发表机构
Dipartimento di Matematica e Informatica “Ulisse Dini”, Università degli Studi di Firenze; Dipartimento di Matematica e Applicazioni “R. Caccioppoli”, Università degli Studi di Napoli Federico II（佛罗伦萨大学; 那不勒斯费德里科二世大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文构造了 $V(r,q^6)$ 的极大 $2$-分散子空间，通过迹论证和分情况处理建立互补性，并利用秩度量码与直和覆盖几乎所有 $r\geq3$ 的情形。
AI 中文摘要
对于每个素数幂 $q$ 和每个与 $6$ 互素的整数 $r\geq5$，我们构造了 $V(r,q^6)$ 的一个极大 $2$-分散 $\mathbb{F}_q$-子空间。该构造是 $\mathbb{F}_{q^{6r}}$ 的一个二维 $\mathbb{F}_{q^r}$-子空间，将其视为 $\mathbb{F}_{q^6}$ 上的 $r$ 维向量空间。一个迹论证将证明归结为两个 $\mathbb{F}_{q^r}$-子空间的互补性。我们通过区分两种情况来建立这种互补性，这两种情况分别导致三次多项式障碍和二次范数障碍。相关的秩度量码是一个 $[2r,r,4]_{q^6/q}$ MRD 码，且与其对偶等价。取 $r=5,7$ 的情形并与标准的三维构造取直和，可以得到对于每个 $q$ 和每个 $r\geq3$（除 $r=4$ 外）的 $V(r,q^6)$ 的极大 $2$-分散子空间。当 $q$ 是 $2$ 的奇次幂时，已知的四维构造也覆盖了这剩余情形。
英文摘要
For every prime power $q$ and every integer $r\geq5$ coprime to $6$, we construct a maximum $2$-scattered $\mathbb{F}_q$-subspace of $V(r,q^6)$. The construction is a two-dimensional $\mathbb{F}_{q^r}$-subspace of $\mathbb{F}_{q^{6r}}$, viewed as an $r$-dimensional vector space over $\mathbb{F}_{q^6}$. A trace argument reduces the proof to the complementarity of two $\mathbb{F}_{q^r}$-subspaces. We establish this complementarity by separating two cases, which lead to a cubic polynomial obstruction and a quadratic norm obstruction. The associated rank-metric code is a $[2r,r,4]_{q^6/q}$ MRD code equivalent to its dual. Taking the cases $r=5,7$ and direct sums with the standard dimension-three construction gives maximum $2$-scattered subspaces of $V(r,q^6)$ for every $q$ and every $r\geq3$ except $r=4$. When $q$ is an odd power of $2$, the known dimension-four construction also covers this remaining case.
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