Lunardon于1999年在有限域上的射影空间中引入了线性集的概念，它在块集、半域、秩距离码等的研究中起着核心作用。尽管二十年的研究，只有有限数量的最大分散线性集的线$\mathrm{PG}(1,q^n)$。本文对任意偶数$n\geq 6$和奇数$q$，给出了$\mathrm{PG}(1,q^n)$上一个新的极大散布线性集的大族.特别地，对于给定的$q=p^r$和$n=2t>8$，相关家族包含至少\[ \begin{cases}
\left\lfloor\frac{q^t+1}{8rt}\right\rfloor,& \text{ if }t\not\equiv 2\pmod{4};\\[8pt]
\left\lfloor\frac{q^t+1}{4rt(q^2+1)}\right\rfloor,& \text{ if }t\equiv 2\pmod{4},
\end{cases} \]不等价的成员，其中$p=\mathrm{char}(\mathbb{F}_q)$。这是以前结果的一个很大的改进：对于给定的$q$和$n>8$，$\mathrm{PG}(1,q^n)$在迄今已知的所有类中的不等价最大离散线性集的数目小于$q^2$。此外，我们发现，有大量的新的最大秩距离码所产生的构造的线性集。
英文摘要：
The concept of linear set in projective spaces over finite fields was introduced by Lunardon in 1999 and it plays central roles in the study of blocking sets, semifields, rank-distance codes and etc. A linear set with the largest possible cardinality and rank is called maximum scattered. Despite two decades of study, there are only a limited number of maximum scattered linear sets of a line $\mathrm{PG}(1,q^n)$. In this paper, we provide a large family of new maximum scattered linear sets over $\mathrm{PG}(1,q^n)$ for any even $n\geq 6$ and odd $q$. In particular, the relevant family contains at least
\[ \begin{cases}
\left\lfloor\frac{q^t+1}{8rt}\right\rfloor,& \text{ if }t\not\equiv 2\pmod{4};\\[8pt]
\left\lfloor\frac{q^t+1}{4rt(q^2+1)}\right\rfloor,& \text{ if }t\equiv 2\pmod{4},
\end{cases} \]
inequivalent members for given $q=p^r$ and $n=2t>8$, where $p=\mathrm{char}(\mathbb{F}_q)$. This is a great improvement of previous results: for given $q$ and $n>8$, the number of inequivalent maximum scattered linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^n)$ in all classes known so far, is smaller than $q^2$. Moreover, we show that there are a large number of new maximum rank-distance codes arising from the constructed linear sets.
Connections between scattered linear sets and MRD-codes
本文的目的是综述关于极大散布线性集和MRD码的已知结果。特别是，我们调查这两个领域之间的联系。在“A new family of linear maximum rank distance codes”（2016）中，Sheekey展示了$\mathrm{PG}(1,q^n)$的最大离散线性集如何定义平方MRD码。后来在“最大分散线性集和MRD码”（2017）中，$\mathrm{PG}(r-1,q^n)$中的最大分散线性集，$r>2$，用于构造非方MRD码。在这里，我们指出了一个新的关系，关于另一个方向。我们还提供了另一种证明著名的Blokhuis-Lavrauw的界的秩的最大分散线性集显示在“分散空间相对于一个蔓延$\mathrm{PG}(n,q)$“（2000年）。
A new family of maximum scattered linear sets in $\mathrm{PG}(1,q^6)$
我们将前两位作者在“$\mathrm{PG}(1,q^n)$的最大分散线性集的顶点性质“（2019）中提出的线性集的例子推广到更一般的族，证明了当$q$是奇数时，这样的线性集是最大分散的，除了特殊情况外，它们是新的。这解决了“$\mathrm{PG}(1,q^n)$的最大分散线性集的顶点属性“（2019）中提出的一个开放问题。作为Sheekey在“A new family of linear maximum rank distance codes”（2016）中结果的结果，该族产生了具有参数$(6,6,q;5)$的新MRD码。
Maximum 2-scattered subspaces of $V(r,q^6)$ for every $r\geq 3$
Dipartimento di Matematica e Informatica “Ulisse Dini”, Università degli Studi di Firenze（佛罗伦萨大学）；Dipartimento di Matematica e Applicazioni “R. Caccioppoli”, Università degli Studi di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）
On certain linearized polynomials with high degree and kernel of small dimension
设$f$是由$x\mapsto x+ax^{q^s}+bx^{q^{n+s}}$和$\gcd(n,s)=1$定义的$\mathbb{F}_{q^{2n}}$-线性映射.已知$f$的核具有至多$2$的维数，如Csajbók等人在“A new family of MRD-codes”（2018）中所证明的。对于足够大的$n$，例如当$s=1$时的$n\geq5$，我们对$b/a$的值进行分类，使得$f$的核具有至多$1$的维数。为了这个目的，我们将这个问题转化为研究一些代数曲线的小程度方面的程度$f$，这允许使用交叉理论和功能领域的理论与Hasse-Weil界。我们的结果包含了一类高次离散二项式的非离散性结果，以及一类秩度量码的渐近分类。
