Finite groups with odd Sylow automizers
Chaida Xu, Yuanyang Zhou
设$p$为奇素数。本文刻画了具有奇$p$ -Sylow自动化子的有限群的非交换合成因子，证明了McKay猜想、Alperin重量猜想和Alperin-McKay猜想对这类群成立.
Let $p$ be an odd prime number. In this paper, we characterize the nonabelian composition factors of a finite group with odd $p$-Sylow automizers, and then prove that the McKay conjecture, the Alperin weight conjecture and the Alperin-McKay conjecture hold for such group.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Automizers as extended reflection groups
Broué、Malle和Michel证明了有限单Chevalley群中的交换Sylow p-子群的自动化子是不可约复反射群，其中p不太小且不同于定义特征。本文的目的是证明这一性质的一个适当的版本对一般有限群成立。例如，Monster中11-Sylow子群的自动化子是二维复反射群G_{16}。
Finite Groups with Odd Sylow Normalizers
本文确定了具有奇阶Sylow正规化子的有限群的非阿贝尔合成因子。因此，除其他外，我们证明了麦凯猜想和Alperin重量猜想这些群体。
Ranks of the Sylow 2-subgroups of the classical Simple groups
确定了奇特征的典型单群的Sylow 2-子群的秩.
Ranks of the Sylow 2-subgroups of the classical groups
确定了奇特征典型群的Sylow 2-子群的秩和正规秩。
Supercharacters of the Sylow p-subgroups of the finite symplectic and orthogonal groups
本文定义并研究了（在任何奇特征的有限域上）辛型和正交型的经典有限幂幺群的超特征标。我们展示了如何超字符群的这些类型可以通过限制超字符理论的有限unitriangular群，并证明了超字符是正交的，并提供了一个分区的所有不可约字符集。我们还描述了所有的不可约字符的最大程度的根系，并显示它们如何可以获得的成分，特别是超字符。
Restriction of odd degree characters and natural correspondences
设$q$是一个奇素数幂$n > 1$，$P$表示$GL_n(q)$的一个极大抛物子群，其Levi子群为$GL_{n-1}(q) \times GL_1(q)$ .我们将$GL_n(q)$的奇次不可约特征标限制为$P$，以发现$GL_n(q)$和$SL_n(q)$的特征标的自然对应。对于具有自正规化Sylow $p$ -子群的有限群，也得到了类似的结果。我们还构造了$S_n$的奇次不可约特征标与$M$的奇次不可约特征标之间的一个典范双射，其中$M$是$S_n$的奇次极大子群;以及$G = GL_n(q)$或$GU_n(q)$的奇次不可约特征标与$N_{G}(P)$的奇次不可约特征标之间的一个典范双射，其中$P$是$G$的Sylow $2$ -子群.由于我们的双射与有理数上的绝对伽罗瓦群的作用可换，我们得出结论，特征标对应的值域是相同的。我们用它来回答R.天啊
The Representation Theory of 2-Sylow Subgroups of the Symmetric Group
利用二叉树研究了对称群的Sylow 2-子群的Bratteli图。我们发现，它是简单的，有一个递归结构，并在所有尺度的自相似性。我们将其一维表示的子图与麦克唐纳树进行对比。我们利用递归结构，以找到限制的Sylow 2-子群的对称群$S_{2^k}$的奇维表示的不可约字符的多重性。
On the Character Degrees of Sylow $p$-subgroups of Chevalley Group of Type $E(p^f)$
设$\F_q$是具有$q$元素的特征$p$的域。已知$GL_n(\F_q)$的Sylow $p$ -子群的不可约特征标的次数是$q$的Issacs幂.另一方面Sangroniz表明，这是真实的一个Sylow $p$ -子群的一个经典的群体定义的$\F_q$当且仅当$p$是奇数。对于Lie型$B$、$C$和$D$的经典群，唯一的坏素数是2。对于特殊群体，还有其他人。本文构造了Chevalley群$D_4(q)$的Sylow $p$ -子群的不可约特征标，其中$q=2^f$的次数为$q^3/2$ .然后我们用类似的构造方法将$E_6(q)$与$q=3^f$构造成度为$q^7/3$的特征标，将$E_8(q)$与$q=5^f$构造成度为$q^{16}/5.$的特征标.这有助于解释为什么素数2，3和5对于$E$型Chevalley群是坏的.
On permutation characters and Sylow $p$-subgroups of $\mathfrak{S}_n$
设$p$为奇素数，$n$为自然数。本文确定了对称群$\mathfrak{S}_n$在Sylow $p$ -子群$P_n$的陪集上的作用所诱导的置换模的不可约分支.作为结果，我们确定了相应的Hecke代数$\mathcal{H}(\mathfrak{S}_n, P_n, 1_{P_n})$的不可约表示的数量。
Characters of odd degree of symmetric groups
构造了S_n的奇次不可约特征标与其Sylow 2-子群P_n的线性特征标之间的自然双射。当n是2的幂时，我们证明了这样的双射可以很好地由限制函子诱导。最后给出了S_n的不可约特征标χ的一个特征，使得χ对P_n的限制具有唯一的线性分支.
Fusion systems on a Sylow $p$-subgroup of $SU_4(p)$
对于$p$奇，我们确定了酉群$SU_4(p)$的Sylow $p$ -子群$S$上的所有饱和融合系统，并证明了它们都可由有限群实现.特别是，我们证明了$S$不支持任何异国情调的融合系统。
On the density of Sylow numbers
本文研究了Sylow p-数的密度，证明当p为奇数时，Sylow p-数的自然密度为0。
On a finite group having a normal series whose factors have bicyclic Sylow subgroups
考虑有限群的正规列的因子具有双圈Sylow子群的结构。特别地，我们研究了具有这个性质的奇阶群和$A_4$ -自由群。得到了这类群的导长和幂零长的精确估计。
Centers of Sylow Subgroups and Automorphisms
设p是奇素数，G是一个有限群，不含正规非平凡p '-子群.证明了如果a是G的一个p幂阶自同构，且集中于G的一个Sylow p-群，则a是内部的.这回答了格罗斯的一个猜想。一个简单的推论是，如果p是奇素数，且P是G的Sylow p-子群，则P的中心包含在G的广义Fitting子群中。我们给出了两个证明，这两个证明都需要有限单群的分类。对于p=2，结果失败，但Glauberman在1968年证明，平方的一个是内。这回答了Kourovka在1999年提出的一个问题。
Fusion systems over a Sylow $p$-subgroup of $\mathrm{G}_2(p)$
对于$S$一个Sylow $p$ -子群的组$\mathrm{G}_2(p)$为$p$奇数，直到同构的融合系统，我们确定所有饱和的融合系统$\mathcal{F}$上的$S$与$O_p(\mathcal{F})=1$。对于$p \ne 7$，所有这样的融合系统都是由有限群实现的，而对于$p=7$，存在$29$饱和融合系统，其中$27$是奇异的。
Characters of odd degree
证明了关于奇次特征标的McKay猜想。在证明的一个主要步骤是验证的归纳麦凯条件组的李型和素数$\ell$，使一个Sylow $\ell$ -子群或其最大正规阿贝尔子群包含在一个最大分裂环面的一个新的等变版本的Harish-Chandra诱导。奇度字符的特性，即它们只存在于非常特殊的Harish-Chandra系列中，然后允许我们从中推导出素数~ $2$的McKay猜想，因此对于奇度字符。
Fusion Systems on Sylow $3$-subgroups of Fischer and Monster sporadic groups -- I
本文研究菲舍尔和莫诺斯特奇奇异性群中3-子群的无核融合系统分类，证明3-群不支持奇异融合系统，为后续奇素数p的奇异性群Sylow子群融合系统分类奠定基础。
Class-preserving Coleman Automorphisms of Finite Groups with Semidihedral Sylow 2-Subgroups
本文研究了具有半二面体Sylow 2-子群的有限群的类保持Coleman自同构群，证明其具有奇数阶，并扩展了相关文献中的结论。
A lower bound for the number of odd-degree representations of a finite group
设$G$是一个有限群，$P$是$G$的Sylow $2$-子群.我们得到了$G$的奇次不可约复表示的数量的渐近和显式的界的大小方面的阿贝尔化的$P$。为此，我们一方面利用Malle和Späth最近对素数2的McKay猜想的证明，另一方面证明了奇数阶群作用于交换$2$-群的半直积的类数的下界。
The Sylow subgroups of the absolute Galois group Gal(Q)
通过观察和研究Gal（Q）的Sylow子群作为Z_p作用在F上的半直积的分解，刻画了奇素数p的Sylow子群，这里F是自由pro-p群，Z_p是p-adic整数.我们确定了F的有限Z_p-群，并更一般地证明了F的Z_p-群的每一个分裂嵌入问题都是可解的。此外，我们还分析了Z_p作用在F的生成元上的性质。
Fusion Systems on Sylow $3$-subgroups of Fischer and Monster sporadic groups -- II
该研究对散在群$\mathrm{Fi}_{24}'$和$\mathrm{M}$的西罗3-子群上的无核融合系统进行分类，完成了奇数$p$时散在群西罗$p$-子群无核融合系统分类项目，还扩展理论并描述算法，大幅加快找$p$-群无核融合系统的过程。
Exotic Fusion Systems Related to Sporadic Simple Groups (Version With Code)
本文借助 MAGMA 计算，对与散在单群 Co_1、F_3 和 M 在奇素数处相关的奇异及饱和融合系统进行分类。
Sylow subgroups for distinct primes and intersection of nilpotent subgroups
研究不同素数的Sylow子群与nilpotent子群交集的性质，提出并验证了关于包含最小性的猜想，并在特定群类中得出了结论。
A note on cut groups of odd order
如果对于每个$g \in G$，$< \! g \! >$的每个生成元与$g$或$g^{-1}$共轭，则称基团$G$被切断。证明了割群$G$的Sylow 3-子群$P$被割.证明了当$|G|$为奇数时，这一结论成立.
A family of non-FSZ finite symplectic groups
设$p$是一个奇素数，且有$p\equiv1\bmod 4$.然后对$p$的任意奇次$q$和正整数$j$，证明了群$\text{Sp}_{p^j+1}(q),\text{PSp}_{p^j+1}(q)$及其Sylow $p$-子群是非$FSZ_{p^j}$的.
On the Groups and Automorphism Groups of the Groups of order 64p without a Normal Sylow p-Subgroup
列出了不含正规sylow p-子群的64 p阶群，并确定了它们的自同构群。作为我们最初努力得到这些群的副产品，我们需要确定那些具有奇数阶自同构的64阶群的自同构群。鉴于我们已经确定了这些群，而且这些自同构群在文献中没有明确给出，我们将这些自同构群附在本报告之后。在另一个项目中，我们通过跟踪自同构群塔来寻找新的完全群，直到计算机内存允许这样的跟踪。我们对这些64阶的群做了这个。在另一个附录中，我们给出了适用于64阶群的这项工作的结果。
The Euler characteristic of an endotrivial complex
本文研究了有限群G在特征p的域k下的端 trivial 复合体群的欧拉特征，探讨了Lefschetz同态的性质及其满射条件，以及核的确定。
On the number and sizes of double cosets of Sylow subgroups of the symmetric group
研究对称群 Sylow $p$-子群双陪集的数量与大小，证明 $p$ 为奇数且 $n$ 较大时大多数双陪集达最大规模，并发现除少数小例外所有可能大小均出现。
Class-preserving Coleman automorphisms of finite groups with Wreathed Sylow 2-subgroups
该研究证明了具有缠绕Sylow 2-子群的有限群的外自同构交集具有奇数阶，并解决了三种特定2-群的正规化问题。
On some rational extension properties for $GL_n(q)$ and even-degree characters fixed by order-2 Galois automorphisms
本文证明了：如果有限群$G$的每个特征标都有奇次，则$G$有正规Sylow $2$ -子群.在此基础上，研究了$GL_n(q)$的特征标$q$奇扩张到由转置逆自同构扩张的群上，证明了$PSL_n(q)$的幂单特征标扩张到其自同构群的有理特征标上.
On the degrees of irreducible characters fixed by some field automorphism, p-solvable groups
本文将实值不可约特征标奇次数蕴含正规Sylow 2-子群的结论推广到p-可解群，证明若p不整除被p阶域自同构固定的不可约特征标次数，则该群具有正规Sylow p-子群。
Generalised dihedral CI-groups
在本文中，我们发现了CI-群的结构的一个新的强限制。证明了：如果$R$是广义二面体群，且$R$是CI-群，则对每个奇素数$p$，$R$的Sylow $p$ -子群有阶$p$，或$9$ .因此，任何商为广义二面体群的CI-群都有相同的限制，即对于每个奇素数$p$，群的Sylow $p$ -子群有阶$p$，或$9$。我们还给出了一个反例来证明BCI-群是CI-群的猜想。
Sylow synchronization in finite groups: the good case
本文证明有限可解群在特定Sylow子群交集条件下存在同步化元素，覆盖奇数阶群并统一旧结果，同时完成对称群、交错群及单群猜想的证明。
Coprime automorphisms of profinite groups and the commuting probability of Sylow subgroups
研究 profinite 群中 Sylow 子群交换概率为正的条件，证明在互素自同构作用下，若特定 Sylow 子群交换概率为正，则群是 virtually pro-p-可解的，并给出非 p-可解长度的界。
Hopf Galois structures, skew braces for groups of size $p^nq$: The cyclic Sylow subgroup case
本文研究了阶为$p^nq$且Sylow-$p$-子群为循环群的群上的Hopf-Galois结构，枚举了Galois $G$-扩张上类型为$N$的结构，计算了对应的斜brace数量，并在$q<p$时给出了完整分类。
New classes of IYB groups
该研究通过证明两类满足西罗子群幂零类约束的有限群为IYB群，推广了已有结论，还得到两类有限群同构于幂零型斜左brace乘法群的结果，推进了IYB群的公开问题研究。
Reduction of UNil for finite groups with normal abelian Sylow 2-subgroup
设F是一个有限群，其Sylow 2-子群S是正规的交换群.利用超初等归纳法和卡氏平方，证明了Cappell酉幂零群UNil_*（Z[F];Z[F]，Z[F]）通过群F/S的作用与UNil_*（Z[S];Z[S]，Z[S]）的商有一个诱导同构.特别地，任何奇数阶的有限群F都有与平凡群相同的UNII-群。更广泛的范围是研究L-理论的实际循环群，根据法雷尔-琼斯同构猜想。当S是有限交换2-群和S是特殊2-群时，我们得到了这些UNil的部分信息.
A characteristic subgroup for fusion systems
作为一个对应的素数2格劳伯曼的$ZJ$ -定理，Stellmacher证明，任何非平凡的2群$S$有一个非平凡的特征子群$W(S)$与以下性质。对任意有限的无$Σ_4$群$G$，若$S$是$G$的Sylow 2-子群且$O_2(G)$是自中心的，则子群$W(S)$在$G$中正规.我们将Stellmacher的结果推广到融合系统。对奇素数也可以构造类似的$W(S)$，并产生一个Glauberman函子。
Representations of the double Burnside algebra and cohomology of the extraspecial p-group II
设E是阶为p^3、指数为p的超特殊p-群，其中p是奇素数。本文研究了p-完备分类空间BE的稳定分裂中被和项的模p上同调。此外，我们还研究了具有Sylow p-子群E的有限群的稳定分裂.
Skew braces of size $p^2q^2$. The cyclic Sylow $q$-subgroup case
本文证明互素阶群的正规子群性质可推广到斜括号，给出分类方法，并应用于确定 $p^2q^2$ 阶非阿贝尔型斜括号。
Frobenius-Schur indicators of characters in blocks with cyclic defect
设$p$是奇素数，$B$是具有循环亏群的有限群的$p$ -块.我们证明了$B$中的所有例外字符都具有相同的Frobenius-Schur指标。此外，可以使用$B$的规范特征来计算公共指示符。我们还研究了$B$中非例外字符的Frobenius-Schur指标。对具有循环Sylow $p$ -子群的有限群，证明了具有Frobenius-Schur指标$-1$的不可约特征标的个数大于或等于$G$中弱实$p$ -元的共轭类的个数.
An affirmative answer to a conjecture related to the solvability of groups
本文证明了有限群$G$是可解群，对每个奇素数$p$，至多包含$p^2$ Sylow $p$ -子群.事实上，我们对\cite{Rob}中的猜想给出了肯定的回答.
The solution to Kourovka problem 21.88
本文解决Kourovka问题21.88，证明无奇数阶有限群的交换概率为1/17，还结合Burnside同余排除更小奇素数的对应情况，进而研究p=97的未解决情形。
Semi-extraspecial $p$-groups with automorphisms of large order
本文研究了具有阶为 $|G:G'| - 1$ 的自同构的半超特殊 $p$-群，证明其同构于 ${\rm SU}_3 (p^{2a})$ 的 Sylow $p$-子群，且在 $p$ 为奇数时等价于同构于 ${\rm SL}_3 (p^a)$ 的 Sylow $p$-子群。
On the orbit category on nontrivial $p$-subgroups and endotrivial modules
本文确定了一大类有限群（包括具有亚循环 Sylow $p$-子群的奇数阶情形）的非平凡 $p$-子群轨道范畴的基本群，并借助 Grodal 方法描述了内平凡模群，改进了 Carlson 与 Thévenaz 的已知结果。
Cohomology, fusion and a p-nilpotency criterion
设G是有限群，p是G的固定素数，P是G的Sylow p-子群.证明了当p是奇数时，G是p-幂零的当且仅当P控制p阶循环群的融合.对于p=2的情形，证明了G是p-幂零的当且仅当P控制2阶和4阶循环群的融合.
Almost all extraspecial p-groups are Swan groups
设P是一个超特殊p-群，它既不是8阶二面体，也不是奇阶p^3和指数p.设G是一个有限群，P是一个Sylow p-子群.则G的mod-p上同调环与正规化子NG（P）的mod-p上同调环重合.
Finite skew braces whose additive group is a Z-group
本文研究了加法群为Z群的有限斜格子，证明其乘法群可解且近Sylow循环，且所有此类斜格子均为超可解，特别地为2- nilpotent，扩展并恢复了Rump的先前结果。
Bounding an index by the largest character degree of a solvable group
本文证明了：若$p$是素数，且$G$是$p$ -可解群，则有$| G:O_p (G) |_p \le (b(G)^p/p)^{1/(p-1)}$，其中$b(G)$是$G$的最大特征标度.如果$p$是一个奇素数，不是梅森素数，或者如果$G$的Sylow $p$ -子群的零阶类至多是$p$，则$| G:O_p (G) |_p \le b(G)$。
The structure of extra loops
西洛定理适用于有限个额外循环，P.霍尔定理适用于有限个可解额外循环。每个有限非结合额外循环$Q$都有一个非平凡中心$Z(Q)$。此外，无论何时$|Q| < 512$，$Q/Z(Q)$都是一个组。循环扩展用于构造具有平凡中心的无限非关联额外循环和阶数为512的非关联额外循环$Q$，使得$Q/Z(Q)$是非关联的。对于每个奇素数$p$，正好有16个$16p$阶的非结合额外循环。
A signalizer functor theorem for groups of finite Morley rank
有一个长期存在的猜想，由于格雷戈里Cherlin和鲍里斯Zilber，所有简单的有限莫利秩群是简单的代数群。其中一个主要的定理在该地区是Borovik的剖分定理。这里的“奇剖分”是奇型内极小反例的格剖分，即具有Sylow 2-子群的可分连通分支的群。我们引入一个特征零的概念，可以用来获得一个连接的幂零信号函子从任何充分非平凡的可解信号函子。这一结果无缝地插入Borovik的工作，以消除假设驯服从他的分割定理奇型群。这一工作也为退化型群的Borovik定理提供了一种形式。
A Quotient of the Set [BG, BU(n)] for a Finite Group G of Small Rank
我们构造了一个从集合[BG，BU（n）]到G的Sylow p-子群的特征标集的自然映射，并证明了这个自然映射是所有秩为2的有限群G的满射.此外，我们证明，这个相同的自然映射实际上是一个双射的两种类型的有限群G：那些与周期上同调和那些秩为2的奇数阶。
Finite p-central groups of height k
一个有限群$G$称为{ \it $p^i$ -central of height $k$ }，如果$G$的每一个$p^i$阶元素都包含在$G$的升中心列的$k^{th}$ -项$ζ_k(G)$中。如果$p$是奇数，则这样的群必须是$p$ -幂零的（Thm。A）。有限$p$ -中心$p$ -高度为$p-2$的群可以看作是有限幂$p$ -群的对偶类似物，即，对于这样的有限$p$ -群$P$，群$P/Ω_1(P)$也是$p$ -高度中心$p-2$（Thm. B）。在这样的组$P$中，$P^p$的索引小于或等于子组$Ω_1(P)$的阶数（Thm. C）。如果有限群$G$的Sylow $p$ -子群$P$是$p$ -高度中心$p-1$，$p$奇数，并且$N_G(P)$是$p$ -幂零，则$G$也是$p$ -幂零（Thm. D）。此外，如果$G$是$p$ -可解有限群，$p$为奇数，且$P\in \text{Syl}_p(G)$是$p$ -高度$p-2$的中心，则$N_G(P)$控制$G$（Thm. E）。众所周知，最后两个性质对Swan群成立。
Group cohomology and control of p-fusion
我们证明了如果包含指数与p互素的有限群H < G诱导mod p上同调簇的同胚，或等价地在mod p上同调中的F-同构，则H控制G中的p-融合，如果p是奇数.这推广了Quillen的经典结果，当H是Sylow p-子群时，Quillen证明了这一点，并进一步暗示了Mislin关于上同调同构的一个迄今为止困难的结果。对于p=2，我们给出类似的结果，在成本取代模p上同调与更高的色上同调理论。结果是后果的一般代数定理，我们证明，这说，同构之间的p-融合系统在同一个有限p-群检测到初等阿贝尔p-群，如果p奇数和阿贝尔2-群的指数至多4，如果p=2。
Noncoprime action of a cyclic group
本文研究循环群无不动点作用于奇数阶有限可解群时的幂零长度上界问题，证明了其幂零长度至多为 $2\ell(A)$，并在更一般条件下给出含平凡 $A$-模个数的改进上界。
On solvable groups with one vanishing class size
设$G$是一个有限群，cs $(G)$是$G$的共轭类大小的集合.回想$G$的元素$g$被称为\emph{vanishing element}，如果存在$G$的不可约特征标，在$g$上取值$0$，我们考虑cs $(G)$的一个特定子集，即集合vcs $(G)$，其元素是$G$的消失元素的共轭类大小。出于在\cite{BLP}的结果，我们描述了类的有限群$G$，使VCS $(G)$由一个单一的元素\emph{under the assumption that $G$ is supersolvable or $G$ has a normal Sylow $2$-subgroup}（特别是，奇数阶的群体）。作为一种特殊情况，我们还得到了共轭类大小为单零的有限群\emph{which is either a prime power or square-free}的一个刻划。
Finite groups with many $p$-regular conjugacy classes
该文研究具有大量$p$-正则共轭类的有限群结构，给出保证群$p$-可解的精确下界、奇素数下紧的$p$-长度界及正规Sylow $p$-子群存在的最优判别准则。
A new generalization of the McKay conjecture for $p$-solvable groups
本文针对$p$-可解群，提出新的麦金尼猜想泛化，通过引入$(\mathcal{N},p)$-稳定特征标概念，证明了$G$与${\bf N}_G(P)$特征标数量相等，并在特定条件下建立了特征标之间的双射关系。
Nonsoluble Length Of Finite Groups with Commutators of Small Order
本文证明，当 p 为奇素数且多重线性换位子 w 的取值阶一致有界时，Sylow p-子群满足该条件的有限群的非-p-可解长度存在统一上界。
Nonsoluble and non-p-soluble length of finite groups
每个有限群$G$都有一个正规列，它的每个因子要么是可解的，要么是非交换单群的直积。我们定义不溶性长度$λ(G)$为在一系列此类不溶性因子中的最小数目。上界$λ(G)$出现在各种问题的研究有限，剩余有限，和投射有限群。证明了$λ(G)$以$G$的可解子群的最大$2$ -长度有界，$λ(G)$以可解子群的最大Fitting高度有界.对于奇素数$p$，引入了非$p$可解长度$λ_p(G)$，并证明了$λ_p(G)$不超过$p$可解子群的最大$p$ -长度.我们猜想，对于给定的素$p$和真群簇${\frak V}$，其Sylow $p$ -子群属于${\frak V}$的有限群的非$p$ -可解长度$λ_p(G)$是有界的.本文证明了这一猜想的任何品种，是一个产品的几个可溶品种和品种的有限指数。
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