函数与n阶函数乘积的导数的展开式中.我们首先得到这些数的一个递推关系，然后，利用Leibnitz规则，我们得到这些数的一个显式公式。我们还得到了s（n，1，a）的一个显式公式，然后导出了与这些数有关的几个组合恒等式。
2009-01-17 math.CO
Restricted $r$-Stirling numbers of the second kind
National Higher School of Mathematics（国立高等数学学院）；USTHB, RECITS Laboratory（阿尔及利亚科学技术大学，RECITS实验室）
研究第二类受限\((r,d)\)-斯特林数，通过施加距离限制推广\(r\)-斯特林数，建立递推关系、公式、生成函数及恒等式等。
2026-07-23 math.CO
Sum rules for permutations with fixed points involving Stirling numbers of the first kind
CEA, DAM, DIF（法国原子能与替代能源委员会，技术研究中心，达姆研究所）；Université Paris-Saclay, CEA, Laboratoire Matière en Conditions Extrêmes（巴黎萨克雷大学，法国原子能与替代能源委员会，极端条件物质实验室）
本文提出基于第一类斯特林数的置换固定点求和规则，并推导了二项系数的求和规则，同时探讨了与贝尔数的关系。
2026-03-07 math.CO
Elementary asymptotics for the Stirling numbers of the second kind: The central range
Institute of Statistical Science, Academia Sinica（中央研究院统计科学研究所）；Department of Mathematics, Soochow University（东吴大学数学系）；Institute of Computer Science, Vilnius University（维尔纽斯大学计算机研究所）
通过初等方法推导第二类斯特林数的局部和中心极限定理，并得到Bell数及分布矩的有效渐近估计，同时基于有限差分方法给出沿多个方向的渐近展开。
2026-05-28 math.CO
Some Identities Involving Three Kinds of Counting Numbers
本文给出了几个涉及二项式系数和两类Stirling数的恒等式。
2009-11-02 math.CO
Signed Generalized Stirling Polynomials, Nested Sums, and Hyperbolic Secant Integral Identities
University of Vienna（维也纳大学）
本文通过有符号广义斯特林多项式研究嵌套和与双曲正割积分序列，得到递推关系、反射公式和显式恒等式，并给出Catalan常数、zeta值和多伽玛值的显式求值。
2026-10-06 math.CO
Explicit estimates for the Stirling numbers of the second kind
该研究针对第二类Stirling数$S(n,m)$给出显式渐近紧估计，根据$m$在$\{1,\ldots,n\}$中的区域采用不同概率表示证明结果，推进了组合数的定量估计研究。
2024-07-11 math.CO
Combinatorial identities related to degenerate Stirling numbers of the second kind
本文研究退化第二类 Stirling 数的性质、恒等式、递推关系与显式表达式，并结合退化 Euler 公式探讨相关多项式和幂级数。
2025-01-10 math.CO math.NT
Asymptotics of Chebyshev-Stirling and Stirling numbers of the second kind
对于Jacobi-Stirling数的一种特殊情况--Chebyshev-Stirling数，利用局部中心极限定理导出了渐近公式.基本的概率方法也适用于经典的第二类斯特林数。从而建立了对这些数的渐近分析的一个补充。
2013-08-30 math.CA math.CO
A Set of Conjectured Identities for Stirling Numbers of the First Kind
给定一个整数g，g > 1，一个整数w，-1 < w <g - 1，以及一组g个不同的数，c_1，.，c_g，给出了第一类Stirling数的一个严格恒等式.我们已经证明了g < 7时的所有等式;对于g = 7时，只要w < 4。这些表达式来自于正则图上二聚-单体问题研究的一个方面。
2018-08-28 math-ph math.CO math.MP
Mixed r-stirling numbers of the second kind
第二种斯特林数$n\brace k$计算将一组$n\brace k$标记的球划分为$k$非空未标记单元格的方式数量。作为其延伸，我们考虑了具有标记为$1$的$b_1$球的$b_1+b_2+\ldots+b_n$球、标记为$2$的$b_2$球、标记为$\ldots$的$b_n$球、以及具有标记为$1$的$c_1$细胞的$c_1+c_2+\ldots+c_k$细胞、标记为$2$的$c_2$细胞、标记为$\ldots$的$b_n$球，$c_k$细胞标记$k$，然后我们调用将这些球的集合划分为非这些类型的空细胞作为\textit{mixed partition numbers}。作为应用，我们给出了第二类$r$-Stirling数和$r$-Bell数的一个新的表述.我们还介绍了\textit{$r$-mixed Stirling number of second kind and $r$-mixed Bell numbers}。最后，对于正整数$m$，我们计算将$m$写成$m_1\cdot m_2\cdot\ldots\cdot m_k$形式的方法的数量，其中$k\geqslant 1$和$m_i$是大于$1$的正整数。
2019-09-11 math.CO
Eight interesting identities involving the exponential function, derivatives, and Stirling numbers of the second kind
本文建立了函数$\frac1{(1-e^{\pm t})^k}$及其导数$\bigl(\frac1{e^{\pm t}-1}\bigr)^{(i)}$可以用第二类组合数和Stirling数的系数线性组合表示的恒等式，其中$t\ne0$和$i,k\in\mathbb{N}$ .
2012-02-09 math.CA math.CO math.NT
New formulas involving Bernoulli and Stirling numbers of both kinds
本文提出了几个涉及两类Bernoulli数和Stirling数的新公式。
2024-12-23 math.CO math.NT
On the asymptotic normality of the Legendre-Stirling numbers of the second kind
利用局部中心极限定理导出了第二类Legendre-Stirling数的渐近公式。从而对最近发表的Chebyshev-Stirling数的渐近分析进行了补充。此外，我们还给出了修正Legendre-Stirling数的渐近正态性和单峰性的结果。
2014-08-28 math.CA math.CO
Analytic aspects of $q,r$-analogue of poly-Stirling numbers of both kinds
本文研究两类 $B$ 型 poly-Stirling 数的 $q,r$-模拟，建立递推、容斥显式公式与指数生成函数，并推广 Comtet–Lancaster 的广义 Stirling 数三角形等价刻画。
2024-04-05 math.CO
On a non-combinatorial definition of Stirling numbers
在组合数学中，斯特林数可以用几种方式定义。[1]中给出了一个这样的定义，其中提出了对Stirling数的广泛考虑。本文给出了这两类Stirling数的另一种定义。即，第一类Stirling数出现在ln x的n阶导数的闭公式中。第二类斯特林数也以同样的方式出现在f（e^x）的n阶导数公式中，其中f（x）是任意光滑实函数。这些事实使我们能够在微分学的框架内定义斯特林数。这些定义可能很有趣，因为任意函数都出现在其中。通过选择适当的函数，仅利用导数就可以得到Stirling数的不同性质。利用导数的简单性质，我们得到了Stirling数的三个重要性质。首先是所谓的两项递归关系，从中可以很容易地推导出斯特林数的组合意义。其次，我们得到了幂到落因子的展开公式，反之亦然。这些展开式通常用作Stirling数的定义，如[1]。最后，我们得到了Stirling数和Bell数的指数母函数。作为副积，得到了函数f（e^x）和f（ln x）的$n$阶导数的闭公式.
2008-06-14 math.CO
Combinatorics of q,r-analogues of Stirling numbers of type B
本文通过引入组合参数，构造了B型两类Stirling数的q-模拟与Broder r-变体，并给出其在正交关系和幂和中的应用。
2024-01-16 math.CO
Some observations on the connection between Stirling numbers and Bessel numbers
本文通过用两种方式求解同一递推关系并比较多项式系数，为涉及两类斯特林数的求和恒等式提供新证明，从而揭示斯特林数与贝塞尔数之间的联系。
2020-07-22 math.CA math.CO
Diagonal recurrence relations for the Stirling numbers of the first kind
本文给出了第一类Stirling数的对角递推关系。作为副产品，作者还恢复了第二类贝尔多项式特殊值的三个显式公式。
2015-04-22 math.CA math.CO
Partial degenerate Stirling numbers
University of Public Service（公共服务大学）；University of Witwatersrand（威特沃特斯兰德大学）
本文研究退化和不完整第二类斯特林数的组合，采用组合方法并提供渐近结果。
2026-04-18 math.CO
On identities generated by compositions of positive integers
我们证明了由正整数的合成所产生的惊人的身份。顺便得到了第一类Stirling数的两个新恒等式。在最后两节中，我们澄清了这些恒等式的代数意义，并得到了其他几个结构上的恒等式。
2012-11-30 math.CO
Binomial expansions of Jacobi-Stirling numbers and real-rootedness of Jacobi-Stirling descent polynomials
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）
本文研究Jacobi-Stirling数的二项式展开，证明其下降多项式在特定删除或保留横杠字母数下仅有简单负零点，验证了Gessel-Lin-Zeng猜想的五个无限族，并揭示其顶部重及左半递增性质。
2026-10-05 math.CO
Explicit formulae for computing Euler polynomials in terms of Stirling numbers of the second kind
本文初步统一和推广了涉及函数$\frac{\pm1}{e^{\pm t}-1}$及其导数的八个恒等式。利用其中的一个恒等式，作者建立了计算欧拉多项式和双参数欧拉多项式的两个显式公式。
2014-05-21 math.CA math.CO
On an alternating sum of factorials and Stirling numbers of the first kind: trees, lattices, and games
本文研究阶乘与第一类斯特林数的交错和，给出指数生成函数并证明其非负性，将其与递增树博弈、弱序到Tamari格的商及平面树双射相联系，并给出有根树博弈胜负的等价刻画。
2025-09-25 math.CO
$B$-Stirling numbers associated to potential polynomials
本文引入与势多项式相关的第一类和第二类 $B$-Stirling 数，提供递推公式并实现两类数间的相互计算。
2024-10-16 math.CO
Stirling numbers for complex reflection groups
本文将B型Coxeter群的q-模拟Stirling数扩展至所有不可约复反射群G，通过交格的Whitney数定义两类Stirling数，并为G(m,p,n)提供组合解释，同时关联超不变代数的Hilbert级数。
2024-08-25 math.CO
Inversions relating Stirling, tanh, Lah numbers and an application to Mathematical Statistics
已经发现了在Stirling数、tanh数和Lah数之间转换的反演公式。Tanh多项式和Lah多项式，类似于斯特林多项式，已被定义，并建立其基本性质。由一般的逆关系导出了斯特林数、正切数和多项式的新恒等式。本文的第二部分证明了，如果移位伽玛概率密度和负二项分布通过使它们的前三个半不变量（累积量）相等来匹配，则这两个分布的累积量通过一对等价于第一部分建立的反演公式的互逆线性组合来联系。
2004-05-31 math.CO
Normal ordering associated with λ-Stirling numbers inλ-Shift algebra
第二类Stirling数与Weyl代数中的正规序有关，而第一类无符号Stirling数与移位代数中的正规序有关。Kim-Kim引入了第一类无符号Stirling数和第一类r-Stirling数的λ-模拟。本文引入了移位代数的λ-模拟（称为λ-移位代数），并研究了λ-移位代数中的正规序.从λ-移位代数的正规序出发，得到了第一类无符号Stirling数的λ-模拟的一些恒等式.
2023-02-20 math.CO math.NT
Moment Generating Stirling Numbers and Applications
在本文中，我们研究某些组合数，\textit{moment generating Stirling numbers}。它们是Hsu广义Stirling数的一个特例，并且比一般情况下满足更多的性质和组合恒等式。作为应用，我们给出了位相型分布、马尔可夫链的递归时间、几何分布、负二项分布以及推广负二项分布的一类分布的矩和中心矩的计算。所有的计算都可以在封闭的形式下进行，而不需要递归。我们还提出了马尔可夫更新过程的关系。
2022-06-17 math.CO
Combinatorial interpretations of the Jacobi-Stirling numbers
第一类和第二类Jacobi-Stirling数于2006年在谱理论中引入，是Legendre-Stirling数的多项式精化。Andrews和Littlejohn最近给出了第二类后一种数的组合解释。注意到这些数字是非常相似的经典的中心阶乘数，我们给出了组合解释的Jacobi-Stirling数的这两种，这提供了一个统一的治疗组合理论的两个先前的序列，也为Stirling数的这两种。
2009-05-20 math.CA math.CO
An explicit formula for computing Bell numbers in terms of Lah and Stirling numbers
本文给出了用Lah数和第二类Stirling数计算Bell数的一个显式公式。
2014-01-08 math.CO
Explicit formulas for computing Bernoulli numbers of the second kind and Stirling numbers of the first kind
本文通过建立计算对数函数倒数的$n$阶导数的新的显式公式，给出了计算第二类Bernoulli数和第一类Stirling数的新的显式公式。作为这些公式的结果，导出了第一类Stirling数的一个递推公式和阶乘$n!$的倒数的一个新表示.最后，作者找到了与第一类Stirling数有关的几个恒等式和整表示.
2013-01-29 math.CA math.CO math.NT
Variations of Central Limit Theorems and Stirling numbers of the First Kind
我们构造了一个介于$A_{n,k}(0)= \binom{n-1}{k-1}$和$A_{n,k}(1)= \frac{1}{n!}\stirl{n}{k}$之间的双序列$\{A_{n,k}(s)\}_{n,k}$，其中$\stirl{n}{k}$是第一类无符号Stirling数.对于每个$s$，我们证明了一个中心极限定理和一个局部极限定理.这推广了de\，Moivre-Laplace中心极限定理和Goncharov的结果，即第一类无符号Stirling数是渐近正规的.因此，我们提供了几个应用程序。
2022-08-21 math.CO math.PR
On certain polynomial systems involving Stirling numbers of second kind
我们求解一类特殊的系数在多元多项式环上的线性系。这些系统出现在计算参数伯恩斯坦-佐藤多项式与某些超几何理想的外尔代数。
2019-07-29 math.AC math.CO
Congruence classes of 2-adic valuations of Stirling numbers of the second kind
我们分析了$S(n,k)$的同余类，第二类Stirling数，模2的幂。这一分析提供了对Amdeberhan、Manna和Moll提出的猜想的深入了解，这些作者为$k\le5$建立了该猜想。我们提供了一个框架，可以用来证明猜想的计算手段，我们完成$k=5, 6,..., 20$。
2012-04-28 math.CO math.NT
Bounds on the Location of the Maximum Stirling Numbers of the Second Kind
设K_n表示第二类Stirling数S（n，k）的第n行的小模。利用概率论证明了对所有n>=2，[exp（w（n））]-2<=K_n<=[exp（w（n））]+1，其中[x]表示x的整数部分，w（n）是Lambert的W-函数.
2009-02-17 math.CO math.PR
On the Graphical $r$-Stirling Numbers of the First Kind for Specific Graph Families
Department of Computer science, University of Torbat-e Jam（托尔巴特-贾姆大学计算机系）；Department of Pure Mathematics, Faculty of Mathematical Sciences, Ferdowsi University of Mashhad（马什哈德费尔多西大学理学院纯数学系）
本文研究特定图家族的r-斯特林数第一类，推导其闭式表达式和递推关系，并分析循环分布的统计特性。
2026-02-02 math.CO
Generalized power sum and Newton-Girard identities
本文证明了一个代数的恒等式，它是第二类Stirling数的连续整数幂和公式的重要推广。并得到了Newton-Girard幂和恒等式的一个推广。
2020-04-30 math.CO
Generalizations of Bell number formulas of Spivey and Mezo
我们提供了q-推广斯皮维的贝尔数公式在各种设置考虑统计不同的组合结构。这导致新的身份涉及q-斯特林数的两种和q-拉数。作为推论，我们得到了二项系数和q-二项式系数的恒等式.我们的结果同时也推广了Mezo最近的r-Stirling数公式。最后，我们提供了一个组合的证明和改进徐的Spivey公式的推广到广义Stirling数的许和Shiue。要做到这一点，我们开发了一个组合的解释，这些数字的扩展拉分布。
2014-12-02 math.CO
