A new family of MRD codes in $\mathbb F_q^{2n\times2n}$ with right and middle nuclei $\mathbb F_{q^n}$
本文在最小距离$2\leq d\leq 2n$的$\mathbb F_{q}^{2n\times 2n}$中提出了一类新的最大秩距离（MRD）码.特别地，当$d=2n$时，我们可以证明相应的半域恰好是Hughes-Kleinfeld半域。这些MRD代码的中间和右边的核都等于$\mathbb F_{q^n}$。我们还证明了这类最小距离MRD码$2<d<2n$与已知的MRD码是不等价的。这个新的家庭之间的任何两个成员的等价性也被确定。
2019-02-27 cs.IT math.CO math.IT
Maximum scattered linear sets and MRD-codes
$\mathrm{PG}(r-1,q^n)$的分散$\mathbb{F}_q$ -线性集的秩，甚至$rn$，至多是$rn/2$，正如Blokhuis和Lavrauw所证明的。对于秩为$rn/2$的离散$\mathbb{F}_q$ -线性集，给出了$r$，$n$，$q$（甚至$rn$）的无穷多个值的存在性结果和显式构造.在本文中，我们证明了界$rn/2$是尖锐的，在其余的开放情况下。最近，Sheekey证明了最大秩$n$的$\mathrm{PG}(1,q^n)$的离散$\mathbb{F}_q$ -线性集产生$\mathbb{F}_q$ -线性MRD-码，具有维度$2n$和最小距离$n-1$。我们推广了这一结果，证明了最大秩$rn/2$的$\mathrm{PG}(r-1,q^n)$的离散$\mathbb{F}_q$ -线性集产生具有维数$rn$和最小距离$n-1$的$\mathbb{F}_q$ -线性MRD-码.
2017-01-24 math.CO
An infinite family of non-extendable MRD codes
Università degli Studi di Perugia（佩鲁贾大学）；Università di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）
本文研究了不可扩展的MRD码，发现了一类无限族[4,2,3]_{q^5/q}码，并证明其自对偶性。
2026-04-01 cs.IT math.CO math.IT
Linear sets and MRD-codes arising from a class of scattered linearized polynomials
给出了一类覆盖无穷多个域扩张的离散线性化多项式。更精确地说，在arXiv：1906.05611，arXiv：1910.02278中描述的$q$ -在$\mathbb F_{q^6}$上的多项式，$q \equiv 1\pmod 4$，对于任何偶数$n\ge6$被推广到$n$阶的$\mathbb F_q^n$的$\mathbb F_q$ -线性自同构$ψ(x)$.这种PDMATHAMR和它的一些功能的权力被证明是分散的。特别地，这为$n=8,10$提供了投影线$\mathrm{PG}(1,q^n)$的新的最大散射线性集合。本文所描述的多项式导致$\mathbb F_q^{n\times n}$中的一个新的无限族MRD-码，其中对于任何奇数$q$，如果$n\equiv0\pmod4$，且对于任何$q\equiv1\pmod4$，如果$n\equiv2\pmod4$，具有最小距离$n-1$。
2020-12-30 math.CO
Constructing MRD codes by switching
本文定义了MRD码中的切换操作，并利用打孔扭曲Gabidulin码和直积码构造了基数随m双重指数增长的一大类MRD码，同时构造了不同仿射秩和非周期的MRD码。
2022-11-01 cs.DM cs.IT math.CO
New MRD codes from linear cutting blocking sets
最小秩度量码或等价的线性截块集的特征在于第二广义秩权重，通过它们与相关的$q$ -系统的回避性质的连接。使用这个结果，我们提供了第一个家庭的$\mathbb{F}_{q^m}$ -线性MRD码的长度$2m$，而不是作为一个直和的两个较小的MRD码。此外，这样的家庭有更好的参数，因为它的代码具有广义秩权重严格大于那些以前已知的MRD码。这表明并非所有的MRD码都具有相同的广义秩权重，与汉明度量设置中发生的情况相反。
2022-09-06 cs.IT math.CO math.IT
A large family of maximum scattered linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^n)$ and their associated MRD codes
Lunardon于1999年在有限域上的射影空间中引入了线性集的概念，它在块集、半域、秩距离码等的研究中起着核心作用。尽管二十年的研究，只有有限数量的最大分散线性集的线$\mathrm{PG}(1,q^n)$。本文对任意偶数$n\geq 6$和奇数$q$，给出了$\mathrm{PG}(1,q^n)$上一个新的极大散布线性集的大族.特别地，对于给定的$q=p^r$和$n=2t>8$，相关家族包含至少\[ \begin{cases} \left\lfloor\frac{q^t+1}{8rt}\right\rfloor,& \text{ if }t\not\equiv 2\pmod{4};\\[8pt] \left\lfloor\frac{q^t+1}{4rt(q^2+1)}\right\rfloor,& \text{ if }t\equiv 2\pmod{4}, \end{cases} \]不等价的成员，其中$p=\mathrm{char}(\mathbb{F}_q)$。这是以前结果的一个很大的改进：对于给定的$q$和$n>8$，$\mathrm{PG}(1,q^n)$在迄今已知的所有类中的不等价最大离散线性集的数目小于$q^2$。此外，我们发现，有大量的新的最大秩距离码所产生的构造的线性集。
2021-09-29 math.CO
On the Sparseness of Certain MRD Codes
我们确定在同一字段上的所有$3$维$3\times3$秩度量码的空间内，$[3\times 3;3]$ -MRD码在${\mathbb F}_q$上的比例。这表明，对于这些参数，MRD代码是稀疏的，在这个意义上，比例倾向于$0$作为$q\rightarrow\infty$。这是迄今为止唯一的参数的情况下，MRD码是已知的稀疏。计算是通过将所有这样的秩度量码的空间减少到特定基的空间，然后利用Menichetti（1973）关于3维半域的结果来完成的。
2019-08-06 cs.IT math.CO math.IT
Connections between scattered linear sets and MRD-codes
本文的目的是综述关于极大散布线性集和MRD码的已知结果。特别是，我们调查这两个领域之间的联系。在“A new family of linear maximum rank distance codes”（2016）中，Sheekey展示了$\mathrm{PG}(1,q^n)$的最大离散线性集如何定义平方MRD码。后来在“最大分散线性集和MRD码”（2017）中，$\mathrm{PG}(r-1,q^n)$中的最大分散线性集，$r>2$，用于构造非方MRD码。在这里，我们指出了一个新的关系，关于另一个方向。我们还提供了另一种证明著名的Blokhuis-Lavrauw的界的秩的最大分散线性集显示在“分散空间相对于一个蔓延$\mathrm{PG}(n,q)$“（2000年）。
2020-01-27 cs.IT math.CO math.IT
A remark on ${\mathbb F}_{q^n}$-Linear MRD codes
本文给出了广义Gabidulin码的最小秩元素的Grassmann坐标描述。因此，线性多项式的秩最多$n-k$的表征，以及距离$d=n-k+1$的MRD码的参数方程。
2022-03-14 cs.IT math.CO math.IT
A new family of $2$-scattered subspaces and related MRD codes
针对$h\geq2$的$h$-散布子空间构造不足的问题，本文构造并证明了特定条件下$V(r,q^6)$中极大$2$-散布$\F_q$-子空间的存在性，并探讨其对应MRD码。
2024-03-03 cs.IT math.CO math.IT
MRD-codes arising from the trinomial $x^q+x^{q^3}+cx^{q^5}\in\mathbb{F}_{q^6}[x]$
在[10]中，证明了当$q$为奇数且$q\equiv 0,\pm 1\pmod 5$为奇数时，具有维数$12$、最小距离$5$和同构于$\mathbb{F}_{q^6}$的左理想化子的$\mathbb{F}_{q^6}[x]$的$\mathbb{F}_q$ -线性MRD-码的存在性.在本文中，我们表明，这个家庭产生的$\mathbb{F}_q$ -线性MRD码的$\mathbb{F}_q^{6\times 6}$，具有相同的属性，也在剩余的$q$奇数情况下，但不是在$q$偶数情况下。这些MRD代码不等同于先前已知的MRD代码。我们还证明了相应的最大分散$\mathbb{F}_q$ -线性集的$\mathrm{PG}(1,q^6)$是不$\mathrm{P}Γ\mathrm{L}(2,q^6)$ -等价于任何以前已知的分散线性集。
2019-12-16 cs.IT math.CO math.IT
Evasive subspaces, generalized rank weights and near MRD codes
我们重新审视并扩展了$\mathbb{F}_{q^m}$ -线性秩度量码和$\mathbb{F}_{q^m}^k$的回避$\mathbb{F}_q$ -子空间之间的联系。我们给出了一个统一的框架中，我们证明了一个基本的方式如何秩度量码的参数相关的特殊几何性质的相关规避子空间，特别关注广义秩权重。通过这种方式，我们也可以提供分散子空间上已知结果的替代和非常简短的证明。然后，我们使用这个简化的角度来看，以获得近MRD码的几何特征和明确的界限，其最大长度。最后，我们将准MRD码理论与最大维数的$h$ -散布子空间联系起来，将MRD码的已知结果推广到所有参数集。
2022-04-25 cs.IT math.CO math.IT
New Semifields and new MRD Codes from Skew Polynomial Rings
在这篇文章中，我们构建了一个新的家庭的半域，包含和扩展两个著名的家庭，即阿尔伯特的广义扭曲领域和Petit的循环半域（也被称为约翰逊-Jha半域）。该结构还给出了具有参数的半域的例子，这些参数以前没有已知的例子。在两个维度上的一个核和四维的中心的半域的情况下，建设给出了所有可能的例子。此外，我们嵌入这些semifields在一个新的家庭的最大秩距离码，包括最已知的当前建设，包括（扭曲）Delsarte-Gabidulin码，并包含新的例子，大多数参数。
2018-06-01 math.CO math.RA
Algebraic structures of MRD Codes
本研究基于有限几何成果，证明了(F_q)_(n,n)中存在与Gabidulin码本质不同、最小距离为n的MRD码，其构造源于与有限域密切相关的代数结构，填补了相关结果未被文献明确指出的空白。
2016-06-23 cs.IT math.CO math.IT
Chromatic Number of Grassmann Graphs and MRD codes
Ghent University（根特大学）；Politecnico di Bari（巴里理工大学）
本文通过MRD码技术，研究了格拉姆斯图的色数并给出了新的上界，揭示了其渐近紧性。
2026-02-11 math.CO
Quotients of skew polynomial rings: new constructions of division algebras and MRD codes
本文研究斜多项式环及其商，利用非极值次数比的新例子构造有限与无限除环上的非结合除代数、半域及 MRD 码。
2025-02-19 cs.IT math.CO math.IT
A new family of linear maximum rank distance codes
本文构造了一类新的全参数线性最大秩距离（MRD）码。这一系列包含唯一已知的一般参数的家庭，Gabidulin代码，并包含代码inequivalent的Gabidulin代码。这个族也包含著名的半域族，称为广义扭曲域。我们还计算了这些码的自同构群，包括Gabidulin码的自同构群。
2016-06-07 math.CO
Common Complements of Linear Subspaces and the Sparseness of MRD Codes
受秩度量码理论应用的启发，我们研究了利用有限域上的子空间族的基数及其交结构来估计该子空间族的公共补数的问题.我们推导出这个数的上界和下界，以及它们的渐近版本，因为字段大小趋于无穷大。然后，我们使用这些界限来描述的一般行为的共同补充相对于稀疏性和密度，显示的决定性属性是是否要补充的空间的数量是可以忽略不计的字段大小。通过将我们的结果专门化到矩阵空间，我们得到了MRD码在秩度量上的个数的上界和下界。特别是，我们回答了一个悬而未决的问题，在编码理论，证明MRD码是稀疏的所有参数集的字段大小的增长，只有很少的例外。我们还研究了MRD码的密度，因为它们的列数趋于无穷大，获得一个新的渐近界。然后，利用数论中欧拉函数的性质，我们证明了对于大多数参数集，我们的界比已知结果有所改进。最后，我们通过建立秩度量码的密度函数的一般结构性质来总结本文。
2022-01-17 cs.DM cs.IT math.CO
On the number of inequivalent Gabidulin codes
最大秩距离（MRD）码是有限域上的$m\times n$矩阵空间中的极值码，具有秩度量.直到一般化，这种码的经典例子是在20世纪70年代构造的，今天被称为Gabidulin码。受最近几种构造MRD码的方法的启发，我们研究了Gabidulin码本身的等价性问题。这特别表明，加比杜林码族已经包含了大量成对不等价的MRD码子集，前提是$2\le m\le n-2$。
2018-02-13 cs.IT math.CO math.IT
Exceptional scattered sequences
分散多项式的概念被推广到那些例外的分散序列被证明是自然的代数对应的$\mathbb{F}_{q^n}$ -线性MRD码。在第一个非平凡的情况下，也提供了第一个无限家庭和等价问题被认为是。作为副产品，一个新的无限族的MRD码得到。
2022-11-21 cs.IT math.CO math.IT
Scattered subspaces and related codes
在Shekeey（2016）的开创性论文之后，在$h=1$和$h=r-1$的极端情况下，建立了$V(r,q^n)$的最大$h$ -分散$\mathbb{F}_q$ -子空间与最大秩距离（MRD）码之间的联系。在本文中，我们提出了一个连接任何$h\in\{1,\ldots,r-1\}$，扩展和统一所有以前已知的。因此，我们得到的例子，非方MRD码是不等价于广义Gabidulin或扭曲Gabidulin码。在等价性的前提下，我们对与我们的连接中的MRD码具有相同参数的MRD码进行分类。此外，我们确定的权重分布的代码有关的几何对应的最大$h$ -分散子空间。
2020-07-09 cs.IT math.CO math.IT
Delsarte duality on subspaces and applications to rank-metric codes and q-matroids
本文建立正亏量子空间与 Delsarte 对偶的对应，统一刻画相关子空间，并用于分析对偶封闭的秩距离码及 q-拟阵表示问题。
2025-09-29 cs.IT math.CO math.IT
Near-uniform $q$-matroids
University of Naples Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）；Beijing Jiaotong University（北京交通大学）
本文研究与非退化线性近MRD码关联的近均匀$q$-拟阵，显式确定其秩函数并刻画循环平展，证明其为可表示铺砌$q$-拟阵，给出循环平展数量上界及特定参数下的精确计数。
2026-09-30 math.CO
New scattered subspaces in higher dimensions
本文构造了任意大于二阶的异常散射序列无穷系列，得到无法由低维散射子空间直和表示的高维新散射子空间，并讨论了等价性问题。
2024-02-23 math.CO
Adjoint and duality for rank-metric codes in a skew polynomial framework
本文在斜多项式环商中系统研究转置与对偶运算，给出转置码和对偶码的显式描述，确定 Sheekey 等人 MRD 码族的伴随码与对偶码，并证明其在新的无限参数集上与已知构造不等价。
2025-11-07 cs.IT math.CO math.IT
Rank-Metric Codes, Semifields, and the Average Critical Problem
我们调查两个基本问题交叉编码理论和组合几何，强调它们的连接。这些问题的计算MRD码的渐近密度的秩度量，和Crapo和Rota的组合几何的关键问题。利用半域理论的方法，我们得到了满秩平方MRD码的密度函数的两个下界。当矩阵大小是素数并且基础域足够大时，第一个界限是尖锐的，而第二个界限适用于二进制域。然后，我们重新审视组合几何的临界问题，从定性的，往往是渐近的观点来接近它。我们说明了这个非常经典的问题和计算MRD码的渐近密度之间的联系。最后，我们研究了一些特殊码族在秩度量下的渐近密度，包括对称码族、交错码族和厄米特码族。特别是，我们表明，在这三个上下文中的最佳代码是稀疏的。
2022-01-18 cs.IT math.CO math.IT
Non-linear MRD codes from cones over exterior sets
本文利用有限射影空间中的外集与锥构造了一类新的非线性MRD码，并证明其与已有非线性MRD码既不等价也不伴随等价，同时统一了此前多个构造。
2024-05-02 cs.IT math.CO math.IT
On the equivalence issue of a class of $2$-dimensional linear Maximum Rank Distance codes
在[A. Neri，P. Santonastaso，F.祖洛推广了两类最大秩距离码]，推广了最近在[G.隆戈巴尔迪湾马里诺河特龙贝蒂岛舟$\mathrm{PG}(1,q^n)$及其相关MRD码的最大离散线性集的一大族]。对于$t \geq 5$，他们确定了这个新族中元素的等价类，并给出了其中不等价码的确切个数。此外，我们证明的情况下，当$t=4$，线性集的投影线$\mathrm{PG}(1,q^{8})$从相关的家庭中的代码，是不等价的任何一个已知的。
2023-03-28 cs.IT math.CO math.IT
Generalized Twisted Gabidulin Codes
令$\mathcal{C}$是$\mathbb{F}_q$上的$m$乘$n$矩阵的集合，使得对于所有不同的$A,B\in \mathcal{C}$，$A-B$的秩至少为$d$。假设$m\leqslant n$.如果$\#\mathcal{C}= q^{n(m-d+1)}$，则$\mathcal{C}$是最大秩距离（简称MRD）码。直到2016年，对于任意$1<d<m-1$，只有两种已知的MRD码构造。一个是由Delsarte（1978）和Gabidulin（1985）独立发现的，后来由Kshevetskiy和Gabidulin（2005）推广。我们通常称之为（广义）Gabidulin码。Sheekey（2016）最近获得了另一个族，其元素被称为扭曲Gabidulin码。在同一篇论文中，Sheekey还提出了扭曲Gabidulin码的推广。然而，它的等价性问题没有考虑，因此，它不清楚是否存在新的MRD码在此推广。我们称这个假定的大家族的成员为广义扭曲Gabidulin码。本文首先计算了它们的Delsarte码和伴随码，然后完全确定了不同广义扭Gabidulin码之间的等价性。特别地，在等价条件下，可以证明广义Gabidulin码和扭Gabidulin码都是这类码的真子集.
2018-05-27 cs.IT math.CO math.IT
Classes and equivalence of linear sets in $PG(1,q^n)$
研究了$PG(1,q^n)$的秩为n的$\mathbb{F}_q$ -线性集的等价性问题，包括伴随簇、投影配置、$\mathbb{F}_q$ -Rédei型线性块集和MRD-码.
2016-07-23 math.CO
Linear maximum rank distance codes of exceptional type
有限域上给定指数的离散多项式是数学中有许多联系的有趣的稀有对象。特别令人感兴趣的是第一作者和Zhou在2018年定义的例外，其中部分分类结果是已知的。本文提出了$\mathbb{F}_{q^n}$ -线性最大秩距离码的一个统一的代数描述，引入了给定指数的例外线性最大秩距离码的概念。这样的连接自然地扩展了秩度量框架中的离散多项式的例外性的概念，并提供了在单项MRD上下文中的Moore集的泛化。我们走向例外的线性MRD码的分类，通过显示，指数为零的广义Gabidulin码，并证明在正指数的情况下，代码包含一个例外的分散多项式的相同的指数。
2021-10-15 cs.IT math.CO math.IT
Generalized bilinear forms graphs and MDR codes
研究了剩余类环$\mathbb{Z}_{p^s}$上的广义双线性型图$Γ_d$.证明了$Γ_d$是一个连通点传递图，并完全确定了它的独立数、团数、色数和最大团数。我们还证明了$Γ_d$及其补图的核都是最大团。图$Γ_d$对于纠错码是有用的。我们证明了$Γ_d$的每个最大独立集都是$\mathbb{Z}_{p^s}$上的MRD码和通常的MDS码。此外，存在一个最大的$Γ_d$独立集是$\mathbb{Z}_{p^s}$上的线性码。
2017-05-19 math.CO
Classification of large partial plane spreads in $PG(6,2)$ and related combinatorial objects
本文对最大可能尺寸为$17$和尺寸为$16$的$PG(6,2)$中的部分平面展开进行了分类。基于这个结果，我们得到了以下密切相关的组合对象的分类：矢量空间划分的$PG(6,2)$类型$(3^{16} 4^1)$，二进制$3\times 4$ MRD码的最小秩距离$3$，和子空间码参数$(7,17,6)_2$和$(7,34,5)_2$。
2018-05-02 math.CO
Asymptotics of Moore exponent sets
令$n$是正整数，$I$是$[0,n-1]$中整数的$k$ -子集。给定一个$k$元组$A=(α_0, \cdots, α_{k-1})\in \mathbb{F}^k_{q^n}$，令$M_{A,I}$用$0\leq i\leq k-1$和$j\in I$表示矩阵$(α_i^{q^j})$.当$I=\{0,1,\cdots, k-1\}$，$M_{A,I}$被称为摩尔矩阵，它是由E. H.摩尔在1896年。众所周知，摩尔矩阵的行列式等于$0$当且仅当$α_0,\cdots, α_{k-1}$是$\mathbb{F}_q$线性相关的。我们把满足这个性质的$I$称为摩尔指数集。事实上，摩尔指数集等价于有限域上具有最大左和右理想化器的最大秩距离（MRD）码。已知$I=\{0,\cdots, k-1\}$不是唯一的Moore指数集，如Csajbók，Marino，Polverino和第二作者最近发现的（广义）Delsarte-Gabidulin码和MRD码都产生了新的Moore指数集.利用代数几何方法，得到了一个渐近分类结果：对于$q>5$，如果$I$不是等差数列，则存在一个依赖于$I$的整数$N$，使得$I$不是Moore指数集，只要$n>N$是一个整数.
2020-06-04 math.CO
Random Gabidulin Codes Achieve List Decoding Capacity in the Rank Metric
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
研究加比杜林码在秩度量中的列表可译码性这一长期开放问题，通过证明足够大字母表上的随机加比杜林码以高概率达到秩度量列表译码最优广义Singleton界，解决该问题，并给出高阶MRD码理论及GM - MRD定理等技术贡献。
2026-07-28 cs.IT math.CO math.IT
A new family of maximum scattered linear sets in $\mathrm{PG}(1,q^6)$
我们将前两位作者在“$\mathrm{PG}(1,q^n)$的最大分散线性集的顶点性质“（2019）中提出的线性集的例子推广到更一般的族，证明了当$q$是奇数时，这样的线性集是最大分散的，除了特殊情况外，它们是新的。这解决了“$\mathrm{PG}(1,q^n)$的最大分散线性集的顶点属性“（2019）中提出的一个开放问题。作为Sheekey在“A new family of linear maximum rank distance codes”（2016）中结果的结果，该族产生了具有参数$(6,6,q;5)$的新MRD码。
2020-02-13 cs.IT math.CO math.IT
A note on the linkage construction for constant dimension codes
在随机线性网络编码中，常维码被用于差错控制，因此构造具有大基数的常维码在过去的十年中得到了广泛的关注。在这里，我们改进了所谓的联动建设。推广了含有提升MRD码的等维码的已知上界。
2020-05-05 cs.IT math.CO math.IT
On a conjecture about maximum scattered subspaces of $\mathbb{F}_{q^6}\times \mathbb{F}_{q^6}$
极大散布子空间不仅是有限几何中的一个重要研究对象，而且是构造MRD码、双权射影码和强正则图的有力工具。2018年，Csajbók、Marino、Polverino和Zanella在$\mathbb{F}_{q^6} \times \mathbb{F}_{q^6}$中引入了一个新的最大散射子空间族，该子空间由$f_b(x)=bx^q+x^{q^4}$类型的多项式产生，用于$b \in \mathbb{F}_{q^6}$的某些选择。通过对$f_{b_2}(x)$和$f_{b_1}(x)$的等价极大散射子空间的刻画，作者证明了用这种方法得到的新的和不等价的极大散射子空间的部分是相当大的.本文首先找到了$b$获得最大散射子空间的充要条件。Polverino和Zullo 2019也使用不同的技术独立发现了这些条件。证明了关于这类新的不等价的极大散布子空间个数的猜想。
2021-09-06 math.CO
Coset Construction for Subspace Codes
网络编码的研究领域的主要问题之一是计算$\operatorname{PG}(n,q)$中所谓的子空间码的可实现基数的良好下限和上界，即，对于给定的最小距离，$\mathbb{F}_q^n$的子空间的集合。在这里，我们概括了建设Etzion和Silberstein的参数范围很广。这种构造称为陪集构造，改进或获得了几个以前最著名的子空间码的大小，并获得了无限族参数的MRD界。
2017-09-26 cs.IT math.CO math.IT
Rank-Metric Codes and Their Parameters
本章系统阐述线性秩度量码的基本参数及其相互关系，涵盖最优码、反码以及 MRD 码渐近密度等理论成果。
2023-12-11 cs.IT math.CO math.IT
On MSRD codes, h-designs and disjoint maximum scattered linear sets
本文研究了 sum-rank 度量中码的几何特性，建立了广义权重和几何对偶操作，并扩展了最大 sum-rank 距离码与 h-设计的对应关系，利用不相交最大分散线性集构造了新码和新设计。
2023-08-01 cs.IT math.CO math.IT
Scattered trinomials of $\mathbb{F}_{q^6}[X]$ in even characteristic
本研究针对偶特征下F_{q^6}[X]中的散在三项式，给出了使其为散在的新条件，并利用正特征代数几何工具证明存在大量满足条件的元素，且所得MRD码与线性集不等价于已知构造。
2024-05-17 math.CO
Vertex properties of maximum scattered linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^n)$
本文研究了由$\mathrm{PG}(n-1,q^n)$中的一个$k$ -子空间$Γ$和一个正则子几何$Σ$组成的组态的几何性质，并给出了$Γ\capΣ=\emptyset$ .这个想法的动机是，这些属性反映在线性集的代数结构，这是从顶点$Γ$ $Σ$的投影。特别是我们处理的最大分散线性集的线$\mathrm{PG}(1,q^n)$发现Lunardon和Polverino和最近推广的Sheekey。我们的目的是通过Csajbók和本文第一作者对伪正则型线性集所做的投影顶点的性质来刻画这个家族。参考这些属性，我们构建了新的例子，分散线性集的$\mathrm{PG}(1,q^6)$，也产生了新的例子，MRD码在$\mathbb F_q^{6\times 6}$左理想同构$\mathbb F_{q^6}$。
2020-01-18 math.CO
New maximum scattered linear sets of the projective line
文[2]和[19]给出了射影直线$\mathrm{PG}(1,q^n)$的前两类最大离散$\mathbb{F}_q$ -线性集。最近，在[23]和[5]中，构造了最大分散$\mathbb{F}_q$ -$V(2,q^n)$子空间的新例子，但相应线性集的等价问题尚未解决。本文证明了[23]和[5]中给出的$\mathbb{F}_q$ -线性集对于$n=6,8$是新的.此外，对于$q$奇数，$q\equiv \pm 1,\,0 \pmod 5$，我们提出了新的例子，最大分散$\mathbb{F}_q$ -在$\mathrm{PG}(1,q^6)$线性集，产生于三项式多项式，定义新的$\mathbb{F}_q$ -线性MRD-代码的$\mathbb{F}_q^{6\times 6}$与尺寸$12$，最小距离5和中间核（或左理想化）同构$\mathbb{F}_{q^6}$。
2017-09-04 math.CO
Linear rank-metric intersecting codes
本文提出并研究了秩度量相交码，从编码理论与几何角度分析其与极小码、MRD码等的关系，推导了结构性质、上下界及构造方法，并关联了分离系统与无陷害码。
2025-07-01 cs.IT math.CO math.IT
On certain linearized polynomials with high degree and kernel of small dimension
设$f$是由$x\mapsto x+ax^{q^s}+bx^{q^{n+s}}$和$\gcd(n,s)=1$定义的$\mathbb{F}_{q^{2n}}$-线性映射.已知$f$的核具有至多$2$的维数，如Csajbók等人在“A new family of MRD-codes”（2018）中所证明的。对于足够大的$n$，例如当$s=1$时的$n\geq5$，我们对$b/a$的值进行分类，使得$f$的核具有至多$1$的维数。为了这个目的，我们将这个问题转化为研究一些代数曲线的小程度方面的程度$f$，这允许使用交叉理论和功能领域的理论与Hasse-Weil界。我们的结果包含了一类高次离散二项式的非离散性结果，以及一类秩度量码的渐近分类。
2020-04-22 cs.IT math.CO math.IT
Towards the classification of exceptional scattered polynomials
有限域上的离散多项式近年来受到了广泛的关注。原因之一是它们与最大秩距离（MRD）码的深刻联系。对于例外的分散多项式（即分散在无限域扩张上的多项式）的已知分类结果限于其索引$\ell$小的情况，或者是大于多项式的$q$阶$k$的素数，或者是在$k$是素数的情况下小于$k$的整数。本文对$\ell$和$k$之间的最大值为奇数时的例外离散多项式进行了完全分类，并给出了最大值为偶数时例外离散多项式的部分结果，推广了Ferraguti和Micheli在2021年的一个结果.
2022-06-28 math.CO math.NT
An infinite family of linear codes supporting 4-designs
第一个支持$4$设计的线性码是Golay在1949年发现的$[11, 6, 5]$三进制Golay码.在过去的71年中，人们发现了具有$4$ -设计或$5$ -设计的零星线性码，并构造了许多支持$3$ -设计的线性码的无限族.然而，关于是否有一个无限族的线性代码持有一个无限族的$t$ -设计$t\geq 4$仍然开放了71年的问题。本文提出了一个无限族的BCH码的长度$2^{2m+1}+1$在$\mathrm{GF}(2^{2m+1})$持有一个无限族的$4$ - $(2^{2m+1}+1, 6, 2^{2m}-4)$设计，解决了这个长期存在的问题。此外，提出了一个无限族的线性码保持球形设计$S(3, 5, 4^m+1)$。
2020-01-01 cs.IT math.CO math.IT
The subfield codes and subfield subcodes of a family of MDS codes
最大距离可分码（MDS）在理论和实际应用中都具有重要的意义。对于$1 \leq u \leq 2^{m-1}$，有一类经典的$[2^m+1, 2u-1, 2^m-2u+3]$ MDS码的构造，它们是$\mathrm{GF}(2^m)$上循环的、可逆的BCH码.本文研究了偶$m$的MDS码的一个子族的四子域子码和四子域码。得到了一类四元循环码。这些四元码在某些情况下是距离最优的，并且通常非常好。此外，这些四元码的$3$ -设计的无限家庭。
2021-06-15 cs.IT math.CO math.IT
A family of ovoids in PG(3, 2^m) from cyclic codes
$\PG(3, q)$中的卵形一直是编码理论、组合数学和有限几何中的一个有趣的课题。到目前为止，只知道两个家庭。第一个是椭圆二次和第二个是山雀卵形。本文给出了$\PG(3, 2^m)$中的一族卵形码，它适用于所有来自一族不可约循环码的$m$.
2018-02-10 cs.IT math.CO math.IT
Classification of a family of completely transitive codes
Hamming图中的完全正则码具有高度的组合对称性，自Delsarte于1973年提出以来，引起了人们极大的兴趣。本文研究了完全传递码的子族，即自同构群在距离划分的每一部分上都是传递的。这个家庭是一个自然的推广二进制完全传递码介绍了索尔在1990年。我们采取的第一步对这些代码的分类，确定那些自同构群是忠实的条目。
2012-10-26 cs.IT math.CO math.IT
The coset weight distributions of certain BCH codes and a family of curves
研究了特征为2的有限域上曲线族中有理点的个数分布。该分布决定了某个BCH码的陪集权重分布。
2001-06-22 cs.IT math.AG math.CO
The BCH Family of Storage Codes on Triangle-Free Graphs is of Unit Rate
本研究解决了Barg与Zémor2022年提出的公开问题，证明无三角形图上BCH族存储码码率为1，并推广其构造得到更多同类码率为1的存储码，推进了高码率存储码构造研究。
2023-10-07 cs.IT math.CO math.IT
