Dear Lambda
Shimon Garti, Saharon Shelah
我们证明了对于奇异基数$λ$，$\mathfrak{r}_λ<\mathfrak{d}_λ$和偶$\mathfrak{u}_λ<\mathfrak{d}_λ$的相容性.
We prove the consistency of $\mathfrak{r}_λ<\mathfrak{d}_λ$ and even $\mathfrak{u}_λ<\mathfrak{d}_λ$ for a singular cardinal $λ$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Consistency of partition relation for cardinal in (lambda,2^lambda)
我们提出了一个使2 ^lambda爆炸的强迫，并使"许多正极化配分关系“（在我们的主要定理（c）中精确的意义上）在区间[lambda，2 ^lambda]中保持。这推广了[276]第1节的结果，并且强迫是那里强迫的“多基数”版本。
Cardinal invariants above the continuum
我们证明了一些关于b（lambda）和d（lambda）的相容性结果，这些结果是连续统b和d的基数不变量的自然推广。我们还定义了不变量b_cl（lambda）和d_cl（lambda），并证明了几乎总是b（lambda）= b_cl（lambda）和d（lambda）=d_cl（lambda）
The Erdos-Rado arrow for singular cardinals
证明了如果cf（lambda）> aleph_0且2^{cf（lambda）}<lambda，则lambda->（lambda，omega+1）^2.
Categoricity of an abstract elementary class in two successive cardinals
我们研究了没有紧性残余的抽象初等类的范畴性（如良序的不可定义性，E.M.模型或存在大基数）。我们证明（假设一个弱版本的GCH在lambda附近），如果K在lambda，lambda^+，LS（K）<= lambda和1 <= I（lambda^{++}，K）< 2^{lambda^{++}}中是范畴的，那么K在lambda^{+}中有一个模型。
Large cardinals with few measures
我们证明，假设一个可测基数的一致性，它是一致的，有确切的kappa+许多正常的措施，最小的可测基数kappa。这回答了斯图尔特·鲍德温的一个问题。这些方法推广到高阶基数，证明了当lambda> kappa是正则基数时，P_kappa（lambda）上的lambda强紧测度或lambda超紧测度的个数可以恰好是lambda +.最后，我们提出了一系列开放性问题。我们的证明使用了James Cummings的一个重要观察。
Positive partition relations for P_{kappa,lambda}
设kappa为正则不可数基数，lambda为基数>kappa，并假设lambda^{<kappa}小于范畴cov（M_{kappa,kappa}）的覆盖数。则（a）I_{kappa,lambda} ^+ -->^kappa（I_{kappa, lambda} ^+，omega +1）^2，（b）如果kappa是极限基数，则为I_{kappa, lambda} ^+ -->^kappa [ I_{kappa, lambda} ^+]_{kappa^+}^2，（c）如果kappa是弱紧的，则为I_{kappa, lambda} ^+ -->^kappa（I_{kappa, lambda} ^+）^2。
On inverse gamma-systems and the number of L_{infty,lambda}-equivalent, non-isomorphic models for lambda singular
设lambda是一个共尾性kappa不可数的奇异基数。对于基数为λ的模型M，令No（M）表示基数为λ的模型N的同构类型的数量，这些类型是L_{infty lambda} -等价于M。在[Sh：189]中，考虑了阿贝尔群的逆卡帕系A及其某种商极限Gr（A）/Fact（A）.证明了对任意基数μ，存在逆kappa-系A，使得A由基数至多为μ ^kappa的阿贝尔群组成，且卡（Gr（A）/Fact（A））= μ.在[Sh：228]中证明了逆卡帕系统与No的可能值之间的严格联系。在本文中，我们显示：对于每个非零的mu <= λ ^kappa，存在具有基数<λ的阿贝尔群的逆kappa系统A，使得card（Gr（A）/Fact（A））= mu（假设对于所有θ λ，2 ^kappa <λ和θ ^{< kappa}<λ），具有关于No的可能值的明显的新结果。具体地< lambda when mu >，当对于每一个θ <λ，θ ^kappa <λ时，情况No（M）= λ是可能的。
A partition relation using strongly compact cardinals
如果kappa是强紧的，lambda > kappa是正则的，则（2^{< lambda}）^+ -->（lambda+eta）^2_theta对eta成立，theta<kappa。
Further cardinal arithmetic
假设对基数算术有一定的了解，我们继续作者的书中关于基数算术的研究。（S_{<= aleph_0}（kappa），subseteq）对于kappa实值可测（第3节），箱形产品的密度（第5.3节），证明等式覆盖（lambda，lambda，theta^+，2）=pp（lambda）在更多情况下，即使cf（lambda）= aleph_0（第1节），处理界限的pp（lambda）的lambda限制的不可访问（第4节），并证明各种索赔，我相信我已经写了，但没有找到（第6节）。
Advances in Cardinal Arithmetic
如果cf（kappa）= kappa，kappa^+< cf（lambda）= λ，则在I[lambda]中存在{delta<lambda：cf（delta）=kappa}的稳定子集S。此外，我们可以找到<C_delta：delta in S>，C_delta是lambda的俱乐部，otp（C_delta）=kappa，猜测俱乐部，对于每个alpha<lambda，我们有：{C_delta \cap alpha：alpha \in nacc（C_delta）}具有基数<lambda。此外，我们证明，例如，有一个固定的子集的S_{<aleph_1}（lambda）的基数cf（S_{<aleph_1}（lambda），subseteq）然后，我们证明了存在的好的过滤器，而不是正常的过滤器在ω_1上，他们是正常的过滤器与更大的域，这可以增加在发挥。它们可以帮助我们将aleph_1-complete过滤器上的情况转换为正常情况
Categoricity of theories in L_{kappa^* omega}, when kappa^* is a measurable cardinal. Part II
我们继续[KlSh：362]的工作，证明了对于λ后继者，L_{kappa^*, omega}中的一个μ范畴理论T对任何大于（2^{LS（T）}）^+-beth基数的μ，μ <= λ都是μ范畴的.
Regular Ultrapowers at Regular Cardinals
在第二和第三作者的早期工作中，建立了有限平方主平方^ fin_{lambda,D}与尺寸为λ的结构和规则超滤子的各种模型理论性质的等价性。在本文中，我们研究了主方^ fin_{lambda,D}，从而上述模型的理论性质，在一个正则基数。通过张氏双基数定理，如果我们假设GCH，则对于所有正则滤子D，平方^ fin_{lambda,D}在正则基数处成立。在本文中，我们证明了在ZFC中，对于我们称之为“双^+正则”的正则滤子，平方^ fin_{lambda,D}在正则基数处成立，而不需要关于GCH的假设。从而在ZFC中对Chang和Keisler的《模型论》一书中的第18和19个开放问题给出了新的肯定答案。
Violating the Singular Cardinals Hypothesis Without Large Cardinals
本文将ZFC + GCH基数的传递模型V推广到ZF +“GCH基数的模型N，证明了在Alef_omega”+“下存在从Alef_omega的幂集到lambda”的满射，其中lambda是V中的任意高的固定基数.
The nonstationary ideal on P_κ(lambda) for lambda singular
设kappa是正则不可数基数，lambda > kappa是奇异强极限基数.本文给出了P_kappa（lambda）的非平稳子集的一个新的刻画，并利用它证明了P_kappa（lambda）上的非平稳理想是不陡的。
Cardinal preserving ideals
我们给出了一些一般性的标准，当卡帕-完全强迫保持largeness属性-像卡帕-预饱和的正常理想的lambda（即使当他们集中在小cofinalities）。然后，我们相当准确地获得一致性强度"NS_lambda是aleph_1-bounding“，对于lambda > aleph_2。
A parallel to the null ideal for inaccessible lambda. Part I
众所周知，用（正则）基数lambda > aleph_0替换aleph_0并要求理想是lambda^+-完全的，可以推广稀疏理想。但是我们能推广零理想吗？在强迫方面，这意味着找到一个类似于随机实强迫的力迫概念，用lambda代替aleph_0，因此要求它是（<lambda）-完备的。当然，我们也欢迎将随机实强迫的性质推广的其他性质。回到理想（而不是强迫），我们可以看看布尔代数的布尔-博雷尔集模的理想。令人惊讶的是，我们得到了一个积极的=存在的答案λ a“温和”的大基数：弱紧的。我们应用此方法来获得此类lambda的基数不变量的一致性结果。我们将处理其他红衣主教更多的财产有关的力迫概念在一个延续。
The tree property at successors of singular cardinals
假设一些大基数，得到了ZFC的模型，其中aleph_{omega+1}不携带Aronszajn树。还证明了如果λ是强紧基数的奇异极限，则λ ^+不携带Aronszajn树。
On versions of clubsuit on cardinals larger than aleph_1
我们给出了两个关于猜测λ ^+的无界子集的结果。第一个是正的结果，适用于λ正则且至少等于aleph_3的情形;第二个是负的一致性结果，适用于λ为奇异强极限且2 ^λ> λ ^+的情形。第一个结果表明，在ZFC中存在S^{lambda^+}_lambda的无界子集的猜测。第二个结果是一致性结果（假设超紧基数存在），表明自然猜测失败。谢拉在数学.LO/9808140中的一个结果表明，如果2 ^lambda =lambda^+且lambda是一个强极限奇异，那么相应的猜测成立。这两个结果也与Dzamonja和Shelah的一个早期结果有关，他们在该结果中表明，俱乐部花色的某个版本在ZFC中仅在单数的后继者处成立。这里的第一个结果表明，math.LO/9601219的结果可以在一定程度上扩展到正则的后继。这里的否定结果限制了人们可以希望扩展这个结果的程度。
Nowhere precipitousness of the non-stationary ideal over P_kappa(lambda)
我们证明了如果lambda是一个强极限奇异基数，kappa是一个正则不可数基数< lambda，那么P_{kappa} lambda上的非平稳理想NS_{kappa lambda}是不陡的.我们还表明，在相同的假设下，P_{kappa} lambda的每一个平稳子集可以划分成lambda^{< kappa}不相交平稳集。
Antichains in products of linear orders
1.对于许多正则基数lambda（特别是对于奇异强极限基数的所有后继者，以及对于奇异Ω极限的所有后继者），对于{2，3，4，.}中的所有n，存在一个线性序L使得L ^n没有基数为lambda的（不可比性-）反链，而L ^{n +1}有基数为lambda的反链。2.对于任何非减序列（lambda2，lambda3，.）对于无限基数，存在一个线性序L使得L ^n有基数为lambda_n的反链，但没有基数为lambda_n ^+的反链是相容的。
Nonreflecting stationary sets in P_kappa(lambda)
设kappa是正则不可数基数，且lambda >=kappa^+。P_kappa λ的平稳反射原理已成功地解决了kappa=omega_1情形下的无穷组合学问题。对于更大的kappa，已知该原理在某个lambda处失效。这个注记表明，如果kappa是正则不可数基数的后继或kappa是可数闭的，则它在每个lambda处都失败。
Possible Size of an ultrapower of omega
设Ω是第一个无穷序数（或所有自然数的集合），其通常的顺序为<。在第一节中，我们证明了在超紧基数相容的条件下，可能存在Ω的超幂，其基数为（1）奇异强极限基数，（2）强不可达基数.这回答了[CK]中的两个问题，模超紧性的假设。在第二节中，我们在某些大基数假设下构造了Ω的几个A-阿基米德超幂。例如，我们表明，假设一个可测基数的一致性，可能存在一个欧米茄不可数基数λ的超幂。这回答了[KS]中的一个问题，模可测性的假设。
On the strong equality between supercompactness and strong compactness
我们证明了超紧性和强紧性甚至可以等价为正则基数对的性质。具体地说，我们表明，如果V模型ZFC + GCH是一个给定的模型，（在有趣的情况下，它包含超紧性的实例），则存在一些基数和共尾性保持的泛型扩张V[G]模型ZFC + GCH，其中，（a）（保留）对于kappa <= lambda正则，如果V模型“kappa是lambda超紧的”，则V[G]模型“kappa是lambda超紧的”，因此，（b）（等价）对于kappa <= lambda正则，V[G]模型"kappa是lambda强紧的“当且仅当V[G]模型" kappa是lambda超紧的”，除非可能kappa是lambda超紧的基数的可测极限.
On omitting cardinals in T_3 spaces
本文证明了对每个（无限基数）λ，存在一个具有闭基的T_3-空间X，其中2^mu点，其中mu = 2^lambda，使得基数< |X|的每个闭子空间的基数<λ.
Strong Tree Properties for Small Cardinals
当（kappa，lambda）-ITP对所有大于或等于kappa的lambda成立时，一个不可达基数kappa是超紧的.证明了如果存在一个具有无穷多个超紧基数的ZFC模型，则存在一个ZFC模型，其中对每一个自然数n大于1和每一个序数μ大于或等于aleph_n，我们有（aleph_n，mu）-ITP.
Categoricity and solvability of A.E.C., quite highly
我们调查在ZFC什么可以是家庭足够大的红衣主教亩，其中a.e.c. K是绝对的，甚至只是可解的。我们证明了对于不多的基数λ <μ，K_λ中存在一个超极限模型.而且，我们的主要结果是，我们可以找到一个好的λ中范畴的框架s，使得K_s子集K_λ。然后，我们展示了如何使用[Sh：705]在每个足够大的基数中得到范畴性，如果K有足够mu和2^mu<2^{mu^{+1}} <.的mu合并情况。< 2^{mu^{+n}}.足够的mu。
Applications of pcf for mild large cardinals to elementary embeddings
证明了以下pcf结果：1。假设kappa > aleph_0是一个弱紧基数。设mu > 2^kappa是共尾kappa的奇异基数。则对于每个正则lambda < pp^+_{Gamma（kappa）}（mu），存在递增序列（lambda_i| i < kappa），使得lambda = tcf（prod_{i < kappa} lambda_i，<_{J^{bd}_kappa}）。2.设μ是一个强极限基数，θ是一个大于μ的基数。假设它们中至少有一个具有不可数共尾性。然后存在sigma_* < mu，使得对于每个chi< theta the following holds: theta >_sup{sup pcf_{sigma_*-complete}（frak a）|frak一个subseteq Reg cap（mu^+，chi），|他妈的|< mu}。作为一个应用，我们证明了：如果kappa是一个可测基数，j：V到M是kappa上一个kappa完全超滤子的初等嵌入，则对每个τ成立：1.如果j（τ）是基数，则j（τ）= τ; 2。|j（τ）| = |j（j（τ））|3.对于任何κ-完全超滤器W在κ上，|j（τ）| = |j_W（τ）|.前两项对Gitik和Shelah（1993）[2]的问题提供了肯定的答案，第三项对D.弗雷姆林
Cardinalities of topologies with small base
设T是拓扑空间的开子集族（不一定是Hausdorff或T_0）。证明了：若T有基数<= mu，lambda <= mu <2 ^lambda，共尾性的lambda强极限aleph_0，则T有基数<= mu或>= 2 ^lambda.这是我们的主要结论。首先，我们证明它在一些集合论的假设下，这是明确的，当lambda = mu ;然后，我们消除了假设的一个定理pcf从[SH 460]最初的动机。接下来，我们证明最简单的例子是基本的例子;它们出现在每个例子中（对于lambda = aleph_0，这满足了[Sh 454]的承诺）。在[Sh 454]中证明了λ = aleph_0情形的主要结果。
Almost free groups and Ehrenfeucht-Fra\"ıssé games for successors of singular cardinals
通过研究基数为λ的固定群与自由阿尔贝群之间的长Escherichfeucht-Fraisse对策，加强了几乎自由阿尔贝群的非结构定理.如果同构参与者在长度为λ的博弈中有一个获胜策略，则称一个群为ε-无博弈群。我们证明了对于一个后继基数λ =mu^+的大集合，基数为λ的非自由（mu*omega_1）-对策-自由群的存在性。我们专注于奇异基数的继任者。
More on regular reduced products
作者通过组合主方^{b^*}_{lambda}的有限形式方^{fin}_{lambda，D}，证明了以下的失败的相容性，相对于超紧基数的相容性：对于基数lambda上的所有正则过滤器D，如果M_i和N_i是大小<= lambda的语言的基本等价模型，则第二个参与者在长度为λ ^+的Escherichfeucht-Fraisse博弈中在prod_i M_i/D和prod_i N_i/D上有一个获胜策略。如果另外2^{lambda}= lambda^+且i<lambda意味着|M_i| + |N_i| <= lambda^+，这意味着超幂是同构的。
On Taylor's problem
本文描述了有限图类K^{n，e}，证明了：若λ ^{aleph_0}= λ，则基数λ ^+的每一个λ ^+-色图，对于某个n，e，包含K^{n，e}的所有成员作为子图.另一方面，对于每个正则无限基数kappa，一致地存在kappa^+上的kappa^+-色图，它只包含来自K^{n，e}的有限子图。
Lindelof spaces of singular density
一个基数lambda被称为Ω-不可达的，如果对于所有的mu < lambda，我们有mu^omega<lambda。我们发现，对于每一个欧米茄-不可达基数lambda有一个CCC（因此基数和共尾性保持）强迫，增加了一个遗传Lindelof正则空间的密度lambda。这扩展了我们之前的一个类似结果，该结果只适用于正则lambda。
Ideals, Cohen sets and consistent extensions of the Erdős-Dushnik-Miller Theorem
我们提出了两种不同类型的模型，其中对于某些共尾性不可数的奇异基数lambda，lambda ->（lambda，omega+1）^2，尽管lambda不是强极限基数。我们在这里宣布，并将在随后的论文中提出，例如，一致地，aleph_{omega_1}不->（aleph_{omega_1}，omega+1）^2和一致地，2^{aleph_0}不->（2^{aleph_0}，omega +1）^2。
PCF without choice
我们主要研究了具有限制选择的集合论模型，例如，ZF + DC +"lambda的可数子集族对于每个lambda都是有序的"（对于给定的lambda来说，实际上是局部的）。在这个框架下，许多pcf理论可以被推广。例如，在一个示例中，有一类正则基数，我们可以证明基数不等式。
Universality among the graph omitting a complete bipartite graph
对于基数lambda，kappa，theta，我们考虑一类基数lambda的图，它没有子图是（kappa，theta）-完全二部图.问题是在这样一个类中是否有一个在（弱）嵌入下的泛类。我们在GCH下完全解决了这个问题。在与基数算术有关的各种假设下，我们证明了这个问题和一些相关问题的共相不存在。
Saturated filters at successors of singulars, weak reflection and yet another weak club principle
设λ是一个奇异基数μ的后继，μ的共尾性是一个不可数的基数kappa。给出了集中在共尾点kappa上的lambda俱乐部滤子不饱和的充分条件。这个条件是用一个我们称之为弱反射的概念来表述的。讨论了弱反射的各种性质
On CON(Dominating_lambda > cov_λ(meagre))
我们证明的一致性：对于合适的强不可达基数λ，控制数，即λ ^λ的共尾性严格大于cov（meagre_lambda），即覆盖它所需的2 ^λ的无处稠密子集的最小数目。这回答了Matet的一个问题。
Reasonable ultrafilters, again
我们继续研究数学LO/0407498中定义的不可数基数上的合理超滤子。我们介绍了更强的性能超过滤器，我们表明，这些属性可以处理在合理的边界力迫概念的支持迭代。我们用它来证明，一贯有合理的超滤子上的不可达基数λ与生成系统的大小小于2 ^λ。我们还展示了如何合理的超过滤器可以杀死力迫概念，有足够的合理的完整性迭代与Aidda支持（我们显示适当的保存定理）。
Kulikov's problem on universal torsion-free abelian groups
设T是阿贝尔群，λ是不可数正则基数.我们考虑在基数小于或等于λ的所有无挠的阿贝尔群G中是否存在一个满足Ext（G，T）=0的无挠泛群G^* 的问题。这里G^* 被称为对T是无挠泛的，如果，每当基数小于或等于lambda的无挠的阿贝尔群G满足Ext（G，T）=0，则存在G到G^* 的嵌入。对于大类的阿贝尔群T和基数λ它表明，答案是一贯没有。特别是，T扭转，这解决了一个问题的库利科夫。
Translation procedures in descriptive inner model theory
我们开发了一个基本的翻译过程，将hod鼠标转换为等效鼠标。与Steel和Zhu使用的翻译过程不同，我们的过程在粗略的设置中工作，而不假设AD。然而，该程序类似于Steel开发的程序。我们使用翻译程序来回答Trevor Wilson的一个问题。也就是说，我们表明，如果有一个固定类的lambda，使lambda是一个限制的Woodin基数和衍生的模型在lambda满足AD的Solovay序列的第一个成员是小于θ然后有一个传递模型M，使M包含的序数和满足有一个适当的类的Woodin基数和一个强基数。
On a problem of Steve Kalikov
对于一对（lambda，kappa）基数，lambda > kappa（特别是kappa =2）的Kalikow问题是我们是否可以以非常连续的方式将来自lambda的omega -序列族映射到来自kappa的omega -序列族。也就是说，我们要求对于λ ^omega中的eta，nu，我们有：eta，nu几乎相等当且仅当它们的像是。我们证明了否定答案的一致性，例如对于aleph_omega，但我们证明了它对于较小的基数。我们指出了一个密切的联系与自由子集属性及其变种。
Many forcing axioms for all regular uncountable cardinals
我们最初的目的是，在阿贝尔群理论中证明的一致性：λ是强极限奇异的和一些性质的阿贝尔群是自由的亲戚，在奇异的紧失败。事实上，这应该工作的R-模块等，因为在以前的情况下，部分工作是分析如何移动之间的集合论和代数。从理论上讲，我们试图强迫一个宇宙满足G.C.H.菱形对许多静止集合成立，但对每个正则不可数λ，在某种意义上，任何“可能”对某个平稳集成立的东西，对某个平稳集也成立。更具体地说，我们试图得到一个满足GCH的论域，使得例如对于正则kappa < lambda，存在对（S，B），S \subseteq S^λ_κstationary，B \subseteq H（lambda），它满足与（S，B）相关的某个预先给定的强制公理，（因此（lambda\ S）-完备，即“在S之外平凡”），但不再是，即稍微强一些的版本失败。从理论上讲我们试图得到一个满足几何中心H的宇宙。但仍然满足“许多”，甚至在某种意义上的一个最大的家庭，强制公理的形式“为一些平稳”，同时保持GCH。由于完成的工作滞后了一段时间，在这里我们只处理的集合论。
Coding and reshaping when there are no sharps
假设0^sharp不存在，kappa是一个不可数的基数，对于所有基数lambda，kappa <= lambda < kappa^{+ omega}，2^lambda = lambda^+，我们在kappa和kappa^{+ omega}之间提出了一个"迷你编码“。这使我们能够证明，kappa^{+ omega}的任何子集都可以被编码成kappa^+的子集W，进一步“重塑”区间[kappa，kappa^+），即，对于所有kappa < delta < kappa^+，kappa =（card delta）^{L[W cap delta]}。我们简述了这个结果的两个应用，假设0 ^sharp不存在。首先，我们指出，这表明任何集合都可以通过一个实数编码，通过一个集合强迫。第二个应用涉及抽象浓缩的概念，由于伍丁。我们的方法可以用来表明，对于任何基数亩，凝聚亩持有的泛型扩张的一套强迫。
On tightness and depth in superatomic Boolean algebras
本文引入了一个与L相容的大基数性质，并证明了对每个超原子布尔代数B和每个具有大基数性质的基数λ，如果紧密度^+（B）>= λ ^+，则深度（B）>= λ.这改进了Dow和Monk的一个定理。
More Jonsson algebras
我们证明了在许多不可达的有一个Jonsson代数，所以例如第一个正则Jonsson基数λ是λ x ω-Mahlo。进一步给出了奇点的后继是Jonsson基数的限制。例如，在beth_omega的后继上有一个Jonsson代数。最后，我们给出了关于猜测俱乐部的进一步信息。
A consistency result on weak reflection
本文研究了强非反射的概念，以及它的逆置弱反射。我们说theta在lambda处强烈不反射当且仅当存在函数F：theta -> lambda使得对于所有的alpha < theta且cf（alpha）= lambda，在alpha中存在C俱乐部使得F限制C严格递增。我们证明了有一个基数θ使得强非反射和弱反射在一个小于θ的无界基数集上成立是相容的。
Historic forcing for Depth
我们一致地证明了，对于某些正则基数θ <lambda，存在一个布尔代数B使得B=lambda^+，并且对于B的每个大小为lambda^+的子代数B'，我们有Depth（B'）= θ。
Strongly almost disjoint families, II
关系M（kappa，lambda，mu）->B [resp. B（sigma）]意味着如果具有|A| =kappa的子集[kappa]^lambda是μ几乎不相交的，则A具有性质B [resp.具有σ-断面]是Erdos和Hajnal于1961年在GCH下引入并研究的。我们这里的两个主要结果如下：假设GCH和rho是任何具有超紧的正则基数[resp。2-巨大的]红衣主教以上的rho。然后有一个ρ闭强迫P，使得在V^P中，我们有GCH和M（rho^{（+rho+1）}，rho^+，rho）not-> B [resp. M（rho^{（+rho+1）}，lambda，rho）not-> B（rho^+）for all lambda =< rho^{（+rho+1）}].
On CON(${\mathfrak d}_λ>$ cov$_λ$(meagre))
我们证明了：对于合适的强不可达基数λ，^{lambda}lambda的共尾性严格大于cov_lambda（meagre），即覆盖它所需的^{lambda}2的无处稠密子集的最小数量。这回答了Matet的问题。
Linear Orderings and Powers of Characterizable Cardinal
本文回答了abs/1007.2426中的一个公开问题：如果M的Scott语句有基数Kappa的模型，但没有基数Kappa+的模型，则称可数模型M刻画无限基数Kappa.如果M按<线性排序，我们说线性排序（M，<）表征kappa。已知如果kappa是可表征的，则kappa+是可由线性排序表征的。此外，如果kappa可由具有大小为kappa的递增序列的稠密线性序来表征，则2^kappa是可表征的。我们表明，如果kappa是均匀的特征，那么kappa的特征是由一个密集的线性排序，而反过来失败。主要定理是：1）如果kappa> 2 ^lambda是可刻画基数，lambda是稠密线性序可刻画的，lambda是使得kappa ^lambda> kappa的最小基数，则kappa ^lambda也是可刻画的，2）如果aleph_alpha和kappa ^（aleph_alpha）是可刻画基数，则对于所有可数的beta，kappa ^（aleph_（alpha + beta））也是如此。结合这两个定理，我们得到：如果kappa> 2 ^（aleph_alpha）是可刻画基数，aleph_alpha是稠密线性序可刻画的，aleph_alpha是使得kappa ^（aleph_alpha）> kappa的最小基数，则对所有beta <alpha + omega_1，kappa ^（aleph_beta…
Borel sets without perfectly many overlapping translations
对于基数lambda< lambda_{omega_1}，我们给出一个ccc力迫概念P，它迫使对于Cantor空间（1）的某个Borel子集B，存在一个不同元素的序列（eta_alpha：alpha<lambda），使得|（eta_alpha+B）cap（eta_beta+B）|对于所有的α，β <λ> 5，但是（2）没有这样的η的完满集。该结构紧密遵循Shelah数学中的结构。LO/9802134
More on Compactness of Chromatic Numbers
证明了对任意正则kappa且mu > kappa在kappa上的第一个不动点（lambda = aleph_lambda）之下，存在一个图的色数> kappa，且有mu^kappa节点，但每个基数< mu的子图的色数小于或等于kappa.
More on cardinal invariants of Boolean algebras
我们解决了Donald Monk关于布尔代数的不可约性和扩散性的几个问题，获得了一些ZFC知识和相容性结果。我们证明了在ZFC中irr（B_0 times B_1）= max（irr（B_0），irr（B_1））.本文证明了“存在一个布尔代数B使得irr（B）<s（B otimes B）”的相容性，并强制一个超原子布尔代数B_* 使得s（B_*）=inc（B_*）=kappa，irr（B_*）=Id（B_*）=kappa^+，Sub（B_*）=2^（kappa^+）.接下来我们强迫超原子代数B_0使得irr（B_0）<inc（B_0）和超原子代数B_1使得t（B_1）>Aut（B_1）。最后证明了：一致存在一个大小为λ的布尔代数B，使得B中不存在长度为λ的自由序列，存在一个紧性为λ的超滤子（所以t（B）= λ），λ不存在于Depth_（Hs）（B）中.
Borel completeness of some aleph_0 stable theories
研究了aleph_0-stable理论，证明了若T具有eni-DOP或eni-deep，则其可数模型类是Borel完备的.我们引入了Renda-Borel完备性的概念，并证明了这些理论是Renda-Borel完备的。利用这一点，我们得出结论，一个aleph_0-稳定的理论有2^lambda成对的非L（无穷大，aleph_0）的等效模型的大小为所有无限基数λ当且仅当T要么有eni-DOP或eni-deep。
The Karp complexity of unstable classes
如果对于所有基数λ，L_{infty,lambda} -等价的关系将K划分为等价类的集合（而不是真类），则结构类K是受控的。我们证明了双传递线性序类是受控的，而任何具有ω-独立性质的伪初等类都是不受控的。
Antichains in partially ordered sets of singular cofinality
在他们1981年的论文中，米尔纳和绍尔证明了对于任何偏序集P，如果cf（P）=lambda>cf（lambda）=kappa，则P必须包含大小为kappa的反链。我们证明了对于lambda>cf（lambda）=kappa，如果存在基数mu<lambda使得cov（lambda，mu，kappa，2）=lambda，则任何共尾性lambda的偏序集都包含大小为kappa的lambda^kappa反链.我们的定理的假设是非常弱的，是许多著名的公理，如GCH，SSH和PFA的结果。否定这一假设的一致性是未知的。
Existence of EF-equivalent Non Isomorphic Models
我们证明了存在对模型的基数相同的lambda是非常等效的EF游戏，但不同构。我们继续纸上数学。LO/0404222，但我们不依赖它。
Transforming Rectangles into Squares, with Applications to Strong Colorings
证明了每个奇异基数$λ$都有一个将矩形变换为正方形的函数$RTS:[λ^+]^2\rightarrow[λ^+]^2$.即，对于$λ^+$的每个共尾子集$A,B$，存在$lambda^+$的共尾子集$C$，使得$RTS[AxB]$覆盖CxC。当结合最近的一个结果，Shelah的强着色$Pr_1(λ^+,λ^+,λ^+,\cf(λ))$的概念与经典的负分区关系$λ^+\not\rightarrow[λ^+]^2_{λ^+}$相吻合。
Strong partition relations below the power set: consistency, was Sierpinski right, II?
本文围绕Galvin关于强分划关系一致性的猜想展开，证否了原猜想，证明了将ω₂替换为大基数2^ω时的一致性，并给出相关迭代引理与定理推广。
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