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第一Zassenhaus猜想的一个反例

A Counterexample to the First Zassenhaus Conjecture

Florian Eisele, Leo Margolis

备注：
33 pages; added infinite series of counterexamples; comments welcome
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摘要：

Hans J.Zassenhaus证明了对有限群$G$的整群环中的任意有穷级单位$u$，在$G$的有理群代数中存在单位$a$，使得对于某些$g\in G$，$a^{-1}\cdot u \cdot a=\pm g$.我们反驳这个猜想，首先证明一般的结果，帮助确定反例，然后提供了无限多的例子，这些结果适用。我们最小的例子是一个阶为$2^7 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 19^2$的亚阿贝尔群，它的整群环包含一个阶为$7 \cdot 19$的单位，这个单位在有理群代数中不与任何形式为$\pm g$的元素共轭。

英文摘要：

Hans J. Zassenhaus conjectured that for any unit $u$ of finite order in the integral group ring of a finite group $G$ there exists a unit $a$ in the rational group algebra of $G$ such that $a^{-1}\cdot u \cdot a=\pm g$ for some $g\in G$. We disprove this conjecture by first proving general results that help identify counterexamples and then providing an infinite number of examples where these results apply. Our smallest example is a metabelian group of order $2^7 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 19^2$ whose integral group ring contains a unit of order $7 \cdot 19$ which, in the rational group algebra, is not conjugate to any element of the form $\pm g$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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