On maximum additive Hermitian rank-metric codes
受Zhou“On equivalence of maximum additive symmetric rank-distance codes”（2020）基于Schmidt“对称双线性型over finite fields with applications to coding theory“（2015）论文的启发，我们研究了埃尔米特矩阵的最大$d$ -码的等价性问题。更确切地说，在$\mathbb{F}_{q^2}$上的埃尔米特矩阵的空间$\mathrm{H}_n(q^2)$中，我们有两个可能的等价：经典的等价来自于保持$\mathbb{F}_{q^2}^{n\times n}$中秩的映射，以及限制到既保持秩又保持空间$\mathrm{H}_n(q^2)$的映射。证明了当$d<n$和所考虑的码是极大可加$d$ -码和$(n-d)$ -设计时，这两个等价关系是一致的.因此，我们得到，这种码的理想化者是不确定的，不像通常发生的秩度量码。最后，我们处理已知的最大Hermitian码的组合性质，并且通过这项研究，我们提出了一个新的最大Hermitian $2$ -码族，扩展了Longobardi等人在“自同构群和具有限制的最大加性秩度量码的新构造”（2020）中提出的构造。
2020-08-13 math.CO
Neumaier graphs from cyclotomy with small coherent rank
本文通过分圆法构造了新的无限诺伊迈尔图族，包含无限强正则图及推测的无限相干秩6图，首次回答了Evans等关于结点非2幂次诺伊迈尔图存在性的问题，并证明Greaves-Koolen构造也能生成相干秩6的无限族。
2025-04-16 math.CO
Maximum Size of a Family of Pairwise Graph-Different Permutations
图$G$的顶点的两个排列称为$G$ -如果存在索引$i$使得两个排列的第$i$项形成$G$中的边，则不同。本文对不同的图$G$，确定了一个两两$G$ -不同置换族的最大尺寸.我们证明了对于所有阶为$n$且度最小的平衡二部图$G$，$G$的顶点的最大成对$G$ -不同置换数为$2^{(1-o(1))n}$ .我们还提出了具有最大度$O(\log n)$的二部图$G$具有此属性的例子。我们探讨了当一个给定的图中添加了无限多个不相交的顶点时，一类两两图不同排列的最大尺寸的边界问题。我们确定这个确切的值的图2不相交的边缘，并提出了一些渐近界有关这个值的图组成的联盟的$n/2$不相交的边缘。
2017-02-27 math.CO
On WL-rank of Deza Cayley graphs
有向图$Γ$的WL-秩被定义为$Γ$的相干配置的秩。我们构造了一类新的严格Deza Cayley图的无限族，其WL-秩等于顶点数。这类图是可分设计图和积分图。
2021-05-25 math.CO
A New Greedoid: The Family of Local Maximum Stable Sets of a Forest
图G的最大独立集是具有最大基数的独立集。S是一个局部极大值独立集，如果它是由S和N（S）的并所张成的G的子图的一个极大独立集，其中N（S）是S的邻域. Nemhauser和Trotter Jr.的一个定理，作为加权最大稳定集问题的一个有用的局部最优性充分条件，保证了G的任何局部极大值独立集都可以扩大为G的一个极大独立集.在本文中，我们证明了一个相反的断言是真实的森林。也就是说，我们证明了对于森林T的任何非空局部极大值独立集S，存在T的一个局部极大值独立集S1，使得S1包含在S中且|S1| = |S| - 1。此外，作为Nemhauser和Trotter Jr.定理的进一步加强。和它的逆，证明了森林的所有局部极大值稳定集的族在其顶点集上形成一个广义拟阵。
1999-12-29 math.CO
A note on uniform intersecting families with maximum transversal size
我们构造了一个横截尺寸为$\lceil \frac{k+1}{2} \rceil$，长度为$k+1$的相交$k$ -族，并研究了它的一些性质.我们用这个族证明了$q(4) = 9$。我们还为$k = 2^m - 1$构建了一个$k$ -家族，其长度为$2k+1$，横向尺寸至少为$(2k+1)/3$ .
2014-09-16 math.CO
Automorphism groups and new constructions of maximum additive rank metric codes with restrictions
令$d, n \in \mathbb{Z}^+$使得$1\leq d \leq n$ . $d$码$\mathcal{C} \subset \mathbb{F}_q^{n \times n}$是阶$n$方阵的子集，具有以下性质：对于$\mathcal{C}$中的所有不同元素对，它们的差的秩大于或等于$d$ .具有尽可能多的元素的$d$码称为最大$d$码。整数$d$也称为码的最小距离。当$d<n$时，这种对象的经典示例是所谓的广义Gabidulin码。存在几类分别由对称矩阵、交错矩阵和埃尔米特矩阵构成的极大$d$ -码。在这篇文章中，我们将重点介绍这些例子。准确地说，我们确定了它们的自同构群，并解决了它们的等价性问题。最后，我们展示了一个最大的对称$2$ -码，这是不等价的一个具有相同的参数，到目前为止。
2019-08-06 math.CO
The Classification of Graphs on $8$ vertices with Coinciding Zero Forcing number and Maximum Nullity
该研究针对简单无向图的最小秩问题，确定了八顶点图中最小秩矩阵零度与零强迫数界不相等的精确图集，同时还提出了辅助一般图最小秩计算的额外方法。
2025-06-12 math.CO
A large family of maximum scattered linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^n)$ and their associated MRD codes
Lunardon于1999年在有限域上的射影空间中引入了线性集的概念，它在块集、半域、秩距离码等的研究中起着核心作用。尽管二十年的研究，只有有限数量的最大分散线性集的线$\mathrm{PG}(1,q^n)$。本文对任意偶数$n\geq 6$和奇数$q$，给出了$\mathrm{PG}(1,q^n)$上一个新的极大散布线性集的大族.特别地，对于给定的$q=p^r$和$n=2t>8$，相关家族包含至少\[ \begin{cases} \left\lfloor\frac{q^t+1}{8rt}\right\rfloor,& \text{ if }t\not\equiv 2\pmod{4};\\[8pt] \left\lfloor\frac{q^t+1}{4rt(q^2+1)}\right\rfloor,& \text{ if }t\equiv 2\pmod{4}, \end{cases} \]不等价的成员，其中$p=\mathrm{char}(\mathbb{F}_q)$。这是以前结果的一个很大的改进：对于给定的$q$和$n>8$，$\mathrm{PG}(1,q^n)$在迄今已知的所有类中的不等价最大离散线性集的数目小于$q^2$。此外，我们发现，有大量的新的最大秩距离码所产生的构造的线性集。
2021-09-29 math.CO
The row left rank of a quaternion unit gain graph in terms of maximum degree
本文研究四元数单位增益图的行左秩下界，证明了其至少为阶数除以最大度，并在连通情形下给出改进下界，同时刻画了所有极值图。
2025-04-09 math.CO
Two spectral extremal results for graphs with given order and rank
图的谱半径和秩分别定义为图的邻接矩阵的谱半径和秩。确定某些图族上具有最大或最小谱半径的极图是谱极值图论中的一个重要问题。Monsalve和Rada [Extremal谱半径of graphs with rank 4，线性代数Appl.609（2021）1-11]得到了所有n阶秩4图中具有最大和最小谱半径的极图。本文首先确定了任意给定阶数和秩为r的图中谱半径最大的极图，进而确定了阶数和秩为5的图中谱半径最小的极图。
2023-01-13 math.CO
Maximum Likelihood Threshold and Generic Completion Rank of Graphs
使得高斯图模型中的最大似然估计以概率1存在的最小观测数称为基础图G的最大似然阈值。自然代数松弛是一般的完成秩由Uhler介绍。我们表明，最大似然阈值和通用的完成秩的行为以同样的方式下团和，这给我们大家庭的图形上，这些不变量相吻合。另一方面，我们确定两个不变量的完全二部图$K_{m,n}$，并表明，对于某些选择的m和n的两个参数可能是相当遥远的。特别是，这给出了最大似然阈值和通用完成等级不一致的图形的第一个例子。
2017-05-23 math.AG math.CO
Maximum scattered linear sets and MRD-codes
$\mathrm{PG}(r-1,q^n)$的分散$\mathbb{F}_q$ -线性集的秩，甚至$rn$，至多是$rn/2$，正如Blokhuis和Lavrauw所证明的。对于秩为$rn/2$的离散$\mathbb{F}_q$ -线性集，给出了$r$，$n$，$q$（甚至$rn$）的无穷多个值的存在性结果和显式构造.在本文中，我们证明了界$rn/2$是尖锐的，在其余的开放情况下。最近，Sheekey证明了最大秩$n$的$\mathrm{PG}(1,q^n)$的离散$\mathbb{F}_q$ -线性集产生$\mathbb{F}_q$ -线性MRD-码，具有维度$2n$和最小距离$n-1$。我们推广了这一结果，证明了最大秩$rn/2$的$\mathrm{PG}(r-1,q^n)$的离散$\mathbb{F}_q$ -线性集产生具有维数$rn$和最小距离$n-1$的$\mathbb{F}_q$ -线性MRD-码.
2017-01-24 math.CO
A new family of maximum linear symmetric rank-distance codes
Purple Mountain Laborotories（紫金山实验室）；National University of Defense Technology（国防科技大学）
本文提出了一种新的最大线性对称秩距码构造，针对n=6,8,10的情况，提供了不等同于已知构造的码家族，并确定了其成员间的等价性。
2025-12-22 math.CO
Non-trivial intersecting families for finite affine spaces
郭和徐确定了最大规模的交叉家庭在有限的仿射空间，并表明，任何家庭达到最大规模必须是平凡的。本文刻画了具有最大尺寸的非平凡相交族。
2020-04-24 math.CO
Maximum Flag-Rank Distance Codes
本文推广了具有标志秩度量的上三角形矩阵线性空间的研究。这样的度量空间与退化标志的某些空间是等距的，并且已经被建议作为用于网络编码的合适框架。在此设置中，我们提供了一个类似Singleton的约束，其中涉及的参数的标志秩度量代码。这使得我们可以引入最大标志秩距离码的家庭，这是标志秩度量码满足Singleton的约束与平等。最后，我们给出了几种最大标志秩距离码的构造方法。
2023-03-29 cs.IT math.CO math.IT
MRD codes with maximum idealizers
左理想化子和右理想化子是线性秩距离码的重要不变量。对于$\mathbb{F}_q^{n\times n}$中的最大秩距离（MRD）码，证明了理想化子同构于大小至多为$q^n$的有限域.到目前为止，唯一已知的具有最大左和右理想化子的MRD码是广义Gabidulin码，它首先由Delsarte在1978年构造，后来由Kshevetskiy和Gabidulin在2005年推广。本文对$\mathbb{F}_q^{n\times n}$中具有最大左理想化子和最大右理想化子的$n\leq 9$的MRD码进行了分类，并将其与Moore型矩阵联系起来。除了广义Gabidulin码，事实证明，有一个进一步的家庭的秩距离码提供MRD的最大理想化$n=7$，$q$奇数和$n=8$，$q\equiv 1 \pmod 3$。这些代码不等同于任何先前已知的MRD代码。此外，我们表明，这个家庭的秩距离码不提供任何进一步的例子$n\geq 9$。
2020-09-16 math.CO
On the Principal Permanent Rank Characteristic Sequences of Graphs and Digraphs
主永久秩特征序列是二进制序列$r_0 r_1 \ldots r_n$，其中如果存在大小为$k$的具有非零永久的主正方形子矩阵，则为$r_k = 1$，否则为$r_k = 0$，并且如果存在零对角项，则为$r_0 = 1$。本文给出了由非负矩阵族和非负对称矩阵族可得到的所有主恒秩序列的一个特征。提供了所有可实现序列的构造。反对称矩阵的结果也包括在内。
2015-10-17 math.CO
Maximum Rank and Asymptotic Rank of Finite Dynamical Systems
有限动力系统是在有限字母表上的多变量函数的系统，用于对交互实体的网络进行建模。有限动力系统的主要特征是它的交互图，它表明哪些局部函数依赖于哪些变量;交互图是网络上实体之间交互的定性表示。有限动力系统的秩是其像的基数;周期秩是其周期点的数目。在本文中，我们确定了有限动力系统的最大秩和最大周期秩，它具有一个给定的相互作用图在任何非布尔字母表。对于交互图包含在给定有向图中的布尔有限动力系统（也称为布尔网络），我们也得到了类似的结果。然后，我们证明，平均排名是相对接近（字母表的大小是大）的最大值。上述结果只涉及并行更新调度。我们最终确定的最大秩在所有块顺序更新计划和上确界周期秩在所有完整的更新计划。
2017-01-11 cs.DM math.CO math.DS
On the maximum number of points in a maximal intersecting family of finite sets
保罗·埃尔德什和拉斯洛·洛瓦兹在一篇具有里程碑意义的文章中证明，对于任何正整数$k$，直到同构，只有1000个最大相交的$k-$集族（最大$k-$团）。因此，他们提出的问题，确定或估计的最大数目$N(k)$的点，在这样的家庭。并通过实例证明了$N(k)\geq2k-2+\frac{1}{2}\binom{2k-2}{k-1}$ .很久以后，Zsolt Tuza通过证明渐近$N(k)$至多是这个下界的$4$倍，证明了这个界在乘法常数下是最佳可能的。在本文中，我们通过证明渐近$N(k)$最多是$3$倍的Erdens-Lovász下界来减少上界之间的差距。从推测上说，本文得到的显式上界只是下界的两倍。
2014-02-28 math.CO
A new family of maximum scattered linear sets in $\mathrm{PG}(1,q^6)$
我们将前两位作者在“$\mathrm{PG}(1,q^n)$的最大分散线性集的顶点性质“（2019）中提出的线性集的例子推广到更一般的族，证明了当$q$是奇数时，这样的线性集是最大分散的，除了特殊情况外，它们是新的。这解决了“$\mathrm{PG}(1,q^n)$的最大分散线性集的顶点属性“（2019）中提出的一个开放问题。作为Sheekey在“A new family of linear maximum rank distance codes”（2016）中结果的结果，该族产生了具有参数$(6,6,q;5)$的新MRD码。
2020-02-13 cs.IT math.CO math.IT
Non-linear maximum rank distance codes in the cyclic model for the field reduction of finite geometries
本文利用有限向量空间的双线性型的集合构造了非线性最大秩距离码的无限族。我们还给出了这样的代码的几何描述，通过使用有限几何形状的字段减少的循环模型，我们表明，这些家庭包含非线性最大秩距离码最近提供的Cossidente，马里诺和Pavese。
2017-04-07 cs.IT math.CO math.IT
Maximum weight codewords of a linear rank metric code
设$\mathcal{C}\subseteq \mathbb{F}_{q^m}^n$是维数为$k$的$\mathbb{F}_{q^m}$ -线性非退化秩度量码.本文研究了$\mathcal{C}$中具有最大权值的码字个数$M(\mathcal{C})$，即$\min\{m,n\}$的确定问题，并刻画了具有最大值和最小值的码字个数$M(\mathcal{C})$的特征.
2023-02-02 cs.IT math.CO math.IT
On the maximum number of distinct intersections in an intersecting family
对于$n > 2k \geq 4$，我们考虑由$k$ -$\{1, 2, \ldots, n\}$的子集组成的交叉族$\mathcal F$。令$\mathcal I(\mathcal F)$表示所有不同交点$F \cap F'$、$F \neq F'$和$F, F'\in \mathcal F$的族。设$\mathcal A$由满足$|A \cap \{1, 2, 3\}| \geq 2$的$k$ -集$A$组成.我们证明了，对于$n \geq 50 k^2$ $|\mathcal I(\mathcal F)|$是最大化的$\mathcal A$。
2021-08-01 cs.DM math.CO
On the maximum rank of Toeplitz block matrices of blocks of a given pattern
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg（马格德堡奥托·冯·格里克大学）
研究了块下三角Toeplitz块矩阵的最大秩问题，证明在块满足特定结构条件时，其最大秩等于术语秩。
2013-05-18 cs.SY eess.SY math.CO
Rank-Crank type PDE's and non-holomorphic Jacobi forms
在本文中，我们将展示如何秩曲柄型偏微分方程（首先发现的Atkin和Garvan）自然发生在非全纯Jacobiforms的框架，并找到一个无限的家庭这样的微分方程。作为一个应用程序，我们展示了一个无限家庭的同余奇数Durfee符号，分区统计乔治安德鲁斯介绍。
2008-07-23 math.CO math.NT
Extending two families of maximum rank distance codes
本文给出了一个大的秩度量码族，它适当地包含了Longobardi和Zanella（2021）以及Longobardi，Marino，Trombetti和Zhou（2021）最近发现的码。这些码在$\mathbb{F}_{q^{2t}}$上的线性化多项式空间中是维数为$2$的$\mathbb{F}_{q^{2t}}$ -线性的，其中$t$是大于$2$的任意整数，并且我们证明了它们是最大秩距离码.对于$t\ge 5$，我们确定了它们的等价类，这些码与迄今为止已知的任何其他构造都是不等价的，因此它们是真正新的。
2021-04-15 cs.IT math.CO math.IT
Linear maximum rank distance codes of exceptional type
有限域上给定指数的离散多项式是数学中有许多联系的有趣的稀有对象。特别令人感兴趣的是第一作者和Zhou在2018年定义的例外，其中部分分类结果是已知的。本文提出了$\mathbb{F}_{q^n}$ -线性最大秩距离码的一个统一的代数描述，引入了给定指数的例外线性最大秩距离码的概念。这样的连接自然地扩展了秩度量框架中的离散多项式的例外性的概念，并提供了在单项MRD上下文中的Moore集的泛化。我们走向例外的线性MRD码的分类，通过显示，指数为零的广义Gabidulin码，并证明在正指数的情况下，代码包含一个例外的分散多项式的相同的指数。
2021-10-15 cs.IT math.CO math.IT
Local Maximum Stable Sets Greedoids Stemmed from Very Well-Covered Graphs
图G中的最大稳定集是具有最大基数的稳定集。称S为G的一个局部极大稳定集，如果S是由S的闭邻域导出的子图的一个极大稳定集。如果存在图G=（V，E）使得它的局部极大稳定集族与（V，F）一致，则称（V，F）拟阵为局部极大稳定集拟阵。证明了森林T的族局部极大稳定集在其顶点集上构成一个广义拟阵。本文证明了如果G是一个非常好覆盖的图，那么它的局部极大稳定集族是一个拟序当且仅当G有唯一的完美匹配。
2011-02-06 cs.DM math.CO
An infinite family of locally X graphs based on incidence geometries
一个图${\mathcal G}$是局部X，如果在图${\mathcal G}$的每个顶点的邻域上导出的图同构于图$X$ .证明了用Kneser图$KG(n,k)$构造的$r$秩关联几何的关联图的无限族$Γ(KG(n,k),r)$是局部$X$，其中$X$是$Γ(KG(n,k),r)$的秩$r-1$剩余的关联图.
2018-11-28 math.CO math.GR
Interval greedoids and families of local maximum stable sets of graphs
图G的最大独立集是具有最大基数的独立集。若S是由其闭邻域导出的子图的极大独立集，则S是G的一个局部极大值独立集.内姆豪泽和特罗特1975年证明了G的任何局部极大值独立集都是G的极大独立集的子集。2002年我们证明了森林的所有局部极大值稳定集的族在其顶点集上形成一个广义拟阵。在2004年、2007年和2008年，分别分析了G是二部的、无三角形的、良好覆盖的，而所有局部极大值稳定集的族是一个广义拟阵的情况。本文证明了如果图的所有局部极大值稳定集的族满足可达性，则它是一个区间拟阵。我们还刻画了那些图的局部极大值稳定集的族是反拟阵或拟阵。
2008-11-25 cs.DM math.CO
Two Families of Unravelled Abstract Regular Polytopes in Bn
本文给出了Bn型Coxeter群中的两类解列抽象正则多面体。对于一个家庭，他们有秩4，而另一个家庭有任意大的秩。
2021-05-04 math.CO math.GR
The maximum number of nonzero weights of linear rank-metric codes
Aalborg University（奥尔堡大学）
本文研究了线性秩度量码中非零秩权重的最大数量，确定了其精确值，并给出了达到全权重谱的条件和构造方法。
2025-12-15 cs.IT math.CO math.IT
Maximum union-free subfamilies
一个老问题的莫泽问：有多大的一个union-free子家庭的每一个家庭的m集？一个集合族被称为无并集的，如果在这个集合族中没有三个不同的集合使得其中两个集合的并集等于第三个集合。我们表明，每一个家庭的m集包含一个union-free子家庭的大小至少为\lfloor \sqrt{4m+1} \rfloor - 1，这个界是紧的。这解决了Moser的问题，并证明了Erdans和Shelah在1972年提出的一个猜想。更一般地说，一个集合族是a-union-free的，如果在这个集合族中没有a+1个不同的集合使得其中一个集合等于另一个集合的并。我们确定了一个绝对乘法常数因子的大小最大的保证a-工会自由的子家庭的家庭m集。我们的结果强有力地证明了Barat，Füredi，Kantor，Kim和Patkos的一个猜想.
2011-03-16 cs.DM math.CO
On the equivalence issue of a class of $2$-dimensional linear Maximum Rank Distance codes
在[A. Neri，P. Santonastaso，F.祖洛推广了两类最大秩距离码]，推广了最近在[G.隆戈巴尔迪湾马里诺河特龙贝蒂岛舟$\mathrm{PG}(1,q^n)$及其相关MRD码的最大离散线性集的一大族]。对于$t \geq 5$，他们确定了这个新族中元素的等价类，并给出了其中不等价码的确切个数。此外，我们证明的情况下，当$t=4$，线性集的投影线$\mathrm{PG}(1,q^{8})$从相关的家庭中的代码，是不等价的任何一个已知的。
2023-03-28 cs.IT math.CO math.IT
Twisted Linearized Reed-Solomon Codes: A Skew Polynomial Framework
本文给出了秩和度量码的一个代数描述，即作为斜多项式环的商空间。这种方法同时推广了秩度量码的斜群代数设置和汉明度量码的多项式设置。这允许构造扭曲的线性Reed-Solomon码，一个新的家庭的最大和秩距离码扩展在同一时间Sheekey的扭曲Gabidulin码的秩度量和扭曲Reed-Solomon码的汉明度量。此外，我们还提供了Trombetti-Zhou构造的和秩度量的类似物，它也提供了一族最大和秩距离码。作为一个副产品，在极端情况下的汉明度量，我们得到了一个新的家庭加MDS码在二次域。
2021-05-21 cs.IT math.CO math.IT
Higher-rank trees arising from polyhedral graphs
The University of Wollongong（伍伦贡大学）
受Lambek和Johnstone的图技术启发，引入了一类新的高阶图，证明它们是平面k-树（2≤k≤4），并通过反例说明高阶树与1-树的区别，最后收集了更多不属于该族的高阶平面树例子。
2026-06-01 math.CO math.CT math.OA
