Note on expanding implicit functions into formal power series by means of multivariable Stirling polynomials
University of Flensburg（弗伦斯堡大学）
本文通过多变量斯特林多项式和偏贝尔多项式，研究隐函数展开为形式幂级数的方法及系数依赖关系。
2026-04-08 math.CO
Convolutions for Stirling numbers, Lah numbers, and binomial coefficients
我们提出了各种身份的卷积涉及斯特林数的两种，拉数，和二项式系数的形式。还讨论了某些卷积多项式。证明是基于几个级数变换公式。
2021-03-25 math.CO
Exotic series with Bernoulli, harmonic, Catalan, and Stirling numbers
在本文中，我们提出了一个公式，产生各种异国情调的系列的精神Ovidiu Furdui和Alina Sintamarian。我们的新系列（封闭形式评估）涉及伯努利，调和和加泰罗尼亚数。还有第二类斯特林数、其他特殊数和指数多项式。所得结果包括拉盖尔多项式和错位多项式的级数恒等式。
2021-10-02 math.CO math.NT
Stirling numbers with level $2$ and poly-Bernoulli numbers with level $2$
本文引入了水平$2$的多Bernoulli数，并将其与水平$2$的第二类Stirling数联系起来，从多Bernoulli数的表达式、多Bernoulli数与水平$2$的关系、多Bernoulli数的同余式等方面研究了多Bernoulli数的若干性质.具有$2$水平的多伯努利数与具有$2$水平的多柯西数有很强的联系。在特殊情况下，我们可以通过证明von Staudt-Clausen式定理来确定具有水平$2$的伯努利数的分母。
2021-06-09 math.CO math.NT
Extended Bell and Stirling numbers from hypergeometric exponentiation
对超几何级数进行指数化，给出了整数序列的一个递推关系，它是传统Bell数的推广。相应的第二类关联斯特林数也产生和调查。对于最低阶的推广，人们可以给出这些“贝尔”数的组合解释，以及与它们相关的一些斯特林数。我们也考虑这些类似的贝尔数的情况下，限制分区。
2001-06-14 math.CO
Zeta Series Generating Function Transformations Related to Generalized Stirling Numbers and Partial Sums of the Hurwitz Zeta Function
我们定义了一个广义类的修改zeta级数变换生成的部分和的Hurwitz zeta函数和系列扩展的Lerch超越函数。我们在文章中定义的新的变换系数满足广义调和数列的扩展，或赫维茨zeta函数的部分和，这类似于第一类斯特林数的已知性质，以及用于枚举多对数函数系列变体的已知变换系数。我们在文章中证明的新结果的应用包括新的系列扩展的狄利克雷β函数，勒让德chi函数，BBP型系列身份的特殊常数，交替和外来的欧拉和变量，交替zeta函数与权力的二次幂，和特定的系列定义特殊情况下的黎曼ζ函数常数在正整数$s \geq 3$。
2016-11-09 math.CO math.NT
Two series expansions for the logarithm of the gamma function involving Stirling numbers and containing only rational coefficients for certain arguments related to $π^{-1}$
本文给出并研究了$Γ$ -函数的两个新的对数级数.它们的polygamma类似物也获得和讨论。这些级数涉及第一类斯特林数，并且具有仅包含与$π^{-1}$相关的某些参数的有理系数的性质。特别地，对于形式为$\lnΓ(\frac{1}{2}n\pmαπ^{-1})$和$Ψ_k(\frac{1}{2}n\pmαπ^{-1})$的任何值，其中$Ψ_k$代表$k$ th polygamma函数，$α$是大于$\frac{1}{6}π$的正有理数，$n$是整数并且$k$是非负整数，这些级数仅具有有理数项。在指定的收敛区域中，派生级数以与$\sum(n\ln^m\!n)^{-2}$相同的速率一致收敛，其中$m=1, 2, 3,\ldots$ \，取决于polygamma函数的阶数。对于最吸引的值，如$\lnΓ(π^{-1})$，$\lnΓ(2π^{-1})$，$\lnΓ(\tfrac{1}{2}+π^{-1})$，$Ψ(π^{-1})$，$Ψ(\tfrac{1}{2}+π^{-1})$和$Ψ_k(π^{-1})$，给出了有理系数级数的显式展开式.此外，在本文中，读者还将发现一些其他系列涉及斯特林数，格雷戈里系数（对数数，也称为第二类伯努利数），柯西数和广义伯努利数。最后，得到了Gregory系数、Cauchy数、某些广义Bernoulli数以及某些Stirling数和的估计和完全渐近性.特别是…
2016-05-30 math.CO math.NT
Symmetric generating functions and Euler-Stirling statistics on permutations
本文给出了Euler-Stirling统计量在排列上的联合分布的（双）对称生成函数，包括下降数（$\mathsf{des}$）、逆下降数（$\mathsf{ides}$）、从左到右最大值数（$\mathsf{lmax}$）、从右到左最大值数（$\mathsf{rmax}$）和从左到右最小值数（$\mathsf{lmin}$）.我们还展示了它们如何恢复Carlitz，Roselle和Scoville（1966）的置换的经典对称生成函数。我们的证明利用了三种不同的反演序列的递归构造、置换上Euler-Stirling统计量的多重等分布上的双射和基本超几何级数的变换公式。此外，我们建立了反转序列上Euler-Stirling统计量的一个新的四重等分布，作为Schlosser和作者（2020）提出的猜想的进展。
2022-10-17 math.CO
Several series expansions for real powers and several formulas for partial Bell polynomials of sinc and sinhc functions in terms of central factorial and Stirling numbers of second kind
本文利用 Faà di Bruno 公式、第二类中心阶乘数和第二类 Stirling 数，建立了 sinc 与 sinhc 函数实数幂的级数展开式，并给出相关偏 Bell 多项式闭式公式及组合数恒等式。
2022-05-10 math.CA math.CO
Stirling numbers for complex reflection groups
本文将B型Coxeter群的q-模拟Stirling数扩展至所有不可约复反射群G，通过交格的Whitney数定义两类Stirling数，并为G(m,p,n)提供组合解释，同时关联超不变代数的Hilbert级数。
2024-08-25 math.CO
Degenerate Hurwitz-Lerch Type Families of Poly-Bernoulli and Poly-Cauchy Numbers with Parameters $(α,a)
Bukidnon State University（布基德农州立大学）；Cebu Normal University（宿务师范大学）
引入带参数 $(\alpha,a)$ 的退化 Hurwitz-Lerch 型多 Bernoulli 和多 Cauchy 数族，通过生成函数和退化 Stirling 数给出显式公式，推广了经典结果。
2026-06-23 math.CO
q-Stirling numbers in type B
斯特林数，计算集合的划分和对称群中的排列，在组合学、几何学和代数学中有着广泛的应用。我们研究对应于B型Coxeter群的这些数的类似物和q-类似物。特别是，我们展示了它们是如何与完整的齐次和初等对称多项式;演示了它们如何q-计数有符号的分区和排列;计算它们的普通，指数和q-指数母函数;并证明了它们的各种身份。第二类q-斯特林数的有序类似物最近出现在Zabrocki和Swanson-Wallach关于某些超共不变代数的希尔伯特级数的论文中。我们提供了这些代数的代数基，并证明了它们具有正确的Hilbert级数。
2022-05-27 math.CO math.RA
The Cauchy Operator for Basic Hypergeometric Series
引入了基本超几何级数的Cauchy增广算子。利用算子恒等式中某些参数的对称性，可以方便地得到Heine的${}_2ϕ_1$变换公式和Sears的${}_3ϕ_2$变换公式.柯西算子包含两个参数，它可以被认为是算子$T(bD_q)$的推广。利用这个算子，我们得到了Askey-Wilson积分，Askey-Roy积分，Sears的两项求和公式以及Barnes引理的$q$ -类似物的推广.最后，我们发现Cauchy算子也适用于研究二元Rogers-Szegö多项式或连续大$q$ -Hermite多项式.
2007-08-21 math.CO
A simple combinatorial interpretation of certain generalized Bell and Stirling numbers
在一系列的论文中，P. Blasiak等人发展了贝尔数（和第二类斯特林数）的广泛推广，似乎与所谓的玻色子正规序问题有关。他们提供了一个递归，最近，还提供了一个（相当复杂的）组合解释这些数字。我们表明，通过限制的数字有点（但仍然广泛推广贝尔和斯特林数），可以提供一个更自然的组合解释。事实上，我们提供了两个不同的这样的解释，一个在图着色和另一个在某些标记欧拉有向图。
2013-08-07 cs.DM math.CO
New formulas for Stirling-like numbers and Dobinski-like formulas
第二类$Stirling$数的扩展和$Dobinski$类公式在一系列毕业生练习中提出。我最近发现的一些新公式可以在源文件$ [1]$中找到。这些扩展自然包含众所周知的$q$扩展。这些指示性的参考文献是指向arxiv所属的计算机科学基础的广阔领域的一部分。
2009-01-19 cs.DM math.CO
Combinatorial identities related to degenerate Stirling numbers of the second kind
本文研究退化第二类 Stirling 数的性质、恒等式、递推关系与显式表达式，并结合退化 Euler 公式探讨相关多项式和幂级数。
2025-01-10 math.CO math.NT
Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in $π^{-2}$ and into the formal enveloping series with rational coefficients only
本文给出了广义欧拉常数（Stieltjes常数）$γ_m$的两个新的级数展开式。第一个扩展涉及第一类斯特林数，包含多项式$π^{-2}$与合理的系数和收敛略优于欧拉级数$\sum n^{-2}$。第二种展开式是仅含有理系数的半收敛级数。这种展开特别简单，并且涉及具有广义调和数的非线性组合的伯努利数。它还允许得到一个有趣的估计广义欧拉常数，这是更准确的比几个众所周知的估计。最后，在附录A中，读者还可以找到第一类斯特林数的两个简单的积分定义，以及它们的上界。
2016-12-16 math.CO math.CV math.NT
Generalized Cauchy identities, trees and multidimensional Brownian motions. Part I: bijective proof of generalized Cauchy identities
在本系列文章中，我们研究柯西等式的多维推广的组合学与多维布朗运动和布朗桥等连续对象之间的联系。在第一部分的系列，我们提出了一个双射证明多维推广的柯西身份。我们的双射使用定向平面树配备了一些线性订单。
2006-06-13 math.CO math.PR
Boson Operator Ordering Identities from Generalized Stirling and Eulerian Numbers
本文研究单模玻色子算符生成的代数中的排序恒等式，推导了玻色子串幂的两种展开方式，确定其系数为广义斯特林数与欧拉数，发展了相关计算理论并涵盖先前正规排序结果。
2024-02-09 math.CO quant-ph
Generalized Cauchy identities, trees and multidimensional Brownian motions. Part II: Combinatorial differential calculus
我们提出了一个类似的微分学，其中多项式的作用是由某些有序集和树。我们的组合微积分具有通常微积分的所有好的特征，并且具有所考虑的有序集的元素可能携带一些附加信息的优点。通过这种方式，第二作者以前的工作中的广义柯西恒等式的分析证明可以直接用我们的组合微积分新语言重新表述;此外，顶点所携带的附加信息唯一地确定了本系列第一部分中提出的双射。
2007-08-25 math.CO
Uniform treatments of Bernoulli numbers, Stirling numbers, and their generating functions
本文统一处理Bernoulli数和Stirling数，利用行列式公式和Faà di Bruno公式，建立多个函数的Maclaurin展开，并给出Bernoulli数的行列式、递推和闭式公式，以及Stirling数的组合恒等式。
2025-04-23 math.CA math.CO
The asymptotic expansion for the factorial and Lagrange inversion formula
利用一个初等函数的幂的导数，得到了自然数阶乘的渐近展开的系数的一个显式的简单公式。唯一的明确表达的系数，似乎是已知的是，在书中的L。孔泰，这是在第一种相关联的斯特林数的总和。通过考虑相关的第二类斯特林数的二元生成函数，根据我们的分析，还可以得出关于它们的系数的另一个表达式。比较与孔泰的表达产生的组合身份之间的第一和第二类相关的斯特林数。它通过类比提出了另一个可能的系数公式，用一个涉及对数的函数表示，事实上证明是正确的。由此产生的系数，以及第一个确定通过拉格朗日反演公式作为一对正式的系列，这使我们能够获得一些递归的逆的奇数系数。
2010-02-20 math.CA math.CO
Generating Function Transformations Related to Polylogarithm Functions and the $k$-Order Harmonic Numbers
定义了一类新的与多重对数函数、狄利克雷级数和欧拉和有关的生成函数变换。这些变换由序列生成函数的$j^{th}$导数和满足二元非三角递归关系的广义系数集的无穷和给出。广义变换系数与第二类Stirling数和第一类无符号Stirling数的已知调和数展开式具有许多类似的性质。我们证明了广义系数的一些性质，这些性质导致了$k$阶调和数列的新的递推关系和求和恒等式。我们在文章中定义的生成函数变换的其他应用包括多对数函数的新级数展开、交替zeta函数和周期性伯努利多项式的傅里叶级数。最后，我们讨论了几个具体的新的“几乎”的整数阶调和数和广义变换系数之间的线性递归关系，这提供了新的应用研究zeta函数常数，$ζ(k)$，在整数$k \geq 2$的极限行为的文章。
2016-10-30 math.CO math.NT
$q$-analogues of sums of consecutive powers of natural numbers and extended Carlitz $q$-Bernoulli numbers and polynomials
本文通过构造经典Appell序列的q-模拟框架，扩展了Carlitz q-Bernoulli数与多项式，并利用第二类q-Stirling数给出其显式级数表示和新连接公式。
2025-01-05 math.CO math.NT
Symmetric functions and a natural framework for combinatorial and number theoretic sequences
I.研究了幂级数的某些三元组。Macdonald等人给出了许多组合序列和数论序列的自然框架，如Stirling数、Bernoulli数、调和数和不同种类的分拆。这种三元组中的幂级数由来自对称函数理论的恒等式紧密联系在一起。我们推广了Z-H的工作。Sun和Macdonald提出了类似的想法，揭示了这些三元组的更多结构。De Moivre多项式在这项研究中发挥了关键作用。
2022-03-06 math.CO math.NT
Refined Cauchy and Littlewood identities, plane partitions and symmetry classes of alternating sign matrices
证明并猜想了一些新的对称函数恒等式，它们等价于1的生成级数。平面分割，受一定的限制和权重，和2。交替符号矩阵，服从某些对称性质。我们每个恒等式的左边是一个相关的柯西或利特尔伍德恒等式的简单精化，允许它们被解释为平面划分的生成级数。每个恒等式的右侧是六顶点模型在相关域上的分拆函数。这些可以被解释为交替符号矩阵生成系列，使用众所周知的双射与六顶点模型配置。
2014-05-30 math-ph math.CO math.MP
Formal residue and computer proofs of combinatorial identities
形式洛朗级数f（x）的x^{-1}的系数称为f（x）的形式剩余。许多组合数可以用超几何项的形式剩余表示。有了这些表示和扩展的Zeilberger算法，我们产生的递归关系求和涉及组合序列，如斯特林数。作为例子，我们给出了几个已知恒等式的计算机证明，并导出了一些新的恒等式。并对该方法的适用性进行了研究。
2011-09-28 math.CA math.CO
Closed-form formulas, determinantal expressions, recursive relations, power series, and special values of several functions used in Clark--Ismail's two conjectures
本文利用Faà di Bruno公式、偏Bell多项式恒等式及比值求导公式，系统建立了Clark--Ismail两个猜想中相关函数的闭式公式、行列式表达式、递推关系、幂级数与特殊值，并进一步得到Hessenberg矩阵行列式公式及相关数列的对数凸性。
2023-10-19 math.CA math.CO math.NT
