The ordered Bell numbers as weighted sums of odd or even Stirling numbers of the second kind
Jacob Sprittulla
对于第二类Stirling数$S(n,k)$和有序Bell数$B(n)$，证明了$\sum_{k=1}^{n/2} S(n,2k)(2k-1)! = B(n-1)$的恒等式.一个类似的恒等式适用于奇数$k$的和.
For the Stirling numbers of the second kind $S(n,k)$ and the ordered Bell numbers $B(n)$, we prove the identity $\sum_{k=1}^{n/2} S(n,2k)(2k-1)! = B(n-1)$. An analogous identity holds for the sum over odd $k$'s.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Refinements of the Bell and Stirling numbers
我们介绍了贝尔，阶乘，和无符号斯特林数的第一和第二类，团结的乱序，对合，相关阶乘，相关贝尔，不完全斯特林，限制阶乘，限制贝尔，和$r$ -乱序数（可能更多！）的新的改进。通过结合分析组合学、投影演算和概率论的方法，我们得到了这些数的几个递推关系和封闭形式表达式。通过专门我们的结果的经典情况下，我们恢复明确的公式贝尔和斯特林数的总和组成。
An explicit formula for computing Bell numbers in terms of Lah and Stirling numbers
本文给出了用Lah数和第二类Stirling数计算Bell数的一个显式公式。
Extended Bell and Stirling numbers from hypergeometric exponentiation
对超几何级数进行指数化，给出了整数序列的一个递推关系，它是传统Bell数的推广。相应的第二类关联斯特林数也产生和调查。对于最低阶的推广，人们可以给出这些“贝尔”数的组合解释，以及与它们相关的一些斯特林数。我们也考虑这些类似的贝尔数的情况下，限制分区。
Connecting the Stirling numbers and $k$-bonacci sums
本文通过建立先前确定的求和公式与实验确定的公式之间的双射关系并进行代数证明，揭示了 Stirling 数出现在 $k$-bonacci 公式中的原因。
Hamiltonicity of Bell and Stirling Colour Graphs
本文研究了贝尔和斯特林着色图的哈密顿性，证明了除特殊情况外，这些图具有哈密顿回路。
On powers of Stirling matrices
研究了Stirling数系数矩阵的幂。揭示了这些矩阵的元素具有普通Stirling数的一些性质。此外，还可以定义“高阶”贝尔数、富比尼数和欧拉数。因此，我们对E. T.贝尔迭代指数整数此外，值得注意的是，这些数字出现在组合物理学中，在量子场论算子的正常排序问题中。
Rook theoretic proofs of some identities related to Spivey's Bell number formula
利用车的位置证明了Spivey的Bell数公式及与之相关的一些恒等式，特别是涉及Stirling数的卷积恒等式和Bell数的关系式.为了涵盖尽可能多的特殊情况下，我们工作的广义斯特林数所产生的车模型的高盛和Haglund。另一种组合解释的第二型广义$q$ -Stirling数的Remmel和Wachs也介绍了该方法用于获得早期的身份可以很容易地适应。
Double sums involving binomial coefficients and special numbers
该研究提出一种初等方法处理内层为不完全二项式和的双重求和问题，并将核心恒等式应用于含调和数、Fibonacci数等多种特殊数的双重求和场景。
An explicit formula for Bell numbers in terms of Stirling numbers and hypergeometric functions
本文利用Kummer汇合型超几何函数和第二类Stirling数，给出了计算Bell数的一个显式公式。
A simple combinatorial interpretation of certain generalized Bell and Stirling numbers
在一系列的论文中，P. Blasiak等人发展了贝尔数（和第二类斯特林数）的广泛推广，似乎与所谓的玻色子正规序问题有关。他们提供了一个递归，最近，还提供了一个（相当复杂的）组合解释这些数字。我们表明，通过限制的数字有点（但仍然广泛推广贝尔和斯特林数），可以提供一个更自然的组合解释。事实上，我们提供了两个不同的这样的解释，一个在图着色和另一个在某些标记欧拉有向图。
Signed Generalized Stirling Polynomials, Nested Sums, and Hyperbolic Secant Integral Identities
本文通过有符号广义斯特林多项式研究嵌套和与双曲正割积分序列，得到递推关系、反射公式和显式恒等式，并给出Catalan常数、zeta值和多伽玛值的显式求值。
Generalizations of Bell number formulas of Spivey and Mezo
我们提供了q-推广斯皮维的贝尔数公式在各种设置考虑统计不同的组合结构。这导致新的身份涉及q-斯特林数的两种和q-拉数。作为推论，我们得到了二项系数和q-二项式系数的恒等式.我们的结果同时也推广了Mezo最近的r-Stirling数公式。最后，我们提供了一个组合的证明和改进徐的Spivey公式的推广到广义Stirling数的许和Shiue。要做到这一点，我们开发了一个组合的解释，这些数字的扩展拉分布。
Matrix products of binomial coefficients and unsigned Stirling numbers
本文研究二项式系数与无符号斯特林数构成的矩阵乘积和式，分析其闭式表达、组合解释、递推关系及多项式基变换系数意义。
Associated Lah numbers and r-Stirling numbers
我们引入相关的Lah数。建立了一些递推关系和卷积恒等式。给出了相应的Stirling数和Lah数到r-Stirling数和r-Lah数的推广。对于所有这些序列，我们给出了组合解释，生成函数，递归关系，卷积恒等式。在第二章中，我们发展了一节与二项式系数有关的套和。
New series with Cauchy and Stirling numbers, Part 2
我们评估在封闭形式的几个系列涉及产品的柯西数与其他特殊的号码（谐波，斜谐波，超谐波，中心二项式）。类似的结果也可以用包含第一类Stirling数的级数得到。我们专注于几个特殊的情况下，给出新的封闭形式的欧拉和超调和数和产品的超调和数和调和数。
Combinatorial approach to generalized Bell and Stirling numbers and boson normal ordering problem
我们考虑在规范玻色子创造和湮灭运营商的正常秩序的表达问题中出现的数字。我们对待的玻色子弦的一般形式，这是与斯特林和贝尔数的推广。这些量的递归关系和封闭形式的表达式（Dobiski型公式）得到的代数和组合的方法。通过广泛使用组合分析的方法，我们证明了上述问题的等价性特殊的图族的计数。这个链接提供了在这个正常排序问题中出现的数字的组合解释。
Zeta Series Generating Function Transformations Related to Generalized Stirling Numbers and Partial Sums of the Hurwitz Zeta Function
我们定义了一个广义类的修改zeta级数变换生成的部分和的Hurwitz zeta函数和系列扩展的Lerch超越函数。我们在文章中定义的新的变换系数满足广义调和数列的扩展，或赫维茨zeta函数的部分和，这类似于第一类斯特林数的已知性质，以及用于枚举多对数函数系列变体的已知变换系数。我们在文章中证明的新结果的应用包括新的系列扩展的狄利克雷β函数，勒让德chi函数，BBP型系列身份的特殊常数，交替和外来的欧拉和变量，交替zeta函数与权力的二次幂，和特定的系列定义特殊情况下的黎曼ζ函数常数在正整数$s \geq 3$。
The (r1,...,rp)-Bell polynomials
在以前的论文中，Mihoubi等人介绍了$(r_{1},...,r_{p}) $ -Stirling数和$(r_{1},...,r_{p}) $ -Bell多项式，并给出了它们的一些组合和代数性质。这些数和多项式分别推广了Broder引入的第二类$r$ -Stirling数和MezIgn引入的$r$ -Bell多项式。本文证明了第二类$(r_{1},...,r_{p}) $ -Stirling数是对数凹的.给出了与$(r_{1},...,r_{p}) $ -Bell多项式有关的生成函数和广义递归式。
Combinatorics of q,r-analogues of Stirling numbers of type B
本文通过引入组合参数，构造了B型两类Stirling数的q-模拟与Broder r-变体，并给出其在正交关系和幂和中的应用。
Sets of iterated Partitions and the Bell iterated Exponential Integers
众所周知，贝尔数表示一个n-集合的划分总数。类似地，第二类斯特林数表示n-集合的k-划分的数量。在本文中，我们介绍了一定的分区过程，产生了一系列的“嵌套”分区集。我们证明了在阶段m，结果集的基数将等于m阶贝尔数。这种集合论的解释使我们能够自然地定义高阶Stirling数，并研究这些实体的组合学。探讨了所构造的“超划分”集的元素的基数。
Mixed r-stirling numbers of the second kind
第二种斯特林数$n\brace k$计算将一组$n\brace k$标记的球划分为$k$非空未标记单元格的方式数量。作为其延伸，我们考虑了具有标记为$1$的$b_1$球的$b_1+b_2+\ldots+b_n$球、标记为$2$的$b_2$球、标记为$\ldots$的$b_n$球、以及具有标记为$1$的$c_1$细胞的$c_1+c_2+\ldots+c_k$细胞、标记为$2$的$c_2$细胞、标记为$\ldots$的$b_n$球，$c_k$细胞标记$k$，然后我们调用将这些球的集合划分为非这些类型的空细胞作为\textit{mixed partition numbers}。作为应用，我们给出了第二类$r$-Stirling数和$r$-Bell数的一个新的表述.我们还介绍了\textit{$r$-mixed Stirling number of second kind and $r$-mixed Bell numbers}。最后，对于正整数$m$，我们计算将$m$写成$m_1\cdot m_2\cdot\ldots\cdot m_k$形式的方法的数量，其中$k\geqslant 1$和$m_i$是大于$1$的正整数。
Bell Numbers and Stirling Numbers of the Mycielskian of Trees
本文研究了树的Mycielskian的贝尔数和斯特林数，推导了相关显式公式并识别了多个OEIS序列。
Several series expansions for real powers and several formulas for partial Bell polynomials of sinc and sinhc functions in terms of central factorial and Stirling numbers of second kind
本文利用 Faà di Bruno 公式、第二类中心阶乘数和第二类 Stirling 数，建立了 sinc 与 sinhc 函数实数幂的级数展开式，并给出相关偏 Bell 多项式闭式公式及组合数恒等式。
$m$-Bell and $m$-Stirling numbers: Iterated binomial transforms, hyper-Bessel functions, and moments of the Conway--Maxwell--Poisson distribution
该研究推广贝尔数得到m-贝尔数，构造m-斯特林三角阵列并证明相关结构定理，还揭示m-贝尔数对应康威-麦克斯韦-泊松分布（ν=m）的矩，拓展了相关数论与概率分布的联系。
Generalized $q$-Stirling numbers and normal ordering
研究了由满足$UV=qVU+hV^s$（$s\in\mathbb N$）的$V,U$构成的字符串的正规序系数.这些系数研究在两种情况下：第一，作为一个多个序列满足广义递归，第二，作为$q$ -类似物的车数下的行创建规则引入高盛和Haglund。一些属性的推导，包括递归，表达式涉及其他$q$类似物和明确的公式。给出了相应Bell数的Dobinsky型公式和相应的Spivey Bell数公式的推广。通过一个改进的车模型，将车数系数推广到$s\in\mathbb R$情形.
Elementary asymptotics for the Stirling numbers of the second kind: The central range
通过初等方法推导第二类斯特林数的局部和中心极限定理，并得到Bell数及分布矩的有效渐近估计，同时基于有限差分方法给出沿多个方向的渐近展开。
Stirling Numbers in Braid Matroid Kazhdan-Lusztig Polynomials
第一类限制Whitney数出现在拟阵Kazhdan-Lusztig多项式的组合递归中。在辫状拟阵（与分划格、完全图、A型Coxeter排列和对称群相关联的拟阵）的特殊情况下，这些受限的Whitney数是第一类Stirling数。我们利用这一观察获得的Kazhdan-Lusztig多项式的系数辫子拟阵的第一类斯特林数的产品的总和的公式。这导致了第一类Stirling数和第二类Stirling数之间的新恒等式，以及辫子拟阵Kazhdan-Lusztig多项式的非递归公式。
Sum rules for permutations with fixed points involving Stirling numbers of the first kind
本文提出基于第一类斯特林数的置换固定点求和规则，并推导了二项系数的求和规则，同时探讨了与贝尔数的关系。
$B$-Stirling numbers associated to potential polynomials
本文引入与势多项式相关的第一类和第二类 $B$-Stirling 数，提供递推公式并实现两类数间的相互计算。
An alternative recursive formula for the sums of powers of integers
本文给出了含第一类Stirling数的整数幂和的另一个递推公式。作为一个显着的副产品，我们提供了一个非递归的加泰罗尼亚数的定义。
Multivariate Stirling Polynomials of the first and second kind
考虑了两个双指数族的齐次和等压多项式在几个不定数：（部分）指数贝尔多项式$B_{n,k}$和一个新的家庭$S_{n,k}$，使$X_1^{-(2n-1)}S_{n,k}$和$B_{n,k}$服从反演律，推广的第一和第二类斯特林数。这两个多项式族都以李系数的形式出现在某些高阶导数的展开式中。用$D^j(φ)$（固定函数$φ$的$j$阶导数）代替待定函数$X_j$表明，$S_{n,k}$和$B_{n,k}$都是分别依赖于$φ$及其逆函数$\overlineφ$的微分多项式。一些新的光由此孔泰的解决方案的拉格朗日反演问题的贝尔多项式。根据Haiman和Schmitt的说法，这个解本质上是Faà di Bruno Hopf代数上的对极。它可以用$X_1^{-(2n-1)}S_{n,1}$表示。此外，建立了适用于整个$S_{n,k}$族（$1\leq k\leq n$）的一般展开式以及$S_{n,k}$的系数的封闭表达式。斯特林数的几个重要性质被证明是相应多项式之间关系的特殊情况。作为一个非平凡的例子，Schlömilch型公式推导表达$S_{n,k}$的贝尔多项式$B_{n,k}$，反之亦然。
Three combinatorial sums involving central binomial coefficients
本文研究三类含中心二项式系数及不同调和数的组合和，通过分部求和建立递归式，并用第二类 Stirling 数与 r-Stirling 数给出闭合形式。
Diagonal recurrence relations for the Stirling numbers of the first kind
本文给出了第一类Stirling数的对角递推关系。作为副产品，作者还恢复了第二类贝尔多项式特殊值的三个显式公式。
On a non-combinatorial definition of Stirling numbers
在组合数学中，斯特林数可以用几种方式定义。[1]中给出了一个这样的定义，其中提出了对Stirling数的广泛考虑。本文给出了这两类Stirling数的另一种定义。即，第一类Stirling数出现在ln x的n阶导数的闭公式中。第二类斯特林数也以同样的方式出现在f（e^x）的n阶导数公式中，其中f（x）是任意光滑实函数。这些事实使我们能够在微分学的框架内定义斯特林数。这些定义可能很有趣，因为任意函数都出现在其中。通过选择适当的函数，仅利用导数就可以得到Stirling数的不同性质。利用导数的简单性质，我们得到了Stirling数的三个重要性质。首先是所谓的两项递归关系，从中可以很容易地推导出斯特林数的组合意义。其次，我们得到了幂到落因子的展开公式，反之亦然。这些展开式通常用作Stirling数的定义，如[1]。最后，我们得到了Stirling数和Bell数的指数母函数。作为副积，得到了函数f（e^x）和f（ln x）的$n$阶导数的闭公式.
Restricted $r$-Stirling Numbers and their Combinatorial Applications
我们研究了在任意索引集$S$中发现的具有$r$特征元素和块大小的集划分。这些$(S,r)$ -划分的枚举导致了$(S,r)$ -Stirling数的引入，这是经典Stirling数和$r$ -Stirling数的一个非常广泛的推广。我们还介绍了相关的$(S,r)$ -Bell和$(S,r)$ -阶乘数。我们研究这些数字的基本方面，包括递归关系和行列式表达式。对于具有某种额外结构的$S$，我们证明了$(S,r)$ -Stirling矩阵的逆矩阵编码两个偏序集族的默比乌斯函数.通过几个例子，我们证明了对于某些$S$，矩阵及其逆矩阵涉及多个组合对象的枚举序列。此外，我们强调如何自然产生的$(S,r)$ -斯特林数的特殊图的集团和非循环方向的枚举，强调其普遍性和重要性。最后，我们介绍了相关的$(S,r)$推广的多伯努利和多柯西数，统一了许多过去的作品广义组合序列。
Exponential Polynomials, Stirling Numbers,and Evaluation of Some Gamma Integrals
本文从分析的角度对指数多项式（又称单变量贝尔多项式）进行了综述。包括一些新的属性，并提到了几个分析相关的应用程序。
The partial r-Bell polynomials
本文证明了这两类r-Stirling数、这两类r-Whitney数、r-Lah数和r-Whitney-Lah数构成多项式族的特殊情形，从而形成部分Bell多项式的推广.我们推导出这些数的几个限制的生成函数。此外，对r-Whitney数和r-Whitney-Lah数给出了一种新的组合解释.
Combinatorial and Arithmetical Properties of the Restricted and Associated Bell and Factorial Numbers
对块和圈的大小有限制的集合划分和置换是重要的组合序列。计数这些对象导致的序列推广的经典斯特林和贝尔号码。本文的重点是分析它们的组合性质和算术性质。结果包括几个组合恒等式和递归式以及它们的$p$ -adic赋值的一些性质。
Mixed coloured permutations
本文引入了混合色置换和具有某些色圈的置换，并研究了这类组合对象的计数性质。给出了计数序列、第一类混合Stirling数的生成函数、封闭形式、递推关系和组合恒等式。在这一全面的研究中，我们考虑进一步的条件的长度的周期，$r$ -混合斯特林数和贝尔多项式的连接。
Partial Deranged Bell Numbers and Their Combinatorial Properties
本研究提出部分错排Bell数作为错排Bell数的推广，构建统一框架连接多类组合序列，推导其多种组合性质与恒等式，为相关经典序列研究及Wilf猜想提供新视角。
Double sums associated with binomial transforms
本文针对内层为不完整二项式和的二重和展开研究，证明其与二项式变换对相关的新结果，推导了多类特殊数、多项式族相关的二重和恒等式及含双曲函数的新二重和。
Inverse relations and reciprocity laws involving partial Bell polynomials and related extensions
本文的目的是，在主要的，双重的：首先，开发一个代数设置处理贝尔多项式和相关的扩展。其次，基于作者以前关于多元Stirling多项式的工作（2015），提出了一些与不同类型的逆关系相关的新结果，其中（1）使用多元Lah多项式来表征可以由Bell多项式表示的自正交多项式族，（2）引入了“广义拉格朗日反演多项式”，该多项式反演了以特定方式由常数序列表征的函数，（3）一般互易定理，根据该定理，特别是，部分贝尔多项式$B_{n,k}$和它们的正交同伴$A_{n,k}$属于单一类的斯特林多项式：$A_{n,k}=(-1)^{n-k}B_{-k,-n}$。此外，还建立了一些数值表述（如Stirling反演、Schlömilch-Schläfli公式）的广义多项式形式。一些著名的定理（Jabotinsky，Mullin-Rota，Melzak，Comtet）给出了新的证明。
Analogies of the Qi formula for some Dowling type numbers
本文利用Lah数和第二类Stirling数的推广，建立了Dowling数及其推广的显式公式。这些结果用拉数和第二类斯特林数推广了贝尔数的齐公式。
Divisibility of the Sums of the Power of Consecutive Integers
本文利用 Girard-Waring 恒等式研究连续整数奇次幂之和的可除性，并讨论 Faulhaber 方法及用第二类 Stirling 数表示幂和。
Ordinal Sums, Clockwise Hackenbush, and Domino Shave
我们提出了两个规则集，Domino Shave和Cynomial Hackenbush。第一个是某种程度上自然的，作为特殊情况，包括斯特林剃须和Hetyei的伯努利游戏。看起来像是人造的，但它相当于多米诺剃须。从游戏的图形形式和Hackenbush的知识来看，分解为序数和是立即的。的价值观的candy蓝-红哈肯布什是数字，我们提供了一个明确的公式，为序数和的数字，其中文字形式的基地是$\{x\,|\,\}$或$\{\,|\,x\}$，和$x$是一个数字。该公式将van Roode的有符号二进制数方法推广到蓝-红Hackenbush。
On asymptotics, Stirling numbers, Gamma function and polylogs
本文应用Euler-Maclaurin公式，求出了和$\sum_{k=1}^n (\log k)^p / k^q$，~ $\sum k^q (\log k)^p$，~ $\sum (\log k)^p /(n-k)^q$，~ $\sum 1/k^q (\log k)^p $的封闭形式到任意阶的渐近展开式（$p,q \in\N$）.这些表达式通常相当简化，并且系数是可识别的常数。渐近的常数项是$ζ^{(p)}(\pm q)$（前两个和）、0（第三个和）或产生新的数学常数（第四个和）。这使得$ζ^{(p)}(\pm q)$的数值计算速度比任何当前软件都快。其中一个常数也出现在函数$\sum_{n\geq 2} (n\log n)^{-s}$在$s=1$处奇点附近的展开式中;这需要不完全Γ函数的渐近性。操作涉及polylogs，我们找到了一个表示的尼尔森积分，以及神秘的伯努利数。应用包括$(-z/\log(1-z))^k$的泰勒系数的渐近增长的测定。给出了第一类Stirling数的渐近性及其用调和数表示的公式。
$q$-analogues of sums of consecutive powers of natural numbers and extended Carlitz $q$-Bernoulli numbers and polynomials
本文通过构造经典Appell序列的q-模拟框架，扩展了Carlitz q-Bernoulli数与多项式，并利用第二类q-Stirling数给出其显式级数表示和新连接公式。
Generalized degenerate stirling numbers arising from degenerate boson normal ordering
本文针对退化玻色子正规序衍生的广义退化第二类(r,s)-斯特林数及对应贝尔多项式展开研究，推导其性质、显式表达式与生成函数，明确其为已有相关概念的退化形式。
New type Stirling like numbers - an email style letter
[1]中的Fibonacci蛛网偏序集的概念在[2]中被自然地推广到任何可容许的序列$F$，其中还认识到Bender和Goldman [3]的著名的预制概念--（也见[4，5]）--允许这样的扩展，以便包含[2]中的新型组合对象作为主要例子。最近作者在[6]中还引入了两个自然偏序：一个是蛛网预制集的分级自然子集中的$\leq$ [2]，另一个是赋予所谓的“预制集”的集合和另一个偏序，从而得到包含作者在[7]中引入的Fibonacci三元组序列的Bell类数。这里我们引用文[6]中关于新型类Stirling数的基本观察。更多关于符号，斯特林喜欢第一类的数字和证明-见[6]。
A new extension of the Sun-Zagier result involving Bell numbers and derangement numbers
设$p$是任意素数，$a$和$n$是正整数，且有$p\nmid n$ .我们证明了$$\sum_{k=1}^{p^a-1}\frac{B_k}{(-n)^k}\equiv a(-1)^{n-1}D_{n-1}\pmod {p},$$，其中$B_0,B_1,\ldots$是Bell数，$D_0,D_1,\ldots$是无序数.这扩展了Sun和Zagier在2011年发表的结果。进一步证明了$$(-x)^n\sum_{k=1}^{p^a-1}\frac{B_k(x)}{(-n)^k}\equiv -\sum_{r=1}^ax^{p^r}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{k!}(-x)^k\pmod{p\mathbb Z_p[x]},$$，其中$B_k(x)=\sum_{l=0}^kS(k,l)x^l$是$k$次Bell多项式，$S(k,l)\ (0\le l\le k)$是第二类Stirling数，$\mathbb Z_p$是所有$p$ -进整数的环.
Prime and Touchard Congruences of Mixed-Type Bell Numbers
本文建立混合型斯特林数与贝尔数的组合算术框架，连通分拆结构、Touchard 多项式与素幂同余式，结合 p 进赋值理论证明相关同余式，推广组合序列经典算术性质。
A Snail Race Problem
受2024年AMC 10B第17题启发，通过递推关系和指数生成函数方法，推导出具有特定平局数量的蜗牛赛跑结果数的闭式公式，并探讨其与有序Bell数、第二类Stirling数和部分Bell多项式的联系。
Identities for partial Bell polynomials derived from identities for weighted integer compositions
我们讨论了Cvijovic中导出的第（n; k）次部分Bell多项式的封闭形式公式。我们表明，部分贝尔多项式的加权整数组合的特殊情况下，并演示如何部分贝尔多项式的身份很容易遵循更一般的身份加权整数组合。我们还提供了后者的短期和优雅的概率证明，在离散整数值随机变量的总和。最后，我们概述了部分贝尔多项式的进一步身份。
New Polynomials and Numbers Associated with Fractional Poisson Probability Distribution
介绍了Bell多项式、Bell数和第二类Stirling数的推广，并计算了它们的母函数。
The Boson Normal Ordering Problem and Generalized Bell Numbers
对于任何具有泰勒展开的函数F（x），我们解决了F[（a*）^r a^s]的玻色子正规序问题，其中r，s为正整数，[a，a*]=1，即我们提供了它的正规形的精确和显式表达式，它的所有a都在右边。该解决方案涉及整数序列的数字，其中，对于r，s >=1，是传统的贝尔和斯特林数的推广，其值为r=s=1。给出了这类广义组合数的一个完整理论，包括封闭形式的表达式（扩展的Dobinski型公式）、递归关系和生成函数。这些是玻色子相干态的特殊期望值。
On a generalization of the Pentagonal Number Theorem
研究了经典五边形数定理的一个推广及其应用。我们得到了某些无穷级数的新恒等式，某些限制分拆和除数和的递推关系和卷积和。我们还得到了新的身份贝尔多项式。
Gosper's algorithm and Bell numbers
计算机擅长计算封闭形式的有限和，但也有有限和没有封闭形式。不产生闭合形式的被加数通常可以通过将它们乘以适当的多项式来“固定”。我们提供了一个明确的描述一类这样的多项式简单的超几何被加数的贝尔数。
Some explicit values of a $q$-multiple zeta function at roots of unity
针对由 Stirling 数推广自然产生的某类 $q$-重 zeta 函数，论文利用 Bell 多项式、行列式和 $r$-Stirling 数等工具，给出其在单位根处取值的显式公式。
The asymptotic expansion for the factorial and Lagrange inversion formula
利用一个初等函数的幂的导数，得到了自然数阶乘的渐近展开的系数的一个显式的简单公式。唯一的明确表达的系数，似乎是已知的是，在书中的L。孔泰，这是在第一种相关联的斯特林数的总和。通过考虑相关的第二类斯特林数的二元生成函数，根据我们的分析，还可以得出关于它们的系数的另一个表达式。比较与孔泰的表达产生的组合身份之间的第一和第二类相关的斯特林数。它通过类比提出了另一个可能的系数公式，用一个涉及对数的函数表示，事实上证明是正确的。由此产生的系数，以及第一个确定通过拉格朗日反演公式作为一对正式的系列，这使我们能够获得一些递归的逆的奇数系数。
Combinatorics of Boson Normal Ordering: the Dobinski Formula Revisited
我们导出了玻色子算子任意单项式的幂的正规序的显式公式。这些公式导致概括的传统贝尔和斯特林数和适当概括的多宾斯基关系。这些新的组合数被证明是相干状态矩阵元素的单项式的权力问题。它进一步表明，这种贝尔型数，当被认为是权力的时刻，产生积极的措施，在正半轴上，在许多情况下，可以写在已知的功能。
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