Bessel function asymptotics: a relation due to Lommel
P. L. Robinson
我们表明，贝塞尔函数的渐近关系$J_ν^2(z) + J_{ν+ 1}^2 (z) \sim 2/(πz)$的Lommel是有效的，当$z$是真实的，但可以失败，否则。
We show that the Bessel function asymptotic relation $J_ν^2(z) + J_{ν+ 1}^2 (z) \sim 2/(πz)$ of Lommel is valid when $z$ is real but can fail otherwise.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Discrete index transformations with Bessel and Lommel functions
指数变换的离散模拟，涉及贝塞尔和Lommel函数的介绍和研究。对适当的函数类和序列类建立了相应的反演定理。
On the zeros of the Hahn-Exton q-Bessel function and associated q-Lommel polynomials
对于贝塞尔函数\begin{equation} \label{bessel} J_ν(z) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \left( \frac{z}{2} \right)^{ν+2k}}{k! Γ(ν+1+k)} \end{equation}，存在几个$q$ -类似物。最古老的$q$ -贝塞尔函数的类似物是由F. H.杰克逊在本世纪初，见M。E. H. Ismail \cite{Is1}获取相应参考。另一个$q$ -贝塞尔函数的类似物已由W. Hahn在一个特殊的情况下和H.埃克斯顿在充分的一般性，见R。F. Swarttouw \cite{Sw1}了解历史概况。在这里，我们专注于属性的哈恩-埃克斯顿$q$ -贝塞尔函数，特别是其零点和相关的$q$ -Lommel多项式。
Asymptotic formulae for the Lommel and Bessel functions and their derivatives
我们得到新的近似表示的Lommel函数的评分函数和近似表示的一阶导数的Lommel函数的评分函数的导数。使用相同的方法，我们获得了先前已知的近似表示的尼科尔森型贝塞尔函数及其一阶导数。我们还研究了我们的表示具有合理的精度的参数值。
Orthogonal polynomials and Laurent polynomials related to the Hahn-Exton q-Bessel function
与Hahn-Exton $q$ -Bessel函数相关的Laurent多项式是Lommel多项式的$q$ -类似物，由Koelink和Swarttouw引入.给出了Laurent $q$ -Lommel多项式与之正交的显式强矩泛函。强矩泛函产生两个正定矩泛函。对于相应的正交多项式集的正交性措施确定使用三项递归关系作为起点。第二类切比雪夫多项式与Laurent $q$ -Lommel多项式及相关函数之间的关系被用来获得后者的估计。
Uniform asymptotic expansions for Lommel, Anger-Weber and Struve functions
使用微分方程的方法渐近展开严格获得Lommel，韦伯，Anger-Weber和Struve功能，以及诺依曼多项式，其中每一个是一个解决方案的非齐次贝塞尔方程。该近似涉及Airy和Scorer函数，并且对于大实阶$ν$和无界复宗量$z$是一致有效的.一个有趣的并发症是识别的Lommel功能与新的渐近解，为了做到这一点，有必要考虑某些部门的复平面，以及引进新形式的Lommel和Struve功能。
Ratios of Hahn--Exton $q$-Bessel functions and $q$-Lommel polynomials
在1993年Delest和Fédou表明，一个生成函数的连接斜形状是一个比率$J_{ν+1}/J_ν$的哈恩-埃克斯顿$q$ -贝塞尔函数时，参数$ν$是零。他们指出，当$ν$是一个非负整数时，生成函数的系数是有理函数，其分子和分母是$q$中具有非负整数系数的多项式，这是一个$q$ -类似于Kishore 1963年关于贝塞尔函数的结果。本文的第一个主要结果是Delest和Fédou猜想的证明。第二个主要结果是Delest和Fédou的结果的改进：一个有界对角线的连接斜形状的生成函数作为Koelink和Swarttouw引入的$q$ -Lommel多项式的比率给出。还证明了比值$J_{ν+1}/J_ν$有两种不同的连分数表达式，它们分别给出了$R_I$型正交多项式矩的母函数和通常正交多项式矩的母函数.由于Flajolet和Viennot的正交多项式技术被使用。
On subnormal solutions of periodic non-homogeneous linear differential equations, special functions and special polynomials
本文给出了Gundersen和Steinbart于1994年首次研究的一类二阶非齐次周期线性微分方程次正规解的一种新的完整描述。我们已经建立了一个以前未知的关系，一般的解决方案（\textit{i.e.}，是否低于正常或不）的DE可以解决明确的经典特殊函数，即贝塞尔，Lommel和Struve功能，这是重要的，因为它们的许多物理应用。特别是，我们表明，次正常的解决方案是书面明确的退化Lommel功能$S_{μ, ν}(ζ)$和几个经典的特殊多项式相关的贝塞尔函数。事实上，我们解决了一个等价的问题，在特殊函数，每个分支的Lommel函数$S_{μ, ν}(ζ)$退化当且仅当$S_{μ, ν}({\rm e}^z)$有有限的增长阶在$\mathbf{C}$。我们通过证明这些函数的新性质和恒等式来实现这一目标。一些半经典的量子化型的结果得到的后果。因此，我们的结果不仅恢复和推广的结果Gundersen和Steinbart \cite{GS94}，但新的身份和性质发现的Lommel功能是独立的兴趣在更广泛的背景下。
On the large argument asymptotics of the Lommel function via Stieltjes transforms
本文的目的是详细研究已知的Lommel函数的大辐角渐近级数的斯蒂尔切斯变换表示。我们得到了一些性能的渐近展开，包括明确的和现实的误差界，指数改进的渐近展开，和光滑过渡的Stokes间断。一个有趣的后果有关的大参数渐近级数的斯特鲁夫函数也被证明。
The radius of convexity of normalized Bessel functions
确定了阶数介于$-2$和$-1.$之间的两个第一类正规化Bessel函数的凸半径.我们的方法包括调和函数的最小值原理，Dini函数的Hadamard分解，Dini函数零点的Lommel多项式性质以及复数和实数的不等式.
Bounds for radii of starlikeness and convexity of some special functions
本文考虑第一类正规化Bessel、Struve和Lommel函数，利用关于特殊函数组合的第一正零点的Euler-Rayleigh不等式，得到了这类函数的星形半径的紧下界和上界.通过考虑Bessel函数和Struve函数的两种不同的正规化，给出了同一函数的凸半径的一些不等式。另一方面，我们证明了一些正规化的Struve和Lommel函数的单叶性半径正好是相同函数的星形半径。此外，利用Ismail和Muldoon的一些思想，我们给出了一些规范化Struve函数和Lommel函数导数零点的新的上下界上界.实整函数的Laguerre-Pólya类在我们的研究中起着重要的作用。
The asymptotic zero distribution of Lommel polynomials as polynomials of the order with a variable complex argument
我们研究了Lommel多项式作为一个变量和纯虚参数的阶多项式的根的渐近分布。根是复杂的，并积累在复平面的某些曲线上。我们证明了相应的根计数测度的弱极限的存在性，并推导出支持曲线和密度的公式。所得到的结果代表了一个更一般的问题，这仍然是开放的一个可解的例子。并对主要结果进行了数值分析。
Bounds for the radii of univalence of some special functions
利用Euler-Rayleigh不等式得到了第一类正规化Bessel、Struve和Lommel函数的单叶半径的紧上下界上界.还证明了Struve函数的单叶性半径大于相应的Bessel函数的单叶性半径。利用Kreyszig，Todd和Wilf的思想，证明了某些正规化Struve函数和Lommel函数的单叶性半径恰为同一函数的星形半径. Laguerre-Pólya整函数类在我们的研究中起着重要的作用。
Error bounds for the large-argument asymptotic expansions of the Lommel and allied functions
本文重新考虑Lommel函数$S_{μ,ν}(z)$及其导数的大$z$渐近展开式.新的表示的剩余项的渐近展开被发现，并用于获得尖锐和现实的误差界。我们还给出了这些余项的再展开式，并给出了它们的误差估计。应用于Anger-Weber型函数、Scorer函数、Struve函数及其导数的渐近展开。详细讨论了我们的误差界的尖锐性，并给出了数值例子。
Close-to-convexity of some special functions and their derivatives
本文的目的是推导出一些特殊函数及其导数接近凸的充分（必要）条件，如Bessel函数、Struve函数和第一类Lommel函数的特殊情形，它们可以用超几何函数${}_1F_2$表示.我们证明的关键工具是Shah和Trimble关于带单叶导数的超越整函数的一个结果。此外，Pólya关于整函数的一个已知结果、关于第一类Bessel、Struve和Lommel函数零点的无穷乘积表示和一些结果被用来实现本文的主要结果.
Special values of the Lommel functions and associated integrals
Lommel函数的特殊值允许计算菲涅耳积分。这些封闭形式的表达式以及它们的渐近值的报告。
Bounds for modified Lommel functions of the first kind and their ratios
修正的Lommel函数$t_{μ,ν}(x)$是一个重要的特殊函数，但关于$t_{μ,ν}(x)$的函数不等式问题，迄今为止还没有什么进展.在本文中，我们大大提高了文献通过获得一个简单的双边不等式的比率$t_{μ,ν}(x)/t_{μ-1,ν-1}(x)$的比率$I_ν(x)/I_{ν-1}(x)$的第一类修改贝塞尔函数，从而使人们能够利用广泛的文献界这个比率。我们应用这个结果得到的条件数$xt_{μ,ν}'(x)/t_{μ,ν}(x)$，比率$t_{μ,ν}(x)/t_{μ,ν}(y)$和修改的Lommel函数$t_{μ,ν}(x)$本身的双边不等式，分别在$xI_ν'(x)/I_ν(x)$，$I_ν(x)/I_ν(y)$和$I_ν(x)$。本文所得到的界是相当精确的，并且在一定的限度内往往是紧的。作为一个重要的特殊情况下，我们推导出修改后的Struve函数的第一类和它们的比率，其中一些是新的，而其他的一些结果在最近的文献中给出的有效性范围。
On the generalized interlacing property for the zeros of Bessel functions
本文研究了 Bessel 函数在 $|ν-μ|>2$ 时的广义交错性质及其与 Lommel 多项式零点的补偿作用，并将该性质扩展至柱函数与 Bessel 函数导数，同时证明了 Siegel 对 Bourget 假设的扩展无法推广至任意实数。
Three-Term Recurrence Relations for Confluent Basic Hypergeometric Series with Applications to q-Bessel Functions
本文推导了连通基本超几何级数的三项递推关系，并应用于q-贝塞尔函数的递推关系研究。
Riccati type recursions for some infinite series involving zeros of Bessel functions of the first kind
研究涉及第一类贝塞尔函数正零点的无穷级数，针对现有计算方法，提出一种依赖米塔格 - 莱夫勒展开、黎卡提微分方程及泰勒级数系数的递归算法，可产生级数值，有助于处理类似特殊函数零点无穷级数问题。
Orthogonal polynomials associated with Coulomb wave functions
引入了一类与库仑波函数相关的正交多项式。这些多项式发挥的作用类似于Lommel多项式在贝塞尔函数理论中的作用。明确描述了这个新类的正交性的措施。此外，还在更一般的层次上讨论了正交性测度问题。除此之外，为新的正交多项式导出的各种恒等式可以看作是从贝塞尔函数理论中已知的一些公式的推广。在这些推导中的一个关键作用是由雅可比（三对角）矩阵$J_{L}$，其特征值符合倒数值的经常库仑波函数$F_{L}(η,ρ)$的零。对应于经常库仑波函数，或更准确地说，相应的三对角矩阵的频谱zeta函数进行了研究。
Bounds and asymptotic expansions for the radii of convexity and uniform convexity of normalized Bessel functions
本文研究规范化Bessel函数在大阶数下的凸性半径与一致凸性半径，给出渐近展开、递推关系及广义界，主要工具为渐近反演法和Rayleigh和。
Asymptotic behavior and zero distribution of polynomials orthogonal with respect to Bessel functions
我们考虑多项式$P_n$关于$[0,\infty)$上的权重$J_ν$正交，其中$J_ν$是阶为$ν$的贝塞尔函数。Asheim和Huybrechs认为这些多项式与复高斯正交振荡积分。他们观察到零是复数，并在垂直线$\textrm{Re}\, z = \frac{νπ}{2}$附近积累为$n \to \infty$。我们证明这一事实的情况下$0 \leq ν\leq 1/2$从强渐近公式，我们推导出多项式$P_n$在复平面。我们的主要工具是正交多项式的黎曼-希尔伯特问题，适当修改，以涵盖目前的情况，和Deift-Zhou最速下降法。工作的一个主要部分是致力于建设一个本地参数的起源，我们给出了一个存在性证明，只适用于$ν\leq 1/2$。
Asymptotics of some integrals involving modified Bessel and hyper-Bessel functions
研究了类似于Ball积分\[\int_0^\infty \left(\frac{Γ(1+ν)|J_ν(x)|}{(x/2)^ν}\right)^{\!n}dx\]的积分在大$n$中的渐近展开，其中Bessel函数$J_ν(x)$分别被修正的Bessel函数$I_ν(x)$和$K_ν(x)$以及适当的指数因子$e^{\mp x}$所取代.上述积分与$J_ν(x)$取代超贝塞尔函数的类型最近讨论的Aktas { \it等人}。[The Ramanujan J.，2019]并在由函数的第一个正零点确定的有限区间上进行，也考虑用于$n\to\infty$。我们在附录中给出了$x\to+\infty$的超Bessel函数的主要渐近性质。数值例子来说明所获得的各种扩展的准确性。
Jacob's ladders, Bessel's functions and the asymptotic solutions of a new class of nonlinear integral equations
本文证明了黎曼ζ函数$\zf$与Bessel函数之间的联系。在此基础上，引入了一类新的非线性积分方程。
Uniform asymptotic expansions for the zeros of Bessel functions
本研究针对含大参数和简单转向点的常微分方程，提出不含Airy函数导数的重新表述一致渐近展开，进而得到对大阶数所有零点一致有效的贝塞尔函数及其导数零点的显式初等系数渐近展开。
Large Degree Asymptotics of Generalized Bessel Polynomials
给出了广义Bessel多项式$Y_n^μ(z)$的$n$的大值渐近展开式。该分析是基于从多项式的生成函数的积分。给出了一个新的简单展开式，它在$z-$平面上原点的紧邻域外是有效的。导出了在不含转折点$z=\pm i/n$的扇区中有效的初等函数展开式的新形式，并给出了一种新的修正贝塞尔函数展开式.讨论了Wong和Zhang（1997）及Dunster（2001）关于广义Bessel多项式的早期渐近展开.
The resurgence properties of the large order asymptotics of the Hankel and Bessel functions
本文的目的是利用M。V. Berry和C. J. Howls（Berry and Howls，Proc. R.长索克A 434（1991）657- 675）。利用这些表示，我们得到了由德拜引起的Hankel和Bessel函数的高阶渐近展开的一些性质，包括明确的和实际的误差界，后期系数的渐近性，指数改进的渐近展开，以及Stokes间断的光滑过渡.
Error bounds for the large-argument asymptotic expansions of the Hankel and Bessel functions
本文重新考虑了Hankel函数、Bessel函数和修正Bessel函数及其导数的大宗量渐近展开。这些渐近展开的剩余项的新的整表示被发现，并用于获得尖锐的和现实的误差界。我们还给出了这些余项的再展开式，并给出了它们的误差估计。详细讨论了我们的误差界的锐度和它们与文献中其他结果的关系。本文中使用的技术也应该推广到渐近展开，它产生于应用的最速下降法。
Uniform asymptotic expansions for Bessel functions of imaginary order and their zeros
本文针对虚阶贝塞尔函数，推导了在无界复域中均匀有效且误差界更简单的两类渐近展开，并进一步构造了其零点在大虚阶下无大小限制的均匀渐近展开。
A note on the asymptotics of the modified Bessel functions on the Stokes lines
本文采用作者[Appl.Math.Sci.]中讨论的Stokes线上的汇合型超几何函数的指数改进的渐近展开式。{ \bf 7}（2013）6601- 6609]给出了对于$\arg\,z=\pmπ$上的大$z$和有限$ν$（并且，在$I_ν(z)$的情况下，也在$\arg\,z=0$上）的修改的贝塞尔函数$I_ν(z)$和$K_ν(z)$的类似扩展。数值结果说明了这些扩展的准确性。
Asymptotic expoansions of mathieu-Bessel series. I
我们考虑Mathieu-Bessel级数\[S_ν(a,b)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^γJ_ν(nb/a)}{(n^2+a^2)^μ}, \qquad (μ, b>0,\ γ, ν\in {\bf R})\]的渐近展开式为$a\to+\infty$，其中$J_ν(x)$是第一类阶$ν$的Bessel函数.当$γ+ν$是正偶数整数时，出现特殊情况，其中展开式包括有限代数项以及指数小展开式。数值例子来说明各种扩展的准确性。考虑了$S_ν(a,b)$的交替变体的扩展。简要介绍了用贝塞尔函数$Y_ν(x)$代替$J_ν(x)$函数时的系列。
Asymptotic expansion of Mathieu-Bessel series. II
我们考虑Mathieu-Bessel级数\[S_{ν,γ}^μ(a,b)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^γK_ν(nb/a)}{(n^2+a^2)^μ}, \qquad (μ>0, ν\geq 0, b>0, γ\in {\bf R})\]的渐近展开式为$|a|\to\infty$在$|\arg\,a|<π/2$中的渐近展开式，其中$K_ν(x)$是第二类阶修正Bessel函数$ν$ .我们采用梅林变换的方法来确定一个整表示的$S_{ν,γ}^μ(a,b)$涉及的黎曼ζ函数。这个积分的渐近估计涉及适当的留数计算。数值例子来说明每种类型的扩展获得的精度。还考虑了$S_{ν,γ}^μ(a,b)$的交替变体的扩展。
The asymptotic expansion of the Humbert hyper-Bessel function
本文考虑由\[J_{m,n}(x)=\frac{(x/3)^{m+n}}{m! n!}\,{}_0F_2(-\!\!\!-;m+1, n+1; -(x/3)^3)\]用${}_0F_2$超几何函数表示的Humbert超Bessel函数的渐近展开为$x\to+\infty$，其中$m$，$n$不一定是非负整数.特别注意的是指数小的贡献的确定。使用的主要方法是作者所描述的（J. COMPUT。{ \bf 234}（2010）488-504）;还通过将鞍点方法应用于包含贝塞尔函数的整表示来获得首阶估计。数值结果证明了复合展开的准确性。
An asymptotic expansion for a sum of modified Bessel functions with quadratic argument
本文研究了自变量二次依赖于\[S_ν(a)=\sum_{n\geq 1} (\frac{1}{2} an^2)^{-ν} K_ν(an^2)\qquad (|\arg\,a|<π/2)\]作为参数$|a|\to 0$给出的求和指数的修正Bessel函数的和.它示出，正实数$a$ -轴是斯托克斯线，其中无限数量的越来越次显性指数小的条款存在于渐近展开进行平滑，但快速，过渡，因为这条射线是交叉。特别注意的是致力于通过积极的值作为$a\to 0$的斯托克斯线上的扩展的细节。数值结果支持渐近理论。
Some asymptotics for the Bessel functions with an explicit error term
我们证明了如何从适当的上界出发，得到满足二阶微分方程的具有非常明确的误差项的特殊函数的渐近表达式。我们将计算出贝塞尔函数$J_ν(x)$和艾里函数$Ai(x)$的细节，并找到它们零点的精确逼近。我们还回答了Olenko提出的问题，证明了对于某些显式数值常数$c_1$和$c_2.$，$$c_1 | ν^2-1/4\,| < \sup_{x \ge 0} x^{3/2}|J_ν(x)-\sqrt{\frac{2}{πx}} \, \cos (x-\frac{πν}{2}-\fracπ{4}\,)| <c_2 |ν^2-1/4\,|, $$ $ ν\ge -1/2 \, ,$
High-order derivatives of the Bessel functions with an application
我们确定了贝塞尔函数$J_ν(a)$和$K_ν(a)$的$n$阶导数的渐近行为，其中$a$是一个固定的正量，作为$n\to\infty$。这些结果被施加到两个不完全拉普拉斯变换的这些贝塞尔函数的区间$[0,a]$作为变换变量$x\to+\infty$的渐近评价。类似的评价积分涉及贝塞尔函数$Y_ν(t)$和$I_ν(t)$简要提及。
Asymptotics of a sum of modified Bessel functions with non-linear argument
本文研究了变元非线性地依赖于由\[S_{ν,p}(a)=\sum_{n\geq 1} (an^p/2)^{-ν} K_ν(an^p)\qquad (a>0,\ 0\leqν<1)\]给出的求和指数作为参数$a\to 0+$的修正Bessel函数的和，其中$p$表示满足$p\geq 2$的整数.这扩展了以前的工作情况$p=1$（线性）和$p=2$（二次）。作为$a\to0+$的扩展由涉及黎曼ζ函数的无穷多个渐近和组成，当最佳截断时，其导致在参数$a$中呈指数小的剩余项。这些指数小的条款与每个最佳截断渐近和的数量被发现增加与$p$。
On Basic Fourier-Bessel Expansions
当使用第三杰克逊（也称为哈恩-埃克斯顿）$q$ -贝塞尔函数处理傅立叶展开时，相应的正零点$j_{kν}$和“移位”零点$qj_{kν}$等起着至关重要的作用。混合经典分析与$q$ -分析，我们能够证明这些零和“移位”的，以及第三杰克逊$q$ -贝塞尔函数的渐近行为时，计算的“移位”的零点之间的渐近关系。一个版本的$q$ -模拟的黎曼-勒贝格定理的范围内的基本傅里叶-贝塞尔扩展也展出。
Integral representations and asymptotic expansions for the second type Neumann series of Bessel functions of the first kind
本文针对一类含参数的第一类贝塞尔函数第二类诺伊曼级数，推导出完全显式的积分表示，并给出带显式项的渐近展开，从而揭示贝塞尔函数导数级数的渐近行为。
Asymptotic behavior of zeros of Bessel function derivatives
本文导出了贝塞尔函数$n$阶导数零点的两种渐近展开，分别针对$k$或$ν$趋于无穷的情况，并建立显式误差界，扩展并细化了相关经典工作。
The asymptotics a Bessel-kernel determinant which arises in Random Matrix Theory
在随机矩阵理论中，在硬边标度极限下的拉盖尔酉包络和雅可比酉包络的局部相关性可以用贝塞尔核（包含参数$α$）来描述。特别地，所谓的硬边间隙概率可以表示为限定在有限区间[0，R]上的相应积分算子的弗雷德霍姆行列式。利用算子理论的方法，我们将计算它们的渐近R走向无穷在一定的假设下的参数$α$。
An asymptotic for the K-Bessel function using the saddle-point method
使用鞍点方法，我们计算一个渐近，作为$y \rightarrow \infty$，为$K$ -贝塞尔函数$K_{r + i t}(y)$与积极的，实参数$y$和大的复杂顺序$r+it$，其中$r$是有界的$t = y \sin θ$为一个固定的参数$0\leq θ\leq π/2$或$t= y \cosh μ$为一个固定的参数$μ>0$。我们的方法给出了一个说明性的证明，使用基本的工具，这个已知的结果，并解释了这些渐近性是如何来的。作为证明的一部分，我们证明了一个新的结果，即$t= y \cosh μ$情形下$K_{r + i t}(y)$的一个新的积分表示。这个积分表示只涉及一个鞍点。
Theory of Fundamental Bessel Functions of High Rank
在这篇文章中，我们将研究由任意秩$n$和域$\mathbb{F} = \mathbb{R}$或$\mathbb{C}$的Vorono-summary求和公式产生的$\mathrm{GL}_n(\mathbb{F})$的基本Bessel函数，重点是发展它们的解析和渐近理论。基本贝塞尔函数的形式整表示和贝塞尔微分方程是我们研究基本贝塞尔函数的主要工具和对象。我们将证明基本贝塞尔函数的渐近公式和贝塞尔微分方程的显式联系公式。
Scaled Asymptotics For Some $q$-Series
在这项工作中，我们调查的渐近欧拉的$q$ -指数$E_{q}(z)$，$q$ -Γ函数$Γ_{q}(z)$，Ramanujan的功能$A_{q}(z)$，杰克逊的$q$ -贝塞尔函数$J_ν^{(2)}$（z;q）的第二类，Stieltjes-Wigert正交多项式$S_{n}(x;q)$和$q$ -Laguerre多项式$L_{n}^{(α)}(x;q)$作为$q$接近1。
The resurgence properties of the Hankel and Bessel functions of nearly equal order and argument
本文的目的是利用M. V. Berry和C. J. Howls（Berry and Howls，Proc. R.长索克A 434（1991）657- 675）。使用这些表示，我们得到了一些性质的渐近展开的Hankel和Bessel函数及其衍生物的几乎相同的顺序和参数，包括明确的和数值计算的误差界，渐近的后期系数，指数改进的渐近展开，和光滑过渡的Stokes间断。
The asymptotics of the generalised Bessel function
我们演示了如何渐近大$|z|$的广义贝塞尔函数\[{}_0Ψ_1(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{Γ(an+b) n!},\]，其中$a>-1$和$b$是任何数字（实数或复数），可以通过利用完善的渐近理论的广义赖特函数${}_pΨ_q(z)$。这个理论的总结给出了一个算法，用于确定相关的指数展开的系数进行了讨论，在附录中。我们特别注意的情况下$a=-1/2$，其中的扩展$z\to\pm\infty$包括一个指数小的贡献，经历了斯托克斯现象。我们还研究了不同性质的渐近展开作为$\arg\,z$的功能时$-1<a<0$，考虑到斯托克斯现象，发生在射线$\arg\,z=0$和$\arg\,z=\pmπ(1+a)$的相关功能${}_1Ψ_0(z)$。这些区域比赖特在1940年的论文中给出的区域更精确。进行了数值计算，以验证几个扩展的文件。
Uniform Asymptotic approximation and numerical evaluation of the Reverse Generalized Bessel Polynomial zeros
本文推导了大次数反广义Bessel多项式零点的一致渐近展开，证明其在中等或大 $n$ 值时高精度且一致有效，并以此作为高效数值算法的初始值来计算剩余复数零点。
Turán type inequalities for general Bessel functions
本文给出了一般Bessel函数的若干Turán型不等式及其对数导数的单调性和界.此外，我们还找到了一般Bessel函数的Turánian级数表示和相对极值。证明的关键工具是贝塞尔函数的递推关系和一些渐近关系。
Joint asymptotic expansions for Bessel functions
研究 Bessel 函数自变量与阶数同时趋于无穷时的渐近展开问题，利用 blow-up 分析获得适用于任意区域的联合渐近展开，并应用于谱理论中圆盘 Dirichlet 特征值的研究。
Mehler-Heine asymptotics for multiple orthogonal polynomials
Mehler-Heine渐近性描述了正交多项式在支持正交性测度的区间边缘附近的行为。对于雅可比多项式和拉盖尔多项式，硬边附近的渐近行为涉及贝塞尔函数$J_α$。我们证明了多个正交多项式的测度在区间端点附近的渐近行为涉及到Bessel函数的推广。所考虑的多个正交多项式是Jacobi-Angelesco多项式、Jacobi-Piñabel多项式、多个Laguerre多项式、与修改的Bessel函数（第一类和第二类）相关联的多个正交多项式以及与Meijer $G$ -函数相关联的多个正交多项式。
A Recursive Method for Computing Certain Bessel Function Integrals
我们调查家庭的积分涉及修改贝塞尔函数的背景下产生的中微子散射。推导了计算这些积分的递推公式，并计算了它们的渐近展开。我们证明在某些情况下，渐近展开产生的确切结果后，有限数量的条款。在每一种情况下，我们推导出一个公式，该公式限制了扩张终止的顺序。本文提出的计算方法适用于涉及贝塞尔函数或修正贝塞尔函数的类似积分族。
Error bounds for a uniform asymptotic approximation of the zeros of the Bessel function $J_ν(x)$
针对正阶$ν$的第一类贝塞尔函数$J_ν(x)$的正零点$j_{ν,m}$，研究了一种对$m$和$ν$中一个或两个无界时一致有效的近期渐近展开式，推导了其前三项与$j_{ν,m}$差值的显式上下误差界，且误差界接近首个被忽略项的值。
Whittaker functions with one or both parameters large: simplified uniform asymptotic expansions involving Bessel and Airy functions
该研究针对$\kappa \to \infty$时的惠特克函数$W_{\kappa,\mu}(z)$、$M_{\kappa,\mu}(z)$及相关函数，基于关联微分方程推导了涉及贝塞尔函数与艾里函数的简化一致渐近展开式，可覆盖复$z$平面主分支并可扩展至所有分支及负$\mu$。
On the order derivatives of Bessel functions
研究了自变量为x（实或复）的Bessel函数关于ν阶的导数.代表性的积分，涉及的产品对贝塞尔函数，并反过来获得这些积分系列的扩展。从新的整表示出发，构造了包含Airy函数的阶导数的渐近逼近，其中ν是大的，且对无界正实x一致有效.
Simplified Airy function Asymptotic expansions for Reverse Generalised Bessel Polynomials
本文为反向广义贝塞尔多项式推导出基于艾里函数和 Liouville-Green 表示的简化均匀渐近展开，并给出系数函数的显式递推计算，适用于大阶数下包含转向点的广泛参数范围。
Eisenstein series and an asymptotic for the $K$-Bessel function
我们产生一个估计的$K$ -贝塞尔函数$K_{r + i t}(y)$与积极的，真正的参数$y$和大复杂的顺序$r+it$其中$r$是有界的$t = y \sin θ$为一个固定的参数$0\leq θ\leq π/2$或$t= y \cosh μ$为一个固定的参数$μ>0$。特别地，我们计算$K_{r + i t}(y)$的渐近展开的主导项为$y \rightarrow \infty$。当$t$和$y$接近（或相等）时，我们也给出了一致估计。作为这些估计的一个应用，我们给出了当$1/2 \leq r \leq 3/2$时，每个不等价尖点$κ_j$的权零（实解析）爱森斯坦级数$E_0^{(j)}(z, r+it)$的界。
On the $ν$-zeros of the Bessel functions of purely imaginary order
纯虚阶贝塞尔函数的$ν$ -零点被检查为固定参数$x>0$。在第二类修正贝塞尔函数$K_{iν}(x)$的情况下，已知它具有由$ν_n\sim πn/\log\,n$描述为$n\to\infty$的实数$ν$ -零的可数无穷序列。在这里，我们应用一个统一的方法来确定渐近估计的$ν$ -零的修改贝塞尔函数$L_{iν}(x)\equiv I_{iν}(x)+I_{-iν}(x)$和$K_{iν}(x)$和普通贝塞尔函数$J_{iν}(x)\pm J_{-iν}(x)$。
Asymptotic evaluations of generalized Bessel function of order zero related to the p-circle lattice point problem
本文针对 p 圆格点问题，研究零阶广义 Bessel 函数，给出不同 p 范围下紧集及全平面上的一致渐近估计。
Computation of asymptotic expansions of turning point problems via Cauchy's integral formula: Bessel functions
本文提出利用柯西积分公式高精度计算具有大实参数的二阶微分方程转折点问题的渐近展开，重点在于贝塞尔函数的Airy型展开。
Properties of the Turánian of modified Bessel functions
本文给出了第一类修正Bessel函数的Turán行列式的一些新的级数和整表示，从而给出了该问题中Turán行列式的新的渐近展开和紧界.结果表明，在自然和实序的情况下，Turánian可以表示为一个相对紧凑的形式，从而给出了第一类修正Bessel函数的Turán行列式的一个统一的上界.我们的结果补充和改进了文献中的一些结果。
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