Kazuya Kato
This is the Part II of our paper "Height functions for motives". We consider more general period domains and the height functions on more general sets of motives. We also consider the corresponding Hodge theoretic variant of Nevanlinna theory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Heights of mixed motives
我们定义了一个混合动机的高度在数域扩展我们以前的工作纯动机。
Height of motives
我们定义一个数域上动机的高度。我们证明了，如果我们假设有限的动机的有界高度，泰特猜想的$p$ -adic泰特模可以证明动机与好约化在$p$。
We define various height functions for motives over number fields. We compare these height functions with classical height functions on algebraic varieties, and also with analogous height functions for variations of Hodge structures on curves over C. These comparisons provide new questions on motives over number fields.
K. Kato has recently defined and studied heights of mixed motives and proposed some interesting questions. In this paper, we relate the study of heights to the study of Tamagawa numbers of motives. We also partially answer one of Kato's questions about the number of mixed motives of bounded heights in the case of mixed Tate motives with two graded quotients. Finally, we provide a concrete computation with the number of mixed Tate motives with three graded quotients.
On heights of motives with semistable reduction
研究了由Kato引入的数域上具有整系数的动机的高度。它是一个推广的Faltings高度的阿贝尔簇，我们建立了推广的Faltings高度的一些性质，在我们的上下文中，由加藤。这有助于理解动机的整体结构。
Finiteness of Heights in Isogeny Classes of Motives with Semistable Reduction
本文利用积分 $p$-adic Hodge 理论推广了阿贝尔簇的 Faltings 高度，并在假设 adelic Mumford-Tate 猜想下，证明了 motive 同构类中高度的有限性，扩展了 Kisin 和 Mocz 的相关结果。
For a compact Riemann surface $M$ of genus $g\ge 2$, we study the functional equations of the Selberg zeta functions attached with the Tate motives $f$. We prove that certain functional equations hold if and only if $f$ has the absolute automorphy.
We prove that for a compact locally symmetric Riemannian space $M$ of rank 1 there exist infinitely many automorphic Tate motives $f$ such that the generalized Selberg zeta function $Z_{M(f)}(s)$ satisfies a simple functional equation in the sense that it has no gamma factors.
Congruences of algebraic $L$-functions of motives
我们发展了一个框架来研究$L$ -全等动机函数的特殊值的代数部分之间的全等关系。我们表明，代数局部欧拉因子满足精确的插值性质的$p$ -进家庭的动机和代数$p$ -进$L$ -功能存在于相当大的一般性$p$ -进家庭的自守动机。我们制定了两个apturtures精炼（和纠正）目前现有的配方的等变玉川数猜想的系数在Hecke代数，并指出apturtures之间的联系特殊值和完成上同调。
In this paper we prove a version of Deligne's conjecture for potentially automorphic motives, twisted by certain algebraic Hecke characters. The Hecke characters are chosen in such a way that we can use automorphic methods in the context of totally definite unitary groups.
We consider algebraic transformations of hypergeometric functions from a geometric point of view. Hypergeometric functions are shown to arise from the deRham realization of a hypergeometric motive. The $\ell$-adic realization of the motive gives rise to hypergeometric characters sums over finite fields. This helps to unify and explain some recent results about transformations of hypergeometric character sums.
Generalized Kummer congruences and $p$-adic families of motives
本文用$[T:\bold Q]<\infty$描述了$p$上系数在数域$T$上的模的某些算术定义的复$L$-函数所附加的$p$ -adic $L$ -函数的一些新的一般构造.这些构造等价于证明复$L$ -函数的临界特殊值的某些广义Kummer同余。
Produit eulérien motivique et courbes rationnelles sur les variétés toriques
研究了从有理曲线到分裂复曲面簇的具有给定反正则度的态射的模空间在度趋于无穷大时的渐近性质。在这种情况下，我们得到一个几何模拟Manin的猜想关于有理点的有界高度品种上定义的全球领域。这项研究是通过一个生成的系列，其系数位于Grothendieck环的动机，动机高度zeta函数。为了建立这个函数的收敛性质，我们使用了欧拉motivic产品的概念。它依赖于Denef和Loeser的一个构造，该构造将虚拟动机与一阶逻辑环公式相关联。
G-functions, motives, and unlikely intersections -- old and new
本综述梳理G-函数在算术几何中的作用、其特殊值多项式关系与动机对称性的关联及Bombieri原理的应用，介绍该方法在非典型交与Zilber-Pink猜想研究中的新发展。
On zeta elements and functional equations for Tate motives over totally real fields
本文研究了完全实数域上塔特动机的伊瓦萨理论，构造了插值L函数在正整数处值的zeta元素，并建立了与L函数值相关的双 dual 上同调群中的canonical元素。
Congruences of Galois representations attached to effective $A$-motives over global function fields
本文在整体函数域上建立了强半稳定有效 A-动机的 p-进伽罗瓦表示同余判别准则，是 Ozeki-Taguchi 数域结果的函数域类比，并据此证明了受 Rasmussen-Tamagawa 猜想启发的某类有效 A-动机的不存在性。
Colmez conjectured a product formula for periods of abelian varieties over number fields with complex multiplication and proved it in some cases. His conjecture is equivalent to a formula for the Faltings height of CM abelian varieties in terms of the logarithmic derivatives at $s=0$ of certain Artin $L$-functions. In a series of articles we investigate the analog of Colmez's theory in the arithmetic of function fields. There abelian varieties are replaced by Drinfeld modules and their higher dimensional generalizations, so-called $A$-motives. In the present article we prove the product formul…
Special L-values of geometric motives
本文提出了关于Z上几何模的L-函数的特殊值的一个猜想。这包括Q上的混合基模的L-函数和Z上概型的Hasse-Weil zeta-函数。我们猜想：L（M，s）在s=0时的阶由$M^\vee(-1)$的动机上同调的负欧拉示性数给出.直到一个非零有理因子，在s=0时的L值由M的Arakelov动机上同调与M的动机同调的配对的行列式给出。在有关Q、$F_p$和Z上混合动机的标准假设下，该猜想本质上等价于Soulé关于Z上方案的zeta函数极序的猜想、Beilinson关于Q上动机的特殊L值的猜想和关于$F_p$的Tate猜想的合取。
In this article we introduce and study a motivic category in the arithmetic of function fields, namely the category of motives over an algebraic closure $L$ of a finite field with coefficients in a global function field over this finite field. It is semi-simple, non-neutral Tannakian and possesses all the expected fiber functors. This category generalizes the previous construction due to Anderson and is more relevant for applications to the theory of $G$-Shtukas, such as formulating the analog of the Langlands-Rapoport conjecture over function fields. We further develop the analogy with the ca…
Hypergeometric Motives from Euler Integral Representations
本文通过欧拉积分表示研究超几何函数的有理函数覆盖族，提出局部紧致化方法，并利用L函数和环面ζ函数的乘积形式，发展出计算希格拉特数的组合算法。
F-zeta geometry, Tate motives, and the Habiro ring
在本文中，我们提出了不同的概念F_zeta几何，zeta的单位根，推广的概念F_1几何（几何上的“域与一个元素”）的基础上的行为的计数函数的点在有限域，Grothendieck类，和torification的概念。我们涉及F_zeta几何泰特动机的形式根，并在哈比罗环的功能，被视为计数函数的某些ind-variants。我们研究了由一般线性群、有限域上的矩阵方程和某些量子模形式产生的例子中F_ζ结构的存在性。
On v-adic periods of t-motives
本文证明了t-动机M的v-adic周期生成的域的超越度与M的Tannakian伽罗瓦群的维数之间的等式，其中v是有限域上的有理函数域的“有限”位置.作为应用，我们证明了某些“形式”多项式的代数独立性。
Drinfeld-modules and $A$-motives are the function field analogous of elliptic curves and abelian varieties. For the latter one can construct the $l$-adic Galois representation and can ask if its image is open. For Drinfeld-modules this question was answered by Pink and his coauthors. We clarify the rank one case for $A$-motives and show that the image of Galois is open if and only if the virtual dimension is prime to the characteristic of the ground field.
In 1997 Richard Pink has clarified the concept of Hodge structures over function fields in positive characteristic, which today are called Hodge-Pink structures. They form a neutral Tannakian category over the underlying function field. He has defined Hodge realization functors from the uniformizable abelian $t$-modules and $t$-motives of Greg Anderson to Hodge-Pink structures. This allows one to associate with each uniformizable $t$-motive a Hodge-Pink group, analogous to the Mumford-Tate group of a smooth projective variety over the complex numbers. It further enabled Pink to prove the analo…
We survey Colmez's theory and conjecture about the Faltings height and a product formula for the periods of abelian varieties with complex multiplication, along with the function field analog developed by the authors. In this analog, abelian varieties are replaced by Drinfeld modules and $A$-motives. We also explain the necessary background on abelian varieties, Drinfeld modules and $A$-motives, including their cohomology theories and comparison isomorphisms and their theory of complex multiplication.
On the regulator of Fermat motives and generalized hypergeometric functions
我们计算了费马曲线的动力Beilinson调节器，并用广义超几何函数的特殊值表示。结果证明了该调节器的满射性，支持了关于L-函数特殊值的Beilinson猜想。
Arithmetic duality theorems for 1-motives over function fields
本文得到了整体函数域上有限平坦群格式的Poitou-Tate正合序列。本文还将D.Harari和T.Szamuely关于数域上1-模的对偶定理推广到函数域上。
Integral Motives and Special Values of Zeta Functions
对于每个域k，我们定义一个阿贝尔范畴的合理分解的混合动机与整数系数。当k是有限的，我们表明，该类别是Tannakian，我们证明有关的Zeta函数的行为在整数附近的某些Ext组的公式。这是提交的版本，与第一个版本相比有轻微的更正和补充。
Prolongations of t-motives and algebraic independence of periods
本文研究了t-动机的延拓构造，并证明了Carlitz模的周期晶格生成元的代数独立性，以及Anderson-Thakur函数的超 transcendence。
The purpose of this paper is to give a formula for the leading coefficient at $s=1$ of the $L$-function of one-motives over function fields in terms of Weil-étale cohomology, generalizing the Weil-étale version of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture in the authors' previous work. As a consequence we express the Tamagawa number of a torus introduced by Ono-Oesterlé in terms of Weil-étale cohomology, and reprove their Tamagawa number formula.
Tannakian duality for Anderson-Drinfeld motives and algebraic independence of Carlitz logarithms
我们开发了一个理论的Tannakian伽罗瓦群的t-动机，并将其与Frobenius半线性差分方程的理论。我们证明了与给定的t-动机相关联的周期矩阵的超越度等于它的伽罗瓦群的维数。利用这个结果，我们证明了在有理函数域上线性无关的代数函数的Carlitz图是代数无关的。
Special L-values of t-motives: a conjecture
提出了一个关于正特征系数函数域中$ L $ -函数的特殊值的猜想。对于$ M $，一个处处好约化的可一致化$ t $ -模，我们猜想Goss $ L $ -函数$ L(M^\vee, s) $在$ s = 0 $的值与$ M $相关的阿贝尔$ t $ -模的一致化之间的关系.当$ M $是Carlitz $ t $ -动机的一个幂时，该猜想专门化为Anderson和Thakur关于Carlitz zeta值的一个定理。除此之外，我们还提供了数字证据。
The present paper is devoted to the relations between Deligne's conjecture on critical values of motivic $L$-functions and the multiplicative relations between periods of arithmetically normalized automorphic forms on unitary groups. In the first place, we combine the Ichino--Ikeda--Neal-Harris (IINH) formula -- which is now a theorem -- with an analysis of cup products of coherent cohomological automorphic forms on Shimura varieties to establish relations between certain automorphic periods and critical values of Rankin-Selberg and Asai $L$-functions of ${\rm GL}(n)\times{\rm GL}(m)$ over CM …
On the leading terms of Zeta isomorphisms and p-adic L-functions in non-commutative Iwasawa theory
本文讨论了岩泽理论在K_1-群和Kato的局部化K_1-群下的下降形式。然后，我们证明插值公式的“首项”的全球Zeta同构，与某些泰特动机和p-进L函数，与某些关键动机。
We recognize certain special hypergeometric motives, related to and inspired by the discoveries of Ramanujan more than a century ago, as arising from Asai $L$-functions of Hilbert modular forms.
Multizeta values for F_q[t], their period interpretation and relations between them
我们提供了一个时期的解释multizeta值（在功能领域的背景下）明确迭代扩展的张量幂权力的Carlitz动机（混合Carlitz-泰特t-动机）。我们给出的例子组合涉及的关系，这些multizeta值满足。
Motives, Periods, and Functoriality
本文研究带多线性代数结构的纯动机在群表示下的函子性转移，提出判别其两个周期相等的准则，并应用于张量积、正交及扭张量动机对应的多种L函数临界值问题。
$v$-adic periods of Carlitz motives and Chowla-Selberg formula revisited
该研究在函数域数论框架下，利用带复乘的Carlitz动机的$v$-进晶体-德拉姆周期阐释$v$-进算术伽马值，建立Ogus型Chowla-Selberg公式，证明周期的代数无关性，并推导伽马值代数关系的来源。
The Galois module structure of l-adic realizations of Picard 1-motives and applications
我们证明了在一个代数闭域上定义的光滑射影曲线的G-Galois覆盖上的某些Picard 1-动机的l-adic实现对所有素数l都是G-上同调平凡的.在这个过程中，我们推广了Nakajima关于与覆盖的顶曲线相关联的Kahler微分的某些空间的Galois模结构的一个著名定理，假设定义域具有特征p.如果覆盖和Picard 1-motive定义在有限域上，并且如果G是交换的，利用等变Artin L-函数计算了某个有限l-adic群代数上每个l-adic实现的第一Fitting理想.这是一个完善的早期工作德利涅和泰特皮卡德1动机相关的全球功能领域。因此，我们证明了改进版本的Brumer-Stark和（étale）Coates-Sinnott猜想的全球功能领域。在即将到来的工作中，我们使用这些结果来证明其他几个特殊值的全球L-函数的特征p.此外，我们证明了类似的结果，在特征0，其中的l-adic实现皮卡德1-动机将被替换为一类新的岩泽模块。
Zeta and L functions of Voevodsky motives
本研究为整体域上的几何Voevodsky动机定义了具有欧拉乘积的近L函数，明确了其与Serre zeta函数的差异、乘性及函数域上的有理性与函数方程，核心工具为Ayoub的六/七函子运算。
Relation between Anderson Generating Functions and Weil Pairing
本文通过Moore行列式与Anderson生成函数的余数多项式，给出了Drinfeld模的Weil配对值的简洁解释。
Dedekind Zeta motives for totally real fields
设$k$为全实数域。对于每一个奇数$n\geq 3$，我们在$k$上的混合Tate动机范畴$\MT(k)$中构造一个Dedekind zeta动机.通过直接计算它的Hodge实现，证明了它的周期是$π^{n[k:\Q]}ζ^*_k(1-n)$的有理倍数，其中$ζ^*_k(1-n)$表示$k$的戴德金ζ函数的特殊值.我们推导出群$\Ext^1_{\MT(k)} (\Q(0),\Q(n))$是由二次曲面相对于超平面的上同调生成的。这证明了$k$的某些基元复合物的满射性结果，这些基元复合物已被证明用于计算群$\Ext^1_{\MT(k)} (\Q(0),\Q(n))$。特别地，戴德金ζ函数的特殊值是定义在$k$上的测地双曲单形的体积的行列式。
Special values of automorphic $L$-functions for $GL_{n}\times GL_{n'}$ over CM fields, factorization and functoriality of arithmetic automorphic periods
迈克尔哈里斯定义了算术自守期间某些尖表示的$GL_{n}$在二次虚领域在他的克雷勒文件1997年。他还表明，临界值的自守L-职能$GL_{n}\times GL_{1}$可以解释在这些算术自守期间。在本文中，我们从两个方面推广了他的结果。首先，在一般CM域上定义了算术自守周期。我们还证明了这些期间分解为产品的本地周期在无限的地方。其次，我们证明了$GL_{n}\times GL_{n'}$的自守$L$函数的临界值在许多情况下可以用自守周期来解释。因此，我们证明了自守周期是自守诱导和循环基变化的函子。我们还定义了某些动机周期，如果动机被限制从CM域到有理数域。我们可以计算两个这样的动机的张量积的德利涅周期。我们直接看到，我们的自守结果是相容的德利涅猜想的动机。
$v$-adic Chowla-Selberg formula over function fields
本文在函数域上建立了 $v$-adic Chowla-Selberg 公式，通过引入 Weil 群的晶体作用，给出了 Thakur 几何伽马函数特殊值的周期解释，并基于 CM $t$-模的同源定理证明了 Ogus 型公式。
Non-abelian $p$-adic $L$-functions and Eisenstein series of unitary groups; the CM method
在这项工作中，我们证明了所谓的“扭同余”之间的阿贝尔$p$ -进$L$ -功能，是有关的自守表示的确定酉群。这些同余在非对易岩泽理论中起着核心作用，因为它在Kakde，Ritter和Weiss关于Tate动机的非阿贝尔主猜想的作品中变得清晰。我们解决了这些同余的一般确定酉群的$n$变量，我们得到更明确的结果，在特殊情况下的$n=1$和$n=2$。在这两种情况下，我们也解释了他们的影响，一些特定的“动机”，例如椭圆曲线与复杂的乘法。
A conjecture in Schanuel style for 1-motives
本文提出一个Schanuel式猜想，用于半椭圆指数函数，涵盖Weierstrass函数和Serre函数的值，证明了该猜想与Grothendieck-André周期猜想的关系。
Moduli Spaces and Multiple Polylogarithm Motives
本文给出了一类周期为包含重对数函数的迭代积分的混合Tate模的自然构造。给定这样一个迭代积分，在亏格为0的$n$点稳定曲线的模空间$\mathcal{\bar{M}}_{0,n}$中构造两个因子$A$和$B$，并证明了这对因子$(\mathcal{\bar{M}}_{0,n}-A,B-B\cap A)$的上同调是一个以该积分为周期的框架混合Tate模.它推广了A.贡恰洛夫和尤。多个zeta值的Manin。然后将这种构造应用到双对数上，计算出与Deligne的标准周期矩阵相同的周期矩阵。
Four-variable $p$-adic triple product $L$-functions and the trivial zero conjecture
本文构造了Hida族三重积的四变量本原p进L-函数，利用p进Rankin-Selberg卷积方法实现Garrett积分表示的p进插值，并由此证明椭圆曲线三重积动机的平凡零点猜想。
On the $p$-adic $L$-function and Iwasawa Main Conjecture for an Artin motive over a CM field
本文在若干技术条件下推广 Katz 的结果，构造了 CM 域上含 $d+1+δ_{F,p}$ 个变量的 $p$-adic Artin $L$-函数，插值相关 Artin $L$-函数临界值，是 Greenberg 全实域构造的类比且面临新困难。
Ratios of periods for tensor product motives
本文证明了某些张量积模的Deligne周期比的周期关系。这些周期关系给出了Günter Harder和第二作者证明的关于${\rm GL}_n \times {\rm GL}_{n'}$的Rankin-Selberg L-函数的连续临界值之比的某些代数性结果的动机解释。
Height moduli on cyclotomic stacks and counting elliptic curves over function fields
本文利用twisted stable maps和stacky height functions理论，构造了参数化cyclotomic stacks上固定高度有理点的有限型模空间，解释了函数域上椭圆曲线计数中的低阶主项，回答了Venkatesh的问题。
A Motivic Pairing and the Mellin Transform in Function Fields
本文定义了关联abelian Anderson A-模的A-动形与对偶A-动形的两个配对，通过其特殊化给出指数与对数函数的精确公式及无穷乘积表示，并以此证明了Carlitz zeta值的Mellin变换公式类似物。
On the periods of motives with complex multiplication and a conjecture of Gross-Deligne
本文证明了在数域上定义的簇X上存在有穷级自同构，意味着X的某些周期的对数与Gamma函数的特殊值的对数之间存在代数线性关系.这意味着安德森，科尔梅兹和格罗斯的CM阿贝尔簇的周期的结果略有变化是有效的CM动机的一个更大的类。特别地，我们证明了Gross-Deligne周期猜想的一个弱形式。我们的证明依赖于算术不动点公式（等变算术Riemann-Roch定理）由K。Koehler和第二作者，以及Dolbeault复形的等变解析挠的消失。
On the motive of Kummer varieties associated to $Γ_1(7)$ - Supplement to the paper: The modularity of certain non-rigid Calabi-Yau threefolds (by R. Livné and N. Yui)
在他们的论文Livné和Yui（数学AG/0304497）讨论了几个例子的非刚性卡-丘品种承认半稳定的K3纤维与6奇异纤维超过一个基地，这是一个合理的模曲线。他们还建立了这些例子的L-函数的模块性。本文的目的是指出，在他们的论文中列出的例子，但不导致半稳定纤维化，仍然是模块化的意义上，他们的L-功能是相关的模形式。我们详细讨论了与组Gamma_1（7）相关的情况，但我们的技术也适用于许多其他情况。我们还就一般椭圆曲面的纤维积的Kummer构造作了一些评论。
Height zeta functions of equivariant compactifications of semi-direct products of algebraic groups
利用高度zeta函数理论研究了半直积的射影等变紧化上有界高度有理点的渐近分布。
Height zeta functions of equivariant compactifications of the Heisenberg group
研究了Heisenberg群的等变紧化的高度zeta函数的解析性质。
Height zeta functions of projective bundles
介绍了一种研究射影空间和射丛的高度zeta函数的新方法。为了研究射影空间$Z(\mathbb{P}^n, H_{\mathcal{O}(1)}; s)$的高度zeta函数，我们将van der Geer和Schoof关于Arakelov向量丛的Riemann-Roch定理应用于$Z(\mathbb{P}^n, H_{\mathcal{O}(1)}; s)$的整式的被积函数.给出了射影空间的高度zeta函数关于各种高度函数的解析延拓和函数方程的证明。这些结果的Motivic类似物也被证明。我们还研究了Hirzebruch表面的高度zeta函数。
Motivating Motives
本文面向普通爱好者梳理 Riemann zeta 函数零点意义、Weil 猜想与 Grothendieck 的 motives 思想之间的联系。
A p-adic Height Function Of Cryptanalytic Significance
注意，用于计算$p$ -adic高度的有效算法可以具有密码分析应用。
Estimating heights using auxiliary functions
最近的几篇论文构造辅助多项式来约束某些类别的代数数的Weil高度。根据这些技巧，作者给出了一个一般的方法，引入辅助多项式的问题，涉及的Weil高度。高度出现作为解决某一极值问题涉及多项式。我们进一步推广上述技术，以同样的方式获得投影高度和子空间上的高度。进一步得到了$\mathbb P^{N-1}(\overline{\mathbb Q})$的某些子簇上点的高度的下界.
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