Very Well-Covered Graphs of Girth at least Four and Local Maximum Stable Set Greedoids
图$G$中的\textit{maximum stable set}是具有最大基数的稳定集。$S$是$G$的一个\textit{local maximum stable set}，如果$S$是由$S\cup N(S)$诱导的子图的最大稳定集，则我们写为$S\inΨ(G)$，其中$N(S)$是$S$的邻居。内姆豪泽和特罗特（1975），证明了任何$S\inΨ(G)$都是$G$的最大稳定集的子集。在（Levit & Mandrescu，2002）中，我们证明了森林$T$的家族$Ψ(T)$在其顶点集上形成一个广义拟阵。$G$是二分的、无三角形的、良好覆盖的，而$Ψ(G)$是greedoid的情况分别在（Levit & Mandrescu，2002）、（Levit & Mandrescu，2004）、（Levit & Mandrescu，2007）中进行了分析。本文证明了：如果$G$是围长为$\geq4$的覆盖很好的图，则族$Ψ(G)$是广义拟阵当且仅当$G$有唯一的完美匹配.
2010-08-17 cs.DM math.CO
Random walks, arrangements, cell complexes, greedoids, and self-organizing libraries
出发点是已知的事实，即一些研究的随机游动的排列，如Tsetlin库，产生于真正的超平面安排行走。本文探讨了复超平面安排上的相似游动。这是通过使某些胞腔复形自然地与排列相关联来实现的。在一个特定的情况下，这导致在具有多个书架的图书馆上行走。我们还表明，区间广义拟阵产生属于同一个一般家庭的随机游动。这个族的马尔可夫链的成员，基于某些半群，具有的性质，所有的特征值的转移阵是非负实的，并通过一个简单的组合公式。背景材料需要了解步行相当详细的审查。
2008-05-01 math.CO math.PR
Cooperative colorings of forests
给定一个图族$\mathcal G$，$\mathcal G$的一个合作着色是$\mathcal G$的每个图的一个独立集的集合，使得这些独立集的并集等于$V$。我们证明了当$d$很大时，存在一个最大度$d$的$(1+o(1)) \frac{\log d}{\log \log d}$森林的$\mathcal G$族，它不允许合作着色，这显着改进了Aharoni，Berger，Chudnovsky，Havet和Jiang的结果（Electronic Journal of Combinatorics，2020）。我们的家庭$\mathcal G$完全由明星森林，我们表明，这个值为$|\mathcal G|$是渐近最好的情况下，$\mathcal G$是一个家庭的明星森林。
2022-08-18 math.CO
A Family of Invariants of Rooted Forests
设$A$是$k$域上的交换$k$ -代数，$Ξ$是定义在$A$上的线性算子.我们定义了一个家庭的$A$值不变量$Ψ$有限根森林的递归算法，使用运营商$Ξ$和不变量$Ψ$区分根森林，当（且仅当）它区分根树$T$，当（且仅当）它是{ \it精细}比数量$α(T)=|\text{Aut}(T)|$的根树$T$。我们还考虑生成函数$U(q)=\sum_{n=1}^\infty U_n q^n$与$U_n =\sum_{T\in \bT_n} \frac 1{α(T)} Ψ(T)$，其中$\bT_n$是一组根树与$n$顶点。我们证明了生成函数$U(q)$满足方程$Ξ\exp U(q)= q^{-1} U(q)$。从而得到了$U_n$ $(n\geq 1)$的一个递推公式，即对任何$n\geq 2$都有$U_1=Ξ(1)$和$U_n =ΞS_{n-1}(U_1, U_2, >..., U_{n-1})$，其中$S_n(x_1, x_2, ...)$ $(n\in \bN)$是初等Schur多项式.我们还表明，（严格）阶多项式和两个著名的准对称函数不变量的根森林是在家庭的不变量$Ψ$，并得出一些后果，这些著名的不变量从我们的一般结果$Ψ$。最后，将不变量$Ψ$推广到标记平面森林，并讨论了它与标记平面森林所张成的\cite{F}中的Hopf代数$\mathcal H_{P, R}^D$之间的关系.
2003-05-24 math.CO
The Turán problem for a family of tight linear forests
设$\mathcal{F}$是一族$r$ -图.图兰数$ex_r(n;\mathcal{F})$定义为$r$ -图中无$\mathcal{F}$的$n$阶的最大边数.著名的Erdés匹配猜想证明了\[ ex_r(n,M_{k+1}^{(r)})= \max\left\{\binom{rk+r-1}{r},\binom{n}{r}-\binom{n-k}{r}\right\}, \]，其中$M_{k+1}^{(r)}$表示由$k+1$不相交边组成的$r$ -图.基于这个猜想，我们考虑了紧线性森林的图兰问题。紧线性森林是$r$ -图，它的连通分支都是紧路或孤立点.设$\mathcal{L}_{n,k}^{(r)}$是$r$ -图中所有具有$k$边的$n$阶紧线性森林的族.本文证明了对于足够大的$n$，\[ ex_r(n;\mathcal{L}_{n,k}^{(r)})=\max\left\{\binom{k}{r}, \binom{n}{r}-\binom{n-\left\lfloor (k-1)/r\right \rfloor}{r}\right\}+d, \]，其中$d=o(n^r)$和如果$r=3$和$k=cn$与$0<c<1$，如果$r\geq 4$和$k=cn$与$0<c<1/2$ .证明是基于超图的弱正则引理。我们还推测，对于满足$k \equiv 1\ (mod\ r)$…
2018-12-10 math.CO
Wilf Equivalences for Patterns in Rooted Labeled Forests
该研究延续有根森林模式规避研究，通过推广森林Simion-Schmidt双射完成特定模式集的森林-Wilf等价分类，借助森林版Goulden-Jackson簇方法发现新的非平凡c-森林-Wilf等价族，还证明超强c-森林-Wilf等价在森林中是平凡的。
2023-10-04 math.CO
Stability of generalized Turán number for linear forests
给定一个图$T$和一族图$\mathcal{F}$，$\mathcal{F}$的广义Turán数是在$\mathcal{F}$ -free图中$T$在$n$顶点上的最大拷贝数，记为$ex(n,T,\mathcal{F})$ .当$T = K_r$时，$ex(n, K_r, \mathcal{F})$是一个函数，指定无$\mathcal{F}$图中$n$顶点上$r$团的最大可能数目.线性森林是一个森林，其连通的组件都是路径和孤立的顶点。令$\mathcal{L}_{k}$是所有大小为$k$且没有孤立顶点的线性森林的族。本文得到了$G$中$r$ -团的最大可能个数，其中$G$是$\mathcal{L}_{k}$ -free的，最小度至少为$d$ .此外，我们给出了一个稳定的版本的结果。作为结果的稳定性版本的应用，我们得到了一个团版本的匹配的Erdens-Gallai定理的稳定性。
2022-11-15 math.CO
The generalized Turán number of spanning linear forests
设$\mathcal{F}$是图族。一个图$G$称为\textit{$\mathcal{F}$-free}，如果对于任何$F\in \mathcal{F}$，没有$G$的子图同构于$F$。给定一个图$T$和一族图$\mathcal{F}$，$\mathcal{F}$的广义Turán数是在$\mathcal{F}$ -free图中$T$在$n$顶点上的最大拷贝数，记为$ex(n,T,\mathcal{F})$ .线性森林是一个图，它的连通分支都是路径或孤立点。设$\mathcal{L}_{n,k}$是所有具有$k$边的$n$阶线性森林的族，$K^*_{s,t}$是由$K_{s,t}$通过用相同大小的团替换大小为$s$的部分而得到的图.本文确定了$ex(n,K_s,\mathcal{L}_{n,k})$和$ex(n,K^*_{s,t},\mathcal{L}_{n,k})$的精确值。此外，我们研究了这个问题的情况下，当\textit{"host graph"}是二分的。用$ex_{bip}(n,T,\mathcal{F})$表示无$\mathcal{F}$的二分图中$T$的最大可能拷贝数，其中每个部分的大小为$n$。我们确定了$ex_{bip}(n,K_{s,t},\mathcal{L}_{n,k})$的精确值。我们的证明主要是基于移位法。
2021-02-19 math.CO
Turán Numbers for Forests of Paths in Hypergraphs
一个r-一致超图H的Turán数是不包含H作为子图的n阶r-图中的最大边数。设P_l^（r）表示l条边上的r-一致松弛路族，F（k，l）表示由P_l^（r）的k条不交路组成的超图族，P '_l^（r）表示l条边上的r-一致线性路.我们精确地确定了ex_r（n;F（k，l））和ex_r（n;k* P '_l^（r）），以及当n适当地依赖于k，l，r（r>=3）时，不同长度的路（无论这些路是松散的还是线性的）的森林的图兰数。我们的结果建立在Füredi，Jiang和Seiver最近的结果上，他们确定了各个路径的极值数，并提供了更多的超图，其Turan数是精确确定的。
2014-02-24 math.CO
Ramsey-nice families of graphs
对于固定图的有限族$\mathcal{F}$，设$R_k(\mathcal{F})$是最小整数$n$，对于该最小整数，完全图$K_n$的边的每一个$k$ -着色产生某个$F\in\mathcal{F}$的单色副本。我们说$\mathcal{F}$是$k$ -nice，如果对于每个具有$χ(G)=R_k(\mathcal{F})$的图$G$和$E(G)$的每个$k$ -着色，存在某个$F\in\mathcal{F}$的单色副本。很容易看出，如果$\mathcal{F}$不包含林，那么它就不是$k$ -对任何$k$都是好的。这似乎是合理的猜想，一个（弱）逆成立，即，对任何有限族的图$\mathcal{F}$，其中至少包含一个森林，并对所有的$k\geq k_0(\mathcal{F})$（或至少对无限多个值的$k$），$\mathcal{F}$是$k$ -nice。我们证明了几个（适度的）结果来支持这一猜想，特别表明它适用于由两个各有3条边的连通图组成的三个族中的每一个，并观察到它适用于包含森林的任何族$\mathcal{F}$最多有2条边。我们还研究了一些相关的问题，并反驳了Aharoni，Charbit和Howard关于正则3-部3-一致超图中匹配的大小的一个猜想。
2018-04-16 math.CO
Vertex Partitions into an Independent Set and a Forest with Each Component Small
对于任意整数k >= 2，我们确定mad（G）的一个精确界，使得V（G）可划分为集合I和F_k，其中I是一个独立集，G[F_k]是一个森林，其中每个分支至多有k个顶点.对于每个k，我们构造一个无限族的例子，表明我们的结果是最好的可能。我们的结果意味着每个围长至少为9的可平面图G（分别为1和2）都是可平面图. 8，7）有一个划分V（G）成一个独立集I和一个集F，使得G[F]是一个森林，其中每个分量的阶数至多为3（分别为）。4、6）。Henrik，Norin和Wood要求最大函数g（a，b）使得如果mad（G）< g（a，b）则V（G）有一个划分成集合A和B使得mad（G[A]）< a和mad（G[B]）< b。他们特别要求g（1，b）的值，即，当A是一个独立集时。以前，已知的唯一值是g（1，4/3）和g（1，2）。当4/3 < b < 2时，我们得到g（1，b）。
2021-05-27 math.CO
Turán problems for linear forests and cliques
本文受Zhang和Ma工作的启发，确定了在禁止包含完全图$K_{r+1}$和所有具有$s$条边的$n$阶线性森林的图族时，广义Turán数$ex(n, \{K_{r+1}, \mathcal{L}_{n, s}\})$的精确值。
2023-05-22 math.CO
Extremal problems for star forests and cliques
本文研究同时禁止团 $K_{k+1}$ 与星森林 $(s+1)S_l$ 的 Turán 数，对充分大的 $n$ 确定其确切值并刻画全部极值图。
2024-04-09 math.CO
Critical sets, crowns, and local maximum independent sets
一个集合$S\subseteq V(G)$是独立的（或稳定的），如果没有两个顶点从$S$是相邻的，和$\mathrm{Ind}(G)$，我们的意思是所有独立的$G$集的集合。如果$\left\vert A\right\vert -\left\vert N(A)\right\vert =\max\{\left\vert I\right\vert -\left\vert N(I)\right\vert :I\in \mathrm{Ind}(G)\}$，则集合$A\in\mathrm{Ind}(G)$是临界的（我们写为$A\in CritIndep(G)$），其中$N(I)$表示$I$的邻域。如果是$S\in\mathrm{Ind}(G)$，并且存在从$N(S)$到$S$的匹配，则$S$是一个冠，我们写为$S\in Crown(G)$。令$Ψ(G)$是图$G$的所有局部极大独立集的族，即，如果$S$是由$S\cup N(S)$导出的子图中的最大独立集，则称为$S\inΨ(G)$。本文证明了$CritIndep(G)\subseteq Crown(G)$ $\subseteqΨ(G)$对任何图都成立。此外，我们提出了一些类的图，这些家庭重合，形成greedoids或更一般的集系统，我们称之为增广。
2020-08-11 cs.DM math.CO
The Matrix-Forest Theorem and Measuring Relations in Small Social Groups
本文提出了一个与矩阵森林定理有关的图结构指数族。详细研究了表示两个顶点的相互连通性的基本指标的性质。也被认为是衡量“分离”，“孤独”和“省籍”的顶点的衍生指数。引入了顶点集上的一个非标准度量，它由顶点的连通性决定。这些指标在社会计量学中的应用进行了讨论。
2006-02-04 cs.IR math.AG math.CO
Generalized Stirling permutations and forests: Higher-order Eulerian and Ward numbers
我们定义了一个新的家庭广义斯特林置换，可以解释在有序树和森林。我们证明了具有固定上升次数的广义Stirling置换的个数是由著名欧拉数的自然三参数推广给出的。我们给出了这类新数的生成函数，在最简单的情况下，我们找到了它们的闭公式和相应的行多项式。通过使用非平凡的对合，我们的广义欧拉数可以映射到一个家庭的广义沃德数，形成Riordan逆对，我们还提供了一个组合的解释。
2015-09-17 math-ph math.CO math.MP
Spectral extrema of $\{K_{k+1},\mathcal{L}_s\}$-free graphs
本文研究同时禁止团 $K_{k+1}$ 和 $s$ 边线性森林 $\mathcal{L}_s$ 的 $n$ 阶图中谱半径极大的图，并在 $n$ 充分大时给出了完整刻画。
2023-05-29 math.CO
Almost Linear Universal Point Sets for Planar Graphs
针对平面图通用点集，提出大小为 n^{1+o(1)} 的构造，利用排列超模式与有序根森林，改进二次上界至几乎线性。
2026-09-11 cs.CG math.CO
Some bounds on the size of Maximum $G$-free sets in graph
对于给定的图$H$，$H$的独立数$α(H)$是$V(H)$的最大独立集的大小。求图的最大独立集是一个NP难问题。独立数的另一个版本被定义为$H$的最大导出森林的大小，并称为$H$的森林数，并表示为$f(H)$。寻找$f(H)$也是一个NP难问题。设$H=(V(H),E(H))$是一个图，$\G$是一个图族，如果存在$V(H)$分解为集合$V_i$，$i-1,2,\ldots,k$，使得对每个$i$有$G\nsubseteq H[V_i]$，对每个$G\in\G$有$G\in\G$，则图$H$有$\G$ -free $k$ -染色. $S\subseteq V(H)$不含$G$，其中由$S$诱导的$H$的子图不含$G$，即它不含$G$的拷贝.寻找$H$的最大子集，使$H[S]$成为无$G$图也是一个很难的问题.本文研究了图的独立数的推广形式。本文的另一个目的是给出图的最大无$G$子集的大小的一些界。
2022-01-12 math.CO
Distribution of independent sets in perfect $r$-ary trees
Leipzig University（莱比锡大学）；University of Warwick（华威大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文证明了完美r叉树中独立集的星形家族最大值由叶顶点取得，并扩展到由完美树组成的森林。
2026-01-23 math.CO
