Arithmetic properties of series of reciprocals of algebraic integers
Simon Bruno Andersen, Simon Kristensen
我们得到的结果绑定的程度系列$\sum_{n=1}^{\infty} 1/α_n$，其中$\{α_n\}$是一个序列的代数整数满足一定的代数条件和增长条件。我们的结果推广了Erdens，Hančl和Nair的结果.
We obtain results bounding the degree of the series $\sum_{n=1}^{\infty} 1/α_n$, where $\{α_n\}$ is a sequence of algebraic integers satisfying certain algebraic conditions and growth conditions. Our results extend results of Erdős, Hančl and Nair.
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继续探索
On the arithmetic and the geometry of skew-reciprocal polynomials
我们重新制定莱默的问题从1933年和一个问题，由于Schinzel和Zassenhaus从1965年的比较方面的马勒措施和房屋，分别为一元整数倒数和斜倒数多项式的相同程度。这意味着理解方向保持和方向反转映射类之间的区别至少和回答这些问题一样复杂。
The elementary symmetric functions of reciprocals of the elements of arithmetic progressions
令$a$和$b$为正整数。在1946年，Erdés和Niven证明了只有1000个正整数$n$使得$1/b, 1/(a+b),..., 1/(an-a+b)$的一个或多个初等对称函数是整数。本文证明了对任意整数$k$和$1\le k\le n$，除了$b=n=k=1$和$a\ge 1$，或$a=b=1, n=3$和$k=2$之外，$1/b, 1/(a+b),..., 1/(an-a+b)$的$k$阶初等对称函数不是整数.这改进了Erdens-Niven定理，并回答了Chen和Tang在2012年提出的一个公开问题。
Algebraic independence of reciprocal sums of certain Fibonacci-type numbers
本文研究了Fibonacci数列与Lucas数列的某些倒数和的代数无关性。还考虑了更一般的二进制递归。主要的工具是马勒的方法减少调查的代数独立的功能价值的一个功能，如果这些满足某些类型的函数方程。
The reciprocal algebraic integers having small houses
令$α$是次数为$d$的代数整数，它是倒数。$α$的房子是其共轭物的最大模数。证明了倒数$α$的$d$的次幂有一个极限点.给出了反互易六项范数的一个性质。我们计算具有最小多项式的次数$d$的所有倒数代数整数的房子的最小值，该最小多项式是具有至多8个单项式的$D$次倒数或反倒数多项式的因子，例如$\mathrm{mr}(d)$，对于至多180的$d$，$D\le 1.5d$和$D\le 210$。我们表明，它是没有必要考虑非本原多项式。计算结果表明有几种可能性。
The House of a Reciprocal Algebraic Integer
令$α$是次数为$d$的代数整数，它是倒数。$α$的房子是其共轭物的最大模数。我们计算的房子的所有倒数代数整数的次数$d$不是根的单位，说$\mathrm{mr}(d)$，为$d$至多34。我们证明了几个引理，并使用它们来避免不必要的计算。计算结果表明有几种可能性。最后一个的直接结果是Schinzel和Zassenhaus的猜想。我们证明了$d$ -th权力的房子$α$的效用。
Algebraic degree of series of reciprocal algebraic integers
该研究针对互反代数整数相关级数的ℚ线性组合，给出了其代数次数大于任意固定整数的充分条件，涉及模快速增长的代数整数与有界正整数系数的设定。
Short Note: Every Large Set of Integers Contains a Three Term Arithmetic Progression
我表明，一个平凡的修改标准证明罗斯定理的三倍在等差数列将导致以下定理：如果A是一个“大集合”，即它的元素是单调递增的整数和倒数的总和，其元素发散，然后序列包含一个等差数列的长度为3。
On sequences of positive integers having no $p$ terms in arithmetic progression
本文利用拓扑思想证明，假设Erd“（o）s关于等差数列中不含$p$项的正整数子集的猜想（A. P.），必须存在A中没有$p$项的正整数的子集$M_p$。P.具有这样的性质，即在所有这样的子集中，$M_p$使其元素的倒数之和最大化。
Sums of reciprocals and the three distance theorem
本文研究模1等差数列倒数的和，即$\{nα-γ\}^{-1}$的和，其中$α$和$γ$是实参数，$\{\,\cdot\,\}$是实数的小数部分.这些和的界限已经研究了很长一段时间，而在各种应用。在本文中，我们开发了另一种技术获得上界的总和，并获得新的有效和完全明确的结果。该技术使用所谓的三距离定理。
Arithmetic geometry of algebraic curves and their moduli space
我们回顾了以下主题：1。代数曲线及其模空间的基本理论，2。黎曼曲面的Schottky单值化理论及其推广，称为算术单值化理论。将这些理论应用于代数曲线的模空间的运算，特别是应用于该空间上的自守形式。
Solutions to arithmetic differential equations in algebraically closed fields
证明了代数微分方程理论中的主要例子具有显著的全微分超收敛性质。这使得人们可以考虑这些方程的解决方案与坐标在代数闭域。
Algebraic independence of arithmetic gamma values and Carlitz zeta values
我们考虑了F_q[theta]的算术Γ函数在真分数处的值和Zeta函数在正整数处的值，并给出了它们的完全代数无关性结果。
The reciprocals of some characteristic 2 "theta series"
设l= 2 m +1，m>0。我们引入m“θ-级数”，[1]，.，[m]，在Z/2[[x]]中。已经证明，1/[i]中的系数x^n为1的n形成密度为0的集合。这可能永远是假的，但在某些情况下，对于限制于某些等差数列的n，它是真的。我们证明了这样的零密度的结果，使用理论的模形式，并推测什么可能是真的一般。
Linear independence results for certain sums of reciprocals of Fibonacci and Lucas numbers
本文的目的是给出某些级数的值线性无关的结果。作为应用，我们得到了与某些互质序列$\{n_\ell\}_{\ell\geq1}$相关的Fibonacci数和Lucas数的倒数和的算术性质.例如，三个数\[ 1,\qquad\sum_{p\text{:prime}}^{}\frac{1}{F_{p^2}},\qquad\sum_{p\text{:prime}}^{}\frac{1}{L_{p^2}} \]在$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$上线性无关，其中$\{F_n\}$和$\{L_n\}$分别是斐波那契数和卢卡斯数。
A precise result on the arithmetic of non-principal orders in algebraic number fields
令$R$是代数数域中的阶。如果$R$是主序，则关于它的算术有许多显式的结果.其中，$R$是半阶乘的当且仅当$R$的类群最多有两个元素。对非主要订单的了解要少得多。利用一种新的半群理论方法，研究了代数数域中非主序的半因子性及进一步的算术性质。
An arithmetic characterization of some algebraic functions and a new proof of an algebraicity prediction by Golyshev
本文给出代数幂级数系数序列的新算术刻画，要求对应微分方程仅有代数解，从而推广Delaygue–Rivoal的结果，并给出Golyshev代数性预测的新简短证明。
Addendum to "Arithmetic exponent pairs of algebraic trace functions and applications"
本附录致力于在我们的合作著作《代数迹函数的算术指数对及其应用》（Arithmetic exponent pairs for algebraic trace functions and applications）中对不等式（9.14）进行详细证明，并附有威尔·萨温的附录，arXiv：1603.07060 [math.NT]，该附录将发表在《代数与数论》中。我们不打算在任何期刊上发表本附录; arXiv应该是那些想要找到这些细节的读者的好地方。证明涉及到各种平均值的算术函数。
On the arithmetic and algebraic properties of Minkowski balls and spheres
本文概述数论与代数新工作，并研究闵可夫斯基球与球面的算术和代数性质。
Multiple Mertens theorems for arithmetic progressions
本文研究了算术级数中素数倒数和的渐近公式，推导了多重梅滕斯评估的扩展结果，并将渐近展开系数与递归函数的泰勒级数联系起来。
Reciprocal LCM powers and Robin's criterion
该研究针对κ>1的互反LCM幂函数，确定其平均阶与极值阶，利用定向区间算术证明对n>5040且1<κ≤100000时对应罗宾不等式成立，给出等价于RH的准则。
Arithmetic properties of cubic and biquadratic theta series
一个立方体（分别。双二次）theta级数是一个幂级数，如果n是一个完美的立方体，则它的第n个系数等于1（分别为：四次幂），否则为零。本文改进了Bradshaw的一个结果，证明了这类级数不是三次级数。四次的）代数数，以整数的倒数计算。证明依赖于“嵌套间隙技术”的线性独立性和最近的结果，作者对华林的问题立方体和biquadrates。
Arithmetic exponent pairs for algebraic trace functions and applications
我们通过van der Corput方法的$q$ -模拟来研究代数迹函数的短和，并且发展了当模具有足够好的因子分解时与经典情况相一致的算术指数对的方法。作为应用，我们证明了Brun-Titchmarsh定理的一个二次平均类似定理，即素数个数$p\leqslant X$与$p^2+1\equiv0\pmod q$的界.其他两个应用程序包括一个更大的水平分布的除数函数在等差数列和一个子Weyl subconvex界的狄利克雷$L$ -功能以前研究欧文。
Arithmetical independence of certain uniform sets of algebraic integers
本研究针对四组次数≤3的代数整数集合，证明其具备几乎一致性与算术独立性特征，并明确了这些集合生成的代数数域对二次、三次域的覆盖程度。
Applications of differential algebra to algebraic independence of arithmetic functions
利用Ax关于微分Schanuel猜想的一个定理，推广和统一了关于算术函数与狄利克雷级数代数独立的几个结果的证明.一路上，我们发现反例的一些结果在文献中。
Transcendental numbers as solutions to arithmetic differential equations
算术微分方程是代数微分方程的类似物，其中作用于函数的导数算子被作用于数字的费马商算子所取代。现在，各种卓越的超越函数是代数微分方程的解;在这篇笔记中，我们表明，以类似的方式，一些卓越的超越数（包括某些“周期”）是算术微分方程的解。受马宁最近的一篇论文的启发，我们推测通过算术微分方程的伽罗瓦群来理解周期之间的代数关系的可能性。
The sum of irreducible fractions with consecutive denominators is never an integer in a very weak arithmetic
两个定理的elemental算术，一个声明，任何数量的倒数的连续正整数的总和从来没有一个整数，和推广的Trygve Nagell，被证明是可证明内一个非常弱的算术，理查德·凯伊的$PA^-$，其中没有归纳公理。
The Arithmetic of Diophantine Approximation Groups I: Linear Theory
一个范例的全球代数数论的实数制定的目的是提供一个统一的设置代数和超越数理论。这是通过研究戴德金整环的非标准模型的子群（称为丢番图逼近群）来实现的。丢番图逼近群的算术是以一种扩展代数数论的理想理论算术的方式定义的，它使用了一个近似理想的结构：一个由子群构成的双过滤，沿着子群可以进行部分乘积。
Notes on the arithmetic of Hecke L-functions
这是一篇临时文章，涉及各种相关概念的代数idele类字符，Groessencharaktere的Hecke，和上同调自守表示的GL（1），所有的一般标题下的代数Hecke字符。文章的第一部分系统地奠定了代数Hecke特征标的基础。唯一的先决条件是：基本的代数数论，熟悉adelic语言，和基本层理论。本文还讨论了在自守L函数算法中起关键作用的观测值。第二部分的文章，对比率的连续临界值的Hecke L-函数附加到一个代数Hecke字符，涉及某些变化的一个定理的Guenter哈德，特别是提请注意一个微妙的签名，显然没有注意到之前。
Some arithmetical properties of convergents to algebraic numbers
该研究探讨代数数收敛分数的算术性质，证明若非退化整数线性递推序列与收敛分数分母序列有无穷交集，则该无理代数数必为二次数，并补充讨论了分母序列的相关算术性质。
Locally algebraic representations and integral structures on the cohomology of arithmetic groups
本文研究局部代数表示与算术群上同调的整数结构，提出并分析了相关概念，建立了自动 cuspidal形式空间上的 canonical global $1/N$-整数结构，并定义了与regular algebraic自动表示相关的canonical periods。
Arithmetic of algebraic groups
本文研究线性代数群的算术。它涉及研究性质的线性代数群定义的全球领域，局部域和有限域，或更普遍的研究线性代数群定义的领域承认任意循环扩张。
On the arithmetic properties of complex values of Hecke-Mahler series
本文给出了Hecke-Mahler级数在乘法群$\GG_m^2(\CC)$的代数点上的复值对$\QQ$的代数依赖关系.我们的结果包含Loxton和van der Poorten，Mahler和Masser以前的定理。
Moduli theory and arithmetic of algebraic varieties
本文综述了模理论在代数簇上有理点分布问题中的一些应用。它将出现在法诺会议的记录中。
Trinomial coefficients and related matrices over finite fields
本文借助三项式系数，研究了有限域上涉及二元二次型倒数的某些行列式的算术性质。
Effective Bounds of Linear Series on Algebraic Varieties and Arithmetic Varieties
本文证明了射影簇上的线丛和算术簇上的埃尔米特线丛的有效截面的有效上界。它们是希尔伯特-塞缪尔公式和算术希尔伯特-塞缪尔公式的有效版本。
Algebraic and Arithmetic Attributes of Hypergeometric Functions in SageMath
本文介绍了在SageMath中实现超几何函数的代数与算术属性算法，包括代数性判断、赋值计算及最小多项式生成。
Arithmetic properties related to the shuffle-product
洗牌产品的性质建议定义一个二次型的域和值在正式幂级数在一个领域的特征2。这种二次型保持了有理（分别为代数）幂级数，并且它对具有常数项1的级数的仿射子空间的限制是双射的。在猜想上，这个双射限制为有理（分别为代数）形式幂级数的双射。
Evaluation of reciprocal sums of hyperbolic functions using quasimodular forms
本文研究了八族双曲函数无穷级数，提出利用复乘理论、模形式与拟模形式环及其微分算子计算其在 CM 点值的系统方法，并据此导出了 Fibonacci 数广义倒数和的代数无关性结果。
Diophantine Approximation of non-algebraic points on varieties II: Explicit estimates for arithmetic Hilbert Functions
由于其无效性，通常的算术Hilbert-Samuel公式不适用于丢番图逼近。为了克服这一困难，本文给出了射影空间中闭子簇的算术Hilbert函数的显式估计。
Sums of algebraic trace functions twisted by arithmetic functions
我们得到了新的界限，与一些层模素$p$的有界导体，扭曲的莫比乌斯函数，也由广义除数函数的同型迹函数的短和。这些迹函数包括Kloosterman和和其他几个经典数论对象。对于长度至少为$p^{1/2+\varepsilon}$且$\varepsilon >0$为任意固定的区间，我们的界是非平凡的，该固定的$\varepsilon >0$小于{1}的最近结果中所要求的在莫比乌斯函数的情况下至少为$p^{3/4+\varepsilon}$和在除数函数的情况下至少为$p^{2/3+\varepsilon}$的长度。Fouvry，E.~ Kowalski和P.~ Michel（2014）和E.~ Kowalski，P. ~Michel and W.~ Sawin（2018）。
On the growth and zeros of polynomials attached to arithmetic functions
本文研究了算术函数$g$和$h$的增长性质和多项式的零点分布，其中$g$是正规化的，具有中等的增长，而$0<h(n) \leq h(n+1)$ .作为应用，我们得到了关于Dedekind \begin{equation*} P_n^{g,h}(x) := \frac{x}{h(n)} \sum_{k=1}^{n} g(k) \, P_{n-k}^{g,h}(x). \end{equation*}-函数的幂的傅里叶系数的非零域上的最佳结果。这里，$g$是除数之和，而$h$是恒等函数。推广了Kostant关于单复李代数表示的结果和Han关于Nekrasov-Okounkov钩长公式的结果。这些多项式与Eisenstein级数的倒数、Klein的$j$ -不变量和第二类切比雪夫多项式有关。
On C-Algebraic and C-Arithmetic Automorphic Representations
本文将Buzzard-Gee关于C-代数自守表示均为C-算术的猜想归结为cuspidal情形，并在各向异性群下利用迹公式建立不依赖几何模型的C-算术性判据，给出正则离散序列的新证明。
Lectures on Local Systems in Algebraic-Arithmetic Geometry
这些笔记是我在2022年秋季在纽约哥伦比亚大学发表的塞缪尔·艾伦伯格讲座上的。我感谢所有直接或间接参与其阐述的数学家。它们将作为Springer Lecture Notes出版。这个arXiv版本与最终版本不完全相同。
Weakly commensurable S-arithmetic subgroups in almost simple algebraic groups of types B and C
设G和G'分别是定义在数域K上秩至少为3的B型和C型绝对几乎单代数群。我们确定了当G和G'有相同的同构或同构类的极大K-环面。这就得到了G和G'的两个Zerkiki稠密S-等差子群弱可交换的充要条件。
Arithmetic matrices for number fields I
我们提供了一个简单的方法来添加，乘法，反转，并采取迹和范数的代数整数的数域使用整数矩阵。利用至少相当比例数域的整数环的整基公式，得到了这类矩阵的显式公式，并讨论了它们的推广。这些结果是有用的，在证明有关他们工作的特定数域的声明。我们给出了一个有意义的对角化，在这方面是有帮助的，可以用来定义这样的矩阵一般。所提供的矩阵恒等式表明，在线性代数中考虑数值方法可能在代数数论中有应用。使用有效矩阵乘法的方法可以更有效地实现一次几个代数整数的乘法。如果我们将次数为$n$的域中的一个代数整数乘以每个$n$代数整数，那么这可以在$O \left( n^{\log_2(7)} \right)$乘法中完成。这里给出的矩阵恒等式推广了Brahmagupta的恒等式，它是乘法的。
Newton polygons of higher order in algebraic number theory
我们开发了一个理论的算术牛顿多边形的高阶，它提供了一个可分多项式的因式分解的$p$ -adic字段，连同有关的算术信息所产生的领域的不可约因素。这执行了一个程序建议由david。俄勒冈作为应用，我们得到了数域的判别式、素理想分解和整基的快速算法。
The congruence subgroup property for $S$-arithmetic subgroups of simple algebraic groups when $S$ has positive Dirichlet density
本文研究了当S具有正狄利克雷密度时，简单代数群的S-算术子群的同余子群性质，证明了同余核为平凡群，为塞雷的同余子群猜想提供了证据。
Totally real algebraic integers in short intervals, Jacobi polynomials, and unicritical families in arithmetic dynamics
我们对定义在${\mathbb Q}$的极大全实代数扩张上的所有后临界有限单临界多项式进行了分类。在证明这个结果时所用的两个辅助结果可能具有某种独立的意义。第一个是一个递推公式的$n$ -直径的区间，它使用的雅可比多项式的性质。第二个是一个数值准则，允许人们给出任何代数整数的次数的界，该代数整数的所有复嵌入都在长度小于$4$的实区间中。
Algorithms for Algebraic and Arithmetic Attributes of Hypergeometric Functions
本文提出算法用于计算超几何函数的p进估值及模素数约简的 annihilating多项式。
Gap-Sums via Quasi-Arithmetic Means with Applications to Fibonacci and Lucas Sequences
本文通过拟算术均值统一研究递增整数序列中缺失整数的和，推广了Barry的算术间隙和到几何与调和情形，并应用于斐波那契和卢卡斯序列，得到调和间隙和指数收敛到ln(α)以及倒数和渐近展开式。
A note on the arithmetic properties of Stern Polynomials
我们研究了由$B_0 ( t ) =0,B_1 ( t ) =1$定义的Stern多项式，并对$n \geq 2$研究了递推关系$B_{2n}( t) =tB_{n}( t) ,$ $B_{2n+1}( t) =B_n( t) +B_{n+1}( t) $。证明了该多项式的所有可能的有理根都是$0,-1,-1/2,-1/3$。我们给出了$n$的完整表征，使得$deg( B_n) = deg( B_{n+1}) $和$deg( B_n) =deg( B_{n+1}) =deg( B_{n+2}) $。此外，我们还给出了关于倒易Stern多项式的一些结果。
Asymptotic equivalents of partial sums of the reciprocals of prime numbers via the von Mangoldt function
本文提出一种结合 von Mangoldt 函数部分和、Abel 求和公式与第二 Chebyshev 函数性质的替代方法，推导素数倒数部分和的渐近等价，并展示其在研究大素因子整数中的应用。
Möbius functions of higher rank and Dirichlet series
我们引入了高阶的默比乌斯函数，这是一类新的算术函数，使得经典的默比乌斯函数的秩为2.利用这一思想，我们计算了所有$r$ -free数的平方倒数之和的狄利克雷级数。在证明过程中，黎曼ζ函数和分圆多项式起着关键作用。
Primes in simultaneous arithmetic progressions
本文通过结合谱理论和代数几何方法，证明了两个同时等差数列中素数分布的新均值定理，并展示了Chen素数p + 6的最大素因子的界
$S$-arithmetic (co)homology and $p$-adic automorphic forms
本文研究数域上约化群的 $S$-算术（上）同调，基于局部代数与局部解析表示构造了抛物子群的特征簇，并证明其与过收敛同调及 Breuil-Ding 构造的 Bernstein 特征簇一致或密切相关。
The necessary and sufficient condition for an algebraic integer to be a Salem number
本文给出了一个整数系数的一元倒数多项式的根大于大于单位元的Salem数的充要条件。我们确定的概率满足条件的任意权力的根。
Some generalizations of the functions $τ$ and $τ^{\left(e\right)}$ in algebraic number fields
本文在代数数域上推广了算术函数$τ$和$τ^{\left(e\right)}$，并得到了它们的一些性质。
An arithmetic valuative criterion for proper maps of tame algebraic stacks
针对代数栈真态射的通常赋值准则在算术应用中仅给出剩余域扩张上的特化点的问题，本文提出了一种适用于算术应用的驯顺栈真态射新赋值准则，并证明了 Lang-Nishimura 定理对驯顺栈成立。
Self-Dual Symmetric Polynomials and Conformal Partitions
在补充了附加限制的丢番图方程理论中出现的一种共形配分函数${\cal P}_n^m(s)$，涉及{ \it自对偶对称多项式} --基于对称群$S_n$的多项式不变量的互反${\sf R}^{\{m\}}_ {S_n}$和斜互反${\sf S}^{\{m\}}_{S_n}$代数多项式.这些多项式构成一个无限交换半群。相应代数方程的实解$λ_n(x_i)$具有许多重要性质：一阶齐性，共形群${\sf W}$作用的对偶性，函数$λ_n$和变量$x_i$的反演性，与平凡解的相容性，{ \it etc}.利用共形划分的Gauss生成函数与一般限制划分的Molien生成函数之间的关系，导出了${\cal P}_n^m(s)$的解析表达式。给出了倒易方程和斜倒易方程的单峰指标，讨论了在有限群$G\subset S_n$和共形群${\sf W}$作用下不变性代数函数$λ_n(x_i)$的存在性.
On the dynamical and arithmetic degrees of rational self-maps of algebraic varieties
令f：X --> X是定义在整体域上的射影簇的支配有理映射，设d_f是f的动力学度，h_X是X上关于一个充分因子的Weil高度.本文证明了h_X（f^n（P））<<（d_f + e）^nh_X（P），其中隐含常数只依赖于X，h_X，f和e.作为应用，我们证明了上算术次数的一个基本不等式a_f（P）\le d_f，并构造了（nef）因子的标准高度.我们猜想，当P的轨道是Zerkiki稠密的时，a_f（P）= d_f，并描述了几种可以证明我们猜想的情形.
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