We establish a lower bound for the size of possible counterexamples of the Dixmier Conjecture. We prove that $B>15$, where $B$ is the minimum of the greatest common divisor of the total degrees of $P$ and $Q$, where $(P,Q)$ runs over the counterexamples of the Dixmier Conjecture.
The Jacobian Conjecture is stably equivalent to the Dixmier Conjecture
关于$n$维的雅可比猜想断言，在特征为零的域上，$n$维仿射空间的任何多项式自同态，当雅可比等于1时，都是可逆的。秩为$n$的Dixandian猜想断言$n$阶Weyl代数（$n$变量中的多项式微分算子代数）的任何自同态都是可逆的。证明了维度$2n$上的Jacobian猜想蕴含秩$n$上的Dixmier猜想。再加上一个著名的相反方向的含义，它表明稳定的雅可比矩阵和Dixobian矩阵是等价的。证明的主要工具是有限特征化约。在论文完成后，我们了解到主要结果已经由Y.Tsuchimoto在Osaka Journal of Mathematics第42卷第2期（2005年6月）上发表。他的证明是不同的。
An analogue of the Conjecture of Dixmier is true for the algebra of polynomial integro-differential operators
设$A_1:=K\langle x, \frac{d}{dx} \rangle$是Weyl代数，$\mI_1:= K\langle x, \frac{d}{dx}, \int \rangle$是特征为零的域$K$上的多项式积分微分算子代数. The Conjecture/Problem of Dixlobal（1968）[still open]：{ \em is an algebra endomorphism of the Weyl algebra $A_1$ an automorphism？}证明了{ \em代数$\mI_1$的每个代数自同态都是自同构}。注意，与Weyl代数$A_1$相反，代数$\mI_1$是一个非单的、非诺特代数，它不是一个域。而且，它包含了非零左理想和右理想的无穷多个直和。
